級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束

0. この記事の要点

• 無限級数の「和」は、有限和である部分和 $S_N = a_1 + \cdots + a_N$ の数列としての極限で定義します。級数の問題はすべて数列の収束の問題に翻訳されます。
• 正項級数（すべての項が $0$ 以上）については「収束することと部分和が上に有界であることが同値」という一つの原理があり、比較判定法・積分判定法・比判定法・根判定法はいずれもその言い換えです。
• ダランベールの比判定法とコーシーの根判定法はどちらも「等比級数と比べる」道具ですが、根判定法のほうが真に強い。比判定法が結論を出せないのに根判定法が出せる例があります。
• 絶対収束すれば収束します。逆は成り立たず、その差が条件収束です。
• 条件収束する級数は、項の順序を変えると和が変わります（リーマンの再配列定理）。無限和は有限和の単なる延長ではありません。

1. 動機：無限個の数を足すとはどういうことか

有限個の数の足し算に説明は要りません。しかし $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ のように項が無限に続くとき、「足した結果」とは何を指すのでしょうか。実際に無限回の加法を行うことはできませんから、これは定義しなければ意味を持たない言葉です。

このことが真剣に問題になった例を挙げます。$18$ 世紀に議論されたグランディ級数

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$$

を考えます。括弧を $(1-1) + (1-1) + \cdots$ と付ければ $0$ ですが、$1 + (-1+1) + (-1+1) + \cdots$ と付ければ $1$ です。和を $S$ と書いて $S = 1 - S$ を解けば $S = \frac12$ になります。どれももっともらしく、どれも決定的でない。同じ時期にオイラーは $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ に等比級数の公式 $\frac{1}{1-r}$ を $r = 2$ で当てはめて $-1$ という値を割り当てています。

こうした混乱は「無限和とは何か」が決まっていなかったことに由来します。コーシーは 1821 年の『解析教程』で、無限和を部分和の極限として定義しました。この定義のもとではグランディ級数の部分和は $1, 0, 1, 0, \ldots$ と振動して極限を持たないので、答えは「和は存在しない（発散する）」です。曖昧さは消えます。

定義が決まると、次の問いは実際的なものになります。与えられた級数は収束するのか。 和の値そのものは初等関数で表せないことが多い一方、収束するかどうかは判定できることが多い。テイラー展開がどの範囲の $x$ で使えるか（平均値の定理とテイラーの定理 の テイラーの定理（定理 5.3）［平均値の定理とテイラーの定理］）、数値計算で何項まで足せば必要な精度が出るか。どちらもこの判定の問題です。この記事はその道具立てを、証明を省かずに組み立てます。なお $0.999\ldots = 1$ のような無限小数の等式も級数の収束の話です（数とは何か？ の 1 = 0.999…（定理 6.3）［数とは何か］）。

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