電場と磁場は 6 つの数（成分）で表されますが、実はその裏に「もう少し少ない数で、しかも計算しやすい別の表し方」があります。それが電磁ポテンシャルです。ただし、この別の表し方には「同じ電場・磁場を与える書き方が無数にある」という不思議な性質があり、これがゲージ変換と呼ばれるものです。この記事を読むと、ポテンシャルがなぜ作れるのか、どこまで自由に選べるのか、そして計算に都合のよい選び方が 2 通りあることが分かります。
マクスウェル方程式のうち div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 rot E = − ∂ t B \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B} rot E = − ∂ t B 場そのものへの制約ではなく、場の表し方についての情報 です。この 2 本はポテンシャル ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
B = rot A \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A} B = rot A E = − grad φ − ∂ t A \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A} E = − grad φ − ∂ t A ポテンシャルは一意ではありません。同じ ( E , B ) (\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}) ( E , B ) ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A ) χ ( x , t ) \chi(\boldsymbol{x},t) χ ( x , t ) ゲージ変換 A → A + grad χ \boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi A → A + grad χ φ → φ − ∂ t χ \varphi\to\varphi-\partial_t\chi φ → φ − ∂ t χ
ローレンツゲージ div A + c − 2 ∂ t φ = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0 div A + c − 2 ∂ t φ = 0 φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A クーロンゲージ div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 φ \varphi φ A μ = ( φ / c , A ) A^\mu=(\varphi/c,\boldsymbol{A}) A μ = ( φ / c , A )
発散と回転 : ベクトル場の各点での「湧き出しの強さ」が発散、「渦の強さ」が回転です。→ 発散 、回転 マクスウェル方程式 : 電場・磁場と電荷・電流を結ぶ 4 本の微分方程式です。→ 真空中のマクスウェル方程式 静電ポテンシャル : 静電場を E = − grad φ \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi E = − grad φ φ \varphi φ 静電ポテンシャル ベクトルポテンシャル : 磁場を B = rot A \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A} B = rot A A \boldsymbol{A} A ベクトルポテンシャル ストークスの定理 : 閉曲線に沿った線積分は、その曲線が囲む面での回転の面積分に等しい、という定理です。→ ストークスの定理 マクスウェル方程式 まで到達した時点で、電磁場の理論は形式的には完成しています。E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B
理由は 3 つあります。
第 1 に、計算量が減ります。 マクスウェル方程式は E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A
第 2 に、静電ポテンシャルの自然な一般化になっています。 静電場 では rot E = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0} rot E = 0 E = − grad φ \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi E = − grad φ 電場はポテンシャルの勾配（定理 6.2）［静電場とガウスの法則］ ）、φ \varphi φ 電磁誘導 があると、ファラデーの法則の微分形（定理 4.1）［電磁誘導と変位電流］ により rot E = − ∂ t B ≠ 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{0} rot E = − ∂ t B = 0 ベクトルポテンシャル A \boldsymbol{A} A
第 3 に、そしてこれが最も重要ですが、ポテンシャルは他の物理学とのつなぎ目です。 ラグランジュ形式の力学 で荷電粒子を扱うとき、ラグランジアンに現れるのは E , B \boldsymbol{E},\boldsymbol{B} E , B φ , A \varphi,\boldsymbol{A} φ , A φ , A \varphi,\boldsymbol{A} φ , A ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
歴史的には、この評価は揺れ動いてきました。マクスウェル自身は A \boldsymbol{A} A A \boldsymbol{A} A
真空中のマクスウェル方程式（真空中のマクスウェル方程式（微分形）（定義 3.1）［マクスウェル方程式と電磁波］ ）を SI 単位で書きます。ρ \rho ρ j \boldsymbol{j} j 電流密度 、c = 1 / ε 0 μ 0 c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} c = 1/ ε 0 μ 0
div E = ρ ε 0 , rot B = μ 0 j + 1 c 2 ∂ E ∂ t , div B = 0 , rot E = − ∂ B ∂ t . \begin{aligned}
\operatorname{div}\boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, &\qquad
\operatorname{rot}\boldsymbol{B} &= \mu_0\boldsymbol{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t},\\[4pt]
\operatorname{div}\boldsymbol{B} &= 0, &\qquad
\operatorname{rot}\boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}.
\end{aligned} div E div B = ε 0 ρ , = 0 , rot B rot E = μ 0 j + c 2 1 ∂ t ∂ E , = − ∂ t ∂ B . 左列上と右列上、すなわち ρ , j \rho,\boldsymbol{j} ρ , j 非斉次方程式 、div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 rot E = − ∂ t B \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B} rot E = − ∂ t B 斉次方程式 と呼びます。この記事の主題は、斉次方程式の一般解を書き下すことです。
「回転がゼロなら勾配」「発散がゼロなら回転」という 2 つの事実を、証明つきで確認します。逆向き（rot grad f = 0 \operatorname{rot}\operatorname{grad}f=\boldsymbol{0} rot grad f = 0 div rot A = 0 \operatorname{div}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=0 div rot A = 0
領域 Ω ⊂ R 3 \Omega\subset\mathbb{R}^3 Ω ⊂ R 3 x 0 \boldsymbol{x}_0 x 0 星形 であるとは、任意の x ∈ Ω \boldsymbol{x}\in\Omega x ∈ Ω { x 0 + s ( x − x 0 ) ∣ 0 ≤ s ≤ 1 } \{\boldsymbol{x}_0+s(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\mid 0\le s\le 1\} { x 0 + s ( x − x 0 ) ∣ 0 ≤ s ≤ 1 } Ω \Omega Ω x 0 = 0 \boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{0} x 0 = 0 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
中心から見て星形：線分はいつも内側 穴をまたぐ線分は外に出る 穴 星形の領域（左）と、星形でない領域（右）。右は中心の穴のせいで、線分が領域の外に出てしまう点の組がある この節の目的は、「回転がゼロなら勾配で書ける」「発散がゼロなら回転で書ける」という 2 つの主張を、実際に関数を書き下して確かめることです。どちらの証明も、原点から点 x \boldsymbol{x} x s s s
補題 2.1 （回転がゼロなら勾配（ポアンカレの補題） ） ✓
Ω ⊂ R 3 \Omega\subset\mathbb{R}^3 Ω ⊂ R 3 F : Ω → R 3 \boldsymbol{F}\colon\Omega\to\mathbb{R}^3 F : Ω → R 3 C 1 C^1 C 1 Ω \Omega Ω rot F = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0} rot F = 0 C 2 C^2 C 2 f : Ω → R f\colon\Omega\to\mathbb{R} f : Ω → R F = grad f \boldsymbol{F}=\operatorname{grad}f F = grad f
f ( x ) = ∫ 0 1 x ⋅ F ( s x ) d s f(\boldsymbol{x})=\int_0^1 \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}(s\boldsymbol{x})\,ds f ( x ) = ∫ 0 1 x ⋅ F ( s x ) d s がその 1 つである。
証明（補題 2.1） f f f s x ∈ Ω s\boldsymbol{x}\in\Omega s x ∈ Ω l l l x ⋅ F ( s x ) = x j F j ( s x ) \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}(s\boldsymbol{x})=x_jF_j(s\boldsymbol{x}) x ⋅ F ( s x ) = x j F j ( s x ) j j j x l x_l x l
∂ ∂ x l [ x j F j ( s x ) ] = F l ( s x ) + s x j ( ∂ l F j ) ( s x ) . \frac{\partial}{\partial x_l}\bigl[x_jF_j(s\boldsymbol{x})\bigr]
= F_l(s\boldsymbol{x}) + s\,x_j\,(\partial_l F_j)(s\boldsymbol{x}). ∂ x l ∂ [ x j F j ( s x ) ] = F l ( s x ) + s x j ( ∂ l F j ) ( s x ) . 第 2 項は合成関数の微分（∂ ( s x ) l / ∂ x l = s \partial (s\boldsymbol{x})_l/\partial x_l = s ∂ ( s x ) l / ∂ x l = s rot F = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0} rot F = 0 ∂ l F j = ∂ j F l \partial_l F_j=\partial_j F_l ∂ l F j = ∂ j F l
