| √2 の存在 | 定理 5.6 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| √2 の無理性 | 命題 4.2 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| ΛkV∗ の基底と次元 | 定理 5.4 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| Ck 級写像の基本性質 | 命題 6.5 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| Ck 級写像の局所性と合成 | 命題 2.1 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| Ck 級写像の連続性 | 命題 6.4 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| 0 ÷ 0 は不定 | 命題 3.3 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| 0 でない数は 0 で割れない | 命題 3.2 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| 0.999… = 1 | 定理 3.7 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 1 = 0.999… | 定理 6.3 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| 1 次近似としての複素微分可能性 | 命題 3.3 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 1/3 の展開からの帰結 | 命題 3.2 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 1/x の片側極限 | 命題 5.3 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| 1/z は穴あき平面上に原始関数をもたない | 系 3.3 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| 2 の冪は素直 | 定理 4.1 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 2 次の行列式と平行四辺形の面積 | 命題 8.1 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 2 変数 2 次形式の符号 | 補題 8.1 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| 2 変数のテイラーの定理（2 次まで） | 定理 7.4 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| 3 点の対応で決まる | 定理 4.4 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| 3n−1 版には自明でない巡回がある | 命題 7.1 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 4 で割って 1 余る数は 3 手で小さくなる | 命題 4.2 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 4 次モーメント版の強法則 | 命題 4.7 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 8 番目の積分の厳密値 | 命題 5.3 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 9 が n 個並んだ有限小数 | 命題 3.1 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| a + b cosθ 型の積分 | 命題 7.1 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| ABC予想から従うフェルマー・カタラン方程式の有限性 | 定理 4.3 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| ABC予想から従う漸近的フェルマー | 定理 4.1 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| ABC予想の同値な言い換え | 命題 3.9 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| C*-ノルムの一意性 | 系 4.3 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| C*-等式から従うこと | 命題 4.2 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| C¹ 級ならば全微分可能 | 定理 4.5 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| C¹ 級による正則性の判定 | 系 5.3 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| G は真である | 系 5.2 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| Hadamard の補題 | 補題 5.3 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| K₀ の関手的性質 | 定理 5.7 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| K₀ の標準形と同値判定 | 命題 5.5 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| K₁ はアーベル群 | 命題 6.2 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| L^1 の線型性と三角不等式 | 命題 7.2 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| L^2 はヒルベルト空間 | 定理 6.2 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| L^p はノルム空間 | 系 4.6 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| L^p 縮小性 | 系 4.7 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| Mason–Stothers の定理 | 定理 5.1 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| ML 不等式 | 補題 2.4 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| n 枚のドアの場合 | 定理 6.1 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| p 級数 | 系 5.2 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| p 次巡回置換と互換は Sp を生成する | 補題 6.4 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| Powers–Rieffel 射影 | 定理 6.2 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| R の連結部分集合の決定 | 定理 4.1 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| RSA の正当性 | 定理 6.1 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| S₅ は可解群でない | 命題 6.1 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| x を 0 に近づけた極限は存在しない | 系 5.4 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| x⁵ - 4x + 2 のガロア群は S₅ | 命題 6.5 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| Z/nZ が体になる条件 | 系 5.5 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| アーベル–ルフィニの定理 | 定理 6.2 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| アティヤ・シンガーの指数定理 | 定理 3.1 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| アティヤの L2-指数定理 | 定理 6.1 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| アトラス経由の両立性の伝播 | 補題 3.4 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| アルキメデスの原理 | 命題 5.4 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| アルキメデスの原理 | 定理 3.2 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| アルキメデスの原理（10 の冪の版） | 補題 3.6 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| イデアルの判定条件 | 命題 3.2 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| ウィーナーの存在定理 | 定理 5.2 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ヴィーラントの定理 | 定理 6.1 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| ウリゾーンの距離化定理 | 定理 7.2 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| ウリゾーンの補題 | 補題 6.1 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| エルミート行列の固有値と固有ベクトル | 補題 3.3 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| オイラー：素数の逆数和の発散 | 定理 5.2 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| オイラーの公式 | 定理 4.2 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| オイラーの公式 | 定理 4.1 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| オイラーの多面体公式 | 命題 3.1 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| オイラーの多面体定理 | 定理 5.5 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| オイラーの定理 | 定理 5.3 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| オイラーの定理とフェルマーの小定理 | 定理 7.3 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| オイラーの等式 | 系 4.2 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| オイラー積表示 | 定理 3.1 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理 | 定理 3.5 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| カルデロン・フェドソフの公式 | 命題 2.2 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| ガロアの可解性判定 | 定理 5.4 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| ガロア理論の基本定理 | 定理 4.1 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| カントール–シュレーダー–ベルンシュタインの定理 | 定理 3.5 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| カントールの定理 | 定理 7.1 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| ギャップラベル定理（非可換トーラスの場合） | 系 7.4 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| クラトフスキの閉包公理 | 定理 7.5 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| グラム・シュミットの直交化 | 定理 6.1 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| グルサの定理（三角形版） | 定理 4.5 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| グロタンディーク群の基本性質 | 命題 2.2 