Kähler 多様体：Kähler 計量・Kähler 恒等式・Ricci 形式

0. この記事の要点

複素数の座標で書かれた曲面や空間に、長さや角度を測る道具（計量）を入れるとき、座標の複素数らしさと計量が「ちょうどよく噛み合う」条件があります。それが Kähler 条件です。この記事では、その条件を何通りかに言い換え、条件のもとで微分形式の微分と Laplacian（微分の 2 階版）が美しく整理されること、曲率が一つの式にまとまることを順に見ます。読み終えると、次章の Hodge 分解がなぜ成り立つのかの出発点を自分で追えるようになります。

• 複素多様体の Riemann 計量 $g$ が複素構造 $J$ で不変なとき Hermite 計量といい、$\omega(u,v)=g(Ju,v)$ を基本形式といいます。$\omega$ は正の実 $(1,1)$ 形式で、$d\omega=0$ のとき Kähler 計量といいます。
• Kähler 条件は、Levi-Civita 接続で $\nabla J=0$ であること、正則接束の Chern 接続が Levi-Civita 接続に一致すること、各点のまわりに計量が 2 次の項まで平坦な正則座標があること、と同値です。最後の言い換えにより、計量の 1 階微分までしか含まない恒等式は $\mathbb{C}^n$ で確かめれば十分になります。
• $\mathbb{C}^n$、複素トーラス、Riemann 面、射影空間（Fubini–Study 計量）、それらの複素部分多様体と積は Kähler です。コンパクト Kähler 多様体では $\omega^k$ が完全形式でないので偶数次の Betti 数が正で、Hopf 曲面は Kähler 計量をもちません。
• $L=\omega\wedge$、その随伴 $\Lambda$、次数作用素 $H$ は各点で $\mathfrak{sl}(2)$ の関係式 $[L,\Lambda]=H$、$[H,L]=2L$、$[H,\Lambda]=-2\Lambda$ を満たします。
• Kähler 恒等式 $[\Lambda,\bar\partial]=-i\partial^{*}$、$[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^{*}$ から、三つの Laplacian について $\Delta_d=2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}$ が従います。これが次章の Hodge 分解の出発点です。
• Kähler 多様体の Ricci 形式は $-i\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})$ で、$2\pi c_1(X)$ を代表します。同じ Kähler 類の中で Ricci 形式が等しい Kähler 計量は一致します（Calabi）。指定した Ricci 形式をもつ計量の存在（Yau の定理）は主張だけを述べます。

この記事で使う事前知識

• Levi-Civita 接続: 計量と両立し、ねじれのない、ベクトル場の微分の規則（共変微分）。→ Riemann 計量と Levi-Civita 接続
• Chern 接続: 正則ベクトル束に Hermite 計量を入れたとき、正則構造と計量の両方に合う接続。→ 正則ベクトル束・Chern 接続
• Hodge スター: $k$ 形式を $(2n-k)$ 形式に写す、計量から決まる作用素。→ Hodge スター
• Dolbeault コホモロジー: $\bar\partial$ を使って定めるコホモロジー。→ Dolbeault コホモロジー
• Ricci 曲率: 曲率テンソルをトレースして得られる対称な 2 次形式。→ Ricci 曲率
• 標準束: 正則 $n$ 形式のなす直線束。→ 標準束

1. 動機

複素多様体には、複素構造とは別に Riemann 計量を入れることができます。計量が複素構造と何の関係もなければ、複素解析の道具（$\partial$、$\bar\partial$、型による分解）と Riemann 幾何の道具（Levi-Civita 接続、Hodge スター、調和形式）は別々に働くだけです。両者がうまく噛み合うための条件が Kähler 条件です。

噛み合い方は次のように現れます。Riemann 多様体では、de Rham コホモロジーの各類が調和形式でただ一つ代表されました（Hodge の定理）。複素多様体では、$d$ の代わりに $\bar\partial$ を使った Laplacian $\Delta_{\bar\partial}$ も考えられ、Dolbeault コホモロジーの類を代表する「$\bar\partial$ 調和形式」が定まります。一般の Hermite 計量では、$d$ についての調和形式と $\bar\partial$ についての調和形式は無関係です。Kähler 計量では $\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial}$ となり、二つの調和性が一致します。その結果、de Rham コホモロジーが Dolbeault コホモロジーの直和に分解します（次章の Hodge 分解）。

$\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial}$ のもとになるのが Kähler 恒等式で、その証明がこの章の中心です。証明の方針は、「Kähler 計量は各点で 2 次の項まで平坦な計量と区別できない」という事実を使って、$\mathbb{C}^n$ の定数係数の計算に帰着させることです。

章の後半では Ricci 曲率を扱います。Kähler 多様体の Ricci 曲率は $(1,1)$ 形式 $-i\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})$ にまとまり、標準束の曲率そのものになります。これにより「Ricci 曲率が $0$ の Kähler 計量」（Calabi–Yau 計量）の存在が、第一 Chern 類という位相的な量の条件と結びつきます。

2. Hermite 計量と基本形式

補題 2.1（J 不変な内積と正の (1,1) 形式）✓

$V$ を複素構造 $J$ をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間とする。

1. 実の 2 形式 $\omega\in\Lambda^2V^{*}$ が $(1,1)$ 型であることと、$\omega(Ju,Jv)=\omega(u,v)$ がすべての $u,v$ で成り立つことは同値である。
2. $J$ で不変な内積 $g$（$g(Ju,Jv)=g(u,v)$ を満たす正定値対称双線型形式）と、正の実 $(1,1)$ 形式 $\omega$（$v\ne0$ ならば $\omega(v,Jv)>0$）は、$\omega(u,v)=g(Ju,v)$、$g(u,v)=\omega(u,Jv)$ により一対一に対応する。
3. このとき $h=g-i\omega$ は $(V,J)$ 上の正定値 Hermite 内積（第 1 変数について複素線型）で、$(V,J)$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ で $h(e_j,e_k)=\delta_{jk}$ となるもの（ユニタリ基底）がある。$(e_1,Je_1,\dots,e_n,Je_n)$ は $g$ の正規直交基底で、その双対基底を $(x^1,y^1,\dots,x^n,y^n)$、$\zeta^j=x^j+iy^j\in V^{*1,0}$ とすると

$$g=\sum_j\bigl(x^j\otimes x^j+y^j\otimes y^j\bigr),\qquad\omega=\sum_jx^j\wedge y^j=\frac i2\sum_j\zeta^j\wedge\bar\zeta^j,\qquad\frac{\omega^n}{n!}=x^1\wedge y^1\wedge\dots\wedge x^n\wedge y^n$$

である。

証明（補題 2.1）

(1) $(1,0)$ 型の 1 形式 $\alpha$ は $\alpha\circ J=i\alpha$、$(0,1)$ 型は $\alpha\circ J=-i\alpha$ を満たすので、$(J^{*}\beta)(u,v)=\beta(Ju,Jv)$ とおくと、$J^{*}$ は $\Lambda^{2,0}$ 上で $i^2=-1$ 倍、$\Lambda^{1,1}$ 上で $i\cdot(-i)=1$ 倍、$\Lambda^{0,2}$ 上で $(-i)^2=-1$ 倍です。$\omega=\omega^{2,0}+\omega^{1,1}+\omega^{0,2}$ と分解すると $J^{*}\omega=-\omega^{2,0}+\omega^{1,1}-\omega^{0,2}$ なので、$J^{*}\omega=\omega$ は $\omega^{2,0}=\omega^{0,2}=0$ と同値です。

(2) $g$ が与えられたとき、$\omega(v,u)=g(Jv,u)=g(J^2v,Ju)=-g(v,Ju)=-\omega(u,v)$ なので $\omega$ は交代形式で、$\omega(Ju,Jv)=g(J^2u,Jv)=g(Ju,v)=\omega(u,v)$ から (1) により $(1,1)$ 型、$\omega(v,Jv)=g(Jv,Jv)=g(v,v)>0$ です。逆に $\omega$ が与えられたとき、$g(u,v)=\omega(u,Jv)$ は $g(v,u)=\omega(v,Ju)=\omega(Jv,J^2u)=-\omega(Jv,u)=\omega(u,Jv)=g(u,v)$ で対称、$g(v,v)=\omega(v,Jv)>0$、$g(Ju,Jv)=\omega(Ju,J^2v)=-\omega(Ju,v)=\omega(v,Ju)=g(v,u)$ で $J$ 不変です。二つの対応は互いに逆です（$g(Ju,v)=\omega(Ju,Jv)=\omega(u,v)$）。

(3) $h(Ju,v)=g(Ju,v)-i\omega(Ju,v)=\omega(u,v)+ig(u,v)=i\,h(u,v)$、$h(v,u)=g(u,v)+i\omega(u,v)=\overline{h(u,v)}$、$h(v,v)=g(v,v)>0$ なので正定値 Hermite 内積で、Gram–Schmidt の直交化でユニタリ基底が取れます。$h(e_j,e_k)=\delta_{jk}$ の実部と虚部を取ると $g(e_j,e_k)=\delta_{jk}$、$\omega(e_j,e_k)=0$ です。$J$ 不変性から $g(Je_j,Je_k)=\delta_{jk}$ で、$g(Je_j,e_k)=\omega(e_j,e_k)=0$ です。よって $(e_1,Je_1,\dots,e_n,Je_n)$ は正規直交基底で、$g$ の式が従います。$\omega(e_j,Je_k)=g(Je_j,Je_k)=\delta_{jk}$、$\omega(e_j,e_k)=0$、$\omega(Je_j,Je_k)=\omega(e_j,e_k)=0$ から $\omega=\sum_jx^j\wedge y^j$ です。$\zeta^j\wedge\bar\zeta^j=(x^j+iy^j)\wedge(x^j-iy^j)=-2i\,x^j\wedge y^j$ から第 2 の表示が出ます。$\zeta^j\circ J=i\zeta^j$ は $x^j(Jv)=-y^j(v)$、$y^j(Jv)=x^j(v)$（$J$ の行列から）によります。2 形式 $\alpha_j=x^j\wedge y^j$ は互いに可換で $\alpha_j\wedge\alpha_j=0$ なので、$\omega^n=(\sum_j\alpha_j)^n=n!\,\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n$ です。

∎

定義 2.2（Hermite 計量・基本形式・Kähler 計量）↗

$X$ を $n$ 次元複素多様体、$J$ をその概複素構造とする。$X$ の Riemann 計量 $g$（定義 3.1［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）が $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ を満たすとき Hermite 計量といい、$(X,g)$ を Hermite 多様体という。実 $(1,1)$ 形式 $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ を基本形式という。正則座標 $(z_1,\dots,z_n)$ について $h_{j\bar k}=h(\partial/\partial x_j,\partial/\partial x_k)$（$h=g-i\omega$）とおく。

$d\omega=0$ のとき $g$ を Kähler 計量、$\omega$ を Kähler 形式、de Rham 類 $[\omega]\in H^2_{\mathrm{dR}}(X)$ を Kähler 類といい、Kähler 計量をもつ複素多様体を Kähler 多様体という。