∂ f ∂ x l ( x ) = ∫ 0 1 [ F l ( s x ) + s x j ( ∂ j F l ) ( s x ) ] d s . \frac{\partial f}{\partial x_l}(\boldsymbol{x})
=\int_0^1\Bigl[F_l(s\boldsymbol{x})+s\,x_j\,(\partial_j F_l)(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds . ∂ x l ∂ f ( x ) = ∫ 0 1 [ F l ( s x ) + s x j ( ∂ j F l ) ( s x ) ] d s . 被積分関数は d d s [ s F l ( s x ) ] \dfrac{d}{ds}\bigl[s\,F_l(s\boldsymbol{x})\bigr] d s d [ s F l ( s x ) ] d d s [ s F l ( s x ) ] = F l ( s x ) + s x j ( ∂ j F l ) ( s x ) \frac{d}{ds}[sF_l(s\boldsymbol{x})]=F_l(s\boldsymbol{x})+s\,x_j(\partial_jF_l)(s\boldsymbol{x}) d s d [ s F l ( s x )] = F l ( s x ) + s x j ( ∂ j F l ) ( s x )
∂ f ∂ x l ( x ) = [ s F l ( s x ) ] s = 0 s = 1 = F l ( x ) . \frac{\partial f}{\partial x_l}(\boldsymbol{x})=\Bigl[s\,F_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]_{s=0}^{s=1}=F_l(\boldsymbol{x}). ∂ x l ∂ f ( x ) = [ s F l ( s x ) ] s = 0 s = 1 = F l ( x ) . l = 1 , 2 , 3 l=1,2,3 l = 1 , 2 , 3 grad f = F \operatorname{grad}f=\boldsymbol{F} grad f = F
∎ 補題 2.2 （発散がゼロなら回転（ポアンカレの補題） ） ✓
Ω ⊂ R 3 \Omega\subset\mathbb{R}^3 Ω ⊂ R 3 G : Ω → R 3 \boldsymbol{G}\colon\Omega\to\mathbb{R}^3 G : Ω → R 3 C 1 C^1 C 1 Ω \Omega Ω div G = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{G}=0 div G = 0 C 1 C^1 C 1 A \boldsymbol{A} A G = rot A \boldsymbol{G}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A} G = rot A G \boldsymbol{G} G C k C^k C k A \boldsymbol{A} A C k C^k C k
A ( x ) = ∫ 0 1 s G ( s x ) × x d s \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s\,\boldsymbol{G}(s\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{x}\,ds A ( x ) = ∫ 0 1 s G ( s x ) × x d s がその 1 つである。
証明（補題 2.2） 成分で書くと A i ( x ) = ∫ 0 1 s ε i j k G j ( s x ) x k d s A_i(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s\,\varepsilon_{ijk}G_j(s\boldsymbol{x})x_k\,ds A i ( x ) = ∫ 0 1 s ε ij k G j ( s x ) x k d s ε i j k \varepsilon_{ijk} ε ij k
( rot A ) l = ε l m i ∂ m A i = ∫ 0 1 s ε l m i ε i j k ∂ m [ G j ( s x ) x k ] d s . (\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\varepsilon_{lmi}\partial_m A_i
=\int_0^1 s\,\varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}\,\partial_m\bigl[G_j(s\boldsymbol{x})x_k\bigr]ds . ( rot A ) l = ε l mi ∂ m A i = ∫ 0 1 s ε l mi ε ij k ∂ m [ G j ( s x ) x k ] d s . 括弧の中を積の微分法と連鎖律で展開すると
∂ m [ G j ( s x ) x k ] = s ( ∂ m G j ) ( s x ) x k + G j ( s x ) δ m k . \partial_m\bigl[G_j(s\boldsymbol{x})x_k\bigr]=s\,(\partial_mG_j)(s\boldsymbol{x})\,x_k+G_j(s\boldsymbol{x})\,\delta_{mk}. ∂ m [ G j ( s x ) x k ] = s ( ∂ m G j ) ( s x ) x k + G j ( s x ) δ mk . 一方 ε l m i ε i j k = ε i l m ε i j k = δ l j δ m k − δ l k δ m j \varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{ijk}=\delta_{lj}\delta_{mk}-\delta_{lk}\delta_{mj} ε l mi ε ij k = ε i l m ε ij k = δ l j δ mk − δ l k δ mj
δ l j δ m k \delta_{lj}\delta_{mk} δ l j δ mk s ( ∂ k G l ) ( s x ) x k + G l ( s x ) δ k k = s x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 3 G l ( s x ) s\,(\partial_kG_l)(s\boldsymbol{x})x_k+G_l(s\boldsymbol{x})\delta_{kk}=s\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+3G_l(s\boldsymbol{x}) s ( ∂ k G l ) ( s x ) x k + G l ( s x ) δ k k = s x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 3 G l ( s x ) δ k k = 3 \delta_{kk}=3 δ k k = 3
δ l k δ m j \delta_{lk}\delta_{mj} δ l k δ mj s ( ∂ j G j ) ( s x ) x l + G j ( s x ) δ j l = s ( div G ) ( s x ) x l + G l ( s x ) s\,(\partial_jG_j)(s\boldsymbol{x})x_l+G_j(s\boldsymbol{x})\delta_{jl}=s\,(\operatorname{div}\boldsymbol{G})(s\boldsymbol{x})\,x_l+G_l(s\boldsymbol{x}) s ( ∂ j G j ) ( s x ) x l + G j ( s x ) δ j l = s ( div G ) ( s x ) x l + G l ( s x ) 仮定 div G = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{G}=0 div G = 0 を使うと第 1 項が消え、G l ( s x ) G_l(s\boldsymbol{x}) G l ( s x )
両者の差を取ると
( rot A ) l = ∫ 0 1 s [ s x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 3 G l ( s x ) − G l ( s x ) ] d s = ∫ 0 1 [ s 2 x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 2 s G l ( s x ) ] d s . (\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\int_0^1 s\Bigl[s\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+3G_l(s\boldsymbol{x})-G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds
=\int_0^1\Bigl[s^2\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+2s\,G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds . ( rot A ) l = ∫ 0 1 s [ s x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 3 G l ( s x ) − G l ( s x ) ] d s = ∫ 0 1 [ s 2 x ⋅ ( ∇ G l ) ( s x ) + 2 s G l ( s x ) ] d s . 被積分関数は d d s [ s 2 G l ( s x ) ] \dfrac{d}{ds}\bigl[s^2G_l(s\boldsymbol{x})\bigr] d s d [ s 2 G l ( s x ) ]
( rot A ) l = [ s 2 G l ( s x ) ] s = 0 s = 1 = G l ( x ) . (\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\Bigl[s^2G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]_{s=0}^{s=1}=G_l(\boldsymbol{x}). ( rot A ) l = [ s 2 G l ( s x ) ] s = 0 s = 1 = G l ( x ) . l = 1 , 2 , 3 l=1,2,3 l = 1 , 2 , 3 rot A = G \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{G} rot A = G
∎ 定理 3.1 （電磁ポテンシャルの存在 ） ✓
Ω ⊂ R 3 \Omega\subset\mathbb{R}^3 Ω ⊂ R 3 I ⊂ R I\subset\mathbb{R} I ⊂ R Ω × I \Omega\times I Ω × I C 2 C^2 C 2 E , B \boldsymbol{E},\boldsymbol{B} E , B
div B = 0 , rot E = − ∂ B ∂ t \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0,\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} div B = 0 , rot E = − ∂ t ∂ B を満たすとする。このとき Ω × I \Omega\times I Ω × I C 1 C^1 C 1 φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A