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| グロンウォールの不等式 | 補題 6.2 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| クンマー（1847） | 定理 3.2 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| ゲージ作用 | 命題 4.1 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| ゲルファント–ナイマルクの定理（可換な場合） | 定理 5.6 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| ゲルファント–マズールの定理 | 系 3.4 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| ゲルファント・ナイマルクの定理（一般） | 定理 4.6 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| ゲルファント・ナイマルクの定理（可換・単位的） | 定理 4.1 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| ゲルファント・マズールの定理 | 定理 8.7 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| ゲルファント表現 | 定理 5.4 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| ケンペ鎖の入れ替え | 補題 4.2 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| コーシー・シュワルツの不等式 | 定理 4.2 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| コーシー・リーマンの関係式（十分性） | 定理 5.1 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| コーシー・リーマンの関係式（必要性） | 定理 4.1 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| コーシーの根判定法 | 定理 6.1 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| コーシーの積分公式 | 定理 6.1 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| コーシーの積分公式（導関数版） | 定理 3.2 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形） | 定理 4.3 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| コーシーの積分判定法 | 定理 5.1 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| コーシーの評価式 | 命題 4.1 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| コーシーの平均値の定理 | 定理 3.6 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| コーシー型積分の微分 | 補題 3.1 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| コーシー列の基本性質 | 命題 7.2 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| コンヌ・モスコヴィッチの局所指数公式 | 定理 5.2 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| コンヌ：フレドホルム加群の指数定理 | 定理 4.8 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| コンヌ：可換な場合の周期巡回コホモロジー | 定理 4.2 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| コンヌの距離の基本性質 | 命題 5.2 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| コンヌの距離公式 | 定理 5.5 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| コンヌの再構成定理 | 定理 7.1 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| コンヌの跡定理（体積と積分の復元） | 定理 6.3 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| コンヌの測度付き葉層指数定理 | 定理 6.3 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相 | 系 6.5 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| コンパクトハウスドルフ空間は T4 | 定理 4.4 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| コンパクトレゾルベントとスペクトルの離散性 | 命題 3.3 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト | 定理 4.1 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| コンパクト集合の連続像はコンパクト | 定理 6.1 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| コンパクト性と連結性の代数的特徴づけ | 命題 4.5 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| シャムセディン・コンヌのスペクトル作用の漸近展開 | 定理 7.2 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| シュワルツの定理（偏微分の順序交換） | 定理 7.1 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| シュワルツの補題 | 補題 5.1 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| ジョルダン標準形の存在と一意性 | 定理 6.2 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| ストークスの定理 | 定理 6.1 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| スペクトルの指標による記述 | 補題 3.3 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| スペクトルの非空コンパクト性 | 定理 3.3 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| スペクトルの非空性 | 補題 8.5 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| スペクトル定理（エルミート行列） | 定理 4.2 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| スペクトル定理（正規行列） | 定理 8.1 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| スペクトル半径公式（ゲルファント–ベーリング） | 定理 3.6 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| スルツキーの定理 | 命題 6.1 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| ゼータ関数の有理型接続と単純極 | 定理 4.3 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| セール–スワンの定理 | 定理 4.1 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| ゼロに逆元を与えると全体が潰れる | 定理 4.1 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| ゼロの吸収律 | 補題 3.1 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| ダランベールの比判定法 | 定理 6.2 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| タルスキの真理定義不可能性 | 定理 4.4 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| ダルブーの定理 | 補題 7.5 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| ダルブーの判定法 | 命題 3.3 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| タワー・プロパティ | 定理 4.2 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| チェビシェフの不等式 | 系 6.2 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| チェビシェフ型の評価 | 命題 5.3 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| チャートの取り方によらない | 補題 5.2 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| チャート表示の取り替え | 補題 6.2 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| ディニの定理 | 定理 4.3 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| テイラーの定理（ラグランジュの剰余） | 定理 5.3 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| テイラー展開 | 定理 5.2 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| ディラック作用素に対するワイルの法則 | 定理 6.1 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| ディリクレのエータ関数 | 補題 4.2 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| ディリクレ関数はどの点でも不連続 | 命題 5.5 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| ディリクレ積分 | 定理 3.2 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| ド・モアブルの定理 | 定理 5.1 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| ド・モアブルの定理 | 命題 4.4 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| ド・モルガンの法則（集合族版） | 系 5.6 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| ド・モルガンの法則（集合版） | 定理 4.4 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| ド・モルガンの法則（命題論理版） | 補題 4.3 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| ドゥーブ・ディンキンの補題 | 補題 2.3 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| ドゥーブの任意停止定理 | 定理 4.3 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| どんな数の体系にも 0 の逆数はない | 系 4.2 | ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる |
| ノイマン級数 | 補題 3.2 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| バーゼル問題 | 定理 3.1 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| ハーディ・ラマヌジャンの漸近公式 | 定理 6.6 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| ハイネ・カントールの定理 | 定理 7.1 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| ハイネ・ボレルの定理 | 定理 5.2 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる | 定理 4.2 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| ハウスドルフ空間における極限の一意性 | 定理 3.5 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| はさみうちの原理 | 定理 4.3 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| ハッセの定理 | 定理 4.5 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| パラメータ付き広義積分の一様収束 | 補題 3.1 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| ファイバーは核の左剰余類 | 補題 4.3 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| ファトゥの補題 | 補題 6.1 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| フーリエ係数は元を決める | 系 4.4 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| フェルマー（n=4） | 定理 2.3 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| フェルマーの最終定理 | 系 6.4 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| フェルマーの最終定理 | 系 6.7 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| フェルマーの小定理 | 定理 5.1 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| フェルマーの補題 | 補題 2.5 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| フォン・コッホの同値定理 | 定理 6.3 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| フビニの定理（長方形上） | 定理 4.2 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| フライ曲線の不変量 | 命題 4.2 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| フライ曲線は半安定 | 命題 4.5 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| ブラウン運動から作られるマルチンゲール | 定理 6.1 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ブラウン運動のガウス過程による特徴づけ | 命題 5.5 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ブラウン運動の大数の法則 | 系 5.7 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ブラウン運動の二次変分 | 定理 5.8 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ブラウン運動の二次変分 | 定理 3.1 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| ブラウン運動の不変性 | 命題 5.6 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ブラック・ショールズ方程式 | 命題 7.1 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| ベーリング・ゲルファントのスペクトル半径公式 | 補題 8.9 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| べき集合の元の個数 | 定理 3.8 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| ベクトル空間の初等的性質 | 命題 3.2 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| ベクトル場の滑らかさの判定 | 命題 3.2 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| ベズーの等式 | 定理 2.2 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| ベズーの等式 | 補題 2.4 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| ヘッセ行列による極値判定 | 定理 8.2 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| ベリー・エセーンの定理 | 定理 5.8 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| ヘルダーの不等式 | 定理 4.2 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| ボールウェインの定理 | 定理 5.1 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| ボールウェイン積分の確率表示 | 系 4.5 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| ボット周期性 | 定理 7.1 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 | 定理 6.3 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 | 補題 2.2 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| ボレル–カンテリの補題（第一） | 補題 6.5 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| ボレル・カンテリの補題（第一） | 補題 4.4 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| マッキーン・シンガーの公式 | 命題 3.5 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| マルコフ・チェビシェフの不等式 | 命題 3.5 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| マルコフの不等式 | 定理 6.1 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| マルチンゲールの基本性質 | 命題 3.2 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| マルチンゲール変換の不変性 | 定理 3.7 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| ミンコフスキーの不等式 | 定理 4.5 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| メビウス変換の基本性質 | 命題 4.2 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| モーデル・ヴェイユの定理 | 定理 4.1 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| モジュラー性定理（谷山・志村予想） | 定理 6.1 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| モジュラー性定理（谷山・志村予想） | 定理 5.3 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| モレラの定理 | 定理 3.6 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| ヤコビ行列の形 | 命題 5.6 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| ヤングの不等式 | 補題 4.1 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| ユークリッドの定理 | 定理 4.4 | 数学はなぜ難しいのか：抽象・論理・積み重ねという三つの壁 |
| ユークリッドの定理 | 定理 3.2 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| ユークリッドの補題 | 補題 2.3 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| ユークリッドの補題 | 補題 4.1 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する | 定理 9.4 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| ユニタリ行列の特徴づけ | 命題 3.2 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| ライプニッツの交項級数判定法 | 定理 7.3 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| ラグランジュの定理 | 定理 6.1 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| ラグランジュの定理の逆の反例 | 命題 8.1 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| ラグランジュの平均値の定理 | 定理 3.3 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| ラドン・ニコディムの定理 | 定理 2.1 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| ラマヌジャンの円周率級数 | 定理 6.2 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| リース–フィッシャーの定理 | 定理 5.3 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| リーマンの可積分条件 | 定理 3.4 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| リーマンの関数等式 | 定理 4.5 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| リーマンの再配列定理 | 定理 7.6 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| リーマンの写像定理 | 定理 6.1 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| リーマンの除去可能特異点定理 | 命題 6.3 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| リーマンの除去可能特異点定理 | 定理 3.3 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| リーマン可積分性のルベーグの判定条件 | 定理 8.2 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合 | 定理 8.1 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| リーマン積分可能性のルベーグの判定条件 | 定理 6.3 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| リー群のリー環 | 定理 5.5 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| リプシッツ関数の滑らかな近似 | 補題 5.4 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| リベットのレベル下げ定理（必要な特別な場合） | 定理 6.2 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| リューヴィルの定理 | 定理 4.2 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| ルベーグの優収束定理 | 定理 7.3 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| ルベーグ測度の完全加法性 | 系 4.6 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| レイリー商の最大・最小 | 定理 7.1 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| レヴィの連続性定理 | 定理 5.2 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| ローラン展開 | 定理 6.1 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| ロピタルの定理（0/0 型・右側極限） | 定理 4.1 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| ロルの定理 | 定理 3.1 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| ワイエルシュトラスの M 判定法 | 系 6.4 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| ワイルズ（1995） | 定理 6.4 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| 伊藤の公式 | 定理 5.2 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 伊藤積分の存在と基本性質 | 定理 4.6 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 伊藤等長性（単純過程の場合） | 定理 4.3 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 位数による冪の判定 | 定理 6.3 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 位数の分解 | 系 5.2 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 位数公式 | 定理 5.3 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| 位相的 K-群の標準形 | 系 3.3 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| 位相的連続性と ε-δ 連続性の一致 | 定理 4.1 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 異なる固有値の固有ベクトルは一次独立 | 補題 3.3 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 維持戦略の勝率 | 命題 3.1 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 一次変換による面積の拡大率 | 命題 6.1 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 一次方程式の可解性 | 命題 7.1 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| 一致の定理 | 定理 7.3 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 一般項の必要条件 | 命題 3.4 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 一筆書きの必要条件 | 命題 5.2 | オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人 |
