数学はなぜ難しいのか：抽象・論理・積み重ねという三つの壁

0. この記事の要点

• 数学の難しさは、才能の有無ではなく、科目の構造から来ています。原因は大きく三つ、(1) 抽象度が高い、(2) 厳密な論理が要求される、(3) 積み重ねの学問である、に分けられます。
• 抽象化は難しさの原因であると同時に、最強の武器でもあります。「時計」と「回転」と「曜日」を同じものとして扱えるようになると、一つの計算で三つの問題が解けます。
• 数学の「だから」は、日常の「だから」と別物です。日常では反例が一つあっても主張は生き残りますが、数学では反例が一つで即死します。この非対称性が、証明という面倒な手続きを必要にしています。
• 積み重ねの学問なので、いま解けない問題の原因は、いま読んでいるページにないことが多いです。つまずきの真の位置を探すことが、数学の勉強では独立したスキルになります。
• 日常の直感は数学ではよく外れます。しかし解決策は「直感を捨てる」ことではなく、「数学用の直感を新しく育てる」ことです。「わかった」という瞬間は、まさにその新しい直感が立ち上がった瞬間です。

1. 動機：「数学だけができない」という体験

歴史の年号は覚えられるのに、英単語は増えていくのに、数学だけが伸びない。そういう経験をした人はとても多いはずです。しかも数学の落ち込み方には独特の癖があります。ある日突然わからなくなり、そこから先が全部わからなくなる。国語で「第 3 章がわからないので第 4 章以降が一切読めません」ということは滅多に起きませんが、数学ではふつうに起きます。

ここで、よくある説明を一つ却下しておきます。「数学ができないのは数学的才能がないからだ」という説明です。これは説明としては空虚です。「なぜ走るのが遅いのか」に「足が遅いから」と答えているのと同じで、何も新しいことを言っていません。しかも実務的に役に立ちません。才能が原因なら打つ手がないからです。

代わりにこの記事では、数学という科目そのものの構造に難しさの原因を探します。原因が構造にあるなら、構造に合わせた対処ができます。以下では難しさを三つに分解し、それぞれについて「なぜそれが難しいのか」「なぜ数学はその難しさを引き受けているのか」を具体例で見ていきます。最後に、それだけの代償を払ってでも人が数学をやる理由、つまり「わかる」瞬間と美しさの話をします。

ノート

この記事は高校生でも読めるように書いていますが、扱う例は本物です。無理数の証明も、素数が無限にあることの証明も、教科書に載っているものと同じ論法を、行間を埋めて書いてあります。

2. 準備：「難しい」を三つに分解する

「数学は難しい」という一文には、実は性質の違う三つの困難が混ざっています。分けて名前を付けておきます。

困難の種類	何が起きているか	典型的な症状
抽象度	対象が目に見えない。文字・集合・写像といった「何でもないもの」を扱う	「$x$ って結局何なんですか」「これは何の役に立つんですか」
論理の厳密さ	「だいたい正しい」が許されない。全称・存在・否定を正確に扱う必要がある	「答えは合っているのに減点された」「証明の書き方がわからない」
積み重ね	前提が一つ欠けると、その先が全部止まる	「途中から急にわからなくなった」「教科書のこのページだけ何度読んでも進まない」

この三つは互いに独立です。抽象に強くても論理が雑な人はいますし、論理は正確でも土台に穴がある人もいます。自分がどれで詰まっているかを見分けられれば、対処はかなり具体的になります。§3 から §5 で順に見ていきます。

3. 第一の壁：抽象度が高い

3.1. 抽象化とは何をする作業か

数学の抽象化は、難しくしようとしてやっているわけではありません。複数の問題に共通する部分だけを残し、残りを捨てるという作業です。

定義 3.1（抽象化）

いくつかの具体的な対象 $A_1, A_2, \ldots, A_k$ について、それぞれで成り立つ性質のうち共通するものだけを取り出して条件 $P$ とし、以後は「$P$ を満たすもの」だけを対象として議論することを、抽象化といいます。このとき $A_1, \ldots, A_k$ で成り立っていた個別の性質のうち $P$ に含まれないものは、意図的に忘れます。

「意図的に忘れる」というのが要点です。忘れた瞬間に、証明した結果は $A_1, \ldots, A_k$ だけでなく、まだ知らない対象にも自動的に適用できるようになります。抽象化は情報を捨てる代わりに適用範囲を買う取引です。

