数学

数学のテーマは 12 個、記事は 75 本です。各テーマは第 1 章から順に読めるよう並べています。

数学基礎

大学生（理系）、数学を学び直す社会人／全 6 章のうち 6 本を公開

• 数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする集合の元・部分集合・べき集合、和集合と共通部分と補集合を定義から厳密に扱い、真理値表による命題論理、全称記号と存在記号の否定規則、必要条件と十分条件までを、ド・モルガンの法則の証明を軸に整理する。学部集合論命題論理述語論理ド・モルガンの法則量化子約 37 分
• 数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか自然数から実数への拡張を「解けない方程式」を動機に追い、√2 の無理性と有理数の「隙間」を証明する。実数の連続性公理から 1 = 0.999… を三通りに示し、ゼロ除算が許されない理由も積の逆演算として説明する。学部実数有理数無理数完備性無限小数約 19 分
• 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか数学的帰納法が正しい理由を整列性とペアノの公理から説明し、基底ステップを欠いた誤証明や「すべての馬は同じ色」の穴を解剖する。背理法と対偶証明の違いを整理し、平方根 2 が無理数であることを二通りに証明する。学部数学的帰納法背理法対偶証明ペアノの公理無理数約 35 分
• 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined）本二項関係を直積集合の部分集合として定義し、反射律・対称律・推移律から同値類と商集合を構成する。整数の合同や有理数の構成を例に、商集合上の演算が代表元の取り方によらず定まること（well-defined）を証明つきで解説する。学部同値関係同値類商集合合同式well-defined約 37 分
• 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」本集合の大きさを全単射で定義し直し、整数と有理数が可算であること、実数がカントールの対角線論法で非可算であることを証明する。カントールの定理と連続体仮説の独立性まで扱う。学部集合論濃度可算集合対角線論法連続体仮説約 38 分
• ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか本ペアノ算術のような形式体系を定義し、ゲーデル数化と対角化補題を組み立てて第一・第二不完全性定理の主張を正確に述べる。真理と証明可能性のずれ、非標準モデル、リーマン予想の独立性まで踏み込む。学部数理論理学不完全性定理ペアノ算術形式体系決定不可能性約 50 分

微分積分学

大学生（理系）／全 8 章のうち 8 本を公開

• 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む「限りなく近づく」がなぜ定義になり得ないかをディリクレ関数で確かめ、ε-δ 論法を量化子の順序として読み直す。極限の一意性・四則・はさみうちから連続性・一様連続性までを定義だけから証明する。学部極限連続性ε-δ論法一様連続性約 18 分
• 導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで微分係数を差分商の極限として定義し、微分可能性が一次近似の存在と同値であることを示す。x^n・sin x・e^x の導関数を定義から導出し、線形性・積・商の法則、連鎖律、逆関数の微分法を証明する。学部微分導関数連鎖律積の法則一次近似約 29 分
• 平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元するロル・ラグランジュ・コーシーの平均値の定理を最大値定理から順に証明し、それを土台にロピタルの定理とラグランジュ剰余付きテイラーの定理を導く。指数関数・正弦関数・対数関数のマクローリン展開を、誤差の評価まで込めて計算する。学部解析学平均値の定理テイラー展開ロピタルの定理剰余項約 30 分
• 積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ本定積分をダルブー和（リーマン和）の極限として定義し、可積分条件と連続関数の可積分性を証明したうえで、微分積分学の基本定理を厳密に示し、置換積分・部分積分を導出する。学部積分リーマン和微分積分学の基本定理原始関数部分積分約 29 分
• 多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである本偏導関数が両方あっても関数が連続とは限らない、という反例から出発し、微分を一次近似として定義し直す。接平面・勾配・連鎖律・2 変数テイラー展開・ヘッセ行列による極値判定までを、反例つきで証明します。学部多変数関数偏微分全微分接平面ヘッセ行列約 22 分
• 重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する本2 重積分を「柱の体積の和」のリーマン和として定義し、フビニの定理で累次積分に直す手順、積分順序の交換が破れる反例、極座標などの変数変換に現れるヤコビアンの意味と計算を解説する。学部重積分累次積分フビニの定理ヤコビアン変数変換約 22 分
• 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束本無限級数の和を部分和の極限として定義し、比較・積分・ダランベール・コーシーの各判定法を証明付きで整理する。絶対収束と条件収束を区別し、交項級数とリーマンの再配列定理で和の順序が意味を持つ理由まで示す。学部解析学無限級数収束判定絶対収束交項級数約 17 分
• ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由本sinc 関数の広義積分が π/2 になることを一様収束を使って厳密に示し、sinc の積の積分が 7 回 π/2 を保った後に 8 回目で崩れる現象を、フーリエ変換と一様分布の畳み込みという視点から完全に説明する。学部広義積分フーリエ変換畳み込みsinc関数ディリクレ積分約 20 分

