閉包の状況

Rikai では、定理・命題・補題・系の証明が使う事実を <Ref> で指し、それをたどると数学の公理（物理では基本的な仮定）まで Rikai の中で証明がつながること（閉包）を目指しています。 このページはその状態を機械的に集計したものです。判定は「証明があるか」「証明が参照する定理もすべて閉じているか」に基づき、証明そのものの正しさ（監査）は別に行っています。

• ✓ 公理まで証明済み: 証明があり、証明が使う定理もすべて同じ条件を満たす。
• △ 証明あり（閉包未完）: 証明はあるが、たどった先に主張のみの定理（または循環）がある。
• ※ 主張のみ: 研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になる定理で、証明を載せていないもの。理由と出典は各定理の直後の注意に書き、台帳で管理しています。

各定理のページ（定理索引 から開けます）で、前提の木と、その定理を使っている定理を見られます。

全体（数学・物理）

定理類 9417 件 ・ ✓ 9191 件（97.6%）・ △ 38 件 ・ ※ 188 件

数学

テーマ	定理類	✓	△	※	閉包率
Coulomb 多体系と原子の数理	35	35			100%
Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理	51	51			100%
Gibbs 測度と相転移の数理	84	82		2	97.6%
Lie 群と Lie 環の表現論	90	89		1	98.9%
グラフ理論	136	135		1	99.3%
コンパクト群の表現	71	71			100%
スペクトル・散乱理論	218	207	1	10	95%
フーリエ解析と超関数	128	128			100%
位相空間論	183	183			100%
可換環論	285	283		2	99.3%
解析学（実解析）	188	188			100%
確率論	192	192			100%
関数解析と作用素論	328	328			100%
共形場理論と頂点作用素代数	93	83		10	89.2%
計算機援用証明	43	43			100%
圏論・ホモロジー代数	250	249		1	99.6%
高校数学：関数と微分積分	118	118			100%
高校数学：場合の数・確率・統計	69	69			100%
高校数学：図形と幾何	201	201			100%
高校数学：数と式・整数・数列	98	98			100%
作用素環と量子統計力学	258	243		15	94.2%
常微分方程式	75	75			100%
数学基礎	67	67			100%
数値解析の基礎	62	62			100%
数値線形代数	117	117			100%
数理統計学	34	34			100%
数理論理学と型理論	82	80		2	97.6%
数論	155	147	1	7	94.8%
線形代数学	134	134			100%
組合せ論	76	76			100%
多様体論	92	92			100%
代数学（群・環・体）	141	141			100%
代数幾何 I（多様体とスキーム）	105	105			100%
代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉）	127	127			100%
代数的位相幾何学	117	117			100%
代数的整数論・類体論	159	150	5	4	94.3%
特殊関数と漸近解析	68	68			100%
微分位相	175	164	5	6	93.7%
微分幾何学	183	171		12	93.4%
微分積分学	126	126			100%
複素関数論	176	176			100%
複素幾何	118	116		2	98.3%
偏微分方程式	71	71			100%
未解決問題と大定理	217	132	17	68	60.8%
有限体と符号	114	114			100%

物理学

テーマ	定理類	✓	△	※	閉包率
spin-boson 模型と開放量子系	53	48	1	4	90.6%
フォック空間と第二量子化	183	179		4	97.8%
一般相対性理論	99	99			100%
格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文	1026	1025		1	99.9%
格子フェルミオンの多体理論	68	68			100%
格子場の理論	187	177		10	94.7%
原子核・素粒子物理	42	41	1		97.6%
固体物理	68	68			100%
公理的場の量子論	115	106	1	8	92.2%
構成的場の理論と Euclid 手法	192	175	4	13	91.1%
構成的場の理論の原論文：反射正値性・クラスター展開・自明性	715	715			100%
場の量子論	189	186	2	1	98.4%
相対性理論	54	54			100%
電磁気学	97	97			100%
熱力学・統計力学	75	75			100%
不定計量とゲージ場の量子化	115	111		4	96.5%
量子力学	63	63			100%
量子力学 II	80	80			100%
力学（古典力学・解析力学）	86	86			100%