そして、まさにこの「忘れる」が難しさの正体です。人間の頭は具体的なものを扱うようにできています。「りんごが 3 個」は簡単ですが、「$x$ 個」と言われた瞬間に手掛かりが消えます。手掛かりが消えたところで論理だけを頼りに歩けというのが、数学の要求です。

3.2. 具体例：時計と回転と曜日は同じもの

定義 3.2（合同（時計算術））

整数 $a, b$ と正の整数 $n$ について、$a - b$ が $n$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ は $n$ を法として合同であるといい、

$$a \equiv b \pmod{n}$$

と書きます。

例 3.3（三つの問題が一つになる）

次の三つの問題を考えます。

1. いま 9 時です。20 時間後は何時ですか。
2. 針が真上を向いています。時計回りに $30°$ ずつ 17 回まわすと、どちらを向きますか。
3. 今日は水曜日です。100 日後は何曜日ですか。

一見すると、時刻の問題、角度の問題、曜日の問題で、別々です。しかし「一周したら元に戻る」という一点だけを残して他を忘れると、三つとも同じ計算になります。

1 は $9 + 20 = 29 \equiv 5 \pmod{12}$ なので 5 時です。$29 - 5 = 24$ は $12$ で割り切れます。 2 は $30° \times 17 = 510°$ で、$510 = 360 + 150$ より $510 \equiv 150 \pmod{360}$、つまり真上から時計回りに $150°$ の向きです。 3 は $100 = 7 \times 14 + 2$ より $100 \equiv 2 \pmod 7$ なので、水曜日の 2 日後で金曜日です。

三つとも「割った余り」だけを見ています。定義 3.2 を一度作っておけば、この形の問題は一生分まとめて片が付きます。

3.3. 抽象化が具体的な問題を殺す例

抽象化は「役に立たない一般論」ではありません。適切に抽象化すると、力ずくでは絶対に終わらない問題が一瞬で終わります。

命題 3.4

$8 \times 8$ のチェス盤から、対角線上の向かい合う 2 つの隅のマス（例えば左上と右下）を取り除きます。残った 62 マスを、$1 \times 2$ の大きさのドミノ 31 枚で、重なりも隙間もなく敷き詰めることはできません。

証明（命題 3.4）

チェス盤は白と黒が交互に塗られており、$8 \times 8$ の盤には白 32 マス、黒 32 マスがあります。

まず、対角線上の向かい合う隅同士は同じ色です。マスの位置を $(i, j)$（$i, j$ は $1$ から $8$）で表すと、$i + j$ が偶数か奇数かで色が決まります。左上は $(1,1)$ で $i + j = 2$、右下は $(8,8)$ で $i + j = 16$ となり、どちらも偶数なので同じ色です。仮にこれを黒としましょう。すると取り除いた後の盤には、白が 32 マス、黒が $32 - 2 = 30$ マス残ります。

次に、$1 \times 2$ のドミノは、盤上でどう置いても縦か横に隣り合う 2 マスを覆います。隣り合うマスは $i + j$ の偶奇が必ず入れ替わるので、ドミノ 1 枚は必ず白 1 マスと黒 1 マスを覆います。

したがってドミノ 31 枚を置くと、覆われるのは白 31 マスと黒 31 マスです。ところが盤に残っている黒は 30 マスしかありません。31 枚を置けば黒を 31 マス覆わねばならず、これは不可能です。よって敷き詰めはできません。

∎

この証明では、盤の形も、ドミノの置き方の場合の数も、一切数えていません。「色」という一つの量だけを残して、他を全部忘れたからです。もし忘れずに力ずくでやろうとすると、$1 \times 2$ のドミノを 62 マスに置く場合の数は膨大で、手作業ではまず終わりません。

注意 3.5

抽象化の難しさは、「何を残して何を忘れるか」が問題ごとに違い、しかも事前には教えてもらえないことにあります。命題 3.4 で「色を見る」と気づくのは、初見ではほぼ無理です。だから数学の勉強では、証明を読んだあとに「この証明は何を捨てたのか」を一言で言い直す練習が効きます。捨てたものの名前を覚えておくと、次に似た形が来たときに引き出せます。

4. 第二の壁：厳密な論理が要求される

4.1. 日常の「だから」と数学の「だから」

日常会話の推論は、反例に対して驚くほど頑丈です。「夏は暑い」に対して「去年の 8 月に涼しい日がありました」と言われても、誰も「夏は暑い」を撤回しません。日常の主張は暗黙に「だいたい」「たいてい」を含んでいるからです。