補題 2.1 により、Hermite 計量を与えることと、正の実 $(1,1)$ 形式 $\omega$ を与えることは同じです。$(h_{j\bar k})$ は各点で正定値 Hermite 行列で、$h(u,v)=\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j(u)\,\overline{dz_k(v)}$（両辺とも $u$ について複素線型、$v$ について共役線型で、$\partial/\partial x_j$ の上で一致します）なので、$\omega=-\operatorname{Im}h=\frac i2(h(u,v)-h(v,u))$ から

$$\omega=\frac i2\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$$

です。同型 $\iota:TX\to T^{1,0}X$、$\iota(v)=\frac12(v-iJv)$（$\iota(\partial/\partial x_j)=\partial/\partial z_j$）で $h$ を移すと、正則接束 $TX$ の Hermite 計量（定義 4.1［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）になり、正則枠 $\partial/\partial z_j$ についての行列は $(h_{j\bar k})$ の転置です。$\mathbb{C}^n$ の標準的な計量では $h_{j\bar k}=\delta_{jk}$、$\omega=\frac i2\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j=\sum_jdx_j\wedge dy_j$ です。体積形式は標準的な向きについて $\mathrm{vol}=\omega^n/n!$ です。

Hermite 計量はつねに存在します。任意の Riemann 計量 $g_0$（定理 3.6［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）から $g(u,v)=g_0(u,v)+g_0(Ju,Jv)$ とすればよいからです。Kähler 計量が存在するかどうかは、複素多様体に対する本当の制約です。

3. Kähler 条件の同値な言い換え

次の定理は、$d\omega=0$ という一見すると形式的な条件が、「各点で計量が 2 次の項まで平坦に見える」「接続が一致する」という幾何的な性質と同じであることを述べます。証明の中心は (1) ⇒ (2) で、計量の係数の 1 次の項を、座標を 2 次の項だけ取り替えて消す、という操作です。$d\omega=0$ から出る対称性 $a_{jkl}=a_{lkj}$ があるので、取り替えがちょうどうまくいきます。

定理 3.1（Kähler 条件の同値条件）✓

$(X,g)$ を Hermite 多様体、$\omega$ を基本形式、$\nabla$ を $g$ の Levi-Civita 接続（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）とする。次は同値である。

1. $d\omega=0$。
2. 各点 $p\in X$ のまわりに、$p$ を原点とする正則座標 $(w_1,\dots,w_n)$ で $h_{j\bar k}(w)=\delta_{jk}+O(|w|^2)$、すなわち $h_{j\bar k}(0)=\delta_{jk}$ かつ $h_{j\bar k}$ の 1 階偏導関数がすべて原点で $0$ となるものがある。
3. 正則接束 $(TX,h)$ の Chern 接続は、同型 $\iota:TX\to T^{1,0}X$ のもとで Levi-Civita 接続 $\nabla$ に一致する。
4. $\nabla J=0$、すなわち任意のベクトル場 $Y$ について $\nabla(JY)=J\nabla Y$。

証明（定理 3.1）

(1) ⇒ (2)。 $p$ を原点とする正則座標 $z$ を取ります。$T_pX$ のユニタリ基底（補題 2.1 の 3）に合わせて複素線型な座標変換をすれば、$h_{j\bar k}(0)=\delta_{jk}$ としてよいです。Taylor 展開して

$$h_{j\bar k}(z)=\delta_{jk}+\sum_l\bigl(a_{jkl}z_l+b_{jkl}\bar z_l\bigr)+O(|z|^2),\qquad a_{jkl}=\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial z_l}(0),\quad b_{jkl}=\frac{\partial h_{j\bar k}}{\partial\bar z_l}(0)$$

と書きます。$\overline{h_{j\bar k}}=h_{k\bar j}$ から $b_{jkl}=\overline{a_{kjl}}$ です。$d\omega=0$ の $(2,1)$ 成分 $\partial\omega=\frac i2\sum_{j,k,l}(\partial h_{j\bar k}/\partial z_l)\,dz_l\wedge dz_j\wedge d\bar z_k=0$ から $\partial h_{j\bar k}/\partial z_l=\partial h_{l\bar k}/\partial z_j$ で、原点で $a_{jkl}=a_{lkj}$ です。新しい座標 $w$ を

$$z_k=w_k-\frac12\sum_{j,l}a_{jkl}\,w_jw_l$$

で定めます。右辺は $w$ の正則写像で、原点での複素 Jacobi 行列が単位行列なので、逆関数定理（定理 3.1［複素多様体と正則写像］ の 2）により $w$ は原点の近傍の正則座標です。対称性 $a_{jkl}=a_{lkj}$ を使うと

$$dz_k=dw_k-\sum_{j,l}a_{jkl}\,w_l\,dw_j$$

です。$z_l=w_l+O(|w|^2)$ に注意して、$|w|$ の 2 次以上の項を無視すると

$$\begin{aligned} \sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k\equiv{}&\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j+\sum_{j,k,l}\bigl(a_{jkl}w_l+\overline{a_{kjl}}\,\bar w_l\bigr)dw_j\wedge d\bar w_k,\\ \sum_jdz_j\wedge d\bar z_j\equiv{}&\sum_jdw_j\wedge d\bar w_j-\sum_{j,p,q}a_{pjq}\,w_q\,dw_p\wedge d\bar w_j-\sum_{j,p,q}\overline{a_{pjq}}\,\bar w_q\,dw_j\wedge d\bar w_p \end{aligned}$$

です。第 2 式の第 2 項は添字を $(p,j,q)\to(j,k,l)$ と付け替えると $-\sum a_{jkl}w_l\,dw_j\wedge d\bar w_k$、第 3 項は $(j,p,q)\to(j,k,l)$ と付け替えると $-\sum\overline{a_{kjl}}\,\bar w_l\,dw_j\wedge d\bar w_k$ で、第 1 式の 1 次の項をちょうど打ち消します。よって $w$ 座標で $\omega=\frac i2\sum_{j,k}(\delta_{jk}+O(|w|^2))\,dw_j\wedge d\bar w_k$ です。

(2) ⇒ (3)。 Chern 接続を $\iota$ で実の接束に移した接続を $D$ とします（$\iota(D_uV)=\nabla^{\mathrm{Ch}}_u(\iota V)$）。$p\in X$ とし、(2) の座標 $w_j=x_j+iy_j$ を取ります。正則枠 $\partial/\partial w_j$ についての Chern 接続の接続形式は $H^{-1}\partial H$（定理 4.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］）で、$H$ の成分 $h_{k\bar j}$ の 1 階偏導関数が $p$ で $0$ なので、$p$ で $0$ です。よって $p$ で $\nabla^{\mathrm{Ch}}(\partial/\partial w_j)=0$、つまり $D(\partial/\partial x_j)=0$ で、Chern 接続は複素線型なので $D(\partial/\partial y_j)=D(J\,\partial/\partial x_j)=J\,D(\partial/\partial x_j)=0$ です。一方、$g=\operatorname{Re}\sum h_{j\bar k}\,dw_j\otimes d\bar w_k$ の実座標 $(x,y)$ についての成分は $h_{j\bar k}$ の実部・虚部の線型結合なので、その 1 階偏導関数も $p$ で $0$ で、Christoffel 記号の式（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）から $p$ で $\nabla(\partial/\partial x_j)=\nabla(\partial/\partial y_j)=0$ です。二つの接続の差 $D-\nabla$ は関数について線型（$(D-\nabla)(fV)=f(D-\nabla)V$）なので、枠の上で $p$ において一致すれば $p$ で一致します。$p$ は任意なので $D=\nabla$ です。

(3) ⇒ (4)。 Chern 接続は複素ベクトル束 $T^{1,0}X$ の接続なので $i$ 倍と可換で、$\iota\circ J=i\,\iota$ から $D(JY)=J\,DY$ です。$D=\nabla$ なので $\nabla J=0$ です。

(4) ⇒ (1)。 $\omega(Y,Z)=g(JY,Z)$ と、$\nabla$ が計量と両立することから

$$(\nabla_X\omega)(Y,Z)=X\,g(JY,Z)-g(J\nabla_XY,Z)-g(JY,\nabla_XZ)=g(\nabla_X(JY)-J\nabla_XY,Z)=0$$

です。局所正規直交枠 $E_i$ と双対余枠 $\theta^i$ について $d=\sum_i\theta^i\wedge\nabla_{E_i}$（補題 5.1［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）なので、$d\omega=\sum_i\theta^i\wedge\nabla_{E_i}\omega=0$ です。

∎

(2) の座標を、$p$ における接触座標（osculating coordinates）と呼ぶことにします。Riemann 幾何では、どんな計量も各点で 1 次まで平坦にできました（測地正規座標）。Kähler 条件は、それが正則な座標変換だけでできるための条件です。2 次の項は一般には消せず、そこに曲率が現れます。

命題 3.2（Kähler ポテンシャル）✓

$X$ を複素多様体、$\omega$ を閉じた実 $(1,1)$ 形式とする。各点は開近傍 $U$ をもち、$U$ 上の実数値の滑らかな関数 $\varphi$ で $\omega=i\,\partial\bar\partial\varphi$ となるものがある。逆に、実数値関数 $\varphi$ について $i\,\partial\bar\partial\varphi$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で、それが Kähler 形式であることは、Hermite 行列 $\bigl(\partial^2\varphi/\partial z_j\partial\bar z_k\bigr)$ が各点で正定値であることと同値である。

証明（命題 3.2）

正則チャートで多重円板に写る近傍 $U$ を取ります。$U$ は星形なので、Poincaré の補題（定理 3.4［de Rham コホモロジー］）により実 1 形式 $\eta$ で $\omega=d\eta$ となるものがあります。$\eta=\eta^{1,0}+\eta^{0,1}$ と分けると、$\eta$ が実なので $\eta^{1,0}=\overline{\eta^{0,1}}$ です。$d\eta=\partial\eta^{1,0}+(\bar\partial\eta^{1,0}+\partial\eta^{0,1})+\bar\partial\eta^{0,1}$ で、$\omega$ は $(1,1)$ 型なので $\bar\partial\eta^{0,1}=0$ です。多重円板の Dolbeault コホモロジーの消滅（定理 7.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］）により、複素数値関数 $u$ で $\eta^{0,1}=\bar\partial u$ となるものがあります。$\eta^{1,0}=\overline{\bar\partial u}=\partial\bar u$ なので

$$\omega=\bar\partial\,\partial\bar u+\partial\bar\partial u=\partial\bar\partial(u-\bar u)=2i\,\partial\bar\partial(\operatorname{Im}u)$$

で、$\varphi=2\operatorname{Im}u$ とすればよいです。逆に、$i\partial\bar\partial\varphi=d(i\bar\partial\varphi)$ は閉形式で、$\overline{i\partial\bar\partial\varphi}=-i\bar\partial\partial\varphi=i\partial\bar\partial\varphi$ から実、$(1,1)$ 型です。$i\partial\bar\partial\varphi=i\sum_{j,k}\varphi_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$ を $\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ と比べて $h_{j\bar k}=2\varphi_{j\bar k}$ なので、正であることは $(\varphi_{j\bar k})$ が正定値であることです。

∎

$\varphi$ を Kähler ポテンシャルといいます。Kähler 計量は、局所的には 1 個の実数値関数で決まります。$\mathbb{C}^n$ の標準的な計量は $\varphi=\frac12|z|^2$ です。ポテンシャルは一意ではなく、$\partial\bar\partial\psi=0$ となる実関数 $\psi$（多重調和関数、たとえば正則関数の実部）の分だけ不定です。

4. Kähler 多様体の例と Wirtinger の定理

命題 4.1（Fubini–Study 計量）✓

$\mathbb{P}^n$ 上の実 $(1,1)$ 形式

$$\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|z|^2\qquad\Bigl(U_j\text{ 上で }\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\frac{|z|^2}{|z_j|^2}\Bigr)$$