線形代数学

大学生（理系）、データサイエンティスト／全 7 章のうち 7 本を公開

• ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理までベクトル空間の 8 公理を出発点に、部分空間・線形独立・基底・次元を厳密に定義し、取り替え補題から次元の一意性を証明します。線形変換の核と像を調べ、次元定理を証明して、回転・射影・微分・主成分分析で確かめます。学部線形代数ベクトル空間基底と次元線形変換次元定理約 62 分
• 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造行列を線形写像の表現として導入し、積が写像の合成に対応することを示す。基底変換の公式、ガウスの消去法、階数と次元定理を経て、Ax=b の解集合が特殊解と核の和になることを証明する。学部線形代数行列表現行列掃き出し法階数約 64 分
• 行列式とその性質：符号付き体積としての det行列式を置換の符号によるライプニッツの公式と余因子展開の両面から定義し、多重線形性と交代性による特徴づけから det(AB)=det(A)det(B) と正則性の判定を証明し、符号付き体積という幾何的意味まで見通す。学部線形代数行列式多重線形性余因子展開正則行列約 52 分
• 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す本固有値と固有ベクトルを「線形変換が向きを変えない方向」として導入し、特性方程式による求め方、固有空間の和が直和になること、代数的重複度と幾何学的重複度の大小関係を証明する。対角化可能性の判定条件と主成分分析への応用まで扱う。学部線形代数固有値固有ベクトル特性多項式固有空間約 55 分
• 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す本行列の対角化を「線形変換が最も簡単に見える基底を選ぶこと」と捉え、可能性の判定を重複度で与える。べき乗計算や実対称行列の直交対角化に応用し、対角化できない行列にはジョルダン標準形の構造と細胞の決め方までを扱う。学部線形代数対角化ジョルダン標準形対称行列重複度約 49 分
• 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む本内積の公理から長さ・角度・直交性を定義し、コーシー・シュワルツの不等式、正規直交基底による展開、グラム・シュミットの直交化、直交補空間と直交射影による最良近似（最小二乗法）までを証明付きで積み上げる。学部線形代数内積空間正規直交基底グラム・シュミット直交射影約 33 分
• スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか本随伴行列の定義からエルミート行列とユニタリ行列の性質を導き、エルミート行列がユニタリ行列で実対角化できること（スペクトル定理）を帰納法で証明する。スペクトル分解、2 次形式の主軸、主成分分析への応用まで計算例つきで扱う。学部スペクトル定理エルミート行列直交対角化2次形式主成分分析約 68 分

代数学（群・環・体）

大学生（理系・数学科）／全 7 章のうち 7 本を公開

• 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉結合法則・単位元・逆元という三つの公理から群を定義し、整数の加法・剰余類・一般線形群・対称群を対比しながら、S3 の演算表・元の位数・巡回群までを証明付きで積み上げる。学部代数学群対称群巡回群位数約 39 分
• 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか部分群の定義と一段階判定法から出発し、左剰余類が群を等しい大きさの塊に分割することを示して、有限群の部分群の位数が全体の位数を割るというラグランジュの定理を証明する。オイラーの定理と、逆が成り立たない例まで扱う。学部群論部分群剰余類ラグランジュの定理有限群約 42 分
• 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件剰余類の集合に代表元どうしの積で演算を入れたいという要求から正規部分群の定義を導き、商群 G/N が群になることと自然な全射準同型の存在を証明し、Z/nZ を具体例として細部まで調べます。学部群論正規部分群商群剰余類合同式約 40 分
• 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み本群準同型の定義から出発し、核が正規部分群・像が部分群であることを証明したうえで、準同型定理 G/Ker f ≅ Im f を厳密に示します。行列式・置換の符号・指数関数の例で計算を最後まで実行します。学部群論準同型写像核と像第一同型定理商群約 47 分
• 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する本環の公理をアーベル群と乗法モノイドの分配則による接着として定義し、単元・零因子・整域・体の階層を証明付きで整理する。整数環、Z/nZ、多項式環、行列環、ガウス整数環を実際に分類してみせる。学部環体整域多項式環環準同型約 37 分
• イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群本イデアルを正規部分群の類似物として導入し、剰余環 R/I の演算が代表元によらないことを証明する。環の準同型定理、素イデアル・極大イデアルと剰余環が整域・体になる条件、単項イデアル整域までを具体例つきで扱う。学部イデアル剰余環準同型定理極大イデアル単項イデアル整域約 46 分
• ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める本体の拡大と自己同型群（ガロア群）が包含を逆にして対応することを具体例で確かめ、5 次方程式に根号の解の公式が存在しない理由が、対称群 S5 が可解群でないという群論の事実に帰着する仕組みを説明します。学部ガロア理論体の拡大ガロア群可解群代数方程式約 23 分