| 一様収束する級数の項別積分 | 補題 2.2 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 一様収束のコーシー判定法 | 定理 6.2 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 一様収束の上限判定法 | 命題 3.4 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 一様収束極限の連続性 | 定理 4.1 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 一様連続関数の連続拡張 | 系 7.2 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 一様連続性の基本性質 | 命題 6.2 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 因子を 1 つ増やすことは移動平均すること | 定理 4.4 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 右半平面での非零性 | 系 3.2 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| 円円対応 | 定理 4.3 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| 演算表はラテン方陣 | 系 3.3 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 加法公式 | 命題 3.2 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| 可解条件と解の個数 | 定理 8.4 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 可測関数の閉包性 | 命題 3.4 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 可測集合族の構造 | 定理 4.4 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| 可測性の同値な言い換え | 命題 3.2 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 解の存在と一意性 | 定理 6.3 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 解集合の構造 | 命題 6.1 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 開基による連続性の判定 | 補題 3.4 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 開球は開集合 | 命題 3.2 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 開集合の連結性と折れ線連結性 | 命題 6.3 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい | 定理 8.2 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 外積代数の基本性質 | 定理 5.3 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 外測度の基本性質 | 命題 3.2 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| 外測度零の集合は可測 | 命題 4.3 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| 外微分の局所性 | 補題 6.3 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 外微分の存在と一意性 | 定理 6.2 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 核と像の基本性質 | 命題 4.2 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 核と像の基本性質 | 命題 7.2 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 確率空間では L² ⊂ L¹ | 命題 5.2 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 確率測度の基本性質 | 定理 4.2 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 確率変数の演算に関する閉性 | 命題 3.4 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 滑らかなレトラクションの非存在 | 定理 8.1 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| 完全帰納法 | 定理 4.3 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 完全性から決定可能性へ | 命題 3.3 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| 環の基本計算則 | 命題 3.3 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 環の準同型定理（第一同型定理） | 定理 5.1 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 環準同型の核 | 命題 7.2 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 関係式の複素形 | 命題 4.5 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 含意の言い換え | 命題 2.4 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 基底から位相を作る | 命題 5.2 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 基底による表示の一意性 | 命題 5.2 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 基本関数の導関数 | 定理 5.4 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 基本行変形の三つの性質 | 補題 7.2 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 基本変形と行列式 | 命題 4.3 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 奇フレドホルム加群の指数公式 | 定理 4.6 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| 奇数が 2 個以下の巡回 | 定理 5.2 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 幾何学的重複度は代数的重複度以下 | 定理 6.2 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 幾何的重複度は代数的重複度を超えない | 命題 3.6 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 既知量の取り出し | 定理 4.4 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 既約分数表示の存在 | 補題 7.3 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 逆関数の微分法 | 命題 8.1 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 級数のコーシーの判定条件 | 定理 3.6 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 距離空間では相異なる 2 点が分離できる | 命題 3.5 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 距離空間の開集合族の性質 | 定理 3.3 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 距離空間の閉包と点列 | 系 6.5 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 距離空間は T4 | 定理 5.2 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| 共通点をもつ連結集合の合併 | 命題 5.3 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 共分散に対するコーシー・シュワルツの不等式 | 定理 5.6 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 共変と反変 | 命題 4.3 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 共役と絶対値の基本法則 | 命題 3.2 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 境界は 1 次元低い多様体 | 命題 4.3 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| 曲線による記述 | 命題 7.3 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 極における留数の計算法 | 命題 4.2 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 極の特徴づけ | 命題 3.4 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 極限の一意性 | 定理 3.5 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 極限の四則 | 定理 4.2 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 極限比較判定法 | 系 4.3 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 極座標のコーシー・リーマンの関係式 | 補題 6.8 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 極大アトラスの存在と一意性 | 命題 3.5 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| 極大イデアルと体 | 定理 6.3 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 極大イデアルは素イデアル | 系 6.4 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 極大イデアルは閉集合である | 補題 8.8 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 近い射影は同値 | 補題 5.2 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| 区間・開集合・ボレル集合の可測性 | 定理 5.1 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| 区間の外測度 | 命題 3.4 | 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る |