主張のみの定理類（188 件）

台帳（content/closure-baseline.txt）にある定理だけが主張のみで置かれていることを、変更のたびに機械的に検査しています。

Gibbs 測度と相転移の数理（2）

• Pirogov–Sinai の定理（主張） 定理 7.1・Ising 模型と Peierls の議論
• 1/r² 浸透の二分律（Aizenman–Newman, ACCN の主張） 定理 6.4・ランダムクラスター表示と浸透

Lie 群と Lie 環の表現論（1）

• Mackey の定理（主張） 定理 7.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現

spin-boson 模型と開放量子系（4）

• 基底状態の相転移（Betz–Hinrichs–Kraft–Polzer） 定理 5.4・spin-boson 模型の相図
• 小結合での基底状態への接近（De Roeck–Kupiainen、主張） 定理 5.8・spin-boson 模型の相図
• Ohmic 型の KMS 状態の相転移（Spohn） 定理 5.2・spin-boson 模型の相図
• 弱結合での基底状態の存在（Hasler–Herbst, Hasler–Hinrichs–Siebert） 定理 5.6・spin-boson 模型の相図

グラフ理論（1）

• 四色定理 定理 6.8・平面グラフ

スペクトル・散乱理論（10）

• Amrein–Boutet de Monvel–Georgescu の極限吸収原理 定理 5.7・正則性クラスと抽象共役作用素法
• Jensen–Mourre–Perry の多重交換子評価 定理 7.1・正則性クラスと抽象共役作用素法
• 漸近完全性（Dereziński–Gérard、Fröhlich–Griesemer–Schlein） 定理 6.1・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性
• 最小速度評価（Sigal–Soffer） 定理 5.2・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性
• Efimov 効果（Yafaev・Sobolev） 定理 7.2・多体系と HVZ 定理
• 1 次元の端点 γ = 1/2（Weidl） 定理 5.4・Lieb–Thirring 不等式と物質の安定性
• 漸近表現は Fock 型である 命題 4.5・場の量子論の模型の散乱理論
• Dereziński–Gérard の漸近完全性定理 定理 4.8・場の量子論の模型の散乱理論
• Haag–Ruelle の定理 定理 5.2・場の量子論の模型の散乱理論
• Dollard の定理 定理 6.3・波動作用素と漸近完全性

フォック空間と第二量子化（4）

• 質量ゼロ・赤外正則の場合の基底状態の存在 定理 4.6・Nelson 模型と spin-boson 模型
• spin-boson 模型の基底状態の存在 定理 6.4・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 束縛された電子の基底状態（Griesemer–Lieb–Loss） 定理 5.1・Pauli–Fierz 模型と赤外問題
• 任意の結合定数での自己共役性（Hiroshima） 定理 3.4・Pauli–Fierz 模型と赤外問題

可換環論（2）

• Cohen の構造定理 定理 8.4・完備化と Artin–Rees の補題
• Kunz の定理 定理 10.4・Kähler 微分と滑らかさの入口

格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文（1）

• 裸結合定数の存在と結合定数の対数的な流れ（原論文 Theorem 2） 定理 4.8・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

格子場の理論（10）

• overlap 演算子の局所性（Hernández–Jansen–Lüscher） 定理 5.5・格子上のカイラル対称性
• Higgs–湯川系の 1 ループくりこみ群 命題 5.4・格子 Higgs 模型と湯川模型
• 流れた場の有限性（主張） 定理 5.6・Symanzik 改良・gradient flow・Lüscher の有限体積公式
• 安定粒子の質量の有限体積補正（主張） 定理 6.2・Symanzik 改良・gradient flow・Lüscher の有限体積公式
• Lüscher の 2 粒子公式（s 波、主張） 定理 6.5・Symanzik 改良・gradient flow・Lüscher の有限体積公式
• on-shell O(a) 改良（主張） 定理 3.2・Symanzik 改良・gradient flow・Lüscher の有限体積公式
• カイラル外挿の NLO 公式 命題 6.5・格子 QCD
• 高温相での解析性と指数減衰 定理 6.8・格子スカラー場
• 強結合でのグルーボール質量（最低次） 命題 5.2・強結合展開と閉じ込め
• 4 次元コンパクト U(1) の非閉じ込め相（Guth、Fröhlich–Spencer） 定理 7.1・強結合展開と閉じ込め