数学はこの寛容さを捨てました。

定義 4.1（証明）

主張 $P$ の証明とは、すでに正しいと認められている事柄（定義・公理・既に証明された定理）だけを出発点とし、論理の規則だけを使って $P$ に至る有限個のステップの列のことです。途中に「たいてい成り立つ」「たぶん大丈夫」というステップを含めてはいけません。

この定義の代償は大きいです。証明は長くなり、面倒になり、初学者には「なぜそこまでやるのか」がわかりません。しかし見返りもあります。証明された主張は、未来にどんな例が現れても絶対に覆らないのです。実験科学の結論は新しい観測で更新されますが、$\sqrt{2}$ が無理数であることは 2500 年前から一度も更新されていません。

4.2. 「1000 個確かめた」では足りないという例

例 4.2（40 回当たって 41 回目に外れる公式）

$n$ を $0$ 以上の整数として、$f(n) = n^2 + n + 41$ とします。値を計算してみます。

$f(0) = 41$、$f(1) = 43$、$f(2) = 47$、$f(3) = 53$、$f(4) = 61$、$f(5) = 71$。

どれも素数です。さらに続けても、$f(10) = 151$、$f(20) = 461$、$f(39) = 1601$ と、$n = 39$ まですべて素数になります。40 個連続で当たっているのだから、「$f(n)$ は常に素数である」と言いたくなります。

ところが $n = 40$ で

$$f(40) = 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$$

となり、素数ではありません。実際、$f(41) = 41^2 + 41 + 41 = 41 \times (41 + 1 + 1) = 41 \times 43$ も素数ではありません。$n = 41$ の方は、$41$ でくくれることが式から直接見えます。

40 個の実例は、日常の基準では十分すぎる証拠です。数学の基準では証拠として無価値です。この落差が「厳密さ」の正体であり、多くの人が最初につまずくところです。実例の数が 40 個ではなく天文学的な個数でも事情は変わりません。コラッツ予想は計算機で膨大な範囲まで確かめられていますが、それは証明ではないので、いまも未解決のままです（注意 7.3［コラッツ予想］）。

4.3. 証明を一つ、行間を埋めて読む

命題 4.3

$\sqrt{2}$ は無理数です。すなわち、$\sqrt{2} = a/b$ となる整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ は存在しません。

証明（命題 4.3）

存在すると仮定して矛盾を導きます（背理法）。

ステップ 1。 $\sqrt{2} = a/b$ と書けたとします。$a$ と $b$ の最大公約数で約分できるので、はじめから $a$ と $b$ は互いに素（$1$ 以外に共通の約数を持たない）としてよいです。また $\sqrt{2} > 0$ なので、$a, b$ はともに正としてよいです。

ステップ 2。 両辺を 2 乗すると $2 = a^2 / b^2$、すなわち

$$a^2 = 2 b^2$$

です。右辺は $2$ の倍数なので、$a^2$ は偶数です。

ステップ 3（ここを飛ばさない）。 「$a^2$ が偶数なら $a$ も偶数」を示します。対偶、つまり「$a$ が奇数なら $a^2$ も奇数」を確かめれば十分です。$a$ が奇数なら $a = 2k + 1$ となる整数 $k$ があり、

$$a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

なので $a^2$ は奇数です。よって対偶が成り立ち、$a$ は偶数です。

ステップ 4。 そこで $a = 2c$ と書けます。ステップ 2 の式に代入すると $(2c)^2 = 2b^2$、つまり $4c^2 = 2b^2$、両辺を $2$ で割って

$$b^2 = 2c^2$$

を得ます。よって $b^2$ は偶数であり、ステップ 3 と同じ議論（$b$ が奇数なら $b^2$ が奇数）から $b$ も偶数です。

ステップ 5。 $a$ も $b$ も偶数なので、$2$ が共通の約数です。これはステップ 1 で「互いに素」としたことに矛盾します。したがって仮定が誤りで、$\sqrt{2}$ を分数で書くことはできません。

∎

多くの教科書はステップ 3 を「明らかに $a$ は偶数」で済ませます。しかしここは明らかではなく、対偶を取るという操作が入っています。行間はこういう場所に潜んでいます。読んでいて「なぜそう言える？」と引っかかったら、それはあなたの理解不足ではなく、著者が省略した証明が本当にそこにある、という場合が多いです。