| 区間縮小法 | 補題 2.1 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 空集合の基本性質 | 命題 3.6 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 群の基本性質 | 命題 3.2 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 桁ずらしの論証 | 命題 3.4 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 元の位数と巡回部分群の大きさ | 命題 4.2 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| 元の位数は群の位数を割る | 系 7.1 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| 固有空間の和は直和 | 系 5.3 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 固有値の総和と総積 | 系 4.5 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 固有値の存在 | 系 4.6 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 固有値の判定条件 | 命題 3.3 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 弧状連結ならば連結 | 定理 7.3 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 五色定理 | 定理 4.3 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| 互いに素性は自動的に伝播する | 補題 3.2 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| 交叉積としての実現 | 命題 3.3 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 勾配は最急上昇方向を指す | 命題 5.4 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ | 命題 3.2 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| 恒等写像と合成写像の連続性 | 命題 3.5 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 行列群のブラケットは交換子 | 命題 5.6 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 行列群の指数写像は行列指数関数 | 定理 6.2 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 行列指数関数の基本性質 | 補題 8.5 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 行列式の特徴づけ | 定理 4.2 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 項別積分（極限と積分の交換） | 定理 5.2 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 項別微分（極限と微分の交換） | 定理 7.3 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 高々可算集合の可算和 | 命題 5.7 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 合成関数の連続性 | 定理 5.3 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 合同式の四則 | 命題 3.3 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| 根基の基本性質 | 命題 2.3 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| 根号で解けない具体的な 5 次方程式 | 系 6.6 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| 左移動による等質性 | 命題 3.4 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 左剰余類の基本性質 | 命題 2.2 | 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 |
| 左剰余類の基本性質 | 補題 5.2 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| 左単位元と左逆元だけで十分 | 命題 7.5 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 左不変ベクトル場と接空間の対応 | 命題 5.2 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 座標同型と、基底による線形写像の決定 | 命題 2.1 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 座標微分は双対基底 | 命題 4.2 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 最小の約数は素数 | 補題 3.1 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| 最大値・最小値の定理 | 定理 2.3 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| 最大値・最小値の定理 | 系 6.2 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理） | 定理 4.2 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 最良近似 | 定理 7.2 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 細分による単調性 | 補題 2.3 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 細胞の個数を階数で数える | 命題 6.4 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 三つの接空間の同値性 | 定理 6.1 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 三角関数の基本極限 | 補題 5.1 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 三角関数の正則性と基本性質 | 命題 6.5 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 三角不等式 | 定理 3.4 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 三角不等式 | 系 4.3 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 算術の基本定理 | 定理 4.2 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| 司会者の行動を見たあとの確率 | 定理 4.1 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 四色定理 | 定理 5.1 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| 指数 1 では成り立たない | 命題 3.5 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| 指数の還元 | 命題 2.2 | フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年 |
| 指数関数の基本極限 | 補題 5.3 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 指数関数は整関数 | 命題 6.3 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 指数関数への収束 | 補題 5.5 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 指数写像は原点の近くで微分同相 | 定理 6.4 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 指数法則 | 補題 4.1 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 指標の基本性質 | 補題 5.2 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| 指標の基本性質 | 補題 3.2 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 止めた過程もマルチンゲール | 補題 4.2 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| 次元の一意性 | 定理 5.5 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 次元の一意性 | 命題 3.7 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| 次元定理 | 定理 8.3 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 次元定理 | 定理 7.3 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 次数の連鎖律 | 命題 2.3 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| 自己同型は根を置換する | 補題 3.2 | ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める |
| 自然な射影 | 命題 5.2 | 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 |
| 自然数の対の全体は可算 | 補題 5.3 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 自明な零点 | 命題 5.1 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| 実数に無限小はない | 系 5.2 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 実数の完備性（コーシーの収束判定法） | 定理 7.3 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 実数全体は非可算（カントールの対角線論法） | 定理 6.3 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 実対称行列のスペクトル定理 | 定理 5.2 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 実対称行列の固有値と固有ベクトル | 補題 5.1 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 実対称行列の直交対角化 | 系 4.3 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| 実部・虚部は調和関数 | 系 5.7 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 実部と虚部への分解 | 命題 2.2 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 写像の合成の結合法則 | 命題 2.2 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 主軸定理と正定値性の判定 | 定理 6.3 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| 取り替え補題 | 補題 5.4 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 収束すれば局所有界 | 補題 4.1 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 収束概念の含意 | 定理 3.6 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 収束半径と特異点の距離 | 系 5.3 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 集合の相等は二重包含 | 命題 3.4 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 集合までの距離 | 補題 5.1 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| 縦線集合上の累次積分 | 定理 5.4 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 重積分の変数変換公式 | 定理 6.3 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 縮小補題 | 補題 4.3 | 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 |