B = rot A , E = − grad φ − ∂ A ∂ t \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad
\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} B = rot A , E = − grad φ − ∂ t ∂ A が Ω × I \Omega\times I Ω × I C 2 C^2 C 2 ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A ) ( E , B ) (\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}) ( E , B )
証明（定理 3.1） （存在） 各時刻 t ∈ I t\in I t ∈ I div B ( ⋅ , t ) = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}(\cdot,t)=0 div B ( ⋅ , t ) = 0 補題 2.2 により
A ( x , t ) = ∫ 0 1 s B ( s x , t ) × x d s \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\int_0^1 s\,\boldsymbol{B}(s\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{x}\,ds A ( x , t ) = ∫ 0 1 s B ( s x , t ) × x d s とおけば rot A = B \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} rot A = B t t t B \boldsymbol{B} B t t t C 2 C^2 C 2 A \boldsymbol{A} A t t t
次に E + ∂ t A \boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A} E + ∂ t A
rot ( E + ∂ A ∂ t ) = rot E + ∂ ∂ t ( rot A ) = − ∂ B ∂ t + ∂ B ∂ t = 0 . \operatorname{rot}\Bigl(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr)
=\operatorname{rot}\boldsymbol{E}+\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})
=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\boldsymbol{0}. rot ( E + ∂ t ∂ A ) = rot E + ∂ t ∂ ( rot A ) = − ∂ t ∂ B + ∂ t ∂ B = 0 . 1 番目の等号で微分の順序交換、2 番目で仮定 rot E = − ∂ t B \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B} rot E = − ∂ t B と、いま作った rot A = B \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} rot A = B E + ∂ t A \boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A} E + ∂ t A 補題 2.1 により
φ ( x , t ) = − ∫ 0 1 x ⋅ ( E + ∂ A ∂ t ) ( s x , t ) d s \varphi(\boldsymbol{x},t)=-\int_0^1 \boldsymbol{x}\cdot\Bigl(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr)(s\boldsymbol{x},t)\,ds φ ( x , t ) = − ∫ 0 1 x ⋅ ( E + ∂ t ∂ A ) ( s x , t ) d s とおけば − grad φ = E + ∂ t A -\operatorname{grad}\varphi=\boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A} − grad φ = E + ∂ t A E = − grad φ − ∂ t A \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A} E = − grad φ − ∂ t A
（逆） B = rot A \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A} B = rot A div rot = 0 \operatorname{div}\operatorname{rot}=0 div rot = 0 div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 ∂ i ε i j k ∂ j A k = ε i j k ∂ i ∂ j A k \partial_i\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k=\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k ∂ i ε ij k ∂ j A k = ε ij k ∂ i ∂ j A k ε i j k \varepsilon_{ijk} ε ij k i , j i,j i , j ∂ i ∂ j \partial_i\partial_j ∂ i ∂ j E = − grad φ − ∂ t A \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A} E = − grad φ − ∂ t A rot grad = 0 \operatorname{rot}\operatorname{grad}=\boldsymbol{0} rot grad = 0
rot E = − rot grad φ − ∂ ∂ t rot A = − ∂ B ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}
=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} rot E = − rot grad φ − ∂ t ∂ rot A = − ∂ t ∂ B となります。
∎ 定義 3.2 （電磁ポテンシャル ） ↗
定理 3.1 の A \boldsymbol{A} A ベクトルポテンシャル 、φ \varphi φ スカラーポテンシャル と呼び、あわせて電磁ポテンシャル という。すなわち
B = rot A , E = − grad φ − ∂ A ∂ t \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad
\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} B = rot A , E = − grad φ − ∂ t ∂ A の関係にある ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
E = -grad φ - ∂A/∂t（スカラーポテンシャル）
斉次マクスウェル方程式からポテンシャルが出てくる筋道 次の例のねらいは、「磁場がゼロの場所でも、ベクトルポテンシャルが勾配 grad χ \operatorname{grad}\chi grad χ A \boldsymbol{A} A
例 3.5 （ソレノイドの外側：磁場はゼロでもポテンシャルは消せない ）
z z z a a a 定常電流と静磁場 で見たとおり（無限に長いソレノイド（例 6.6）［定常電流と静磁場］ ）、内部は一様磁場 B = B e z \boldsymbol{B}=B\boldsymbol{e}_z B = B e z B = 0 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} B = 0
円筒対称性から A = A ϕ ( r ) e ϕ \boldsymbol{A}=A_\phi(r)\boldsymbol{e}_\phi A = A ϕ ( r ) e ϕ ϕ \phi ϕ φ \varphi φ r r r ストークスの定理（定理 5.3）［定常電流と静磁場］ を適用すると
∮ r A ⋅ d l = 2 π r A ϕ ( r ) = ∫ B ⋅ d S = Φ ( r ) \oint_{r}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=2\pi r\,A_\phi(r)=\int \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=\Phi(r) ∮ r A ⋅ d l = 2 π r A ϕ ( r ) = ∫ B ⋅ d S = Φ ( r ) なので、Φ ( r ) \Phi(r) Φ ( r ) 磁束 として
A ϕ ( r ) = Φ ( r ) 2 π r = { B r 2 , r ≤ a , Φ 2 π r , r ≥ a , Φ = π a 2 B . A_\phi(r)=\frac{\Phi(r)}{2\pi r}=
\begin{cases}
\dfrac{Br}{2}, & r\le a,\\[8pt]
\dfrac{\Phi}{2\pi r}, & r\ge a,
\end{cases}
\qquad \Phi=\pi a^2B . A ϕ ( r ) = 2 π r Φ ( r ) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 B r , 2 π r Φ , r ≤ a , r ≥ a , Φ = π a 2 B . 外側では B = 0 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} B = 0 A ≠ 0 \boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{0} A = 0 rot A = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} rot A = 0 ( rot A ) z = 1 r ∂ ∂ r ( r A ϕ ) = 1 r ∂ ∂ r ( Φ 2 π ) = 0 (\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\phi)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{\Phi}{2\pi}\bigr)=0 ( rot A ) z = r 1 ∂ r ∂ ( r A ϕ ) = r 1 ∂ r ∂ ( 2 π Φ ) = 0 A = grad χ \boldsymbol{A}=\operatorname{grad}\chi A = grad χ χ \chi χ 0 0 0 ∮ A ⋅ d l = Φ ≠ 0 \oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=\Phi\neq0 ∮ A ⋅ d l = Φ = 0
外部領域は z z z 補題 2.1 の仮定が破れています。ポテンシャルの理論が領域の位相に敏感であることの、最も分かりやすい例です。この ∮ A ⋅ d l \oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l} ∮ A ⋅ d l
符号の組み合わせが重要です。A \boldsymbol{A} A + grad χ +\operatorname{grad}\chi + grad χ φ \varphi φ − ∂ t χ -\partial_t\chi − ∂ t χ E \boldsymbol{E} E
命題 4.2 （場のゲージ不変性 ） ✓
定義 4.1 のゲージ変換によって、( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