4.4. もう一つ、有名な証明

定理 4.4（ユークリッドの定理）

素数は無限に存在します。すなわち、どんな有限個の素数の集まりを持ってきても、そこに含まれない素数が必ず存在します。

証明（定理 4.4）

素数が有限個しかないと仮定し、それらをすべて並べて $p_1, p_2, \ldots, p_n$ とします。ここで

$$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$$

とおきます。

$N$ は素因数を持ちます。 $p_1 \ge 2$ なので $N \ge 2 + 1 = 3 > 1$ です。$1$ より大きい整数は必ず素因数を持ちます（$N$ の約数のうち $1$ より大きいもの全体は空でない有限集合なので最小の元 $q$ があり、$q$ が合成数なら $q$ より小さい $1$ より大きい約数が取れて最小性に反するので、$q$ は素数です）。この素因数を $q$ とします。

$q$ は $p_1, \ldots, p_n$ のどれとも異なります。 もし $q = p_i$ だったとすると、$q$ は積 $p_1 p_2 \cdots p_n$ を割り切ります。また仮定より $q$ は $N$ も割り切ります。したがって $q$ はその差

$$N - p_1 p_2 \cdots p_n = 1$$

も割り切ることになります。しかし $q$ は素数なので $q \ge 2$ であり、$2$ 以上の整数が $1$ を割り切ることはありません。矛盾です。

よって $q$ は $p_1, \ldots, p_n$ に入っていない素数であり、「すべての素数を並べた」という仮定に反します。ゆえに素数は無限にあります。

∎

注意 4.5

この証明を「$N$ 自身が新しい素数になる」と覚えている人がいますが、それは誤りです。実際 $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$ で、$N$ が合成数になることがあります。証明が言っているのは「$N$ の素因数が新顔である」ことだけです。細部を一つ取り違えると主張が偽になる、というのも数学の厳しさの一部です。

5. 第三の壁：積み重ねの学問である

5.1. 依存グラフとしての数学

数学の内容は、独立した項目の集まりではなく、依存関係のグラフになっています。ある概念を理解するには、その手前の概念がすでに使える状態になっている必要があります。

flowchart TD
A["分数・小数の計算"] --> B["文字式"]
B --> C["一次方程式"]
B --> F["展開と因数分解"]
C --> D["関数とグラフ"]
F --> G["二次方程式"]
G --> D
D --> E["微分・積分"]
D --> I["三角関数・指数対数"]
I --> E
E --> H["物理・統計・機械学習"]

学校数学の依存関係（一部）。矢印は「これがわかっていないと先へ進めない」を表します

このグラフには重要な帰結が二つあります。

帰結 1：詰まった場所と、原因の場所は違う。 「二次方程式がわからない」人の多くは、二次方程式の解き方ではなく、その手前の「展開と因数分解」、さらに手前の「文字式で $-$ の符号を配る操作」で詰まっています。目の前のページを 10 回読んでも進まないのは、原因がそのページにないからです。数学の勉強では、つまずきの真の位置を探すという作業が、内容の理解とは別のスキルとして必要になります。

帰結 2：遅れは自動的には解消しない。 英単語なら、今日覚えた単語がわからなくても明日の単語は覚えられます。数学は違います。前提が欠けたまま先に進むと、欠けた前提に依存する項目がすべて崩れるので、遅れは時間とともに拡大します。逆に言えば、穴を一つ埋めると、そこに依存していた項目が一斉に回復することがあります。「急にわかるようになった」という体験の多くはこれです。

5.2. 積み重ねは学問全体でも起きている

同じことは数学という学問そのものの歴史でも起きています。定理 4.4 は紀元前 300 年ごろの『原論』にあり、いまも同じ形で使われています。数学は原則として過去の結果を捨てません。物理学が天動説を捨て、化学がフロギストン説を捨てたのに対し、2000 年前の定理が現役で使われている分野は他にほとんどありません。

これは強みですが、学ぶ側から見ると「積み上がった 2000 年分をこれから登れ」という要求でもあります。数学の教科書が薄くならないのはこのためです。

ヒント

積み重ねが原因のつまずきには、「戻る」以外の特効薬がありません。ただし戻る範囲は思ったより狭いことが多いです。二次関数で詰まった人が小学校の分数まで戻る必要はまずなく、たいていは 1〜2 段前で見つかります。注意 3.5 で書いた「この証明は何を捨てたのか」と同じで、探し方を知っていること自体が力になります。