解析学（実解析）

大学生（理系・数学科）／全 6 章のうち 6 本を公開

• 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」実数の完備性を「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理から出発し、アルキメデスの原理、上限の存在、有理数・無理数の稠密性、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、コーシー列の収束までを省略なしに証明する。学部完備性コーシー列上限ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理約 20 分
• 連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか有界閉区間上の連続関数が有界性・最大値・中間値をもつことをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と区間縮小法から証明し、さらに δ が点に依存しない一様連続性を定義してハイネ・カントールの定理を示す。学部一様連続性連続関数中間値の定理最大値の原理完備性約 17 分
• 関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか本関数列の各点収束と一様収束を量化子の順序で区別し、x^n や背の高い三角形などの反例を計算しながら、一様収束が連続性と積分を保つこと、微分の交換には導関数列の一様収束が必要であることを証明する。学部一様収束関数列各点収束項別積分項別微分約 30 分
• 可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る本リーマン積分が扱えないディリクレ関数を出発点に、区間の長さから作るルベーグ外測度、カラテオドリの条件による可測集合、σ-加法族と完全加法性、測度零集合と「ほとんど至るところ」までを、証明を省かずに積み上げます。学部ルベーグ測度外測度可測集合カラテオドリ条件測度零集合約 24 分
• ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する本可測関数を定義し、単関数・非負可測関数・可積分関数の順にルベーグ積分を構成します。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、リーマン積分可能な関数では両者の値が一致することを示します。学部ルベーグ積分可測関数単調収束定理優収束定理測度論約 36 分
• L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで本p 乗可積分関数のなす L^p 空間を測度空間上で定義し、ヤングの不等式からヘルダー・ミンコフスキーの不等式を導く。さらにリース–フィッシャーの定理で完備性を証明し、L^2 がヒルベルト空間になることと関数解析への接続を述べる。学部Lp空間ヘルダーの不等式バナッハ空間ヒルベルト空間完備性約 19 分

複素関数論

大学生（理系）／全 6 章のうち 6 本を公開

• 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか三次方程式の実数解を求める過程で虚数が不可避になった経緯から出発し、複素数体の構成、共役と絶対値、極形式とオイラーの公式、ド・モアブルの定理と 1 の n 乗根、複素平面の開集合と領域までを証明付きで整理します。学部複素数複素平面オイラーの公式ド・モアブルの定理領域約 37 分
• 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか複素微分可能性を「どの方向から近づいても同じ極限」という要求として読み解き、コーシー・リーマンの関係式を導く。偏微分の存在だけでは足りない反例を挙げ、全微分可能性を加えれば必要十分になることを証明し、指数関数・三角関数・対数の主枝の正則性を確かめる。学部複素解析正則関数コーシー・リーマンの関係式全微分可能性調和関数約 29 分
• コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる本複素線積分を定義から積み上げ、グリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式からコーシーの積分定理を証明する。グルサの定理で導関数の連続性の仮定を外し、積分路の変形を経てコーシーの積分公式を導き、正則関数が境界の値だけで決まることを示す。学部複素線積分コーシーの積分定理コーシーの積分公式グルサの定理単連結領域約 33 分
• 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで本コーシーの積分公式から「正則関数は無限回微分可能」を導き、コーシーの評価式・リューヴィルの定理・代数学の基本定理、テイラー展開とローラン展開、そして一致の定理までを、実関数論との違いを対比しながら証明します。学部正則関数テイラー展開ローラン展開リューヴィルの定理一致の定理約 30 分
• 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで本孤立特異点を除去可能・極・真性の三つに分類し、留数を定義して留数定理を証明する。さらに有理関数の広義積分、三角関数の周期積分、ジョルダンの補題を使うフーリエ型積分を、輪郭の選び方から計算例まで具体的に扱う。学部複素関数論留数定理孤立特異点広義積分ローラン展開約 25 分
• 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」本正則関数が角度を保つ理由をコーシー・リーマンの関係式から示し、メビウス変換の円円対応と交比、シュワルツの補題による単位円板の自己同型の決定を経て、リーマンの写像定理の主張と意義までを追う。学部等角写像メビウス変換リーマン写像定理シュワルツの補題約 48 分