（定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）は Kähler 形式である。ユニタリ群 $U(n+1)$ の $\mathbb{P}^n$ への作用 $[z]\mapsto[Az]$ は双正則で $\omega_{FS}$ を保つ。$\mathbb{P}^n$ の任意の直線（$\mathbb{C}^{n+1}$ の 2 次元部分空間の像）$\ell$ について $\int_\ell\omega_{FS}=1$ である。

証明（命題 4.1）

$\omega_{FS}$ は直線束 $\mathcal{O}(1)$ の第一 Chern 形式なので、閉じた実 $(1,1)$ 形式です（命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 3）。

不変性。 $\pi:\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}\to\mathbb{P}^n$ を射影とします。$\{z_j\ne0\}$ 上で $\log(|z|^2/|z_j|^2)=\log|z|^2-\log|z_j|^2$、$\partial\bar\partial\log|z_j|^2=0$ なので、$\pi^{*}\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|z|^2$ が $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上で成り立ちます。$A\in U(n+1)$ に対し $F_A([z])=[Az]$ は well-defined で、斉次座標の線型変換なので正則、逆 $F_{A^{-1}}$ も正則です。$\pi\circ A=F_A\circ\pi$ と $|Az|=|z|$ から

$$\pi^{*}F_A^{*}\omega_{FS}=A^{*}\pi^{*}\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|Az|^2=\pi^{*}\omega_{FS}$$

です（正則写像 $A$ による引き戻しは $\partial$、$\bar\partial$ と可換）。$\pi$ の微分は全射なので $\pi^{*}$ は形式について単射で、$F_A^{*}\omega_{FS}=\omega_{FS}$ です。

正値性。 点 $p_0=[1:0:\dots:0]$ で、$U_0$ の座標 $w$ について $\log(1+|w|^2)=|w|^2+O(|w|^4)$ なので、$w=0$ で $\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\sum_jdw_j\wedge d\bar w_j$ で、正です。$U(n+1)$ は $\mathbb{C}^{n+1}$ の単位ベクトルの全体に推移的に作用するので、任意の点 $p$ は $F_A(p_0)$ と書けます。$F_A$ は双正則（微分は $J$ と可換な同型）で $\omega_{FS}$ を保つので、$p$ でも $\omega_{FS}(v,Jv)>0$（$v\ne0$）です。

直線。 2 次元部分空間の正規直交基底を、標準基底の $e_0,e_1$ に写すユニタリ行列 $A$ を取ると、$F_A$ は $\ell$ を $\ell_0=\{z_2=\dots=z_n=0\}$ に写す双正則写像です。$\int_\ell\omega_{FS}=\int_\ell F_A^{*}\omega_{FS}=\int_{\ell_0}\omega_{FS}=1$（定理 5.2［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 3）です。

∎

命題 4.2（部分多様体と積）✓

1. $(X,\omega)$ を Kähler 多様体、$Y\subseteq X$ を複素部分多様体、$j:Y\to X$ を包含写像とすると、$j^{*}\omega$ は $Y$ の Kähler 形式である。
2. $(X_1,\omega_1)$、$(X_2,\omega_2)$ が Kähler 多様体なら、$\mathrm{pr}_1^{*}\omega_1+\mathrm{pr}_2^{*}\omega_2$ は $X_1\times X_2$ の Kähler 形式である。
3. したがって、$\mathbb{P}^N$ の複素部分多様体（とくに非特異な射影超曲面）、$\mathbb{C}^N$ の複素部分多様体は Kähler 多様体である。複素トーラス $\mathbb{C}^n/\Lambda$ と Riemann 面も Kähler 多様体である。

証明（命題 4.2）

(1) $j$ は正則なので $j^{*}\omega$ は $(1,1)$ 型（命題 3.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］ の 3）、実で、$d(j^{*}\omega)=j^{*}d\omega=0$ です。$T_yY$ は $T_yX$ の $J$ で不変な部分空間で、$Y$ の概複素構造は $J$ の制限なので、$v\in T_yY$、$v\ne0$ について $(j^{*}\omega)(v,Jv)=\omega(v,Jv)>0$ です。

(2) 射影は正則なので、和は閉じた実 $(1,1)$ 形式です。$v=(v_1,v_2)$ について値は $\omega_1(v_1,Jv_1)+\omega_2(v_2,Jv_2)$ で、$v\ne0$ なら正です。

(3) $\mathbb{P}^N$ は Fubini–Study 形式（命題 4.1）で、$\mathbb{C}^N$ は標準的な形式 $\frac i2\sum dz_j\wedge d\bar z_j$ で Kähler なので、(1) によります。$\mathbb{C}^n$ の標準的な Kähler 形式は平行移動で不変なので、$\mathbb{C}^n/\Lambda$ 上の正の閉 $(1,1)$ 形式を定めます。Riemann 面（実 2 次元）では 3 形式が $0$ なので、任意の Hermite 計量の基本形式が閉じています。

∎

定理 4.3（Wirtinger の定理とその帰結）✓

1. $V$ を $J$ 不変な内積 $g$ をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間、$\omega$ を対応する $(1,1)$ 形式、$W\subseteq V$ を $J$ で不変な実 $2k$ 次元部分空間とする。$W$ に $J$ の定める向きと $g$ の制限を与えると、$\frac{1}{k!}\omega^k|_W$ は $W$ の体積形式である。
2. $(X,\omega)$ を Hermite 多様体、$Y\subseteq X$ を $k$ 次元のコンパクトな複素部分多様体とすると、誘導計量についての $Y$ の体積は $\operatorname{vol}(Y)=\frac{1}{k!}\int_Y\omega^k$ である。
3. $(X,\omega)$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体とする。$1\le k\le n$ について $\omega^k$ は完全形式ではなく、$H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)\ne0$、すなわち偶数次の Betti 数 $b_{2k}$ は正である。$k$ 次元の閉な複素部分多様体 $Y$（$k\ge1$）について、$[\alpha]\mapsto\int_Y\alpha$ は $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)$ 上の $0$ でない線型形式である。

証明（定理 4.3）

(1) $g|_W$ は $J|_W$ で不変な内積で、対応する形式は $\omega|_W$ です。補題 2.1 の 3 を $(W,J|_W,g|_W)$ に使うと、ユニタリ基底から作った正規直交基底 $(e_1,Je_1,\dots,e_k,Je_k)$（$J$ の定める向きの基底）の双対基底について $\omega^k|_W/k!=x^1\wedge y^1\wedge\dots\wedge x^k\wedge y^k$ で、これは向きづけられた正規直交基底の上で値 $1$ を取る形式、つまり体積形式です。

(2) $Y$ の各接空間は $J$ で不変なので、(1) を各点で使い、積分します。

(3) $\omega^k=d\eta$ と仮定すると、$d\omega=0$ から $\omega^n=d(\eta\wedge\omega^{n-k})$ で、Stokes の定理（系 6.2［ストークスの定理］）により $\int_X\omega^n=0$ です。これは $\int_X\omega^n=n!\operatorname{vol}(X)>0$ に反します。$\omega^k$ は閉形式なので $[\omega^k]\ne0$ です。$Y$ は境界のないコンパクトな向きづけられた多様体なので、完全形式の $Y$ 上の積分は $0$ で、$[\alpha]\mapsto\int_Y\alpha$ は $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)$ 上で定まります。(2) により $[\omega^k]$ での値は $k!\operatorname{vol}(Y)>0$ です。

∎

(3) の後半は、コンパクト Kähler 多様体の閉な複素部分多様体が「境界にならない」こと（ホモロジー類が $0$ でないこと）を de Rham コホモロジーとの対で述べたものです。Riemann 幾何では小さな球面はいくらでも縮められますが、Kähler 多様体の複素部分多様体は体積が Kähler 類だけで決まり、縮めることができません。

例 4.4（Hopf 曲面は Kähler 計量をもたない）

Hopf 曲面（例 6.5［複素多様体と正則写像］）は $S^1\times S^3$ に微分同相です。球面のコホモロジー（定理 5.1［de Rham コホモロジー］）と Künneth の公式（系 5.7［コホモロジーと双対性］）から $H^2_{\mathrm{dR}}(S^1\times S^3)=\bigoplus_{a+b=2}H^a(S^1)\otimes H^b(S^3)=0$ です。定理 4.3 の 3 により、コンパクト Kähler 曲面では $b_2\ge1$ なので、Hopf 曲面は Kähler 計量をもちません。とくに Hopf 曲面は射影空間に埋め込めません。一般の $n\ge2$ の Hopf 多様体 $S^1\times S^{2n-1}$ も同じ理由で Kähler ではありません。

5. Lefschetz 作用素の線型代数

この節は、基本形式 $\omega$ を掛ける操作 $L$ と、その随伴 $\Lambda$ が、各点で $\mathfrak{sl}(2)$ の関係式を満たすことを示す、純粋な線型代数の節です。形式の次数を 2 つ上げる $L$ と 2 つ下げる $\Lambda$ の交換子が次数の測り方 $H$ になる、というのが結論で、次の節の Kähler 恒等式の計算の土台になります。証明は外積とその随伴の反交換関係を使う計算が中心で、各点の定数係数の計算にすぎません。

この節では、$V$ を $J$ 不変な内積 $g$ をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間、$\omega$ を対応する $(1,1)$ 形式、$\mathrm{vol}=\omega^n/n!$ とします。$g$ は $\Lambda^kV^{*}$ に内積を引き起こします（正規直交な余枠 $\theta^i$ について $\{\theta^I\}$ が正規直交基底になる内積で、余枠の取り方によりません。定義 2.1［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ の設定と同じです）。これを $\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}}$ に、第 1 変数について複素線型、第 2 変数について共役線型に延ばした Hermite 内積を $\langle\alpha,\beta\rangle$ と書きます。Hodge スター（命題 2.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）は複素線型に延ばします。したがって

$$\alpha\wedge\star\bar\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol},\qquad\overline{\star\alpha}=\star\bar\alpha,\qquad\star\star=(-1)^k\ \ (\Lambda^k\text{ 上})$$

です。

定義 5.1（Lefschetz 作用素・次数作用素・原始形式）↗

$\Lambda^{\bullet}V^{*}_{\mathbb{C}}=\bigoplus_k\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}}$ 上の線型作用素を

$$L\alpha=\omega\wedge\alpha,\qquad\Lambda=L^{*}\ (\text{Hermite 内積についての随伴}),\qquad H\alpha=(k-n)\alpha\ \ (\alpha\in\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}})$$

で定める。$L$ を Lefschetz 作用素、$H$ を次数作用素という。$\Lambda\alpha=0$ を満たす形式を原始形式という。Hermite 多様体の上では、これらを各点で施して微分形式の上の作用素とする。

補題 5.2（外積と内部積の反交換関係）✓

$\theta\in V^{*}_{\mathbb{C}}$ に対し $e(\theta)\alpha=\theta\wedge\alpha$ とし、その随伴を $e(\theta)^{*}$ と書く。

1. $\theta,\eta\in V^{*}_{\mathbb{C}}$ について $e(\theta)e(\eta)^{*}+e(\eta)^{*}e(\theta)=\langle\theta,\eta\rangle\,\mathrm{id}$、$e(\theta)e(\eta)=-e(\eta)e(\theta)$、$e(\theta)^{*}e(\eta)^{*}=-e(\eta)^{*}e(\theta)^{*}$。
2. $T:V\to V$ が $g$ を保つ線型写像ならば、引き戻し $T^{*}:\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}}\to\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}}$ は Hermite 内積を保つ。