rot A ′ = rot A , − grad φ ′ − ∂ A ′ ∂ t = − grad φ − ∂ A ∂ t . \operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad
-\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}. rot A ′ = rot A , − grad φ ′ − ∂ t ∂ A ′ = − grad φ − ∂ t ∂ A . 証明（命題 4.2） 磁場については、恒等式 rot grad χ = 0 \operatorname{rot}\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0} rot grad χ = 0
rot A ′ = rot A + rot grad χ = rot A . \operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}+\operatorname{rot}\operatorname{grad}\chi=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}. rot A ′ = rot A + rot grad χ = rot A . 電場については、χ \chi χ C 2 C^2 C 2 grad \operatorname{grad} grad ∂ t \partial_t ∂ t シュワルツの定理（定理 9.9）［多変数関数の微分と偏微分］ ）を使って
− grad φ ′ − ∂ A ′ ∂ t = − grad φ + grad ∂ χ ∂ t − ∂ A ∂ t − ∂ ∂ t grad χ = − grad φ − ∂ A ∂ t -\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}
=-\operatorname{grad}\varphi+\operatorname{grad}\frac{\partial\chi}{\partial t}
-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{grad}\chi
=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} − grad φ ′ − ∂ t ∂ A ′ = − grad φ + grad ∂ t ∂ χ − ∂ t ∂ A − ∂ t ∂ grad χ = − grad φ − ∂ t ∂ A となり、grad ∂ t χ \operatorname{grad}\partial_t\chi grad ∂ t χ ∂ t grad χ \partial_t\operatorname{grad}\chi ∂ t grad χ
∎ 命題 4.2 は「ゲージ変換をしても場は変わらない」と言っています。逆に「場が同じなら必ずゲージ変換で移り合う」でしょうか。これが成り立つからこそ、不定性を完全に把握したと言えます。
定理 4.3 （ゲージ自由度の完全性 ） ✓
Ω ⊂ R 3 \Omega\subset\mathbb{R}^3 Ω ⊂ R 3 I I I Ω × I \Omega\times I Ω × I C 2 C^2 C 2 ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A ) ( φ ′ , A ′ ) (\varphi',\boldsymbol{A}') ( φ ′ , A ′ )
rot A ′ = rot A , − grad φ ′ − ∂ A ′ ∂ t = − grad φ − ∂ A ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad
-\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} rot A ′ = rot A , − grad φ ′ − ∂ t ∂ A ′ = − grad φ − ∂ t ∂ A が成り立つとする。このとき C 2 C^2 C 2 χ ( x , t ) \chi(\boldsymbol{x},t) χ ( x , t )
A ′ = A + grad χ , φ ′ = φ − ∂ χ ∂ t \boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi,\qquad \varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t} A ′ = A + grad χ , φ ′ = φ − ∂ t ∂ χ が成り立つ。すなわち 2 組はゲージ変換で結ばれる。
証明（定理 4.3） D = A ′ − A \boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}'-\boldsymbol{A} D = A ′ − A u = φ ′ − φ u=\varphi'-\varphi u = φ ′ − φ rot D = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0} rot D = 0 t t t 補題 2.1 を適用すると、Ω \Omega Ω
χ ( x , t ) = ∫ 0 1 x ⋅ D ( s x , t ) d s \chi(\boldsymbol{x},t)=\int_0^1\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{D}(s\boldsymbol{x},t)\,ds χ ( x , t ) = ∫ 0 1 x ⋅ D ( s x , t ) d s が D = grad χ \boldsymbol{D}=\operatorname{grad}\chi D = grad χ t t t χ \chi χ t t t
次に仮定の第 2 式に A ′ = A + grad χ \boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi A ′ = A + grad χ
− grad φ ′ − ∂ A ∂ t − ∂ ∂ t grad χ = − grad φ − ∂ A ∂ t -\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{grad}\chi
=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} − grad φ ′ − ∂ t ∂ A − ∂ t ∂ grad χ = − grad φ − ∂ t ∂ A より grad ( φ ′ − φ + ∂ t χ ) = 0 \operatorname{grad}\bigl(\varphi'-\varphi+\partial_t\chi\bigr)=\boldsymbol{0} grad ( φ ′ − φ + ∂ t χ ) = 0 Ω \Omega Ω x \boldsymbol{x} x g ( t ) g(t) g ( t )
φ ′ = φ − ∂ χ ∂ t + g ( t ) . \varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+g(t). φ ′ = φ − ∂ t ∂ χ + g ( t ) . 最後に g g g h ( t ) h(t) h ( t ) h ′ ( t ) = g ( t ) h'(t)=g(t) h ′ ( t ) = g ( t ) g g g 積分の基本定理 により連続な g g g χ ~ ( x , t ) = χ ( x , t ) − h ( t ) \tilde\chi(\boldsymbol{x},t)=\chi(\boldsymbol{x},t)-h(t) χ ~ ( x , t ) = χ ( x , t ) − h ( t ) h h h x \boldsymbol{x} x grad χ ~ = grad χ = D \operatorname{grad}\tilde\chi=\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{D} grad χ ~ = grad χ = D
φ − ∂ χ ~ ∂ t = φ − ∂ χ ∂ t + h ′ ( t ) = φ − ∂ χ ∂ t + g ( t ) = φ ′ . \varphi-\frac{\partial\tilde\chi}{\partial t}=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+h'(t)=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+g(t)=\varphi' . φ − ∂ t ∂ χ ~ = φ − ∂ t ∂ χ + h ′ ( t ) = φ − ∂ t ∂ χ + g ( t ) = φ ′ . よって χ ~ \tilde\chi χ ~
∎ 命題 4.2 と 定理 4.3 をあわせると、次のように言えます。ポテンシャルの全体は、同じ物理的な場を与えるもの同士でグループ分けされ、各グループ（ゲージ軌道）はちょうど 1 つのゲージ関数 χ \chi χ 物理的に意味があるのはグループそのものであって、その中のどの代表元を選ぶかは私たちの都合です。
ポテンシャルの空間 (φ, A) 物理的な場の空間 (E, B) ゲージ軌道 場を計算する写像 ポテンシャルの空間はゲージ軌道に分かれ、各軌道が 1 つの物理的な場に対応する 例 4.4 （スカラーポテンシャルはいつでも消せる ）
φ \varphi φ ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A ) t 0 t_0 t 0
χ ( x , t ) = ∫ t 0 t φ ( x , t ′ ) d t ′ \chi(\boldsymbol{x},t)=\int_{t_0}^{t}\varphi(\boldsymbol{x},t')\,dt' χ ( x , t ) = ∫ t 0 t φ ( x , t ′ ) d t ′ とおきます。微分積分学の基本定理 （第一部（定理 5.2）［積分の基本定理と定積分］ ）から ∂ t χ = φ \partial_t\chi=\varphi ∂ t χ = φ
φ ′ = φ − ∂ χ ∂ t = 0 , A ′ = A + grad ∫ t 0 t φ d t ′ . \varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}=0,\qquad
\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\int_{t_0}^{t}\varphi\,dt' . φ ′ = φ − ∂ t ∂ χ = 0 , A ′ = A + grad ∫ t 0 t φ d t ′ . つまり、どんな電磁場でも φ ≡ 0 \varphi\equiv0 φ ≡ 0 時間ゲージ 、あるいはワイルゲージ）。このとき電場は E = − ∂ t A ′ \boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{A}' E = − ∂ t A ′ φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A
定理 3.1 により斉次方程式は自動的に満たされたので、残る非斉次方程式をポテンシャルで書き直します。
ガウスの法則 div E = ρ / ε 0 \operatorname{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0 div E = ρ / ε 0 E = − grad φ − ∂ t A \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A} E = − grad φ − ∂ t A
− ∇ 2 φ − ∂ ∂ t ( div A ) = ρ ε 0 . -\nabla^2\varphi-\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\frac{\rho}{\varepsilon_0}. − ∇ 2 φ − ∂ t ∂ ( div A ) = ε 0 ρ . アンペール＝マクスウェルの法則には恒等式 rot rot A = grad ( div A ) − ∇ 2 A \operatorname{rot}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A} rot rot A = grad ( div A ) − ∇ 2 A