6. 日常の直感と数学の直感

6.1. 日常の直感が外れる

三つの壁に加えて、もう一つ厄介なものがあります。日常生活で鍛えた直感が、数学では系統的に外れることです。しかも外れ方に癖があります。

例 6.1（紙を 42 回折ると月に届く）

厚さ $0.1$ ミリメートルの紙を半分に折ると、厚さは $2$ 倍になります。$42$ 回折ったときの厚さを求めます。

$$0.1\,\text{mm} \times 2^{42} = 0.1 \times 4{,}398{,}046{,}511{,}104\ \text{mm}$$

$2^{10} = 1024 \approx 10^3$ なので $2^{42} = 2^2 \times (2^{10})^4 \approx 4 \times 10^{12}$ という概算でも十分です。正確には $2^{42} = 4{,}398{,}046{,}511{,}104$ です。これを $0.1$ 倍してミリメートルからキロメートルに直します。$1\ \text{km} = 10^6\ \text{mm}$ なので、

$$\frac{0.1 \times 4.398 \times 10^{12}}{10^{6}}\ \text{km} = 4.398 \times 10^{5}\ \text{km} \approx 439{,}800\ \text{km}$$

地球から月までの平均距離は約 $384{,}400$ キロメートルなので、$42$ 回で月を越えます。ちなみに $41$ 回では約 $219{,}900$ キロメートルで、まだ届きません。最後の 1 回で $22$ 万キロメートル増えるのが指数の怖さです。

（物理的には紙は 10 回程度までしか折れませんが、ここで見ているのは $2^{n}$ の増え方です。）

日常の経験は「足し算的」な変化ばかりです。歩けば歩いた分だけ進み、貯金すれば入れた分だけ増えます。だから掛け算的な変化に対して直感が用意されていません。感染症の広がりや複利の計算で人が繰り返し間違えるのも、同じ理由です。

6.2. 確率での外れ方

命題 6.2（誕生日の問題）

$1$ 年を $365$ 日とし、各人の誕生日はこの $365$ 日に等しい確率で分布し、互いに独立であるとします。このとき $23$ 人が集まったとき、誕生日が一致する 2 人組が少なくとも 1 組存在する確率は $0.5$ を超えます。

証明（命題 6.2）

「少なくとも 1 組一致する」の余事象は「全員バラバラ」です。$n$ 人全員の誕生日が異なる確率を $q_n$ とします。1 人目は何でもよく、2 人目は 1 人目と違う $364$ 通り、3 人目は $363$ 通り、と続くので

$$q_n = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{365 - n + 1}{365} = \prod_{k=1}^{n-1}\left(1 - \frac{k}{365}\right)$$

です。$n = 23$ を計算します。対数を取ると

$$\ln q_{23} = \sum_{k=1}^{22} \ln\!\left(1 - \frac{k}{365}\right)$$

で、$|x|$ が小さいとき $\ln(1-x) \approx -x - x^2/2$ を使います。$\sum_{k=1}^{22} k = \frac{22 \cdot 23}{2} = 253$、$\sum_{k=1}^{22} k^2 = \frac{22 \cdot 23 \cdot 45}{6} = 3795$ なので

$$\ln q_{23} \approx -\frac{253}{365} - \frac{3795}{2 \cdot 365^2} = -0.6932 - 0.0142 = -0.7074$$

となり、$q_{23} \approx e^{-0.7074} \approx 0.493$ です。正確に計算しても $q_{23} = 0.4927\ldots$ となります。よって少なくとも 1 組一致する確率は $1 - 0.4927 = 0.5073\ldots$ で、$0.5$ を超えます。

∎

$365$ 日あるのに $23$ 人で五分五分というのは、直感に強く反します。直感が拾い損ねているのは、比べるべき対象が「人数 $23$」ではなく「ペアの数 $\binom{23}{2} = 253$」だという点です。上の計算で $253/365 \approx 0.693$ がほぼ $\ln 2$ になっているのは偶然ですが、$253$ という数がペアの個数そのものである点は偶然ではありません。

同じ種類の裏切りは他にもあります。三つの扉から一つを選び、司会者がハズレの扉を開けてから選び直すかを問われるモンティ・ホール問題は、直感が「$1/2$」と叫ぶのに正解が「変更すれば $2/3$」という例です（定理 3.2［モンティ・ホール問題］）。無限が絡むとさらに強烈で、$0.999\ldots$ が $1$ と等しいという事実（定理 3.7［1 は 0.999… と等しいか］）は、前提記事の1 は 0.999… と等しいかで扱ったとおり、多くの人の直感が最後まで抵抗します。