共形場理論と頂点作用素代数（10）

• Goddard–Thorn の no-ghost 定理（主張） 定理 6.3・BRST コホモロジーと no-ghost 定理
• GKO の分岐則（主張） 定理 5.5・coset 構成と極小模型
• Dong–Lin（主張） 定理 6.4・頂点作用素代数
• Zhu の定理（主張） 定理 5.5・頂点作用素代数
• Friedan–Qiu–Shenker（主張） 定理 5.5・Virasoro の最高ウェイト表現
• Kac 行列式公式（主張） 定理 4.5・Virasoro の最高ウェイト表現
• Fateev–Lukyanov（主張） 定理 4.3・W 代数
• Gorelik–Kac の単純性判定（主張） 定理 6.5・W 代数
• 量子 Hamilton 簡約（Feigin–Frenkel、KRW、Arakawa。主張） 定理 6.3・W 代数
• W₃ 代数（主張） 定理 2.3・W 代数

圏論・ホモロジー代数（1）

• Freyd–Mitchell の埋め込み定理 定理 8.1・加法圏とアーベル圏

公理的場の量子論（8）

• P(φ)₂ の切断付きハミルトニアン（Nelson, Glimm–Jaffe） 定理 4.2・構成的場の理論の地図
• P(φ)₂ の存在と非自明性 定理 4.4・構成的場の理論の地図
• φ⁴₃ の構成 定理 5.1・構成的場の理論の地図
• Bisognano–Wichmann の定理 定理 6.6・Haag–Kastler 公理と局所ネット
• Wightman 理論の Schwinger 関数 命題 3.2・Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成
• Osterwalder–Schrader の再構成定理 定理 4.3・Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成
• Buchholz の赤外粒子の定理（主張） 定理 8.4・超選択セクターと荷電状態
• Doplicher–Roberts の再構成定理（主張） 定理 6.1・超選択セクターと荷電状態

構成的場の理論と Euclid 手法（13）

• Gibbs 測度によるボソン数分布の表示（Betz–Hiroshima–Lőrinczi–Minlos–Spohn） 定理 6.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• Pauli–Fierz 模型の Feynman–Kac–Itô 表示（Hiroshima） 定理 5.1・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• 弱結合での無限体積極限（Glimm–Jaffe–Spencer） 定理 5.4・P(φ)₂ 模型の構成
• 有限体積ハミルトニアンの本質的自己共役性と基底状態 定理 4.5・P(φ)₂ 模型の構成
• Dirichlet 境界条件による単調収束（Nelson） 定理 5.2・P(φ)₂ 模型の構成
• P(φ)₂ 模型は OS 公理を満たす 定理 6.2・P(φ)₂ 模型の構成
• ℝ³ 上の φ⁴₃ 測度の PDE による構成（Gubinelli–Hofmanová） 定理 6.6・φ⁴₃ と確率量子化
• 動的 φ⁴₃ 模型の局所解（Hairer, Catellier–Chouk） 定理 5.7・φ⁴₃ と確率量子化
• 動的 φ⁴₃ 模型の大域解と無限遠からの下降（Mourrat–Weber） 定理 6.2・φ⁴₃ と確率量子化
• トーラス上の φ⁴₃ 測度の紫外極限 定理 3.3・φ⁴₃ と確率量子化
• 格子 Yang–Mills 理論の紫外安定性（Balaban） 定理 7.2・厳密くりこみ群
• 弱結合 4 次元 n 成分 |φ|⁴ 模型の対数補正（Bauerschmidt–Brydges–Slade） 定理 6.3・厳密くりこみ群
• 有限距離分解の存在（Brydges–Guadagni–Mitter, Bauerschmidt） 定理 5.3・厳密くりこみ群