grad ( div A ) − ∇ 2 A = μ 0 j + 1 c 2 ∂ ∂ t ( − grad φ − ∂ A ∂ t ) \operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}
=\mu_0\boldsymbol{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr) grad ( div A ) − ∇ 2 A = μ 0 j + c 2 1 ∂ t ∂ ( − grad φ − ∂ t ∂ A ) を整理すると
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) A − grad ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) = − μ 0 j \Bigl(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Bigr)\boldsymbol{A}
-\operatorname{grad}\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\boldsymbol{j} ( ∇ 2 − c 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 ) A − grad ( div A + c 2 1 ∂ t ∂ φ ) = − μ 0 j となります。以下、ダランベール演算子 を
□ ≡ ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 \Box\;\equiv\;\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} □ ≡ ∇ 2 − c 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 と書きます（波動方程式の左辺に現れる演算子で、波の伝わる速さが c c c φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A div A + c − 2 ∂ t φ \operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi div A + c − 2 ∂ t φ 定理 4.3 が保証するゲージ自由度は、まさにこの組み合わせを操作するために使えるのです。
定義 5.1 （ローレンツゲージ条件 ） ↗
電磁ポテンシャル ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0 div A + c 2 1 ∂ t ∂ φ = 0 を満たすとき、ローレンツゲージ にあるという。
次の定理が言いたいのは、「条件をゼロにするようなゲージ関数 χ \chi χ t t t t − ∣ x − x ′ ∣ / c t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|/c t − ∣ x − x ′ ∣/ c c c c
定理 5.2 （ローレンツゲージはいつでも実現できる ） ✓
( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
□ χ = − ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) \Box\chi=-\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr) □ χ = − ( div A + c 2 1 ∂ t ∂ φ ) の解 χ \chi χ ( φ ′ , A ′ ) (\varphi',\boldsymbol{A}') ( φ ′ , A ′ ) □ χ = 0 \Box\chi=0 □ χ = 0 χ \chi χ
証明（定理 5.2） ゲージ変換 A ′ = A + grad χ \boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi A ′ = A + grad χ φ ′ = φ − ∂ t χ \varphi'=\varphi-\partial_t\chi φ ′ = φ − ∂ t χ div grad = ∇ 2 \operatorname{div}\operatorname{grad}=\nabla^2 div grad = ∇ 2
div A ′ + 1 c 2 ∂ φ ′ ∂ t = div A + ∇ 2 χ + 1 c 2 ∂ φ ∂ t − 1 c 2 ∂ 2 χ ∂ t 2 = ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) + □ χ . \operatorname{div}\boldsymbol{A}'+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi'}{\partial t}
=\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\nabla^2\chi+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2}
=\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)+\Box\chi . div A ′ + c 2 1 ∂ t ∂ φ ′ = div A + ∇ 2 χ + c 2 1 ∂ t ∂ φ − c 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 χ = ( div A + c 2 1 ∂ t ∂ φ ) + □ χ . したがって左辺をゼロにするには □ χ \Box\chi □ χ
χ ( x , t ) = 1 4 π ∫ S ( x ′ , t − ∣ x − x ′ ∣ / c ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ ( S = div A + c − 2 ∂ t φ ) \chi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi}\int \frac{S\bigl(\boldsymbol{x}',\,t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|/c\bigr)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x'
\quad\bigl(S=\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi\bigr) χ ( x , t ) = 4 π 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ S ( x ′ , t − ∣ x − x ′ ∣/ c ) d 3 x ′ ( S = div A + c − 2 ∂ t φ ) を持ちます。少なくとも 1 つ解が存在すればよいので、これで実現可能性が示せました。
後半も上の計算から直ちに従います。変換前後がどちらもローレンツゲージ条件を満たすなら、上の等式の両端がゼロなので □ χ = 0 \Box\chi=0 □ χ = 0 □ χ = 0 \Box\chi=0 □ χ = 0
∎ 系 5.3 （ローレンツゲージにおける波動方程式 ） ✓
ローレンツゲージ条件のもとで、マクスウェル方程式は
□ φ = − ρ ε 0 , □ A = − μ 0 j \Box\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad
\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j} □ φ = − ε 0 ρ , □ A = − μ 0 j と同値である。すなわち φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A
証明（系 5.3） §5.1 で得た 2 本の式に条件 定義 5.1 を代入します。
第 1 式について。div A = − c − 2 ∂ t φ \operatorname{div}\boldsymbol{A}=-c^{-2}\partial_t\varphi div A = − c − 2 ∂ t φ − ∇ 2 φ − ∂ t ( div A ) = ρ / ε 0 -\nabla^2\varphi-\partial_t(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\rho/\varepsilon_0 − ∇ 2 φ − ∂ t ( div A ) = ρ / ε 0
− ∇ 2 φ + 1 c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 = ρ ε 0 ⟺ □ φ = − ρ ε 0 . -\nabla^2\varphi+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Box\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}. − ∇ 2 φ + c 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 φ = ε 0 ρ ⟺ □ φ = − ε 0 ρ . 第 2 式について。□ A − grad ( div A + c − 2 ∂ t φ ) = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}-\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi)=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A − grad ( div A + c − 2 ∂ t φ ) = − μ 0 j □ A = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A = − μ 0 j
逆向きも同じ代入を逆にたどるだけです。
∎ これが電磁ポテンシャルを導入する実用上の最大の見返りです。6 成分・8 本の連立方程式が、同じ形をした 4 本の独立なスカラー波動方程式に化けました。しかもこの形から、ρ \rho ρ j \boldsymbol{j} j c c c
定義 5.5 （クーロンゲージ条件 ） ↗
電磁ポテンシャル ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A )
div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 を満たすとき、クーロンゲージ （横波ゲージ、放射ゲージ）にあるという。
命題 5.6 （クーロンゲージの実現と、そこでのスカラーポテンシャル ） ✓
任意の電磁ポテンシャル ( φ , A ) (\varphi,\boldsymbol{A}) ( φ , A ) ∇ 2 χ = − div A \nabla^2\chi=-\operatorname{div}\boldsymbol{A} ∇ 2 χ = − div A χ \chi χ ( φ ′ , A ′ ) (\varphi',\boldsymbol{A}') ( φ ′ , A ′ )
∇ 2 φ = − ρ ε 0 \nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} ∇ 2 φ = − ε 0 ρ を満たし、全空間で φ → 0 \varphi\to0 φ → 0 ∣ x ∣ → ∞ |\boldsymbol{x}|\to\infty ∣ x ∣ → ∞