証明（補題 5.2）

(1) 第 2・第 3 の式は、1 形式のウェッジ積の反可換性とその随伴です。第 1 式の両辺は $\theta$ について複素線型、$\eta$ について共役線型なので、実の正規直交余枠 $\theta^1,\dots,\theta^{2n}$ の元 $\theta=\theta^i$、$\eta=\theta^j$ について示せば十分です。$e_i=e(\theta^i)$ とし、線型写像 $\iota_i$ を、$i\notin I$ である多重指数 $I$ について $\iota_i(\theta^i\wedge\theta^I)=\theta^I$、$\iota_i(\theta^I)=0$ で定めます（$\theta^i\wedge\theta^I$ と $\theta^I$ の全体は、符号を除いて基底 $\{\theta^K\}$ を尽くします）。$\iota_i=e_i^{*}$ です。実際、$\langle e_i\theta^I,\theta^K\rangle$ が $0$ でないのは $i\notin I$、$\theta^K=s\,\theta^i\wedge\theta^I$（$s=\pm1$）のときだけで、値は $s$ です。このとき $\iota_i\theta^K=s\theta^I$ なので $\langle\theta^I,\iota_i\theta^K\rangle=s$ で、それ以外の場合は両辺とも $0$ です。

$i=j$ のとき。$i\notin I$ として、$\theta^i\wedge\theta^I$ の上では $e_i\iota_i=\mathrm{id}$、$\iota_ie_i=0$、$\theta^I$ の上では $e_i\iota_i=0$、$\iota_ie_i=\mathrm{id}$ なので、$e_i\iota_i+\iota_ie_i=\mathrm{id}=\langle\theta^i,\theta^i\rangle\mathrm{id}$ です。

$i\ne j$ のとき。$j\notin I$ として、$\theta^j\wedge\theta^I$ の上では $e_i\iota_j(\theta^j\wedge\theta^I)=\theta^i\wedge\theta^I$、$\iota_je_i(\theta^j\wedge\theta^I)=\iota_j(-\theta^j\wedge\theta^i\wedge\theta^I)=-\theta^i\wedge\theta^I$ で和は $0$ です（$i\in I$ なら両方 $0$）。$\theta^I$ の上では $\iota_j\theta^I=0$ で、$e_i\theta^I$ は $\theta^j$ を含まないので $\iota_je_i\theta^I=0$ です。よって $e_i\iota_j+\iota_je_i=0=\langle\theta^i,\theta^j\rangle\mathrm{id}$ です。

(2) $T^{*}\theta^1,\dots,T^{*}\theta^{2n}$ はまた正規直交余枠で、$T^{*}(\theta^I)=(T^{*}\theta)^I$ なので、$T^{*}$ は正規直交基底を正規直交基底に写します。

∎

補題 5.3（型の直交性と sl(2) の関係式）✓

1. $(p,q)\ne(p',q')$ ならば $\Lambda^{p,q}V^{*}$ と $\Lambda^{p',q'}V^{*}$ は Hermite 内積について直交する。
2. $L$ は $\Lambda^{p,q}V^{*}$ を $\Lambda^{p+1,q+1}V^{*}$ に、$\Lambda$ は $\Lambda^{p-1,q-1}V^{*}$ に、$\star$ は $\Lambda^{n-q,n-p}V^{*}$ に写す。$L$、$\Lambda$、$\star$ は複素共役と可換で、$\Lambda=\star^{-1}L\star$ である。
3. $[L,\Lambda]=H$、$[H,L]=2L$、$[H,\Lambda]=-2\Lambda$ が成り立つ。

証明（補題 5.3）

(1) 実数 $t$ に対し $R_t=\cos t+(\sin t)J$ とおきます。$g(u,Jv)=-g(Ju,v)$ と $J$ 不変性から $g(R_tu,R_tv)=\cos^2t\,g(u,v)+\sin^2t\,g(Ju,Jv)+\cos t\sin t\,(g(u,Jv)+g(Ju,v))=g(u,v)$ なので、$R_t$ は $g$ を保ちます。$\alpha\in V^{*1,0}$ について $\alpha\circ R_t=(\cos t+i\sin t)\alpha=e^{it}\alpha$、$\alpha\in V^{*0,1}$ について $\alpha\circ R_t=e^{-it}\alpha$ なので、$R_t^{*}$ は $\Lambda^{p,q}V^{*}$ 上で $e^{i(p-q)t}$ 倍です。補題 5.2 の 2 により $R_t^{*}$ は Hermite 内積を保つので、$\alpha\in\Lambda^{p,q}$、$\beta\in\Lambda^{p',q'}$ について $\langle\alpha,\beta\rangle=\langle R_t^{*}\alpha,R_t^{*}\beta\rangle=e^{i((p-q)-(p'-q'))t}\langle\alpha,\beta\rangle$ です。次数が違えば直交するので $p+q=p'+q'$ としてよく、$(p,q)\ne(p',q')$ なら $p-q\ne p'-q'$ で、$t$ を $e^{i((p-q)-(p'-q'))t}\ne1$ となるように取れば $\langle\alpha,\beta\rangle=0$ です。

(2) $\omega$ は実の $(1,1)$ 形式なので、$L$ は型を $(1,1)$ 上げ、共役と可換です。$\alpha\in\Lambda^{p,q}$ のとき、$\beta\in\Lambda^{a,b}$ について $\langle\Lambda\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,L\beta\rangle$ で、$L\beta\in\Lambda^{a+1,b+1}$ なので (1) により $(a,b)\ne(p-1,q-1)$ なら $0$ です。よって $\Lambda\alpha\in\Lambda^{p-1,q-1}$ です。$\langle\Lambda\bar\alpha,\beta\rangle=\langle\bar\alpha,L\beta\rangle=\overline{\langle\alpha,L\bar\beta\rangle}=\overline{\langle\Lambda\alpha,\bar\beta\rangle}=\langle\overline{\Lambda\alpha},\beta\rangle$ から $\Lambda$ は共役と可換です。

$\star$ について。$\delta\in\Lambda^{q,p}$ とし、$\star\delta=\sum_{c+d=2n-p-q}\gamma^{c,d}$ と型に分けます。$\alpha\in\Lambda^{a,b}$（$a+b=p+q$）について、$\alpha\wedge\gamma^{c,d}$ は $2n$ 次で型が $(a+c,b+d)$ なので、$(c,d)=(n-a,n-b)$ でなければ $0$ です。よって $\alpha\wedge\gamma^{n-a,n-b}=\alpha\wedge\star\delta=\langle\alpha,\bar\delta\rangle\mathrm{vol}$ で、$\bar\delta\in\Lambda^{p,q}$ なので (1) により $(a,b)\ne(p,q)$ なら $0$ です。ユニタリ余枠 $\zeta^j$ による基底 $\zeta^I\wedge\bar\zeta^{I'}$ で見ると、ウェッジ積による対 $\Lambda^{a,b}\times\Lambda^{n-a,n-b}\to\Lambda^{n,n}$ は、$\zeta^I\wedge\bar\zeta^{I'}$ と補集合の添字の元 $\zeta^{I^c}\wedge\bar\zeta^{I'^c}$ の積だけが $0$ でないので非退化です。したがって $(a,b)\ne(p,q)$ のとき $\gamma^{n-a,n-b}=0$ で、$\star\delta\in\Lambda^{n-p,n-q}$ です。$p,q$ を入れ替えて、$\star$ は $\Lambda^{p,q}$ を $\Lambda^{n-q,n-p}$ に写します。

$\omega$ は偶数次なので、$\langle L\alpha,\beta\rangle\mathrm{vol}=\omega\wedge\alpha\wedge\star\bar\beta=\alpha\wedge L\star\bar\beta=\alpha\wedge\star(\star^{-1}L\star\bar\beta)=\langle\alpha,\star^{-1}L\star\beta\rangle\mathrm{vol}$ です（最後に $\star$ と $L$ が共役と可換であることを使いました）。よって $\Lambda=\star^{-1}L\star$ です。

(3) $H$ は $\Lambda^k$ 上で $k-n$ 倍で、$L$ は次数を $2$ 上げるので、$\alpha\in\Lambda^k$ について $[H,L]\alpha=(k+2-n)L\alpha-(k-n)L\alpha=2L\alpha$ です。同様に $\Lambda$ は次数を $2$ 下げるので $[H,\Lambda]=-2\Lambda$ です。

$[L,\Lambda]$ を計算します。補題 2.1 の 3 の正規直交余枠 $x^j,y^j$ について $\omega=\sum_jx^j\wedge y^j$ なので、$a_j=e(x^j)$、$b_j=e(y^j)$ とおくと

$$L=\sum_ja_jb_j,\qquad\Lambda=\sum_jb_j^{*}a_j^{*}$$

です。補題 5.2 の 1 により、$a_ja_j^{*}+a_j^{*}a_j=1$、$b_jb_j^{*}+b_j^{*}b_j=1$ で、それ以外の、$a_j,b_j,a_k^{*},b_k^{*}$ のうち相異なる二つは反可換です。$j\ne k$ のとき、$a_j,b_j$ はどちらも $b_k^{*},a_k^{*}$ と反可換なので、積 $a_jb_j$ と $b_k^{*}a_k^{*}$ は可換です。$j=k$ のとき、添字を省いて

$$ab\,b^{*}a^{*}=a(1-b^{*}b)a^{*}=aa^{*}-ab^{*}ba^{*}=aa^{*}-b^{*}aa^{*}b,\qquad b^{*}a^{*}ab=b^{*}(1-aa^{*})b=b^{*}b-b^{*}aa^{*}b$$

です（$ab^{*}=-b^{*}a$、$ba^{*}=-a^{*}b$ を使いました）。差を取ると $[ab,b^{*}a^{*}]=aa^{*}-b^{*}b=aa^{*}+bb^{*}-1$ です。よって

$$[L,\Lambda]=\sum_j\bigl(a_ja_j^{*}+b_jb_j^{*}\bigr)-n$$

です。正規直交余枠 $\theta^i$ について、$e_ie_i^{*}$ は $\theta^K$ を、$i\in K$ なら $\theta^K$ に、そうでなければ $0$ に写すので、$\sum_ie_ie_i^{*}$ は $\Lambda^k$ 上で $k$ 倍です。したがって $[L,\Lambda]=H$ です。

∎

(3) は、$e\mapsto L$、$f\mapsto\Lambda$、$h\mapsto H$ により $\Lambda^{\bullet}V^{*}_{\mathbb{C}}$ が Lie 環 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の表現になることを述べています。$\mathfrak{sl}(2)$ の有限次元表現の構造（系 10.2［Lie 環の構造論］）から、$k\le n$ のとき $L^{n-k}:\Lambda^k\to\Lambda^{2n-k}$ が同型であること、任意の形式が原始形式の $L$ のべきによる像の和に一意に分解されること（Lefschetz 分解）が従います。次章では、同じ議論を調和形式の空間に対して行い、コホモロジーの Lefschetz 分解を導きます。

6. Kähler 恒等式と三つの Laplacian

$(X,g)$ を $n$ 次元 Hermite 多様体とします。$\alpha,\beta\in A^k(X)$ の少なくとも一方の台がコンパクトなとき、

$$(\alpha,\beta)=\int_X\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}=\int_X\alpha\wedge\star\bar\beta$$

と書きます。

定義 6.1（形式的随伴と三つの Laplacian）↗

Hermite 多様体 $(X,g)$ の上で

$$d^{*}=-\star d\star,\qquad\partial^{*}=-\star\bar\partial\star,\qquad\bar\partial^{*}=-\star\partial\star$$