作用素環と量子統計力学（15）

• 局所代数は III₁ 型 定理 6.1・因子の型分類
• Powers の定理 定理 5.2・因子の型分類
• 六項完全系列 系 7.3・K-理論入門
• ボット周期性 定理 7.1・K-理論入門
• 完全受動性と KMS 条件（Pusz–Woronowicz、Lenard） 定理 6.4・KMS 状態と熱平衡
• AKLT 模型の基底状態とギャップ（Affleck–Kennedy–Lieb–Tasaki） 定理 6.3・Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰
• ゲージ不変な CCR 準自由状態の準同値（Araki–Yamagami の判定の特別な場合） 定理 6.4・表現の準同値と準自由状態の判定
• 結合系の Liouvillean の性質（Dereziński–Jakšić–Pillet） 定理 3.7・Liouvillean と熱平衡への回帰
• 有限準位系と熱浴の熱平衡への回帰（Jakšić–Pillet, Bach–Fröhlich–Sigal） 定理 4.3・Liouvillean と熱平衡への回帰
• ギャップの安定性（Bravyi–Hastings–Michalakis、Michalakis–Zwolak、Nachtergaele–Sims–Young） 定理 5.1・スペクトルギャップの安定性
• 古典系の量子摂動（Yarotsky） 定理 5.3・スペクトルギャップの安定性
• コンヌの跡定理（体積と積分の復元） 定理 6.3・スペクトル三つ組と非可換トーラス
• コンヌの再構成定理 定理 7.1・スペクトル三つ組と非可換トーラス
• ディラック作用素に対するワイルの法則 定理 6.1・スペクトル三つ組と非可換トーラス
• Bisognano–Wichmann の定理 定理 6.1・冨田–竹崎理論とモジュラー群

場の量子論（1）

• くりこみ可能性定理（BPHZ） 定理 5.10・くりこみ理論入門

数理論理学と型理論（2）

• 連続体仮説の独立性（ゲーデル、コーエン） 定理 8.2・公理的集合論 ZFC
• UIP と関数外延性の独立性 定理 5.3・依存型理論

数論（7）

• フライ曲線は半安定 命題 9.5・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• クンマー（1847） 定理 8.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• メイザーの有理同種定理（必要な特別な場合） 定理 10.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• モジュラー性定理（谷山・志村予想） 定理 6.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• リベットのレベル下げ定理（必要な特別な場合） 定理 10.4・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• ワイルズ（1995） 定理 10.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• Chebotarev の密度定理 定理 7.1・S 単数と Kummer 理論

代数的整数論・類体論（4）

• Artin の相互法則 定理 7.1・類体論
• 大域の存在定理 定理 7.3・類体論
• 局所存在定理 定理 3.5・類体論
• 局所相互法則 定理 3.3・類体論

微分位相（6）

• Thom の定理（非有向同境環） 定理 6.9・同境と Pontryagin–Thom 構成
• Donaldson の定理（主張のみ） 定理 5.9・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• Freedman の定理（主張のみ） 定理 5.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• h 同境定理（Smale。主張のみ） 定理 2.2・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• Whitney の技巧（主張のみ） 定理 2.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• ハンドルの消去 定理 5.2・ハンドル分解と手術

微分幾何学（12）

• Bernal–Sánchez の滑らかな分割定理 定理 6.5・因果階層
• Geroch の分割定理 定理 6.3・因果階層
• Atiyah–Patodi–Singer の指数定理（主張のみ） 定理 3.17・指数定理
• アティヤの L2-指数定理 定理 6.1・指数定理
• アティヤ・シンガーの指数定理 定理 3.1・指数定理
• コンヌ：フレドホルム加群の指数定理 定理 4.8・指数定理
• コンヌ：可換な場合の周期巡回コホモロジー 定理 4.2・指数定理
• コンヌ・モスコヴィッチの局所指数公式 定理 5.2・指数定理
• コンヌの測度付き葉層指数定理 定理 6.3・指数定理
• スペクトル流は円柱上の指数（主張のみ） 定理 3.20・指数定理
• Hirzebruch の符号数定理（主張のみ） 定理 3.14・指数定理
• シャムセディン・コンヌのスペクトル作用の漸近展開 定理 7.2・指数定理