| 出発点：因子が 1 個のときは箱型関数 | 補題 4.3 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 準同型の基本性質 | 命題 3.3 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 準同型の分解定理（商群の普遍性） | 定理 7.1 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 準同型定理（第一同型定理） | 定理 5.1 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 巡回は奇数を含む | 補題 5.1 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 巡回群の構造 | 命題 6.5 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 除法の原理 | 定理 2.1 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| 除法の原理 | 補題 2.3 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| 商群 | 定理 5.1 | 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 |
| 商集合の普遍性 | 定理 5.1 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 小さい次数の頂点の存在 | 系 3.4 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| 小数展開の存在と、桁を制限したときの一意性 | 補題 6.1 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 小数展開の二重表現 | 定理 6.1 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 消去法則 | 命題 3.6 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理） | 定理 4.2 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 乗法定理・全確率の公式・ベイズの定理 | 定理 5.3 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 剰余環 | 定理 4.2 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 剰余類の加法と乗法は well-defined | 定理 5.4 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 剰余類の積が定まるための必要十分条件 | 定理 3.2 | 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 |
| 条件収束 | 命題 2.2 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 条件付きイェンセンの不等式 | 定理 4.6 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 条件付き確率は確率測度である | 命題 5.2 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 条件付き期待値の存在と一意性 | 定理 3.2 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 条件付き期待値は直交射影 | 定理 5.1 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 条件付き単調収束定理 | 補題 4.3 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 真理集合と論理の対応 | 命題 6.3 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 随伴の基本性質 | 命題 2.2 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| 数学的帰納法の原理 | 定理 3.2 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 数列による特徴づけ | 定理 4.5 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 整域と消去律 | 命題 4.4 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 整域の標数 | 命題 5.8 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 整数環と多項式環は単項イデアル整域 | 命題 7.2 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 整数部分の存在 | 補題 5.1 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 正の平方根の存在 | 命題 4.3 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 正規元のノルムはスペクトル半径に等しい | 命題 3.5 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 正規性の判定法 | 命題 4.2 | 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 |
| 正規直交基底による展開 | 定理 5.3 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 正規直交基底の存在 | 系 6.2 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 正項級数の収束と有界性 | 命題 4.1 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 正則関数の無限回微分可能性 | 系 3.3 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 正則関数は小さな部分で決まる | 系 7.4 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 正則写像の局所的な角度 | 定理 3.2 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| 正則性の特徴づけ | 定理 5.4 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 正則性の判定 | 定理 7.1 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 正則値定理 | 定理 4.1 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 生成 σ-加法族の存在と最小性 | 命題 3.4 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 生成系による可測性の判定 | 命題 3.2 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 積の結合法則 | 系 4.3 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 積の定理 | 定理 6.1 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 積は合成の表現行列 | 定理 4.2 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 積多様体 | 命題 5.1 | 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む |
| 積分の平均値の定理 | 命題 4.2 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 積分記号下の微分 | 系 7.4 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 積分路の変形定理 | 定理 5.1 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| 接バンドルは 2n 次元多様体である | 定理 8.2 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 絶対収束すれば収束する | 定理 7.2 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 絶対収束による完備性の判定 | 補題 5.2 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| 線形写像と行列の対応 | 定理 3.2 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 線形性・単調性・絶対値 | 命題 4.1 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 全微分可能性から出てくるもの | 命題 4.3 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| 素イデアルと整域 | 命題 6.2 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 素数の逆数和の発散 | 命題 3.4 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| 素数の無限性（オイラー） | 系 3.3 | リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する |
| 素数位数の群 | 系 7.2 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| 素数定理 | 定理 6.2 | 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ |
| 掃き出し法 | 定理 7.4 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 相異なる n 個の固有値をもつ行列 | 系 3.4 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 相異なる固有値に属する固有ベクトルの一次独立性 | 定理 5.2 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 相異なる二つの実数の間には別の実数がある | 定理 5.1 | 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える |
| 相関係数の範囲 | 系 5.7 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 相似不変量 | 命題 2.2 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 増分が有界な場合 | 系 4.4 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| 測度の下からの連続性 | 命題 2.1 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 測度の連続性と σ-加法性の特徴づけ | 定理 4.3 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 速度の一致はチャートによらない | 補題 3.1 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 存在と具体表現 | 命題 3.2 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 多項式環の次数・整域性・単元 | 定理 6.2 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 多項式関数と有理関数の連続性 | 系 5.2 | 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む |
| 多項式版フェルマーの最終定理 | 系 5.2 | ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式 |
| 楕円曲線の群構造 | 定理 3.3 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| 楕円型作用素のフレドホルム性 | 命題 2.4 | 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ |
| 体からの環準同型は単射 | 定理 7.5 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 体は整域 | 定理 5.2 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 対角化と固有基底 | 定理 3.2 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 対角化可能性の判定 | 定理 3.7 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 対角化可能性の判定 | 定理 6.4 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 対角化補題（不動点補題） | 補題 4.3 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| 対角形による関数計算 | 命題 4.1 | 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す |