と定め、

$$\Delta_d=dd^{*}+d^{*}d,\qquad\Delta_\partial=\partial\partial^{*}+\partial^{*}\partial,\qquad\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^{*}+\bar\partial^{*}\bar\partial$$

とおく。

実 $2n$ 次元なので、$d^{*}$ は余微分 $\delta$（定義 3.1［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）を複素線型に延ばしたもので、$\Delta_d$ は Hodge Laplacian です。

補題 6.2（形式的随伴の性質）✓

1. $\partial^{*}$ は $A^{p,q}(X)$ を $A^{p-1,q}(X)$ に、$\bar\partial^{*}$ は $A^{p,q-1}(X)$ に写し、$d^{*}=\partial^{*}+\bar\partial^{*}$、$\overline{\partial^{*}\alpha}=\bar\partial^{*}\bar\alpha$ である。
2. $\alpha,\beta$ の少なくとも一方の台がコンパクトならば、$(d\alpha,\beta)=(\alpha,d^{*}\beta)$、$(\partial\alpha,\beta)=(\alpha,\partial^{*}\beta)$、$(\bar\partial\alpha,\beta)=(\alpha,\bar\partial^{*}\beta)$ である。
3. $U\subseteq X$ を開集合、$P,Q$ を $A^{\bullet}(U)$ 上の線型写像とする。台がコンパクトなすべての $\alpha$ とすべての $\beta$ について $(\alpha,P\beta)=(\alpha,Q\beta)$ ならば $P=Q$ である。

証明（補題 6.2）

(1) $\star$ は $A^{p,q}$ を $A^{n-q,n-p}$ に写します（補題 5.3 の 2）。$\beta\in A^{p,q}$ について、$\bar\partial\star\beta\in A^{n-q,n-p+1}$ なので $\star\bar\partial\star\beta\in A^{p-1,q}$、$\partial\star\beta\in A^{n-q+1,n-p}$ なので $\star\partial\star\beta\in A^{p,q-1}$ です。$d=\partial+\bar\partial$ から $d^{*}=\partial^{*}+\bar\partial^{*}$ で、$\star$ が共役と可換であることと $\overline{\bar\partial\gamma}=\partial\bar\gamma$ から $\overline{\partial^{*}\alpha}=-\star\partial\star\bar\alpha=\bar\partial^{*}\bar\alpha$ です。

(2) $\alpha\in A^{k-1}$、$\beta\in A^k$ とします。$d\star\bar\beta$ は $2n-k+1$ 次なので $\star\star(d\star\bar\beta)=(-1)^{k+1}d\star\bar\beta$ で、

$$\alpha\wedge\star\,\overline{d^{*}\beta}=-\alpha\wedge\star\star\,d\star\bar\beta=(-1)^k\alpha\wedge d\star\bar\beta$$

です。したがって

$$d(\alpha\wedge\star\bar\beta)=d\alpha\wedge\star\bar\beta+(-1)^{k-1}\alpha\wedge d\star\bar\beta=d\alpha\wedge\star\bar\beta-\alpha\wedge\star\,\overline{d^{*}\beta}$$

で、$\alpha\wedge\star\bar\beta$ の台はコンパクトなので、Stokes の定理（定理 6.1［ストークスの定理］）により $(d\alpha,\beta)-(\alpha,d^{*}\beta)=0$ です。$\alpha\in A^{p-1,q}$、$\beta\in A^{p,q}$ のとき、$\bar\partial\alpha\in A^{p-1,q+1}$ は $\beta$ と各点で直交し、$\bar\partial^{*}\beta\in A^{p,q-1}$ は $\alpha$ と各点で直交する（補題 5.3 の 1）ので、$(\partial\alpha,\beta)=(d\alpha,\beta)=(\alpha,d^{*}\beta)=(\alpha,\partial^{*}\beta)$ です。型が合わない場合は両辺とも $0$ なので、一般の $\alpha,\beta$ についても成り立ちます。$\bar\partial$ についても同様です。

(3) $\beta$ を固定し、$\gamma=P\beta-Q\beta$ とします。点 $x\in U$ のまわりにコンパクトな台をもち $\chi(x)>0$ である非負の滑らかな関数 $\chi$（補題 6.1［部分多様体と正則値定理］）を取り、$\alpha=\chi\gamma$ とすると $0=(\alpha,\gamma)=\int\chi|\gamma|^2\mathrm{vol}$ で、被積分関数は非負で連続なので $\gamma(x)=0$ です。

∎

(2) の性質をもつ作用素を形式的随伴といいます。(3) により、形式的随伴は（存在すれば）一意です。また、台を広げない線型作用素 $A,B$ が形式的随伴 $A^{*},B^{*}$ をもてば、$(AB\alpha,\beta)=(B\alpha,A^{*}\beta)=(\alpha,B^{*}A^{*}\beta)$ なので $AB$ の形式的随伴は $B^{*}A^{*}$ です。各点での作用素 $L$ の形式的随伴は $\Lambda$ です。

定理 6.3（Kähler 恒等式）✓

$(X,g)$ を Kähler 多様体とする。微分形式の上の作用素として

$$[\Lambda,\bar\partial]=-i\,\partial^{*},\qquad[\Lambda,\partial]=i\,\bar\partial^{*}$$

が成り立つ。随伴を取った形では

$$[L,\partial^{*}]=i\,\bar\partial,\qquad[L,\bar\partial^{*}]=-i\,\partial$$

である。

証明の方針は二段階です。まず $\mathbb{C}^n$ の標準的な計量で、定数係数の作用素どうしの計算として直接確かめます。次に、一般の Kähler 多様体では、定理 3.1 の 2 の座標（計量が 2 次の項まで平坦になる座標）を使って各点で $\mathbb{C}^n$ の場合と比べ、差が $p$ で消えることを見ます。

証明（定理 6.3）

第 1 段：$\mathbb{C}^n$ の開集合と標準的な計量の場合。 $U\subseteq\mathbb{C}^n$ を開集合、$h_{j\bar k}=\delta_{jk}$ とします。形式を定数係数の基底 $dz_I\wedge d\bar z_{I'}$ で表し、$\partial_k$、$\bar\partial_k$ で係数に $\partial/\partial z_k$、$\partial/\partial\bar z_k$ を施す作用素を表します。$e_k=e(dz_k)$、$\bar e_k=e(d\bar z_k)$、$\iota_k=e_k^{*}$、$\bar\iota_k=\bar e_k^{*}$ とおきます。これらは各点での定数係数の作用素なので $\partial_k,\bar\partial_k$ と可換で、

$$\partial=\sum_ke_k\partial_k,\qquad\bar\partial=\sum_k\bar e_k\bar\partial_k,\qquad L=\frac i2\sum_ke_k\bar e_k,\qquad\Lambda=-\frac i2\sum_k\bar\iota_k\iota_k$$

です（$\Lambda$ は $L$ の随伴で、$(e_k\bar e_k)^{*}=\bar\iota_k\iota_k$、$\overline{i/2}=-i/2$）。$dz_k=dx_k+i\,dy_k$ から $\langle dz_j,dz_k\rangle=2\delta_{jk}$、$\langle d\bar z_j,d\bar z_k\rangle=2\delta_{jk}$、$\langle dz_j,d\bar z_k\rangle=\langle dx_j+i\,dy_j,dx_k-i\,dy_k\rangle=\delta_{jk}(1+i\cdot i)=0$ なので、補題 5.2 の 1 により

$$e_j\iota_k+\iota_ke_j=2\delta_{jk},\qquad\bar e_j\bar\iota_k+\bar\iota_k\bar e_j=2\delta_{jk},\qquad\bar e_j\iota_k+\iota_k\bar e_j=0,\qquad e_j\bar\iota_k+\bar\iota_ke_j=0$$

です。

$\partial^{*}$ を求めます。$\alpha$ の台がコンパクトなとき、$e_k$ の随伴が $\iota_k$ であることと、係数ごとの部分積分 $\int(\partial_kf)\,\bar g\,dV=-\int f\,\overline{\bar\partial_kg}\,dV$ から

$$(\partial\alpha,\beta)=\sum_k(e_k\partial_k\alpha,\beta)=\sum_k(\partial_k\alpha,\iota_k\beta)=-\sum_k(\alpha,\bar\partial_k\iota_k\beta)$$

です。形式的随伴の一意性（補題 6.2 の 2・3）により

$$\partial^{*}=-\sum_k\bar\partial_k\,\iota_k$$

が作用素として成り立ちます。

交換子を計算します。反交換関係から

$$\bar\iota_j\iota_j\bar e_k=-\bar\iota_j\bar e_k\iota_j=-(2\delta_{jk}-\bar e_k\bar\iota_j)\iota_j=-2\delta_{jk}\iota_j+\bar e_k\bar\iota_j\iota_j$$

なので $[\bar\iota_j\iota_j,\bar e_k]=-2\delta_{jk}\iota_j$ です。よって

$$[\Lambda,\bar\partial]=-\frac i2\sum_{j,k}[\bar\iota_j\iota_j,\bar e_k]\,\bar\partial_k=-\frac i2\sum_k(-2\iota_k)\bar\partial_k=i\sum_k\iota_k\bar\partial_k=-i\,\partial^{*}$$

です。

第 2 段：一般の Kähler 多様体。 $p\in X$ とし、$p$ における接触座標（定理 3.1 の 2）を取ります。座標近傍 $U$ の上で、与えられた計量 $g$ のほかに、この座標についての標準的な計量 $g_0$（$h^0_{j\bar k}=\delta_{jk}$）を考え、$g_0$ から決まる作用素を $\star_0$、$\Lambda_0$、$\partial^{*}_0$ と書きます。$\star$ と $\Lambda$ は各点での線型代数で決まる作用素で、基底 $dz_I\wedge d\bar z_{I'}$ についての行列成分は、$h_{j\bar k}$ の実部・虚部の滑らかな関数です（内積の Gram 行列、その逆行列、体積形式の係数で書けます）。$h_{j\bar k}=\delta_{jk}+O(|z|^2)$ なので、$\star-\star_0$ と $\Lambda-\Lambda_0$ の行列成分は $O(|z|^2)$、つまり $p$ での値と 1 階偏導関数がすべて $0$ です。

任意の形式 $\alpha$ について、$p$ での値を比べます。$\partial^{*}=-\star\bar\partial\star$ なので

$$\partial^{*}\alpha-\partial^{*}_0\alpha=-(\star-\star_0)\bar\partial\star\alpha-\star_0\bar\partial\bigl((\star-\star_0)\alpha\bigr)$$

で、第 1 項は $(\star-\star_0)$ が $p$ で $0$ なので $p$ で $0$、第 2 項は $(\star-\star_0)\alpha$ の係数が $O(|z|^2)$ でその 1 階微分が $p$ で $0$ なので $p$ で $0$ です。同様に

$$[\Lambda,\bar\partial]\alpha-[\Lambda_0,\bar\partial]\alpha=(\Lambda-\Lambda_0)\bar\partial\alpha-\bar\partial\bigl((\Lambda-\Lambda_0)\alpha\bigr)$$

も $p$ で $0$ です。第 1 段により $[\Lambda_0,\bar\partial]\alpha=-i\partial^{*}_0\alpha$ なので、$p$ で $[\Lambda,\bar\partial]\alpha=-i\,\partial^{*}\alpha$ です。$p$ は任意なので第 1 の恒等式が得られます。