不定計量とゲージ場の量子化（4）

• Kugo–Ojima の閉じ込め判定条件（主張） 定理 7.1・BRST コホモロジーと物理的状態
• 正定値計量の局所的なベクトルポテンシャルは光子を記述できない（Strocchi） 定理 6.2・Gupta–Bleuler 形式の数学的構造
• Dorey–Dunning–Tateo の定理（主張） 定理 6.4・不定計量の模型
• Langer のスペクトル関数 定理 5.4・Krein 空間上の作用素

複素幾何（2）

• Newlander–Nirenberg の定理 定理 4.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
• Calabi 予想（Yau の定理） 定理 7.5・Kähler 多様体

未解決問題と大定理（68）

• 重さ 2 の固有形式に伴う Galois 表現 定理 6.2・フェルマーの最終定理 I
• p での有限性の判定 定理 5.5・フェルマーの最終定理 I
• 良い還元の素数での不分岐性と Frobenius のトレース 定理 5.1・フェルマーの最終定理 I
• Serre の保型性予想（重さ 2・自明な指標の場合） 定理 6.5・フェルマーの最終定理 I
• Ribet のレベル下げ定理 定理 6.7・フェルマーの最終定理 I
• Tate の一意化 定理 5.3・フェルマーの最終定理 I
• Weil 対 定理 4.4・フェルマーの最終定理 I
• 小さい臨界ノルムの初期値に対する大域解 定理 7.5・Navier–Stokes 方程式 I
• Leray の存在定理（全空間） 定理 5.4・Navier–Stokes 方程式 I
• 滑らかな解の局所存在と延長の判定 定理 7.3・Navier–Stokes 方程式 I
• 外力つきの Leray–Hopf 弱解の非一意性（Albritton–Brué–Colombo） 定理 7.7・Navier–Stokes 方程式 II
• Beale–Kato–Majda の判定条件 定理 3.7・Navier–Stokes 方程式 II
• 有限エネルギーの弱解の非一意性（Buckmaster–Vicol） 定理 7.6・Navier–Stokes 方程式 II
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg の部分正則性定理 定理 5.6・Navier–Stokes 方程式 II
• ε-正則性（Caffarelli–Kohn–Nirenberg） 定理 5.2・Navier–Stokes 方程式 II
• 外力つきの方程式の有限時間特異性（Córdoba–Martínez-Zoroa、Córdoba–Martínez-Zoroa–Zheng） 定理 7.10・Navier–Stokes 方程式 II
• $C^{1,α}$ の初期値に対する Euler 方程式の特異性（Elgindi） 定理 7.9・Navier–Stokes 方程式 II
• Escauriaza–Seregin–Šverák の定理 定理 3.5・Navier–Stokes 方程式 II
• 自己相似な爆発の不在（Nečas–Růžička–Šverák） 定理 6.3・Navier–Stokes 方程式 II
• 平均化された方程式の有限時間爆発（Tao） 定理 7.2・Navier–Stokes 方程式 II
• 共役熱方程式の可解性 補題 2.4・ポアンカレ予想 II
• 標準近傍定理（Perelman） 定理 7.13・ポアンカレ予想 II
• Hamilton のコンパクト性定理と単射半径の評価 定理 7.7・ポアンカレ予想 II
• 3 次元の κ-解の構造（Perelman） 定理 7.10・ポアンカレ予想 II
• 共役熱方程式の解に対する微分 Harnack 不等式（Perelman） 定理 7.5・ポアンカレ予想 II
• 簡約体積の単調性（Perelman） 定理 7.3・ポアンカレ予想 II
• 幾何化予想（Perelman の定理） 定理 2.14・ポアンカレ予想 I
• Hamilton の定理（1982 年） 定理 7.1・ポアンカレ予想 I
• Hamilton–Ivey の pinching 評価 定理 7.3・ポアンカレ予想 I
• 素分解の存在と一意性（Kneser・Milnor） 定理 2.9・ポアンカレ予想 I
• 短時間の存在と一意性（Hamilton・DeTurck） 定理 6.2・ポアンカレ予想 I
• 有限時間消滅（Perelman、Colding–Minicozzi） 定理 4.1・ポアンカレ予想 III
• 長時間での厚い部分と薄い部分（Perelman） 定理 6.1・ポアンカレ予想 III
• 幅を実現する極小球面と、幅の微分不等式 定理 4.6・ポアンカレ予想 III
• 手術つき Ricci flow の存在（Perelman） 定理 2.4・ポアンカレ予想 III
• 零点密度評価（Ingham 1940、Guth–Maynard 2024） 定理 6.2・リーマン予想 II
• Montgomery の対相関定理（1973） 定理 9.1・リーマン予想 II
