有限体と符号

数学学部無料 6 章有料 0 章

有限体 F_q の構造と F_q 上の多項式の分解を整理し、それを道具として線形符号・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号を組み立てる。

想定読者: 大学生（理系）、符号理論・暗号・組合せデザインに進む人

前提テーマ:代数学（群・環・体）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数無料有限体の元が x^q − x の根全体であることから出発し、部分体の束、Frobenius 自己同型が生成する Galois 群、既約多項式の根と個数の公式、平方元、代数閉包を根の数え上げだけで証明する。
2. 第 2 章有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルム無料Frobenius 写像の軌道として最小多項式と円分剰余類を定め、x^n − 1 の有限体上の分解を証明する。トレースとノルム、Hilbert の定理 90 の有限体版、正規基底定理、Berlekamp の分解法、Wedderburn の小定理まで扱う。
3. 第 3 章線形符号：生成行列・検査行列・符号の限界式無料Hamming 距離と誤り訂正能力の関係から始め、線形符号を生成行列・検査行列・双対符号で記述する。Singleton・Hamming・Gilbert–Varshamov・Plotkin・Griesmer の各限界、Hamming 符号、二元対称通信路の符号化定理を数え上げで証明する。
4. 第 4 章巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号無料巡回符号を F_q[x]/(x^n − 1) のイデアルとして分類し、零点の集合から BCH 限界を導く。Reed–Solomon 符号が MDS 符号であること、Berlekamp–Welch の復号、鍵方程式と互除法による復号、Forney の公式、バースト誤りの訂正能力まで証明する。
5. 第 5 章重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号無料有限体の加法指標と離散版の Poisson 和公式から MacWilliams 恒等式を証明し、Hamming 符号と MDS 符号の重み分布を求める。二元・三元 Golay 符号を平方剰余符号として構成し、最小距離・完全性・重み多項式を決定する。
6. 第 6 章有限幾何とデザイン：射影平面・直交 Latin 方陣・Steiner 系無料有限体上の射影空間の点と直線を数え、公理的な射影平面・アフィン平面、t-デザインと Fisher の不等式、直交 Latin 方陣、Hadamard 行列を証明つきで扱う。Hamming 符号と Golay 符号の符号語の台から Steiner 系 S(5, 8, 24) を構成する。