6.3. 直感は捨てるのではなく作り直す

ここで大事なのは、「数学では直感を捨てて論理だけで進め」は間違いだということです。プロの数学者ほど強い直感を持っています。ただしそれは日常の直感ではなく、数学の対象について長年かけて作り直した直感です。

学びの過程は、おおよそ次の三段階を辿ります。

1. 素朴な直感の段階。 記号を意味で読む。厳密さはないが手が動く。
2. 厳密さの段階。 定義と証明で素朴な直感を検算し、外れる場所を潰していく。この段階は苦しく、手が止まりやすいです。
3. 鍛え直された直感の段階。 厳密な議論が背骨に入った状態で、また直感で見通せるようになる。ただし今度の直感は、必要なら証明に展開できます。

多くの人が数学を嫌いになるのは第 2 段階です。第 1 段階の楽しさが失われ、第 3 段階の見返りはまだ来ていないからです。ここで「自分には向いていない」と判断してしまうのは、いちばんもったいない誤解だと思います。

7. それでも人が数学をやる理由

7.1. 「わかった」の正体

数学の「わかった」には、他の科目にない独特の質があります。暗記が完了した感覚ではなく、バラバラだったものが一つの構造として見えたという感覚です。

例 7.1（ガウスの足し算）

$1$ から $100$ までの和を求めます。素直に足すと 99 回の足し算が必要です。しかし、両端から組にすると

$$(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \cdots + (50 + 51)$$

となり、どの組も和は $101$ です。組は $50$ 個あるので、和は $101 \times 50 = 5050$ です。

一般に $1$ から $n$ までの和は、同じ議論で $\dfrac{n(n+1)}{2}$ になります（$n$ が奇数のときは真ん中の項が余りますが、$1 + 2 + \cdots + n$ を 2 回書いて逆順に足す、と考えれば偶奇によらず和が $n+1$ の組が $n$ 組できて合計 $n(n+1)$ になるので、半分にして同じ式を得ます）。

この話が有名なのは、計算が速いからではありません。「順に足す」という手続きしかなかった場所に、対称性という構造が見えたからです。見えた瞬間、99 回の作業が 1 回の掛け算になります。これが数学の「わかる」です。

7.2. 美しさとは何か

もう一つ、図で見える例を挙げます。

命題 7.2

任意の正の整数 $n$ について、最初の $n$ 個の奇数の和は $n^2$ に等しい。すなわち

$$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2 .$$

$n = 4$ の場合。正方形を L 字型に切り分けると、外側の層に含まれる点の個数が 1, 3, 5, 7 になります

証明（命題 7.2）

数学的帰納法で示します。

$n = 1$ のとき。 左辺は $1$、右辺は $1^2 = 1$ で一致します。

$n = k$ で成り立つと仮定します。 つまり $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$ とします。このとき $n = k+1$ の場合の左辺は、仮定を使って

$$\bigl(1 + 3 + \cdots + (2k-1)\bigr) + \bigl(2(k+1) - 1\bigr) = k^2 + (2k + 1)$$

となります。ここで $k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ なので、$n = k+1$ でも成り立ちます。

よってすべての正の整数 $n$ で成り立ちます。上の図は、この帰納法のステップ「$k^2$ の正方形に $2k+1$ 個の点を L 字に足すと $(k+1)^2$ の正方形になる」を絵にしたものです。

∎

同じ事実に、記号の証明と図の証明という二つの入口があります。しかも二つは無関係ではなく、図の L 字がそのまま帰納法の一歩に対応しています。数学者が「美しい」と言うとき、多くはこういう状況を指しています。整理すると、美しさの基準はだいたい次の三つです。

• 短さ。 長い場合分けなしに、一本の筋で終わる（命題 3.4 の色の議論がこれです）。
• 意外な結合。 別々に見えたものが同じ構造だったとわかる（例 3.3 の時計・角度・曜日がこれです）。
• 普遍性。 一度証明すれば、まだ知らない対象にも適用できる（定義 3.1 の取引の結果です）。