残りの恒等式。 第 1 の恒等式を $\bar\alpha$ に使って共役を取ります。$\Lambda$ は共役と可換（補題 5.3 の 2）、$\overline{\bar\partial\bar\alpha}=\partial\alpha$、$\overline{\partial^{*}\bar\alpha}=\bar\partial^{*}\alpha$（補題 6.2 の 1）なので $[\Lambda,\partial]\alpha=\overline{-i\,\partial^{*}\bar\alpha}=i\,\bar\partial^{*}\alpha$ です。形式的随伴を取ると、$[\Lambda,\bar\partial]$ の形式的随伴は $\bar\partial^{*}L-L\bar\partial^{*}=-[L,\bar\partial^{*}]$、$-i\partial^{*}$ の形式的随伴は $i\partial$ なので $[L,\bar\partial^{*}]=-i\partial$ で、同様に $[L,\partial^{*}]=i\bar\partial$ です。

∎

第 2 段の議論は、Kähler 計量についての次の原則の典型的な使い方です。計量とその 1 階微分だけを含む恒等式は、$\mathbb{C}^n$ の標準的な計量で成り立てば、すべての Kähler 多様体で成り立つ。 Kähler でない Hermite 多様体では、恒等式に $d\omega$（捩率）を含む補正項が付きます。

系 6.4（三つの Laplacian の一致）✓

$(X,g)$ を Kähler 多様体とする。

1. $\partial\bar\partial^{*}+\bar\partial^{*}\partial=0$、$\bar\partial\partial^{*}+\partial^{*}\bar\partial=0$。
2. $\Delta_d=2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}$。
3. $\Delta_d$ は型を保つ（$A^{p,q}(X)$ を $A^{p,q}(X)$ に写す）。したがって各型への射影 $\pi^{p,q}$ と可換で、また複素共役とも可換である。
4. $\Delta_d$ は $L$、$\Lambda$、$H$ と可換である。$L$ は $d$、$\partial$、$\bar\partial$ と、$\Lambda$ は $d^{*}$、$\partial^{*}$、$\bar\partial^{*}$ と可換である。

証明（系 6.4）

(1) 定理 6.3 から $\bar\partial^{*}=-i[\Lambda,\partial]$ なので

$$\partial\bar\partial^{*}+\bar\partial^{*}\partial=-i\bigl(\partial\Lambda\partial-\partial\partial\Lambda+\Lambda\partial\partial-\partial\Lambda\partial\bigr)=0$$

です（$\partial^2=0$）。第 2 式は共役を取るか、$\partial^{*}=i[\Lambda,\bar\partial]$ から同様に得られます。

(2) $d=\partial+\bar\partial$、$d^{*}=\partial^{*}+\bar\partial^{*}$ を展開すると

$$\Delta_d=\Delta_\partial+\Delta_{\bar\partial}+(\partial\bar\partial^{*}+\bar\partial^{*}\partial)+(\bar\partial\partial^{*}+\partial^{*}\bar\partial)=\Delta_\partial+\Delta_{\bar\partial}$$

です。$\partial^{*}=i[\Lambda,\bar\partial]$、$\bar\partial^{*}=-i[\Lambda,\partial]$ を代入すると

$$\begin{aligned} \Delta_\partial&=i\bigl(\partial\Lambda\bar\partial-\partial\bar\partial\Lambda+\Lambda\bar\partial\partial-\bar\partial\Lambda\partial\bigr),\\ \Delta_{\bar\partial}&=-i\bigl(\bar\partial\Lambda\partial-\bar\partial\partial\Lambda+\Lambda\partial\bar\partial-\partial\Lambda\bar\partial\bigr)=i\bigl(\partial\Lambda\bar\partial+\bar\partial\partial\Lambda-\Lambda\partial\bar\partial-\bar\partial\Lambda\partial\bigr) \end{aligned}$$

で、$\bar\partial\partial=-\partial\bar\partial$ を使うと二つは一致します。よって $\Delta_\partial=\Delta_{\bar\partial}$、$\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial}$ です。

(3) $\bar\partial$ は型を $(0,1)$ 上げ、$\bar\partial^{*}$ は $(0,1)$ 下げるので、$\Delta_{\bar\partial}$ は型を保ち、(2) により $\Delta_d$ も保ちます。$\Delta_d$ は実の作用素なので共役と可換です。

(4) $d\omega=0$ なので $d(\omega\wedge\alpha)=\omega\wedge d\alpha$、つまり $[L,d]=0$ で、型を比べて $[L,\partial]=[L,\bar\partial]=0$ です。形式的随伴を取って $[\Lambda,\partial^{*}]=[\Lambda,\bar\partial^{*}]=0$、$[\Lambda,d^{*}]=0$ です。定理 6.3 の $[L,\bar\partial^{*}]=-i\partial$ を使うと

$$[L,\Delta_{\bar\partial}]=[L,\bar\partial]\bar\partial^{*}+\bar\partial[L,\bar\partial^{*}]+[L,\bar\partial^{*}]\bar\partial+\bar\partial^{*}[L,\bar\partial]=-i(\bar\partial\partial+\partial\bar\partial)=0$$

です。$\Delta_{\bar\partial}$ は自分自身を形式的随伴にもつので、随伴を取って $[\Lambda,\Delta_{\bar\partial}]=0$ です。$\Delta_d$ は次数を保つので $H$ と可換です。

∎

(2) と (3) が次章の Hodge 分解の核心です。$\Delta_d$ 調和な形式を型に分けた各成分がまた調和で、しかも $\Delta_{\bar\partial}$ 調和でもある、ということから、de Rham コホモロジーの調和代表元の空間が Dolbeault コホモロジーの調和代表元の空間の直和になります。(4) は調和形式の空間に $\mathfrak{sl}(2)$ が作用することを意味し、難 Lefschetz 定理のもとになります。

7. Ricci 形式

定義 7.1（Ricci 形式と Kähler–Einstein 計量）↗

Kähler 多様体 $(X,g)$ の Ricci 曲率 $\operatorname{Ric}$（定義 4.1［曲率テンソル］）に対し、

$$\rho(u,v)=\operatorname{Ric}(Ju,v)$$

を Ricci 形式という。定数 $\lambda\in\mathbb{R}$ について $\rho=\lambda\omega$（同じことだが $\operatorname{Ric}=\lambda g$）となる Kähler 計量を Kähler–Einstein 計量という。

定理 7.2（Ricci 形式と第一 Chern 類）✓

$(X,g)$ を $n$ 次元 Kähler 多様体、$R$ を Riemann 曲率テンソル（定義 2.1［曲率テンソル］）とする。

1. $R(u,v)$ は $J$ と可換で、$R(Ju,Jv)=R(u,v)$、$\operatorname{Ric}(Ju,Jv)=\operatorname{Ric}(u,v)$ である。したがって $\rho$ は実の $(1,1)$ 形式である。
2. 正則接束 $(TX,h)$ の Chern 接続の曲率を $F$ とすると $\rho=i\operatorname{tr}F$ で、正則座標で

$$\rho=-i\,\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})$$

である。 3. $\rho$ は閉形式で、$i$ 倍を除いて、$K_X^{*}=\det TX$ に $h$ から誘導された計量を入れたときの Chern 接続の曲率に等しい。その de Rham 類は $[\rho]=2\pi c_1(X)$ である（$c_1(X)=c_1(TX)$）。

証明（定理 7.2）

(1) $\nabla J=0$（定理 3.1）なので、$R(X,Y)(JZ)=\nabla_X\nabla_Y(JZ)-\nabla_Y\nabla_X(JZ)-\nabla_{[X,Y]}(JZ)=J\,R(X,Y)Z$ です。$J$ 不変性と合わせて $R(X,Y,JZ,JW)=g(J\,R(X,Y)Z,JW)=R(X,Y,Z,W)$ で、対称性 $R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$（命題 3.1［曲率テンソル］ の 4）から $R(JX,JY,Z,W)=R(Z,W,JX,JY)=R(Z,W,X,Y)=R(X,Y,Z,W)$ です。正規直交基底 $E_a$ に対し $JE_a$ も正規直交基底なので

$$\operatorname{Ric}(JY,JZ)=\sum_aR(JE_a,JY,JZ,JE_a)=\sum_aR(E_a,Y,JZ,JE_a)=\sum_aR(E_a,Y,Z,E_a)=\operatorname{Ric}(Y,Z)$$

です。$\rho(v,u)=\operatorname{Ric}(Jv,u)=\operatorname{Ric}(J^2v,Ju)=-\operatorname{Ric}(v,Ju)=-\rho(u,v)$ なので $\rho$ は 2 形式で、$\rho(Ju,Jv)=\operatorname{Ric}(J^2u,Jv)=\operatorname{Ric}(Ju,v)=\rho(u,v)$ から $(1,1)$ 型です（補題 2.1 の 1）。

(2) Chern 接続は $\iota$ のもとで Levi-Civita 接続に一致する（定理 3.1 の 3）ので、曲率も一致します（どちらも $\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ で与えられます。命題 5.1［ファイバー束・主束と接続］ の 3）。つまり $F(u,v)$ は、複素線型写像 $R(u,v):(T_pX,J)\to(T_pX,J)$ です。

複素線型写像 $A$ の複素トレースと実トレースの関係を見ます。複素基底について $A=B+iC$（$B,C$ は実行列）と書くと、実行列としては $A_{\mathbb{R}}=\begin{pmatrix}B&-C\\ C&B\end{pmatrix}$、$J_{\mathbb{R}}=\begin{pmatrix}0&-I\\ I&0\end{pmatrix}$ で、$J_{\mathbb{R}}A_{\mathbb{R}}=\begin{pmatrix}-C&-B\\ B&-C\end{pmatrix}$ です。よって $\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A=2\operatorname{Re}\operatorname{tr}_{\mathbb{C}}A$、$\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}(JA)=-2\operatorname{Im}\operatorname{tr}_{\mathbb{C}}A$ です。$A=R(u,v)$ は $g$ について反対称（命題 3.1［曲率テンソル］ の 2）なので $\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A=0$ で、

$$i\operatorname{tr}F(u,v)=i\cdot i\operatorname{Im}\operatorname{tr}_{\mathbb{C}}R(u,v)=\frac12\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}\bigl(J\,R(u,v)\bigr)$$

です。右辺を計算します。$g(Jx,y)=-g(x,Jy)$ と第 1 Bianchi 恒等式（命題 3.1［曲率テンソル］ の 3）$R(u,v)E_a=-R(v,E_a)u-R(E_a,u)v$ から

$$\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}\bigl(J\,R(u,v)\bigr)=-\sum_ag(R(u,v)E_a,JE_a)=\sum_a\bigl(g(R(v,E_a)u,JE_a)+g(R(E_a,u)v,JE_a)\bigr)$$

です。$R$ が $J$ と可換なので、$g(R(v,E_a)u,JE_a)=-g(R(v,E_a)Ju,E_a)=-R(v,E_a,Ju,E_a)=R(E_a,v,Ju,E_a)$ で、$a$ について足すと $\operatorname{Ric}(v,Ju)$ です。同様に $g(R(E_a,u)v,JE_a)=-R(E_a,u,Jv,E_a)$ で、和は $-\operatorname{Ric}(u,Jv)$ です。(1) から $\operatorname{Ric}(u,Jv)=\operatorname{Ric}(Ju,J^2v)=-\operatorname{Ric}(Ju,v)$ なので

$$\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}\bigl(J\,R(u,v)\bigr)=\operatorname{Ric}(v,Ju)-\operatorname{Ric}(u,Jv)=2\operatorname{Ric}(Ju,v)=2\rho(u,v)$$