位相空間論

大学生（理系・数学科）／全 5 章のうち 5 本を公開

• 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る距離空間の開集合が満たす3つの性質だけを抜き出して位相空間を定義し、離散・密着・順序・ザリスキー位相を具体的に構成しながら、近傍・内部・閉包・境界の基本性質を証明します。修士位相空間開集合距離空間閉包近傍約 31 分
• 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す連続性を「開集合の逆像が開集合」と定義し、それが距離空間の ε-δ 連続と同値であることを証明する。同相写像を導入し、R と (0,1) が同相で R と [0,1] が同相でない理由を最後まで計算して示す。修士位相空間連続写像同相写像位相不変量約 34 分
• コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化本開被覆から有限個を選び出せるというコンパクト性の定義を有界閉集合の一般化として動機づけ、ハイネ・ボレルの定理、連続像のコンパクト性、最大値の原理を距離に頼らずに証明する。修士位相空間論コンパクト性ハイネ・ボレルの定理最大値の原理約 45 分
• 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する本位相空間の連結性を、分離の非存在・開かつ閉の集合・2 値連続写像の 3 通りで特徴づけ、R の連結部分集合が区間であることから中間値の定理を導く。弧状連結との違いはトポロジストの正弦曲線で確かめる。修士位相空間連結性弧状連結中間値の定理約 25 分
• 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理本位相空間の「分離の度合い」を測る T0〜T4 の階層を定義し、ハウスドルフ性が極限の一意性を保証すること、距離空間が正規であることを証明し、ウリゾーンの補題を経て第二可算な正則空間の距離づけ可能性を示す。修士位相空間分離公理ハウスドルフ空間ウリゾーンの補題距離化定理約 46 分

多様体論

大学生（理系・数学科）／全 5 章のうち 5 本を公開

• 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む局所的にユークリッド空間と同一視できる空間で微分を語るために、チャート・座標変換・極大アトラスを厳密に導入する。球面・実射影空間・トーラスのアトラスを具体的に構成し、多様体上の C^k 級関数と多様体間の C^k 級写像までを定義する。修士多様体チャートアトラス微分可能構造射影空間約 41 分
• 接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀多様体上の接ベクトル空間を、曲線の同値類・座標成分の変換則・導分という三つの流儀で構成し、Hadamard の補題を用いて三者が自然に同型であることを証明する。さらに写像の微分と連鎖律、接バンドルが 2n 次元多様体になることまで示す。修士多様体接ベクトル空間接バンドル微分写像導分約 52 分
• ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分本ベクトル場を接バンドルの切断として定義し、余接バンドルから k 次微分形式と外積代数を構成する。外微分 d の存在と一意性を公理から証明し、d∘d=0 が grad・rot・div の恒等式を統一することを示す。修士多様体微分形式外微分外積代数接バンドル約 25 分
• ストークスの定理：微分と境界の双対性本向き付け可能な多様体と境界付き多様体を定義し、1 の分割で積分を構成して一般化ストークスの定理を証明する。微分積分学の基本定理・グリーン・ガウス・ストークスがすべてその特別な場合であることを確かめる。修士多様体微分形式積分向き付けストークスの定理約 41 分
• リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する本多様体かつ群であるリー群を定義し、GL(n,R)・SL(n,R)・O(n)・U(n) を正則値定理で構成する。左不変ベクトル場から単位元の接空間にブラケットを入れてリー環を作り、指数写像で両者を結びつける。修士リー群リー環指数写像左不変ベクトル場古典群約 48 分