φ ( x , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( x ′ , t ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ \varphi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x' φ ( x , t ) = 4 π ε 0 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ ρ ( x ′ , t ) d 3 x ′ と、同時刻 の電荷分布で書ける。
証明（命題 5.6） ゲージ変換で div A ′ = div A + ∇ 2 χ \operatorname{div}\boldsymbol{A}'=\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\nabla^2\chi div A ′ = div A + ∇ 2 χ ∇ 2 χ = − div A \nabla^2\chi=-\operatorname{div}\boldsymbol{A} ∇ 2 χ = − div A
次に §5.1 の第 1 式 − ∇ 2 φ − ∂ t ( div A ) = ρ / ε 0 -\nabla^2\varphi-\partial_t(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\rho/\varepsilon_0 − ∇ 2 φ − ∂ t ( div A ) = ρ / ε 0 div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 ∇ 2 φ = − ρ / ε 0 \nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0 ∇ 2 φ = − ρ / ε 0 静電場とガウスの法則 で扱った静電ポテンシャルの方程式（ポアソン方程式（定理 6.5）［静電場とガウスの法則］ ）とまったく同じで、時間 t t t φ → 0 \varphi\to0 φ → 0
∎ ローレンツゲージ クーロンゲージ 条件 div A + c − 2 ∂ t φ = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0 div A + c − 2 ∂ t φ = 0 div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 φ \varphi φ □ φ = − ρ / ε 0 \Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0 □ φ = − ρ / ε 0 ∇ 2 φ = − ρ / ε 0 \nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0 ∇ 2 φ = − ρ / ε 0 A \boldsymbol{A} A □ A = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A = − μ 0 j □ A = − μ 0 j T \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}} □ A = − μ 0 j T ローレンツ変換 形を変えない 形を変える（慣性系ごとに条件が違う） 得意な場面 電磁波の放射、相対論的な計算 束縛電子系、量子光学、非相対論的な近似
例 5.7 （静止した点電荷 ）
原点に静止した点電荷 q q q ρ ( x ) = q δ 3 ( x ) \rho(\boldsymbol{x})=q\delta^3(\boldsymbol{x}) ρ ( x ) = q δ 3 ( x ) j = 0 \boldsymbol{j}=\boldsymbol{0} j = 0 命題 5.6 の積分公式から
φ ( x ) = 1 4 π ε 0 ∫ q δ 3 ( x ′ ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ = q 4 π ε 0 ∣ x ∣ , A = 0 \varphi(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{q\delta^3(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}|},
\qquad \boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} φ ( x ) = 4 π ε 0 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ q δ 3 ( x ′ ) d 3 x ′ = 4 π ε 0 ∣ x ∣ q , A = 0 です（A \boldsymbol{A} A □ A = 0 \Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} □ A = 0 div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 φ \varphi φ div A + c − 2 ∂ t φ = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0 div A + c − 2 ∂ t φ = 0
E = − grad φ = q 4 π ε 0 x ∣ x ∣ 3 , B = 0 \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3},\qquad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} E = − grad φ = 4 π ε 0 q ∣ x ∣ 3 x , B = 0 で、クーロンの法則が再現されました。
例 5.8 （真空中の平面電磁波 ）
ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 j = 0 \boldsymbol{j}=\boldsymbol{0} j = 0 系 5.3 により □ φ = 0 \Box\varphi=0 □ φ = 0 □ A = 0 \Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} □ A = 0 例 4.4 と 定理 5.2 の残留自由度を使うと、真空では φ ≡ 0 \varphi\equiv0 φ ≡ 0 div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0
A ( x , t ) = A 0 ϵ cos ( k ⋅ x − ω t ) , ϵ ⋅ k = 0 , ∣ ϵ ∣ = 1 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=A_0\,\boldsymbol{\epsilon}\cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t),\qquad \boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k}=0,\ |\boldsymbol{\epsilon}|=1 A ( x , t ) = A 0 ϵ cos ( k ⋅ x − ω t ) , ϵ ⋅ k = 0 , ∣ ϵ ∣ = 1 とおきます。div A = − A 0 ( ϵ ⋅ k ) sin ( ⋯ ) = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=-A_0(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k})\sin(\cdots)=0 div A = − A 0 ( ϵ ⋅ k ) sin ( ⋯ ) = 0 ϵ ⋅ k = 0 \boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k}=0 ϵ ⋅ k = 0 □ A = 0 \Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} □ A = 0 − ∣ k ∣ 2 + ω 2 / c 2 = 0 -|\boldsymbol{k}|^2+\omega^2/c^2=0 − ∣ k ∣ 2 + ω 2 / c 2 = 0 ω = c ∣ k ∣ \omega=c|\boldsymbol{k}| ω = c ∣ k ∣
E = − ∂ A ∂ t = − A 0 ω ϵ sin ( k ⋅ x − ω t ) , \boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}=-A_0\omega\,\boldsymbol{\epsilon}\sin(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t), E = − ∂ t ∂ A = − A 0 ω ϵ sin ( k ⋅ x − ω t ) , B = rot A = − A 0 sin ( k ⋅ x − ω t ) k × ϵ . \boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=-A_0\sin(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t)\,\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{\epsilon}. B = rot A = − A 0 sin ( k ⋅ x − ω t ) k × ϵ . （2 番目は rot ( f ϵ ) = ( grad f ) × ϵ \operatorname{rot}(f\boldsymbol{\epsilon})=(\operatorname{grad}f)\times\boldsymbol{\epsilon} rot ( f ϵ ) = ( grad f ) × ϵ grad cos ( k ⋅ x − ω t ) = − k sin ( ⋯ ) \operatorname{grad}\cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t)=-\boldsymbol{k}\sin(\cdots) grad cos ( k ⋅ x − ω t ) = − k sin ( ⋯ )
∣ E ∣ ∣ B ∣ = A 0 ω A 0 ∣ k ∣ = ω ∣ k ∣ = c \frac{|\boldsymbol{E}|}{|\boldsymbol{B}|}=\frac{A_0\omega}{A_0|\boldsymbol{k}|}=\frac{\omega}{|\boldsymbol{k}|}=c ∣ B ∣ ∣ E ∣ = A 0 ∣ k ∣ A 0 ω = ∣ k ∣ ω = c で、E ⊥ B ⊥ k \boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\boldsymbol{k} E ⊥ B ⊥ k マクスウェル方程式と電磁波 で場から直接導いた性質が、ポテンシャルからは 1 つのベクトル ϵ \boldsymbol{\epsilon} ϵ ϵ \boldsymbol{\epsilon} ϵ k \boldsymbol{k} k 注意 5.4 の数え上げと一致します。
ここまで φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A η μ ν = d i a g ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1) η μν = diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) x μ = ( c t , x ) x^\mu=(ct,\boldsymbol{x}) x μ = ( c t , x ) ∂ μ = ∂ / ∂ x μ = ( c − 1 ∂ t , ∇ ) \partial_\mu=\partial/\partial x^\mu=(c^{-1}\partial_t,\nabla) ∂ μ = ∂ / ∂ x μ = ( c − 1 ∂ t , ∇ )
定義 6.1 （4 元ポテンシャルと 4 元電流 ） ↗