です。よって $\rho=i\operatorname{tr}F$ です。$\operatorname{tr}F=-\partial\bar\partial\log\det H$（命題 4.3［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 2）で、$H$ は $(h_{j\bar k})$ の転置なので行列式は同じです。

(3) $\rho=2\pi\cdot\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F=2\pi\,c_1(TX,h)$ は閉形式で、類は $2\pi c_1(TX)$ です。$\operatorname{tr}F$ が $\det TX$ の誘導計量 $\det h$ の曲率であることは 定理 4.5［正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子］ の 1 のとおりです。

∎

Riemann 幾何では Ricci 曲率は計量の 2 階微分の複雑な式ですが、Kähler 幾何では体積密度 $\det(h_{j\bar k})$ の対数の $\partial\bar\partial$ という簡単な形になります。その類は計量によらず $2\pi c_1(X)$ なので、Ricci 曲率の符号には位相的な制約があります。たとえば Ricci 曲率が $0$ の Kähler 計量があれば $c_1(X)=0$ です。

補題 7.3（正の形式の積）✓

$V$ を複素構造をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間、$\omega_1,\dots,\omega_{n-1}$ を正の実 $(1,1)$ 形式、$\alpha\in V^{*1,0}$ とする。このとき $i\,\alpha\wedge\bar\alpha\wedge\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_{n-1}$ は、標準的な向きについて非負の $2n$ 形式である。すべての $\omega_m$ が同じ $\omega$ のとき、$\omega$ に対応する内積についての体積形式 $\mathrm{vol}$ とユニタリ余枠 $\zeta^j$、$\alpha=\sum_ja_j\zeta^j$ について

$$i\,\alpha\wedge\bar\alpha\wedge\omega^{n-1}=2(n-1)!\Bigl(\sum_j|a_j|^2\Bigr)\mathrm{vol}$$

である。

証明（補題 7.3）

$V^{*1,0}$ の基底 $\zeta^1,\dots,\zeta^n$ を固定します。$\beta_1,\dots,\beta_n\in V^{*1,0}$、$\beta_m=\sum_jB_{mj}\zeta^j$ について、$\beta_1\wedge\dots\wedge\beta_n=\det B\cdot\zeta^1\wedge\dots\wedge\zeta^n$ です。2 形式は互いに可換で、$\beta_1\wedge\bar\beta_1\wedge\dots\wedge\beta_n\wedge\bar\beta_n$ を $\beta_1\wedge\dots\wedge\beta_n\wedge\bar\beta_1\wedge\dots\wedge\bar\beta_n$ に並べ替える符号と、$\zeta$ について逆に並べ替える符号は同じなので

$$\prod_{m=1}^n\bigl(i\,\beta_m\wedge\bar\beta_m\bigr)=|\det B|^2\prod_{j=1}^n\bigl(i\,\zeta^j\wedge\bar\zeta^j\bigr)$$

です。$\zeta^j=x^j+iy^j$ と書くと $i\,\zeta^j\wedge\bar\zeta^j=2x^j\wedge y^j$ で、右辺は標準的な向きについて非負です。各 $\omega_m$ は、それに対応する内積のユニタリ余枠 $\zeta_m^j$ によって $\omega_m=\frac12\sum_ji\,\zeta_m^j\wedge\bar\zeta_m^j$ と書けます（補題 2.1 の 3）。これを代入して展開すると、$i\alpha\wedge\bar\alpha\wedge\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_{n-1}$ は上の形の積の非負係数の和なので、非負です。

後半。$\omega=\sum_j\frac i2\zeta^j\wedge\bar\zeta^j$ の $n-1$ 乗は $(n-1)!\sum_j\prod_{k\ne j}\frac i2\zeta^k\wedge\bar\zeta^k$ です。$i\alpha\wedge\bar\alpha=i\sum_{j,l}a_j\bar a_l\,\zeta^j\wedge\bar\zeta^l$ との積で残るのは、欠けている添字 $j$ について $\zeta^j\wedge\bar\zeta^j$ の項だけなので

$$i\,\alpha\wedge\bar\alpha\wedge\omega^{n-1}=(n-1)!\sum_j|a_j|^2\,\bigl(i\,\zeta^j\wedge\bar\zeta^j\bigr)\wedge\prod_{k\ne j}\frac i2\zeta^k\wedge\bar\zeta^k=2(n-1)!\sum_j|a_j|^2\prod_k\frac i2\zeta^k\wedge\bar\zeta^k$$

で、$\prod_k\frac i2\zeta^k\wedge\bar\zeta^k=\omega^n/n!=\mathrm{vol}$ です。

∎

命題 7.4（Calabi の一意性定理）✓

$X$ を連結なコンパクト複素多様体、$\omega,\omega'$ を同じ Kähler 類に属する（$[\omega]=[\omega']\in H^2_{\mathrm{dR}}(X)$）Kähler 形式とする。両者の Ricci 形式が一致すれば、$\omega=\omega'$ である。

証明の筋道は三段階です。(i) 二つの体積形式の比が定数であることを、Ricci 形式が等しいという仮定からKähler 恒等式とコンパクト性を使って示します。(ii) その定数が 1 であることを、同じ Kähler 類なので体積が等しいことから導きます。(iii) すると二つの形式の差を決める関数が、Stokes の定理と正値性の議論で定数に潰れ、差が 0 になります。

証明（命題 7.4）

$n=\dim_{\mathbb{C}}X$ とし、$\omega,\omega'$ に対応する Hermite 計量の行列を $(h_{j\bar k})$、$(h'_{j\bar k})$ とします。

第 1 段：体積形式の比は定数。 $\omega^n=n!\det(h_{j\bar k})\,(i/2)^n\prod_jdz_j\wedge d\bar z_j$（$\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ を展開する）なので、$F=\log(\det h'/\det h)$ は座標によらない $X$ 上の実数値関数で、$\omega'^n=e^F\omega^n$ です。定理 7.2 の 2 から $\rho'-\rho=-i\partial\bar\partial F$ で、仮定により $\partial\bar\partial F=0$ です。計量 $\omega$ について Kähler 恒等式 $[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^{*}$（定理 6.3）を $(0,1)$ 形式 $\bar\partial F$ に使うと、$\Lambda\bar\partial F=0$（型による）なので

$$i\,\bar\partial^{*}\bar\partial F=\Lambda\partial\bar\partial F-\partial\Lambda\bar\partial F=0$$

です。$X$ はコンパクトなので $(\bar\partial F,\bar\partial F)=(F,\bar\partial^{*}\bar\partial F)=0$（補題 6.2 の 2）で、$\bar\partial F=0$ です。$F$ は実数値なので $\partial F=\overline{\bar\partial F}=0$、$dF=0$ で、$X$ は連結なので $F$ は定数 $c$ です。

第 2 段：$c=0$。 $[\omega']=[\omega]$ なので $\omega'=\omega+d\eta$ と書けます。$T=\sum_{j=0}^{n-1}\omega'^j\wedge\omega^{n-1-j}$ とおくと、$T$ は閉形式で

$$\omega'^n-\omega^n=(\omega'-\omega)\wedge T=d(\eta\wedge T)$$

なので、Stokes の定理から $\int_X\omega'^n=\int_X\omega^n$ です。$\omega'^n=e^c\omega^n$ と $\int_X\omega^n>0$ から $c=0$、$\omega'^n=\omega^n$ です。

第 3 段：$\omega'=\omega$。 $\omega'-\omega$ は $d$ 完全な実 $(1,1)$ 形式なので、$\partial\bar\partial$ 補題（補題 5.2［Hodge 分解と Lefschetz 分解］）により $\omega'-\omega=\partial\bar\partial\psi$ となる複素数値関数 $\psi$ があります。左辺は実なので $\partial\bar\partial\psi=\overline{\partial\bar\partial\psi}=\bar\partial\partial\bar\psi=-\partial\bar\partial\bar\psi$ で、$\partial\bar\partial\psi=\frac12\partial\bar\partial(\psi-\bar\psi)=i\,\partial\bar\partial\varphi$（$\varphi=\operatorname{Im}\psi$）です。第 2 段から

$$0=\omega'^n-\omega^n=i\,\partial\bar\partial\varphi\wedge T$$

です。$dT=0$、$d\varphi\wedge\bar\partial\varphi=\partial\varphi\wedge\bar\partial\varphi$、$d\bar\partial\varphi=\partial\bar\partial\varphi$ から

$$d\bigl(\varphi\cdot i\,\bar\partial\varphi\wedge T\bigr)=i\,\partial\varphi\wedge\bar\partial\varphi\wedge T+\varphi\cdot i\,\partial\bar\partial\varphi\wedge T=i\,\partial\varphi\wedge\bar\partial\varphi\wedge T$$

で、Stokes の定理により

$$\sum_{j=0}^{n-1}\int_Xi\,\partial\varphi\wedge\overline{\partial\varphi}\wedge\omega'^j\wedge\omega^{n-1-j}=0$$

です（$\varphi$ は実なので $\bar\partial\varphi=\overline{\partial\varphi}$）。補題 7.3 により各項の被積分形式は各点で非負なので、すべての項の被積分形式が恒等的に $0$ です。$j=0$ の項は $2(n-1)!\,|\partial\varphi|^2\,\mathrm{vol}$（$|\partial\varphi|^2$ は $\omega$ のユニタリ余枠についての成分の絶対値の 2 乗和）なので $\partial\varphi=0$ で、$\bar\partial\varphi=0$、したがって $\omega'-\omega=i\partial\bar\partial\varphi=0$ です。

∎

第 3 段の方程式 $(\omega+i\partial\bar\partial\varphi)^n=\omega^n$ は、$\varphi$ についての複素 Monge–Ampère 方程式の特別な場合です。右辺を一般の $e^F\omega^n$ に替えた方程式の解の存在が、次の Yau の定理の内容です。

定理 7.5（Calabi 予想（Yau の定理））※

$X$ を連結なコンパクト Kähler 多様体、$\omega$ を Kähler 形式、$\rho_0$ を $2\pi c_1(X)$ を代表する閉じた実 $(1,1)$ 形式とする。このとき、$\omega$ と同じ Kähler 類に属する Kähler 形式 $\omega'$ で、Ricci 形式が $\rho_0$ に等しいものがただ一つ存在する。とくに $c_1(X)=0$ ならば、各 Kähler 類は Ricci 曲率が $0$ の Kähler 計量をただ一つ含む。

注意 7.6（主張のみとする理由）

一意性は 命題 7.4 で証明しました。存在は主張のみとします。存在の証明は、複素 Monge–Ampère 方程式 $(\omega+i\partial\bar\partial\varphi)^n=e^F\omega^n$ を連続法で解くもので、解の $C^0$ 評価（Moser の反復法）、2 階・3 階微分のアプリオリ評価、Schauder 理論による正則性を必要とし、その全体は論文 1 本分の非線型解析です。このテーマの残りの章では使いません。原論文は S.-T. Yau, “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I”, Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (1978) で、予想と一意性は E. Calabi によります。$c_1(X)=0$ のコンパクト Kähler 多様体に Ricci 平坦な Kähler 計量を入れたものが Calabi–Yau 多様体で、$\mathbb{P}^4$ の 5 次超曲面（標準束が自明。前章の随伴公式による）がその例です。この計量を具体的な式で書く方法は知られていません。

