タグ: 射影空間

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• アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj環のスペクトルに構造層を入れてアフィンスキームを定義し、Spec が大域切断関手の随伴であること、スキームのアフィン開集合と生成点、スキームと射の貼り合わせ、次数環の Proj と射影空間、古典的な多様体の埋め込み、体や局所環に値をもつ点の記述を証明する。数学代数幾何 I（多様体とスキーム）修士スキーム構造層局所環付き空間Proj射影空間約 86 分
• Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー開被覆の Čech 複体を定義し、有限交叉の上で非輪状な被覆では Čech コホモロジーが層コホモロジーに一致することを示す。それを使って射影空間上の O(n) のコホモロジーを計算し、Serre の有限性定理、Euler 標数の加法性、Hilbert 多項式、平面曲線の算術種数を導く。数学代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉）修士Čech コホモロジー射影空間有限性定理Euler 標数Hilbert 多項式約 24 分
• 複素多様体と正則写像：逆関数定理・Hartogs の延長・Weierstrass の準備定理正則アトラスで複素多様体を定義し、正則写像の逆関数定理、コンパクト複素多様体上の正則関数の定数性、Hartogs と Riemann の延長定理、Weierstrass の準備定理と割り算定理、正則関数の芽の環が Noether な UFD であることを証明する。数学複素幾何修士複素多様体正則写像Hartogsの延長定理Weierstrassの準備定理射影空間約 72 分
• 微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む局所的にユークリッド空間と同一視できる空間で微分を語るために、チャート・座標変換・極大アトラスを厳密に導入する。球面・実射影空間・トーラスのアトラスを具体的に構成し、多様体上の C^k 級関数と多様体間の C^k 級写像までを定義する。数学多様体論学部多様体チャートアトラス微分可能構造射影空間約 50 分