• Rodgers–Tao の定理 定理 9.4・リーマン予想 II
• Selberg の定理（1942） 定理 5.6・リーマン予想 II
• Siegel の定理 定理 4.4・リーマン予想 II
• 有限体上の曲線のリーマン予想（Weil 1948） 定理 8.3・リーマン予想 II
• von Mangoldt の明示公式 定理 7.4・リーマン予想 I
• Vinogradov–Korobov の零点なし領域 定理 6.4・リーマン予想 I
• $T_Σ$ に値をもつ表現と全射 $R_Σ → T_Σ$ 定理 5.6・フェルマーの最終定理 II
• S₂(Γ₀(N)) の有限次元性と整構造 定理 5.1・フェルマーの最終定理 II
• Langlands–Tunnell の定理と mod 3 表現の保型性 定理 3.2・フェルマーの最終定理 II
• 普遍変形環の存在 定理 4.6・フェルマーの最終定理 II
• 保型性持ち上げ定理 定理 8.4・フェルマーの最終定理 II
• 素数を Σ に足すときの 2 つの不等式 定理 8.1・フェルマーの最終定理 II
• Selmer 群の位数の比（Poitou–Tate の双対から従う Wiles の公式） 定理 7.1・フェルマーの最終定理 II
• 極小の場合の R = T（Taylor–Wiles） 定理 7.3・フェルマーの最終定理 II
• 3–5 の乗り換え 定理 9.1・フェルマーの最終定理 II
• 数値的判定法（Wiles–Lenstra） 定理 6.2・フェルマーの最終定理 II
• 2 次元の連続 Yang–Mills 測度（Gross–King–Sengupta、Driver、Sengupta、Lévy） 定理 3.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 2 次元 Abel 的 Higgs 模型の構成（Brydges–Fröhlich–Seiler） 定理 4.6・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 有限ゲージ群の弱結合での相関の指数的減衰（Adhikari–Cao） 定理 8.9・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 格子 Yang–Mills 理論の紫外安定性（Bałaban） 定理 4.2・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• Wilson ループのランダム曲面による表示（Cao–Park–Sheffield） 定理 8.5・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 2 次元・3 次元の確率 Yang–Mills(–Higgs) 熱流（Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen） 定理 7.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 強結合・大 N の SO(N) 格子ゲージ理論の解（Chatterjee） 定理 8.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• Yang–Mills の自由エネルギーの主要項（Chatterjee） 定理 8.7・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• SU(2) Yang–Mills–Higgs 模型のスケーリング極限（Chatterjee） 定理 8.11・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 2 次元 Yang–Mills 測度は Langevin 力学の不変測度（Chevyrev–Shen） 定理 7.6・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 3 次元 U(1) 格子ゲージ理論の閉じ込め（Göpfert–Mack） 定理 6.2・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 3 次元 U(1) Higgs 模型の連続極限（King） 定理 4.8・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 赤外切断つきの 4 次元 Yang–Mills 理論（Magnen–Rivasseau–Sénéor） 定理 4.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• 強結合の格子 Yang–Mills：確率解析による結果（Shen–Zhu–Zhu） 定理 5.8・Yang–Mills 理論と質量ギャップ II
• Uhlenbeck のゲージ固定とコンパクト性 定理 2.6・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I