A μ = ( φ c , A ) , J μ = ( c ρ , j ) A^\mu=\Bigl(\frac{\varphi}{c},\ \boldsymbol{A}\Bigr),\qquad
J^\mu=(c\rho,\ \boldsymbol{j}) A μ = ( c φ , A ) , J μ = ( c ρ , j ) をそれぞれ4 元ポテンシャル 、4 元電流密度 という。また
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ を電磁場テンソル という。
定理 6.2 （マクスウェル方程式の共変形 ） ✓
定義 6.1 の記法のもとで、次が成り立つ。
斉次マクスウェル方程式は F μ ν F^{\mu\nu} F μν ∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 \partial^\lambda F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\lambda}+\partial^\nu F^{\lambda\mu}=0 ∂ λ F μν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 A μ A^\mu A μ C 2 C^2 C 2
ゲージ変換は A μ → A μ − ∂ μ χ A^\mu\to A^\mu-\partial^\mu\chi A μ → A μ − ∂ μ χ F μ ν F^{\mu\nu} F μν
ローレンツゲージ条件は ∂ μ A μ = 0 \partial_\mu A^\mu=0 ∂ μ A μ = 0
ローレンツゲージのもとで非斉次マクスウェル方程式は ∂ μ ∂ μ A ν = μ 0 J ν \partial_\mu\partial^\mu A^\nu=\mu_0 J^\nu ∂ μ ∂ μ A ν = μ 0 J ν ∂ μ ∂ μ = c − 2 ∂ t 2 − ∇ 2 = − □ \partial_\mu\partial^\mu=c^{-2}\partial_t^2-\nabla^2=-\Box ∂ μ ∂ μ = c − 2 ∂ t 2 − ∇ 2 = − □
証明（定理 6.2） 1. F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ∂ λ ∂ μ A ν \partial^\lambda\partial^\mu A^\nu ∂ λ ∂ μ A ν div rot = 0 \operatorname{div}\operatorname{rot}=0 div rot = 0 rot grad = 0 \operatorname{rot}\operatorname{grad}=\boldsymbol{0} rot grad = 0
2. ∂ μ = ( c − 1 ∂ t , − ∇ ) \partial^\mu=(c^{-1}\partial_t,-\nabla) ∂ μ = ( c − 1 ∂ t , − ∇ ) ∂ μ χ = ( c − 1 ∂ t χ , − grad χ ) \partial^\mu\chi=(c^{-1}\partial_t\chi,\,-\operatorname{grad}\chi) ∂ μ χ = ( c − 1 ∂ t χ , − grad χ )
A μ − ∂ μ χ = ( φ c − 1 c ∂ χ ∂ t , A + grad χ ) = ( φ ′ c , A ′ ) A^\mu-\partial^\mu\chi=\Bigl(\frac{\varphi}{c}-\frac{1}{c}\frac{\partial\chi}{\partial t},\ \boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi\Bigr)
=\Bigl(\frac{\varphi'}{c},\ \boldsymbol{A}'\Bigr) A μ − ∂ μ χ = ( c φ − c 1 ∂ t ∂ χ , A + grad χ ) = ( c φ ′ , A ′ ) となり、定義 4.1 のゲージ変換に一致します。F μ ν F^{\mu\nu} F μν − ( ∂ μ ∂ ν − ∂ ν ∂ μ ) χ = 0 -(\partial^\mu\partial^\nu-\partial^\nu\partial^\mu)\chi=0 − ( ∂ μ ∂ ν − ∂ ν ∂ μ ) χ = 0
3. ∂ μ A μ = 1 c ∂ ∂ t ( φ c ) + div A = 1 c 2 ∂ φ ∂ t + div A \partial_\mu A^\mu=\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\varphi}{c}\Bigr)+\operatorname{div}\boldsymbol{A}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}\boldsymbol{A} ∂ μ A μ = c 1 ∂ t ∂ ( c φ ) + div A = c 2 1 ∂ t ∂ φ + div A 定義 5.1 と同じです。
4. ν = 0 \nu=0 ν = 0 系 5.3 の □ φ = − ρ / ε 0 \Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0 □ φ = − ρ / ε 0 c c c □ ( φ / c ) = − ρ / ( c ε 0 ) \Box(\varphi/c)=-\rho/(c\varepsilon_0) □ ( φ / c ) = − ρ / ( c ε 0 ) ∂ μ ∂ μ = − □ \partial_\mu\partial^\mu=-\Box ∂ μ ∂ μ = − □ ∂ μ ∂ μ A 0 = ρ / ( c ε 0 ) \partial_\mu\partial^\mu A^0=\rho/(c\varepsilon_0) ∂ μ ∂ μ A 0 = ρ / ( c ε 0 ) c 2 = 1 / ( ε 0 μ 0 ) c^2=1/(\varepsilon_0\mu_0) c 2 = 1/ ( ε 0 μ 0 ) 1 / ( c ε 0 ) = μ 0 c 1/(c\varepsilon_0)=\mu_0 c 1/ ( c ε 0 ) = μ 0 c μ 0 c ρ = μ 0 J 0 \mu_0 c\rho=\mu_0J^0 μ 0 c ρ = μ 0 J 0 □ A = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A = − μ 0 j ∂ μ ∂ μ A = μ 0 j \partial_\mu\partial^\mu\boldsymbol{A}=\mu_0\boldsymbol{j} ∂ μ ∂ μ A = μ 0 j
∎ 演習 7.2 標準
任意の電磁ポテンシャルが φ ≡ 0 \varphi\equiv0 φ ≡ 0 例 4.4 の復習）、その条件 φ = 0 \varphi=0 φ = 0
解答 χ ( x , t ) = ∫ t 0 t φ ( x , t ′ ) d t ′ \chi(\boldsymbol{x},t)=\int_{t_0}^{t}\varphi(\boldsymbol{x},t')\,dt' χ ( x , t ) = ∫ t 0 t φ ( x , t ′ ) d t ′ t ′ t' t ′ ∂ t χ ( x , t ) = φ ( x , t ) \partial_t\chi(\boldsymbol{x},t)=\varphi(\boldsymbol{x},t) ∂ t χ ( x , t ) = φ ( x , t ) φ ′ = φ − ∂ t χ = 0 \varphi'=\varphi-\partial_t\chi=0 φ ′ = φ − ∂ t χ = 0
残留自由度を求めます。φ ′ = 0 \varphi'=0 φ ′ = 0 ψ \psi ψ φ ′ ′ = φ ′ − ∂ t ψ = − ∂ t ψ \varphi''=\varphi'-\partial_t\psi=-\partial_t\psi φ ′′ = φ ′ − ∂ t ψ = − ∂ t ψ 0 0 0 ∂ t ψ = 0 \partial_t\psi=0 ∂ t ψ = 0 ψ \psi ψ φ ≡ 0 \varphi\equiv0 φ ≡ 0
A → A + grad ψ ( x ) , ψ は t に依らない \boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\psi(\boldsymbol{x}),\qquad \psi \text{ は } t \text{ に依らない} A → A + grad ψ ( x ) , ψ は t に依らない に限られます。時間ゲージを課してもなお、時間に依らないゲージ関数 1 つ分の自由度が残ることになります。
演習 7.3 標準
ローレンツゲージにおける波動方程式 系 5.3 から、電荷保存則
∂ ρ ∂ t + div j = 0 \frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\boldsymbol{j}=0 ∂ t ∂ ρ + div j = 0 が従うことを示してください。（ヒント：ゲージ条件の左辺に □ \Box □
解答 □ A = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A = − μ 0 j □ \Box □ div \operatorname{div} div
□ ( div A ) = − μ 0 div j . \Box(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=-\mu_0\operatorname{div}\boldsymbol{j}. □ ( div A ) = − μ 0 div j . また □ φ = − ρ / ε 0 \Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0 □ φ = − ρ / ε 0 t t t c − 2 c^{-2} c − 2
□ ( 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) = − 1 c 2 ε 0 ∂ ρ ∂ t = − μ 0 ∂ ρ ∂ t \Box\Bigl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\frac{1}{c^2\varepsilon_0}\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\mu_0\frac{\partial\rho}{\partial t} □ ( c 2 1 ∂ t ∂ φ ) = − c 2 ε 0 1 ∂ t ∂ ρ = − μ 0 ∂ t ∂ ρ （最後の等号で c 2 = 1 / ( ε 0 μ 0 ) c^2=1/(\varepsilon_0\mu_0) c 2 = 1/ ( ε 0 μ 0 ) 1 / ( c 2 ε 0 ) = μ 0 1/(c^2\varepsilon_0)=\mu_0 1/ ( c 2 ε 0 ) = μ 0
□ ( div A + 1 c 2 ∂ φ ∂ t ) = − μ 0 ( div j + ∂ ρ ∂ t ) . \Box\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr). □ ( div A + c 2 1 ∂ t ∂ φ ) = − μ 0 ( div j + ∂ t ∂ ρ ) . 左辺の括弧はローレンツゲージ条件 定義 5.1 によりゼロなので、左辺は 0 0 0 μ 0 ≠ 0 \mu_0\neq0 μ 0 = 0 div j + ∂ t ρ = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j}+\partial_t\rho=0 div j + ∂ t ρ = 0
電荷が保存しない状況ではローレンツゲージの波動方程式が矛盾する、ということでもあります。ゲージ不変性と電荷保存則が表裏の関係にあることの、初等的な現れです。
演習 7.4 難
例 3.5 のソレノイド外部領域 Ω = { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 > a 2 } \Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2>a^2\} Ω = {( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 > a 2 }