8. 例

例 8.1（ℂⁿ・複素トーラス・Riemann 面）

$\mathbb{C}^n$ の標準的な計量は $h_{j\bar k}=\delta_{jk}$、Kähler ポテンシャル $\frac12|z|^2$、曲率 $0$ で、Ricci 形式も $0$ です。複素トーラス $\mathbb{C}^n/\Lambda$ にはこの計量が降り、Ricci 平坦な Kähler 計量になります（$c_1=0$ で、接束は自明です）。より一般に、正定値 Hermite 行列 $(c_{j\bar k})$ ごとに不変な Kähler 形式 $\frac i2\sum c_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ があり、その Kähler 類は $c$ ごとに異なります。定理 7.5 の一意性は、各 Kähler 類の Ricci 平坦計量がこの平坦な計量であることを意味します。

Riemann 面では、任意の Hermite 計量 $h\,|dz|^2$ が Kähler で、Ricci 形式は $\rho=-i\partial\bar\partial\log h$、Gauss 曲率を $K$ とすると $\rho=K\omega$ です。$[\rho]=2\pi c_1(X)$ を積分すると $\int_XK\,dA=2\pi\int_Xc_1(TX)$ で、これは Gauss–Bonnet の定理です。

例 8.2（Fubini–Study 計量は Kähler–Einstein）

$U_0$ の座標 $w$ で、$\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log(1+|w|^2)=\frac i2\sum h_{j\bar k}dw_j\wedge d\bar w_k$ から

$$h_{j\bar k}=\frac1\pi\frac{\partial^2}{\partial w_j\partial\bar w_k}\log(1+|w|^2)=\frac{1}{\pi(1+|w|^2)}\Bigl(\delta_{jk}-\frac{\bar w_jw_k}{1+|w|^2}\Bigr)$$

です。行列 $I-vv^{*}/(1+|w|^2)$（$v_j=\bar w_j$）の固有値は、$v$ 方向に $1-|w|^2/(1+|w|^2)=1/(1+|w|^2)$、それと直交する方向に $1$ なので

$$\det(h_{j\bar k})=\frac{1}{\pi^n(1+|w|^2)^{n+1}},\qquad\rho=-i\,\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})=(n+1)\,i\,\partial\bar\partial\log(1+|w|^2)=2\pi(n+1)\,\omega_{FS}$$

です。よって Fubini–Study 計量は $\lambda=2\pi(n+1)>0$ の Kähler–Einstein 計量です。$[\rho]=2\pi c_1(\mathbb{P}^n)$ と比べると $c_1(\mathbb{P}^n)=(n+1)[\omega_{FS}]=(n+1)c_1(\mathcal{O}(1))$ で、$K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ と合っています。$n=1$ のとき $\operatorname{Ric}=4\pi g$ で、$\mathbb{P}^1$ は Gauss 曲率 $4\pi$、面積 $1$ の球面です（半径 $1/(2\sqrt\pi)$ の球面の面積は $4\pi\cdot\frac{1}{4\pi}=1$）。一般の $n$ では、複素直線方向の断面曲率（正則断面曲率）が一定値 $4\pi$ で、一般の断面曲率は $\pi$ と $4\pi$ の間にあります。

例 8.3（単位球の Bergman 計量）

単位球 $B=\{z\in\mathbb{C}^n:|z|<1\}$ の上で $\varphi=-\log(1-|z|^2)$ とすると

$$i\,\partial\bar\partial\varphi=i\,\frac{(1-|z|^2)\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j+\bigl(\sum_j\bar z_jdz_j\bigr)\wedge\bigl(\sum_kz_kd\bar z_k\bigr)}{(1-|z|^2)^2}$$

です。第 1 項は正、第 2 項は $i\beta\wedge\bar\beta$（$\beta=\sum\bar z_jdz_j$）の形で非負なので、命題 3.2 により $\omega=i\partial\bar\partial\varphi$ は Kähler 形式です。これを（定数倍を除いて）Bergman 計量といいます。例 8.2 と同じ計算で $\det(h_{j\bar k})=2^n(1-|z|^2)^{-(n+1)}$、$\rho=-(n+1)\,i\partial\bar\partial\varphi=-(n+1)\omega$ となり、$\lambda=-(n+1)<0$ の Kähler–Einstein 計量です。$\mathbb{P}^n$（正）、$\mathbb{C}^n$（$0$）、球（負）が、正則断面曲率が一定の Kähler 多様体の三つの模型です。

9. 演習

演習 9.1易

単位円板 $D=\{|z|<1\}$ の上で Kähler ポテンシャル $\varphi=-\log(1-|z|^2)$ を考える。(a) $\omega=i\partial\bar\partial\varphi$ と $h=h_{1\bar1}$ を求めよ。(b) Ricci 形式 $\rho$ を求め、$\rho=-2\omega$ を示せ。

解答

(a) $\bar\partial\varphi=\dfrac{z\,d\bar z}{1-|z|^2}$、$\partial\bar\partial\varphi=\dfrac{(1-|z|^2)+z\bar z}{(1-|z|^2)^2}dz\wedge d\bar z=\dfrac{dz\wedge d\bar z}{(1-|z|^2)^2}$ なので $\omega=\dfrac{i\,dz\wedge d\bar z}{(1-|z|^2)^2}$ です。$\omega=\frac i2h\,dz\wedge d\bar z$ と比べて $h=\dfrac{2}{(1-|z|^2)^2}$ です。

(b) 定理 7.2 の 2 により $\rho=-i\partial\bar\partial\log h=2i\,\partial\bar\partial\log(1-|z|^2)=-2i\,\partial\bar\partial\varphi=-2\omega$ です。$\rho(u,v)=\operatorname{Ric}(Ju,v)$ と $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ から $\operatorname{Ric}=-2g$、つまり Gauss 曲率は $-2$ です。これは双曲平面で、$\lambda=-2$ の Kähler–Einstein 計量です。

演習 9.2標準

$\mathbb{C}$ に標準的な計量を入れる。$\alpha=f\,d\bar z$（$f$ は滑らかな関数）について、$[\Lambda,\partial]\alpha$ と $i\,\bar\partial^{*}\alpha$ をそれぞれ直接計算し、一致することを確かめよ。

解答

$n=1$、$\omega=\frac i2dz\wedge d\bar z$ です。$[L,\Lambda]=H$ を定数 $1$ に使うと $L\Lambda1-\Lambda L1=-1$、$\Lambda1=0$ なので $\Lambda\omega=1$、したがって $\Lambda(dz\wedge d\bar z)=2/i=-2i$ です。$\Lambda\alpha=0$（1 形式）なので

$$[\Lambda,\partial]\alpha=\Lambda(\partial f\wedge d\bar z)=\frac{\partial f}{\partial z}\Lambda(dz\wedge d\bar z)=-2i\frac{\partial f}{\partial z}$$

です。一方、定理 6.3 の証明の第 1 段と同じ計算（共役を取ったもの）で $\bar\partial^{*}=-\partial_z\bar\iota$ で、$\bar\iota(d\bar z)=\bar\iota\bar e(1)=(2-\bar e\bar\iota)1=2$ なので $\bar\partial^{*}\alpha=-2\,\partial f/\partial z$、$i\bar\partial^{*}\alpha=-2i\,\partial f/\partial z$ です。両者は一致します。

演習 9.3標準

$\mathbb{C}^2$ の標準的な Hermite 構造について、$(1,1)$ 形式 $\alpha=a\,dz_1\wedge d\bar z_1+b\,dz_2\wedge d\bar z_2+c\,dz_1\wedge d\bar z_2$（$a,b,c\in\mathbb{C}$）を $\alpha=\lambda\omega+\alpha_0$（$\lambda\in\mathbb{C}$、$\alpha_0$ は原始形式）の形に分解せよ。

解答

$\omega=\frac i2(dz_1\wedge d\bar z_1+dz_2\wedge d\bar z_2)$ です。$\Lambda=-\frac i2\sum_k\bar\iota_k\iota_k$ と $\iota_k(dz_j)=2\delta_{jk}$、$\bar\iota_k(d\bar z_j)=2\delta_{jk}$、$\iota_k(dz_j\wedge d\bar z_l)=2\delta_{jk}\,d\bar z_l$ から $\Lambda(dz_j\wedge d\bar z_l)=-\frac i2\cdot4\delta_{jl}=-2i\,\delta_{jl}$ です。よって $\Lambda\alpha=-2i(a+b)$、$\Lambda\omega=2$ です。$\Lambda\alpha_0=0$ となるには $2\lambda=-2i(a+b)$、$\lambda=-i(a+b)$ で、

$$\alpha_0=\alpha-\lambda\omega=\alpha-\frac{a+b}{2}(dz_1\wedge d\bar z_1+dz_2\wedge d\bar z_2)=\frac{a-b}{2}\bigl(dz_1\wedge d\bar z_1-dz_2\wedge d\bar z_2\bigr)+c\,dz_1\wedge d\bar z_2$$

です。原始 $(1,1)$ 形式は「トレースが $0$」の形式です。

演習 9.4標準

(a) Kähler 形式 $\omega$ を正の定数 $c$ 倍しても Ricci 形式は変わらないことを示せ。(b) $X=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ に、各因子の Fubini–Study 形式の引き戻し $\omega_1,\omega_2$ から作った Kähler 形式 $\omega=a\omega_1+b\omega_2$（$a,b>0$）を入れる。Ricci 形式を求め、$\omega$ が Kähler–Einstein 計量になる条件を答えよ。

解答

(a) $c\,\omega$ の計量の行列は $c\,(h_{j\bar k})$ で、$\det$ は $c^n$ 倍、$\log\det$ は定数だけ変わるので、$\rho=-i\partial\bar\partial\log\det(h_{j\bar k})$ は変わりません。

(b) 積の座標 $(w_1,w_2)$ で計量の行列は対角で、$\det(h_{j\bar k})=a\,h^{(1)}(w_1)\cdot b\,h^{(2)}(w_2)$（$h^{(i)}$ は各因子の Fubini–Study 計量の係数）です。よって $\rho=\mathrm{pr}_1^{*}\rho^{(1)}+\mathrm{pr}_2^{*}\rho^{(2)}$ で、例 8.2（$n=1$）から $\rho^{(i)}=4\pi\omega_{FS}$ なので

$$\rho=4\pi(\omega_1+\omega_2)$$

です。$\rho=\lambda(a\omega_1+b\omega_2)$ となるのは、$\omega_1,\omega_2$ が各点で一次独立なので $\lambda a=\lambda b=4\pi$、つまり $a=b$ のときに限ります。このとき $\lambda=4\pi/a$ です。$a\ne b$ のとき、同じ Kähler 類 $a[\omega_1]+b[\omega_2]$ に Kähler–Einstein 計量はありません（あれば $[\rho]=\lambda[\omega]$ から $4\pi([\omega_1]+[\omega_2])=\lambda(a[\omega_1]+b[\omega_2])$ で、$[\omega_1],[\omega_2]$ は $H^2$ で一次独立なので矛盾します）。

参考文献

• D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Springer, 2005 — Chapter 1 の §1.2（Lefschetz 作用素の線型代数）、Chapter 3 の §3.1（Kähler 恒等式）、Chapter 4 の §4.A–4.B（Levi-Civita 接続と Ricci 形式、Calabi–Yau の定理）。
• P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978 — Chapter 0 の §2・§7（Wirtinger の定理、Kähler 恒等式）。
• A. Moroianu, Lectures on Kähler Geometry, Cambridge University Press, 2007 — Part 2・Part 3。
• W. Ballmann, Lectures on Kähler Manifolds, European Mathematical Society, 2006 — Chapter 4・5。
• 小林昭七『複素幾何』岩波書店、2005 — 第 5 章・第 6 章。
• S.-T. Yau, “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I”, Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (1978).