証明はあるが閉包未完の定理類（38 件）

各定理のページの「閉包の状態」に、止めている前提が出ます。

spin-boson 模型と開放量子系（1）

• 質量のある浴ではつねに非局在 系 4.3・spin-boson 模型の相図

スペクトル・散乱理論（1）

• Lieb–Thirring 不等式 定理 3.1・Lieb–Thirring 不等式と物質の安定性

原子核・素粒子物理（1）

• γ 崩壊の選択則 定理 7.1・原子核

公理的場の量子論（1）

• 存在の階層の間の関係 命題 3.5・構成的場の理論の地図

構成的場の理論と Euclid 手法（4）

• 反磁性不等式とその帰結 系 5.3・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• 動的 φ⁴₃ 模型の不変測度の存在 系 6.5・φ⁴₃ と確率量子化
• Nelson の単調極限の存在と OS 公理 系 6.3・P(φ)₂ の無限体積極限
• Dirichlet 境界の Schwinger 関数の一様な上界 命題 6.2・P(φ)₂ の無限体積極限

場の量子論（2）

• ウィグナーの分類：質量正の場合 定理 7.5・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
• ウィグナーの分類：質量ゼロの場合とヘリシティ 定理 7.9・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

数論（1）

• フェルマーの最終定理 系 10.10・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

代数的整数論・類体論（5）

• Abel 拡大での分解法則は合同条件で決まる 系 8.2・類体論
• Hilbert 類体 系 8.1・類体論
• p = x² + ny² と Hilbert 類体 系 8.3・類体論
• 立方剰余記号と相互法則 命題 8.7・類体論
• Chebotarev の密度定理 定理 8.6・類体論

微分位相（5）

• 円板の特徴づけ 系 2.8・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• 高次元の一般化された Poincaré 予想 系 2.9・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• 単連結な h 同境類と微分同相類の一致 系 2.11・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• h 同境定理の証明のうち、ハンドル分解の定理から従う部分 命題 2.12・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• Milnor のエキゾチック 7 次元球面 定理 3.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

未解決問題と大定理（17）

• モジュラーな楕円曲線の mod p 表現は保型的 補題 6.4・フェルマーの最終定理 I
• Serre の保型性予想からの導出 命題 8.2・フェルマーの最終定理 I
• レベル 2 への到達 命題 6.9・フェルマーの最終定理 I
• 乗法的還元の素数での惰性群の作用 命題 5.8・フェルマーの最終定理 I
• 主張のみの 7 定理からフェルマーの最終定理が従う 定理 8.1・フェルマーの最終定理 I
• Frey 曲線の mod p 表現の分岐 定理 5.10・フェルマーの最終定理 I
• エネルギー恒等式と調和解析の評価だけでは (A) は証明できない 系 7.4・Navier–Stokes 方程式 II
• ε-正則性から 𝒫¹(S) = 0 へ 命題 5.5・Navier–Stokes 方程式 II
• 閉多様体上の定常 breather は Ricci 平坦 系 4.5・ポアンカレ予想 II
• λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少 命題 4.3・ポアンカレ予想 II
• μ の単調性 命題 5.3・ポアンカレ予想 II
• 非崩壊定理 I（Perelman） 定理 6.2・ポアンカレ予想 II
• 楕円化（球面空間形予想） 系 5.6・ポアンカレ予想 III
• 消滅する流れの初期多様体はクラス 𝒮 に属する 補題 5.4・ポアンカレ予想 III
• 手術つき Ricci flow の存在と有限時間消滅からポアンカレ予想が従う 定理 5.5・ポアンカレ予想 III
• 極小の場合から一般の Σ へ 命題 8.3・フェルマーの最終定理 II
• 3 つの入力から半安定な楕円曲線のモジュラー性が従う 定理 10.1・フェルマーの最終定理 II

閉包の検査の対象外

情報科学とコラムは閉包の検査の対象外です（集計には含めていません）: AI時代の生存戦略 19 件（✓ 16）、Claude Code の中身 53 件（✓ 53）、LLM アーキテクチャ 71 件（✓ 71）、アルゴリズムとデータ構造 62 件（✓ 61）、コンピュータサイエンス基礎 25 件（✓ 24）、ソフトウェア開発 32 件（✓ 31）、ソフトウェア設計とテスト 63 件（✓ 63）、機械学習の数学 57 件（✓ 57）、研究のための計算の実務 43 件（✓ 43）、偏微分方程式の離散化 99 件（✓ 99）、乱数と確率的数値計算 87 件（✓ 87）、数学コラム 43 件（✓ 40）、物理学コラム 34 件（✓ 27）。