指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ

0. この記事の要点

• アティヤ・シンガーの指数定理は、コンパクト多様体上の楕円型作用素について、解析的に定まる整数（核と余核の次元差）が、主表象の K-理論類だけで決まる位相的な量に等しいと主張します。
• 指数が「二つの跡の差」として書けること（カルデロン・フェドソフの公式）が、指数を非可換幾何の言葉に翻訳する蝶番です。多様体はどこにも要りません。必要なのは代数と作用素だけです。
• コンヌは、ド・ラームホモロジーの非可換版である巡回コホモロジーを構成し、$K_0(A)$ との対によって指数を「特性類どうしの対」として表しました。$A = C^\infty(M)$ のときこれは古典的な指数定理に戻ります。
• コンヌ・モスコヴィッチの局所指数公式は、この対をゼータ関数の留数（非可換な積分）で書き下します。古典的な $\hat{A}$ 種数の公式はその特別な場合です。
• 枠組みは葉層構造・被覆空間・離散群へ拡張され、そこでは指数は整数とは限らず、たとえば $\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$ に値をとります。
• 有限次元代数を掛けた「ほとんど可換な」幾何にスペクトル作用原理を適用すると、重力と標準模型のラグランジアンが同時に出てきます。これがコンヌ・ロット模型の系譜です。

1. 動機：指数はなぜ位相的なのか

線型代数では、有限次元空間の間の線型写像 $T : V \to W$ について

$$\dim \ker T - \dim \operatorname{coker} T = \dim V - \dim W$$

が常に成り立ちます。左辺は $T$ の詳細に依存しそうな量ですが、右辺は $T$ を一切見ていません。個々の次元 $\dim\ker T$ は $T$ を動かすと跳ねますが、差は動かない。これが指数という思想の原型です。

無限次元では $\dim V - \dim W$ が意味を失います。ところが 1950 年代までに、コンパクト多様体上の楕円型微分作用素については左辺が有限確定値をとり、作用素の連続変形で不変であることが分かってきました。ゲルファントは 1960 年、この不変量は作用素の主表象のホモトピー類だけで決まるはずだと予想します。実際、リーマン・ロッホの定理、ヒルツェブルフの符号数定理、ガウス・ボンネの定理は、すべて「ある楕円型作用素の指数 = ある特性類の積分」という同じ形をしていました。個別の定理を統一する公式があるに違いない——それがアティヤとシンガーの 1963 年の定理です。

さらに一歩進んだ問いがあります。指数定理は多様体を本当に必要としているのか。指数とは結局「$T$ が可逆になり損ねる度合いの符号付き総和」であり、それを測る道具は跡（トレース）です。跡は代数と表現があれば定義できます。葉層構造の葉空間や群作用の商のような「病的な空間」は、点の集合としては潰れますが（葉空間の位相は密着位相（命題 1.1）［非可換トーラス A_θ］）、非可換 $C^*$-代数としては豊かな情報を保ちます（非可換幾何学への動機 を参照してください）。そうした空間の上でも指数定理を述べたい。そのためには、ド・ラームコホモロジーに代わる「非可換な特性類の理論」——巡回コホモロジー——が必要になります。

この章では、古典的な指数定理を述べたうえで、それを非可換化する道筋を、証明可能なところは証明を付けて追い、最後にこの枠組みが標準模型をどう再構成するかに触れます。

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