7.3. 難しさは「時間がかかる」の別名

最後に、数学の難しさについて公平なことを書いておきます。簡単に述べられるのに誰も解けない問題が、数学にはたくさんあります。

たとえばコラッツ予想は、「偶数なら 2 で割り、奇数なら 3 倍して 1 を足す。これを繰り返すと必ず 1 に到達する」（定義 2.1［コラッツ予想］）という小学生でも読める主張ですが、80 年以上未解決です。四色定理は「どんな地図も 4 色で塗り分けられる」という主張（定理 5.1［四色定理］）で、こちらは 1976 年に解決しましたが、証明にはコンピュータによる膨大な場合分けが必要でした。ラマヌジャンやオイラーのような人たちが何を見ていたのかは、有名な数学者で扱います（定理 6.2［オイラーとラマヌジャン］ はその一例です）。また、「なぜ $0$ で割ってはいけないのか」という素朴な問いは、ゼロで割ってはいけない理由で見るように、定義とは何かという話に直結しています（定理 4.1［ゼロで割ってはいけない理由］）。

プロが 80 年かけて解けない問題があるということは、あなたが 30 分で解けないのは平常運転だということです。数学の難しさの多くは、才能ではなく時間の問題です。三つの壁——抽象、論理、積み重ね——はどれも、時間をかければ確実に低くなる種類の壁です。抽象化は例を集めれば慣れます。論理は書き方の型があります。積み重ねは戻れば埋まります。

8. 演習

演習 8.1易

$6 \times 6$ のマス目を白黒交互に塗ります。ここから同じ色の 2 マスを（どこでもよいので）取り除いたとき、残りを $1 \times 2$ のドミノで敷き詰めることはできないことを示してください。

解答

$6 \times 6 = 36$ マスのうち、白と黒は $18$ マスずつです。同じ色を 2 マス取り除くので、残りは一方の色が $16$ マス、他方が $18$ マスになります。合計 $34$ マスなので、敷き詰めるにはドミノが $34 \div 2 = 17$ 枚必要です。

命題 3.4 の証明と同じく、隣り合うマスは色が異なるので、ドミノ 1 枚は白 1 マスと黒 1 マスを覆います。よって 17 枚では白 17 マスと黒 17 マスを覆うことになりますが、盤には一方の色が $16$ マスしかありません。$17 > 16$ なので不可能です。

（なお取り除く 2 マスが異なる色の場合は、白 17・黒 17 が残るのでこの議論では否定できません。実際、そのときは常に敷き詰められることが知られています。）

演習 8.2標準

$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明してください。命題 4.3 の証明をなぞる際、「$a^2$ が $3$ の倍数なら $a$ も $3$ の倍数」の部分を省略せずに書いてください。

解答

$\sqrt{3} = a/b$（$a, b$ は正の整数で互いに素）と書けたと仮定します。両辺を 2 乗して $3 = a^2/b^2$、すなわち $a^2 = 3b^2$ です。よって $a^2$ は $3$ の倍数です。

補題部分。 「$a^2$ が $3$ の倍数なら $a$ も $3$ の倍数」を示します。対偶「$a$ が $3$ の倍数でないなら $a^2$ も $3$ の倍数でない」を確かめます。$a$ を $3$ で割った余りは $1$ か $2$ です。

• 余りが $1$ のとき、$a = 3k+1$ と書けて $a^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ なので、$a^2$ を $3$ で割った余りは $1$ です。
• 余りが $2$ のとき、$a = 3k+2$ と書けて $a^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ なので、余りは $1$ です。

どちらの場合も $a^2$ は $3$ の倍数になりません。よって対偶が示され、$a$ は $3$ の倍数です。

続き。 $a = 3c$ とおくと $9c^2 = 3b^2$、両辺を $3$ で割って $b^2 = 3c^2$ です。よって $b^2$ は $3$ の倍数で、同じ補題から $b$ も $3$ の倍数です。すると $a$ と $b$ が共通の約数 $3$ を持ち、互いに素という仮定に矛盾します。したがって $\sqrt{3}$ は無理数です。

演習 8.3標準

今日は水曜日です。$10^{100}$ 日後は何曜日ですか。定義 3.2 を使ってください。

解答

曜日は 7 日周期なので、$10^{100}$ を $7$ で割った余りを求めれば十分です。

まず $10 = 7 + 3$ より $10 \equiv 3 \pmod 7$ なので、$10^{100} \equiv 3^{100} \pmod 7$ です。

次に $3$ の累乗を $7$ で割った余りを順に見ます。$3^1 \equiv 3$、$3^2 = 9 \equiv 2$、$3^3 = 27 \equiv 6$、$3^4 = 81 \equiv 4$、$3^5 = 243 \equiv 5$、$3^6 = 729 = 7 \times 104 + 1 \equiv 1 \pmod 7$。$6$ 乗で $1$ に戻ります。