確率論

大学生（理系）、データサイエンティスト／全 6 章のうち 6 本を公開

• 確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。学部確率論測度論σ-加法族ベイズの定理独立性約 40 分
• 確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値確率変数を可測関数として厳密に定義し、像測度としての分布、単関数近似による期待値の構成、変数変換公式、分散・共分散・相関係数、チェビシェフの不等式までを証明付きで解説する。学部確率変数期待値分散共分散チェビシェフの不等式約 28 分
• 大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか確率収束・概収束・平均収束・分布収束の定義と含意関係を整理し、弱法則と強法則、そして特性関数による中心極限定理の証明を与える。標準誤差 1/√n と信頼区間の根拠まで一気に繋ぐ。学部確率論大数の法則中心極限定理確率収束特性関数約 37 分
• 条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する本条件付き期待値をσ-加法族に対する概念として厳密に定義し、ラドン・ニコディムの定理による存在と一意性、タワー・プロパティ、既知量の取り出し、条件付きイェンセン不等式、L^2直交射影としての特徴づけまでを証明付きで解説する。学部確率論条件付き期待値ラドン・ニコディムの定理タワー・プロパティ直交射影約 19 分
• マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ本条件付き期待値を土台にマルチンゲールを定義し、任意停止定理をギャンブラーの破産問題に適用する。さらにウィーナー過程を厳密に定義し、二次変分と、ブラウン運動から作られる三つのマルチンゲールを証明する。学部確率論マルチンゲールブラウン運動停止時刻二次変分約 29 分
• 確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか本ブラウン運動が有界変動でないことを二次変分から示し、古典的な積分が使えない理由を明らかにする。単純過程と伊藤等長性による伊藤積分の構成、確率過程の連鎖律である伊藤の公式、そして幾何ブラウン運動とブラック・ショールズ方程式までを扱う。学部確率解析伊藤積分確率微分方程式ブラウン運動約 27 分

非可換幾何学

専門家・大学院生／全 6 章のうち 6 本を公開

• 非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」可換 C*-代数と局所コンパクト空間を対応させるゲルファント・ナイマルクの定理を証明し、空間の位相が関数環に完全にエンコードされることを示す。その上で量子論の交換関係と無理数回転の軌道空間を例に、非可換代数を「空間」とみなす枠組みを導入する。博士・研究C*-代数ゲルファント双対性作用素環非可換トーラス約 45 分
• C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現バナッハ代数と対合から出発して C*-代数の公理を厳密に定め、スペクトルの非空コンパクト性とゲルファント–ベーリングのスペクトル半径公式を証明する。可換 C*-代数が局所コンパクト空間上の関数環に限ることを示し、連続関数計算までを整備する。博士・研究作用素環C*-代数スペクトル理論ゲルファント表現約 52 分
• K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相本コンパクト空間上のベクトル束の分類から出発し、C*-代数の K₀ 群と K₁ 群を射影のマレー–フォン・ノイマン同値とユニタリ群の連結成分として定義する。六項完全系列とボット周期性を述べ、トープリッツ拡大の指数計算まで実行する。博士・研究K理論ボット周期性ベクトル束射影加群グロタンディーク群約 28 分
• スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する本スペクトル三つ組 (A, H, D) を定義し、コンパクトスピン多様体のディラック作用素が可換な模型になることを示す。距離公式が測地距離を再現することを証明し、ディクシエ跡による次元と体積の復元、実構造の公理と再構成定理までを扱う。博士・研究スペクトル三つ組ディラック作用素コンヌの距離公式スピン多様体ディクシエ跡約 32 分
• 非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」本2 つのユニタリが VU = exp(2πiθ)UV で絡む C*-代数 A_θ を構成し、θ が無理数のときの単純性と一意トレース、微分構造とスペクトル三つ組、K 群のトレース像 Z+θZ を証明する。葉層構造と磁場中の電子への応用まで扱う。博士・研究非可換トーラス回転代数K-理論葉層構造量子ホール効果約 56 分
• 指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ本楕円型作用素の解析的指数と位相的指数の一致を述べるアティヤ・シンガーの定理を出発点に、コンヌが巡回コホモロジーと K-理論の対で与えた非可換版の指数定理、局所指数公式、葉層構造への一般化、そして標準模型のスペクトル作用までを追います。博士・研究指数定理巡回コホモロジースペクトル三つ組K-理論標準模型約 52 分