| 対偶の同値性 | 命題 6.1 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 対称群 | 定理 5.1 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 対称群の位数と非可換性 | 定理 5.3 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 対数の主枝の正則性 | 定理 6.9 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 対等の基本性質 | 命題 3.2 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 代数学の基本定理 | 定理 4.3 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 大域的な導分と芽の導分は一致する | 命題 5.6 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 大円弧の寄与が消える条件 | 補題 6.1 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 大数の強法則（コルモゴロフ） | 定理 4.5 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 大数の弱法則 | 定理 4.1 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 第一不完全性定理（ゲーデル、1931 年） | 定理 5.1 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| 第三同型定理 | 系 7.2 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 第二不完全性定理（ゲーデル、1931 年） | 定理 6.1 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| 単位円板の自己同型群 | 定理 5.3 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| 単関数が定める測度 | 補題 4.3 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 単関数の期待値の well-defined 性 | 補題 4.2 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 単関数の積分の基本性質 | 補題 4.2 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 単関数近似定理 | 定理 3.7 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 単元を含むイデアル | 補題 3.3 | イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 |
| 単元群 | 命題 4.2 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 単射性の判定 | 命題 4.4 | 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み |
| 単純過程の稠密性 | 補題 4.4 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 単純極まわりの小円弧（くぼみ補題） | 補題 8.3 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 単調収束定理 | 定理 2.1 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理） | 定理 5.2 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 単調部分列の補題 | 補題 6.2 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 単調有界定理 | 定理 2.1 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 誕生日の問題 | 命題 6.2 | 数学はなぜ難しいのか：抽象・論理・積み重ねという三つの壁 |
| 置換積分 | 定理 6.1 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 中間値の定理 | 定理 5.1 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 中間値の定理 | 定理 6.1 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 中国剰余定理 | 定理 4.8 | 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する |
| 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ） | 定理 5.6 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 調和性は正則写像で保たれる | 命題 7.1 | 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 |
| 超越数の存在 | 系 6.4 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 直交系は一次独立 | 命題 5.2 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 直交分解定理 | 定理 7.1 | 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む |
| 低い重さの空間 | 系 5.5 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| 停止時間による言い換え | 定理 4.5 | コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題 |
| 定積分の基本性質 | 命題 4.1 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 定理の枚挙 | 補題 3.2 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| 貼り合わせ補題 | 補題 7.2 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 転置不変性と三角行列 | 命題 3.3 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 点における必要十分条件 | 系 5.2 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 点は指標である | 系 4.3 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 等比級数 | 命題 6.2 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| 同相であることは同値関係 | 命題 5.4 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 同相と *-同型の同値 | 系 4.4 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 同値関係と分割の対応 | 定理 4.4 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 同値類の基本性質 | 補題 4.2 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 導関数が消えれば定数 | 命題 5.8 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 導関数の符号と単調性 | 系 3.4 | 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する |
| 導分の基本性質 | 命題 5.2 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 導分の空間の基底 | 定理 5.4 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 導分は定数を消す | 補題 5.2 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 道は有界変動でない | 系 5.9 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| 道は有界変動でない | 系 3.2 | 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか |
| 特性関数の 2 次展開 | 補題 5.4 | 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか |
| 特性多項式と固有空間の相似不変性 | 定理 4.4 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 特性多項式の次数と係数 | 命題 4.3 | 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す |
| 独立ならば条件づけは無意味 | 命題 4.5 | 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する |
| 独立な可積分確率変数の積の期待値 | 命題 7.5 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 独立性は補集合を取っても保たれる | 命題 6.2 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |
| 内部と閉包の基本性質 | 定理 6.4 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 任意の写像は全射と単射に分解する | 系 5.3 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 任意停止定理（連続時間版） | 定理 6.2 | マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ |
| 背理法の正当性 | 命題 6.2 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 半直線による判定 | 系 3.3 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 比較判定法 | 定理 4.2 | 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 |
| 非可換トーラスの K 群とトレースの像 | 定理 6.1 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 非可換トーラスのスペクトル三つ組 | 定理 5.3 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 非特異性の判定 | 命題 2.2 | 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道 |
| 非負可測関数の積分の線型性と項別積分 | 系 5.3 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 微分の行列表示はヤコビ行列 | 命題 7.6 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 微分の線形性・積の法則・商の法則 | 定理 6.1 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 微分は線形写像である | 命題 7.2 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 微分可能ならば連続 | 定理 3.4 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 微分可能性と一次近似 | 定理 4.1 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 微分積分学の基本定理（第一部） | 定理 5.2 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式） | 定理 5.4 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 微分同相の微分は同型 | 系 7.5 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 標準トレースは単位体積あたりのトレース | 命題 7.3 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 標準トレースは忠実なトレース状態 | 定理 4.3 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 標準近似列 | 命題 4.4 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 標準的スペクトル三つ組 | 命題 4.2 | スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する |
| 表現行列の変換則 | 定理 5.2 | 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 |
| 不変部分空間の直交補空間 | 補題 4.1 | スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか |
| 不連続性による非一様収束の判定 | 系 4.2 | 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか |
| 符号の基本性質 | 補題 2.2 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 符号付きディリクレ積分 | 系 3.3 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 部分空間のコンパクト性の判定 | 補題 3.3 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| 部分空間の判定条件 | 命題 4.2 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 部分群の判定法 | 命題 3.3 | 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか |
| 部分積分 | 定理 6.2 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 複素数の n 乗根 | 定理 5.4 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 複素数体の基本性質 | 定理 2.2 | 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか |
| 複素線積分に対するグリーンの公式 | 補題 4.2 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| 複素線積分に対する微積分の基本定理 | 定理 3.2 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| 複素線積分の基本性質 | 命題 2.3 | コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる |
| 複素微分の演算法則 | 定理 3.5 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 複素微分可能なら連続 | 命題 3.4 | 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか |
| 分散と共分散の基本性質 | 命題 5.3 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 分数の同値関係 | 命題 6.1 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 分配法則 | 定理 4.2 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 分布は確率測度であり、分布関数がそれを決める | 命題 3.6 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 平方が偶数なら元も偶数 | 補題 7.4 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 平方根 2 の無理性 | 定理 7.5 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 平方数でない自然数の平方根 | 系 7.7 | 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか |
| 平面グラフの辺数の上界 | 補題 3.3 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| 閉だが完全でない形式の存在 | 系 6.6 | ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分 |
| 閉集合族の性質 | 命題 4.3 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 閉多様体上での消滅 | 系 6.2 | ストークスの定理：微分と境界の双対性 |
| 閉直方体はコンパクト | 補題 5.1 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| 偏りのある司会者 | 命題 5.1 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 変換則は同値関係を定める | 命題 4.2 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 変更して損をすることはない | 系 5.2 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 変更戦略の勝率 | 定理 3.2 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 変数変換公式 | 定理 4.5 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 補束の存在 | 補題 3.2 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| 法 n の合同は同値関係 | 命題 3.4 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 無知な司会者なら五分五分 | 命題 5.4 | モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか |
| 無理数の稠密性 | 系 5.3 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 無理数回転環の単純性と一意トレース | 命題 5.4 | 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」 |
| 無理数回転代数の単純性と一意トレース | 定理 4.5 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 無理数回転代数の分類 | 系 6.3 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 有界性定理 | 定理 4.1 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 有限群の元は有限位数 | 命題 6.2 | 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 |
| 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ | 命題 4.5 | コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 |
| 有限次元での単射・全射・全単射の一致 | 系 7.5 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 有限次元空間の基本性質 | 命題 5.7 | ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで |
| 有限整域は体 | 定理 5.3 | 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する |
| 有限測度空間における包含関係 | 系 4.3 | L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで |
| 有理関数の広義積分 | 命題 6.2 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 有理数の稠密性 | 命題 5.5 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| 有理数の稠密性 | 定理 5.2 | 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 |
| 有理数全体は可算無限 | 定理 5.5 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 有理数体は上限性質を満たさない | 定理 4.5 | 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか |
| 余因子行列の基本関係式 | 命題 5.4 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 余因子展開（ラプラス展開） | 定理 5.2 | 行列式とその性質：符号付き体積としての det |
| 余弦因子を掛けた版 | 命題 6.1 | ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由 |
| 葉空間の位相は密着位相 | 命題 1.1 | 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」 |
| 離散型・連続型の計算公式 | 系 4.6 | 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値 |
| 留数定理 | 定理 5.1 | 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで |
| 量化子の否定 | 定理 5.3 | 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする |
| 零ベクトルを除いた平行関係 | 命題 3.6 | 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） |
| 零集合は積分に影響しない | 命題 6.4 | ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する |
| 零点の孤立性 | 補題 7.2 | 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで |
| 連結だが弧状連結でない空間 | 命題 8.2 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連結リー群は指数写像の像で生成される | 系 6.5 | リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する |
| 連結集合の閉包も連結 | 命題 5.4 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連結集合の連続像 | 定理 5.1 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連結性の特徴づけ | 命題 3.1 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連結性は位相的性質 | 系 6.3 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 連結性は位相不変量 | 系 5.2 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連結性は連続全射で保たれる | 定理 6.2 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 連結成分の基本性質 | 命題 9.2 | 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する |
| 連鎖律 | 定理 7.2 | 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで |
| 連鎖律 | 定理 7.4 | 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀 |
| 連鎖律（曲線に沿った微分） | 定理 6.1 | 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである |
| 連続関数に対するフビニの定理 | 系 4.3 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 連続関数のグラフは面積 0 | 補題 5.2 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 連続関数の可積分性 | 定理 3.4 | 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する |
| 連続関数の可積分性と区分求積法 | 定理 3.5 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 連続関数は原始関数をもつ | 系 5.3 | 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ |
| 連続関数計算 | 系 6.2 | C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現 |
| 連続性の開集合による特徴づけ | 命題 3.6 | 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る |
| 連続性の点列による特徴づけ | 命題 3.2 | 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか |
| 連続性の同値条件 | 定理 3.3 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 連続全単射が同相になるための条件 | 命題 5.3 | 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す |
| 連続体濃度は自然数の冪集合の濃度 | 命題 6.6 | 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 |
| 六項完全系列 | 系 7.3 | K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相 |
| 六色定理 | 定理 3.5 | 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明 |
| Π₁ 文が反証できないなら、それは真である | 命題 8.1 | ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか |
| σ-加法族が閉じている演算 | 命題 3.2 | 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する |