$100 = 6 \times 16 + 4$ なので

$$3^{100} = (3^{6})^{16} \cdot 3^{4} \equiv 1^{16} \cdot 4 = 4 \pmod 7 .$$

よって $10^{100}$ 日後は水曜日の $4$ 日後、すなわち日曜日です。$10^{100}$ という宇宙の年齢より遥かに大きい数を、余りだけ見て 3 行で処理できました。これが 定義 3.1 の言う「忘れることの利益」です。

演習 8.4標準

命題 6.2 の設定で、$30$ 人が集まったときに誕生日が一致する 2 人組が存在する確率を、証明中の近似 $\ln(1-x) \approx -x - x^2/2$ を使って見積もってください。

解答

全員バラバラである確率 $q_{30}$ の対数は

$$\ln q_{30} = \sum_{k=1}^{29} \ln\!\left(1 - \frac{k}{365}\right) \approx -\frac{1}{365}\sum_{k=1}^{29} k - \frac{1}{2 \cdot 365^2}\sum_{k=1}^{29} k^2$$

です。$\sum_{k=1}^{29} k = \frac{29 \cdot 30}{2} = 435$、$\sum_{k=1}^{29} k^2 = \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6} = 8555$ なので

$$\ln q_{30} \approx -\frac{435}{365} - \frac{8555}{266450} = -1.1918 - 0.0321 = -1.2239$$

となり、$q_{30} \approx e^{-1.2239} \approx 0.294$ です。よって求める確率は $1 - 0.294 = 0.706$ 程度、およそ $71\%$ です。（正確な値は $0.7063\ldots$ で、近似はよく合っています。）

$40$ 人なら約 $89\%$、$50$ 人なら約 $97\%$ です。教室ひとつで、誕生日が同じペアはほぼ必ずいます。

参考文献

• 遠山啓『数学入門（上・下）』岩波新書、1959–1960 — 数の拡張と抽象化の動機を、日常の言葉から積み上げて説明した古典です。
• G. ポリア『いかにして問題をとくか』（柿内賢信 訳）丸善 — 問題が解けないときに何を試すかを手順として言語化した本です。巻末の項目別の解説が実用的です。
• G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940 — 数学の「美しさ」について書かれた最も有名なエッセイです。§7.2 で挙げた短さ・意外性・普遍性という基準は、この本の議論に由来します。
• ユークリッド『ユークリッド原論』（中村幸四郎ほか 訳）共立出版、1971 — 素数が無限にあることの証明は第 9 巻にあります。定理 4.4 の原型です。
• Terence Tao, “There’s more to mathematics than rigour and proofs” — §6.3 で述べた「素朴な直感 → 厳密さ → 鍛え直された直感」の三段階論の出典です。

Appendix: つまずいたときの処方箋

症状から原因を切り分ける。 本文の三分類は、そのまま診断に使えます。「式変形はできるが何をしているかわからない」なら抽象度の問題です。定義を具体例に戻す作業、つまり $x$ に実際の数を入れてみる作業が効きます。「答えは出るが証明が書けない」なら論理の問題です。証明の型（背理法・対偶・帰納法）を、命題 4.3 や 命題 7.2 のような短い実例で 3 つほど暗唱できるまで写経すると、書き出しで止まらなくなります。「教科書のこのページだけ何度読んでも進まない」なら積み重ねの問題です。読むのをやめて、そのページが使っている前提を一つずつ書き出し、書き出せなかったものを探しに戻ってください。

「わからない」を細かく言い直す。 「この節がわからない」は診断になりません。「3 行目で $a^2 = 2b^2$ から $a$ が偶数と言っているのがわからない」まで細かくすると、それはもう問いになっていて、答えられます。命題 4.3 のステップ 3 を独立させて書いたのは、まさにそこが多くの人の詰まる位置だからです。わからない場所を 1 行に特定できたら、その時点で半分解決しています。

時間の見積もりを変える。 数学の 1 ページは、他の科目の 1 ページと同じ時間で読めません。教科書 1 ページに 1 時間かかるのは異常ではなく標準です。この見積もりを持っていないと、標準的な速度で進んでいる自分を「遅い」と誤診してしまいます。誤診は意欲を削り、意欲が削れると積み重ねが止まります。数学の勉強で最も避けるべき失敗は、わからないことではなく、標準的な難しさを自分の欠陥だと取り違えてやめてしまうことだと思います。