複素幾何

数学修士無料 7 章有料 0 章

複素多様体を定義し、(p,q) 形式と Dolbeault コホモロジー、正則ベクトル束と Chern 接続、Kähler 計量と Kähler 恒等式を組み立てて、

想定読者: 大学院生（修士課程）、複素解析と微分幾何を学び終えて代数幾何・弦理論・ゲージ理論の幾何に進む人

前提テーマ:複素関数論、微分幾何学

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章複素多様体と正則写像無料正則アトラスで複素多様体を定義し、正則写像の逆関数定理、コンパクト複素多様体上の正則関数の定数性、Hartogs と Riemann の延長定理、Weierstrass の準備定理と割り算定理、正則関数の芽の環が Noether な UFD であることを証明する。
2. 第 2 章概複素構造と Dolbeault コホモロジー無料概複素構造から (p,q) 形式と作用素 ∂・∂̄ を定義し、可積分性の同値条件を証明する。Cauchy–Pompeiu の公式で 1 変数の ∂̄ 方程式を解き、Dolbeault–Grothendieck の補題と多重円板の Dolbeault コホモロジーの消滅、コンパクト台の ∂̄ 方程式による Hartogs の延長を導く。
3. 第 3 章正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子無料正則ベクトル束に ∂̄ 作用素と Chern 接続を定め、曲率が (1,1) 型で第一 Chern 類を代表することを示す。射影空間の O(k) の切断と標準束、随伴公式、因子と直線束の対応、Poincaré–Lelong の公式を証明する。
4. 第 4 章Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式無料Hermite 計量の基本形式が閉じているという Kähler 条件の同値な言い換えを証明し、Fubini–Study 計量、Wirtinger の定理、Lefschetz 作用素の sl(2) 関係式、Kähler 恒等式と三つの Laplacian の一致、Ricci 形式と第一 Chern 類の関係、Calabi の一意性定理を導く。
5. 第 5 章Hodge 分解と Lefschetz 分解無料コンパクト Hermite 多様体上で ∂̄ の Hodge 定理を Dirac 型作用素の楕円型理論から導き、Kodaira–Serre 双対を示す。Kähler の場合に Hodge 分解・∂∂̄ 補題・難 Lefschetz 定理・Hodge–Riemann の双線形関係式・曲面の Hodge 指数定理を証明する。
6. 第 6 章層コホモロジーと直線束：Dolbeault の定理・指数完全列・Lefschetz の (1,1) 定理無料細層による分解で定数層の層コホモロジーを特異コホモロジー・de Rham コホモロジーと、正則な層のコホモロジーを Dolbeault コホモロジーと同一視する。Picard 群を H¹(X, 𝒪*) と結び、指数完全列から第一 Chern 類の比較、Lefschetz の (1,1) 定理、Pic⁰ が複素トーラスであることを証明する。
7. 第 7 章Kodaira の消滅定理と埋め込み定理無料Kähler 多様体上の Hermite 正則ベクトル束について Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式を示し、正の直線束に対する Kodaira–Nakano の消滅定理を導く。1 点の爆発の上の層の完全列と消滅定理から、正の直線束の高い冪が射影空間への閉埋め込みを与えること（Kodaira の埋め込み定理）を証明する。