(1) Ω \Omega Ω B = 0 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} B = 0 rot A = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} rot A = 0 A \boldsymbol{A} A 0 \boldsymbol{0} 0
(2) Ω \Omega Ω U ⊂ Ω U\subset\Omega U ⊂ Ω U U U A \boldsymbol{A} A 0 \boldsymbol{0} 0
解答 (1) 背理法で示します。ゲージ関数 χ \chi χ A + grad χ = 0 \boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0} A + grad χ = 0 A = − grad χ \boldsymbol{A}=-\operatorname{grad}\chi A = − grad χ Ω \Omega Ω χ \chi χ Ω \Omega Ω C 2 C^2 C 2 r > a r>a r > a C C C z = z= z = z z z
∮ C A ⋅ d l = − ∮ C grad χ ⋅ d l = − [ χ ] 始点 終点 = 0. \oint_C\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=-\oint_C\operatorname{grad}\chi\cdot d\boldsymbol{l}=-\bigl[\chi\bigr]_{\text{始点}}^{\text{終点}}=0 . ∮ C A ⋅ d l = − ∮ C grad χ ⋅ d l = − [ χ ] 始点 終点 = 0. ところが 例 3.5 の計算から
∮ C A ⋅ d l = 2 π r ⋅ Φ 2 π r = Φ = π a 2 B ≠ 0 \oint_C\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=2\pi r\cdot\frac{\Phi}{2\pi r}=\Phi=\pi a^2B\neq0 ∮ C A ⋅ d l = 2 π r ⋅ 2 π r Φ = Φ = π a 2 B = 0 （B ≠ 0 B\neq0 B = 0 χ \chi χ
(2) U U U U U U rot A = 0 \operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} rot A = 0 補題 2.1 により U U U A = grad f \boldsymbol{A}=\operatorname{grad}f A = grad f f f f χ = − f \chi=-f χ = − f U U U A + grad χ = 0 \boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0} A + grad χ = 0
矛盾しない理由は、(2) で得た χ \chi χ Ω \Omega Ω χ \chi χ z z z Φ \Phi Φ Ω \Omega Ω A \boldsymbol{A} A
砂川重信『理論電磁気学（第 3 版）』紀伊國屋書店、1999 — 電磁ポテンシャルとゲージ変換、遅延ポテンシャルを扱う章。
太田浩一『マクスウェル理論の基礎 ― 相対論と電磁気学』東京大学出版会、2002 — ポテンシャルの導入と 4 元形式の関係を丁寧に扱っています。
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd ed., Wiley, 1999 — 第 6 章（ゲージ変換、ローレンツゲージとクーロンゲージ、横成分電流）、第 11 章（特殊相対論と共変形式）。
L. D. ランダウ・E. M. リフシッツ『場の古典論（原書第 6 版）』東京図書 — 第 3 章「場の中の電荷」。4 元ポテンシャルとゲージ不変性を出発点に据えた構成です。
J. D. Jackson and L. B. Okun, “Historical roots of gauge invariance”, Reviews of Modern Physics 73 (2001), 663–680. DOI: 10.1103/RevModPhys.73.663 — ローレンツゲージの命名を含むゲージ不変性の歴史。
Y. Aharonov and D. Bohm, “Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory”, Physical Review 115 (1959), 485–491. DOI: 10.1103/PhysRev.115.485
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics , Vol. II, Chapter 15 “The Vector Potential” — オンライン版
横成分と縦成分への分解。 クーロンゲージで φ \varphi φ 命題 5.6 ）のに、なぜ因果性が壊れないのか。その仕組みを見ておきます。全空間で十分速く減衰する電流密度 j \boldsymbol{j} j
j = j L + j T , rot j L = 0 , div j T = 0 \boldsymbol{j}=\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}},\qquad
\operatorname{rot}\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}=\boldsymbol{0},\quad \operatorname{div}\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}}=0 j = j L + j T , rot j L = 0 , div j T = 0 と一意に分けられます。j L \boldsymbol{j}_{\mathrm{L}} j L 縦成分 、j T \boldsymbol{j}_{\mathrm{T}} j T 横成分 といいます。補題 2.1 により j L = grad ψ \boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}=\operatorname{grad}\psi j L = grad ψ ∇ 2 ψ = div j \nabla^2\psi=\operatorname{div}\boldsymbol{j} ∇ 2 ψ = div j
ψ ( x , t ) = − 1 4 π ∫ ( div ′ j ) ( x ′ , t ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ \psi(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{4\pi}\int\frac{(\operatorname{div}'\boldsymbol{j})(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x' ψ ( x , t ) = − 4 π 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ ( div ′ j ) ( x ′ , t ) d 3 x ′ です（∇ 2 ( − 1 4 π ∣ x − x ′ ∣ ) = δ 3 ( x − x ′ ) \nabla^2\bigl(-\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\bigr)=\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}') ∇ 2 ( − 4 π ∣ x − x ′ ∣ 1 ) = δ 3 ( x − x ′ )
φ \varphi φ 命題 5.6 のクーロン積分を t t t ∂ t ρ = − div j \partial_t\rho=-\operatorname{div}\boldsymbol{j} ∂ t ρ = − div j
ε 0 ∂ φ ∂ t = 1 4 π ∫ ∂ t ρ ( x ′ , t ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ = − 1 4 π ∫ ( div ′ j ) ( x ′ , t ) ∣ x − x ′ ∣ d 3 x ′ = ψ ( x , t ) . \varepsilon_0\frac{\partial\varphi}{\partial t}
=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\partial_t\rho(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x'
=-\frac{1}{4\pi}\int\frac{(\operatorname{div}'\boldsymbol{j})(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x'
=\psi(\boldsymbol{x},t). ε 0 ∂ t ∂ φ = 4 π 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ ∂ t ρ ( x ′ , t ) d 3 x ′ = − 4 π 1 ∫ ∣ x − x ′ ∣ ( div ′ j ) ( x ′ , t ) d 3 x ′ = ψ ( x , t ) . したがって ε 0 grad ∂ t φ = grad ψ = j L \varepsilon_0\operatorname{grad}\partial_t\varphi=\operatorname{grad}\psi=\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}} ε 0 grad ∂ t φ = grad ψ = j L
結論。 §5.1 で得た一般の A \boldsymbol{A} A □ A − grad ( div A + c − 2 ∂ t φ ) = − μ 0 j \Box\boldsymbol{A}-\operatorname{grad}\bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi\bigr)=-\mu_0\boldsymbol{j} □ A − grad ( div A + c − 2 ∂ t φ ) = − μ 0 j div A = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{A}=0 div A = 0 c − 2 = ε 0 μ 0 c^{-2}=\varepsilon_0\mu_0 c − 2 = ε 0 μ 0
□ A = − μ 0 j + μ 0 ε 0 grad ∂ φ ∂ t = − μ 0 j + μ 0 j L = − μ 0 j T . \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}+\mu_0\varepsilon_0\operatorname{grad}\frac{\partial\varphi}{\partial t}
=-\mu_0\boldsymbol{j}+\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}
=-\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}} . □ A = − μ 0 j + μ 0 ε 0 grad ∂ t ∂ φ = − μ 0 j + μ 0 j L = − μ 0 j T . つまりクーロンゲージでは、A \boldsymbol{A} A φ \varphi φ A \boldsymbol{A} A E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B 定理 4.3 が保証する「物理はゲージ軌道の上でだけ定義される」という見方が、ここで具体的に働いています。