数論

大学生（理系）、数学愛好家／全 6 章のうち 6 本を公開

• 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ素数を整除の言葉で定義し、ユークリッドの無限性証明と算術の基本定理を厳密に示したうえで、二項係数によるチェビシェフ型評価を経て素数定理に至る道筋をたどり、双子素数予想やゴールドバッハ予想の現在地までを扱う。学部数論素数素数定理算術の基本定理素数分布約 9 分
• 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する整数の合同式を同値関係として定義し、剰余環 Z/nZ とその単元群の構造を調べ、フェルマーの小定理とオイラーの定理を証明する。中国剰余定理を経由して RSA 暗号の正当性まで到達する。学部合同式剰余環フェルマーの小定理オイラー関数RSA暗号約 8 分
• リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する本リーマン・ゼータ関数を級数とオイラー積という二つの顔から定義し、解析接続で複素平面全体へ延ばしたうえで、非自明零点の実部がすべて 1/2 だという主張を述べ、それが素数計数関数の誤差項の大きさと同値であることを示す。学部解析的整数論ゼータ関数リーマン予想素数分布約 14 分
• 楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道本楕円曲線 y^2 = x^3 + ax + b の点が弦と接線の作図でアーベル群をなすことを加法公式まで導き、モジュラー形式の定義と位数公式を整理し、谷山・志村予想がフェルマーの最終定理へつながる筋道を示す。学部楕円曲線モジュラー形式谷山・志村予想群構造フェルマーの最終定理約 42 分
• フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年本n ≥ 3 で x^n + y^n = z^n が非自明解を持たないこと。n = 4 の無限降下法から、クンマーの円分体、フライ曲線、リベットのレベル下げ、ワイルズの半安定モジュラー性定理までを、計算を追いながら一続きの論証として読む。学部数論フェルマーの最終定理楕円曲線モジュラー形式ガロア表現約 12 分
• ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式本互いに素な a+b=c に対して c と根基 rad(abc) を比べる ABC 予想を、根基の定義から厳密に述べ、質の記録例、フェルマーの最終定理やフェルマー・カタラン方程式への帰結、多項式版 Mason–Stothers 定理の証明までを扱う。学部数論ABC予想根基ディオファントス方程式約 21 分

数学コラム

中学生・高校生・一般の数学ファン／全 7 章のうち 7 本を公開

• 1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える0.999… = 1 という主張を、無限小数という記号の意味を定義するところから検討する。1/3 を 3 倍する議論、10 倍して引く議論、部分和と上限による議論を最後まで実行し、直感が反発する理由と二重表現の定理まで説明する。高校〜一般実数無限小数極限等比級数稠密性約 13 分
• 数学はなぜ難しいのか：抽象・論理・積み重ねという三つの壁数学が難しい理由を、抽象度の高さ・厳密な論理・積み重ねの三つに分解し、ドミノ敷き詰めや誕生日の確率といった具体例で確かめる。日常の直感と数学の直感の違い、そして「わかった」瞬間に何が起きているかまで扱う。高校〜一般数学教育抽象化証明直感約 28 分
• ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる「0 で割るな」という学校のルールを、割り算＝掛け算の逆という定義に戻って説明します。5÷0 は解なし、0÷0 は解だらけ。0 の逆数を認めると 1=0 が導かれて数が全部消えることまで示します。高校〜一般ゼロ除算割り算逆数極限約 24 分
• コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題偶数なら半分、奇数なら3倍して1を足す。この単純な規則がなぜ90年間解けないのかを、実際に証明できる部分（巡回の非存在、密度3/4の減少）と確率的ヒューリスティック、3n−1版の反例から具体的に解説する。高校〜一般コラッツ予想未解決問題整数論力学系約 9 分
• モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか3つのドアから1つを選び、司会者がハズレのドアを1つ開けたあと選択を変えるべきか。全場合の書き出しとベイズの定理の両方で勝率が1/3から2/3へ跳ね上がることを示し、司会者の癖やドアの枚数を変えた一般化まで扱う。高校〜一般確率条件付き確率ベイズの定理直感の罠約 31 分
• 四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明「隣り合う国を違う色にするには4色で足りる」という四色定理を、オイラーの公式から導く六色定理・五色定理の証明とともに追い、1976年のコンピュータ支援証明が数学に残した問いまで扱います。高校〜一般グラフ理論四色定理平面グラフ彩色コンピュータ支援証明約 34 分
• オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人オイラーの公式 e^{iπ}+1=0 を級数から証明し、バーゼル問題・多面体定理・ケーニヒスベルクの橋までたどります。さらにラマヌジャンの円周率公式と分割数の合同式を、実際に数値を計算しながら紹介します。高校〜一般数学史オイラーラマヌジャン円周率級数約 12 分