ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学

0. この記事の要点

電磁気では、同じ現象を表すのにポテンシャルの取り方が何通りもあり、どの取り方でも物理は変わりません。この記事は、その「取り方の自由」を、図形の貼り合わせという幾何学の言葉で整理します。各点に小さな空間を一つずつ乗せて貼り合わせたもの（束）と、隣り合う点どうしで乗せた空間を見比べる規則（接続）を使うと、場の強さがその規則の「ずれ」として現れます。読み終えると、ゲージポテンシャルの変換則や、場の強さと一周したときのずれの関係が、一つの計算としてつながって見えるようになります。

• ベクトル束と主 $G$ 束は、開被覆上の変換関数 $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to G$（コサイクル条件 $g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$）で記述され、逆にコサイクルから束を再構成できます（命題 2.2）。表現 $\rho$ を通じて主束から同伴ベクトル束が作られます。
• 主束の接続形式 $\omega$ は $\mathfrak{g}$ 値の 1 形式で、局所切断で引き戻したゲージポテンシャル $A_\alpha$ は $A_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}A_\alpha g_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}$ で変換します。逆にこの変換則を満たす局所データは接続を定めます（定理 4.3）。
• 曲率 $F=dA+A\wedge A$ は随伴的に変換し（$F_\beta=g^{-1}F_\alpha g$）、Bianchi 恒等式 $dF+[A\wedge F]=0$ を満たします（命題 5.1）。物理の Yang–Mills 場の強さです。
• ゲージ変換は主束の自己同型で、局所的には $A\mapsto h^{-1}Ah+h^{-1}dh$、$F\mapsto h^{-1}Fh$ と作用します（命題 6.2）。
• 曲線の水平持ち上げから平行移動とホロノミーが定まります（定理 7.1）。一辺 $\varepsilon$ の小さな正方形のホロノミーは $1-\varepsilon^2F_{12}+O(\varepsilon^3)$ で（定理 7.4）、これが格子ゲージ理論のプラケットと Wilson 作用の連続極限の幾何学的な内容です。曲率が $0$ なら局所的にゲージ $A=0$ が取れます（定理 7.5）。

この記事で使う事前知識

• リー群: 群であり、同時に滑らかな多様体でもあって、積と逆元が滑らかな演算になっているもの。→ リー群
• リー環: 単位元での接空間に、括弧積 $[X,Y]$ を備えたもの。行列群なら行列の交換子です。→ リー環
• 随伴表現: 群が自分のリー環に $X\mapsto gXg^{-1}$ と作用する表現。→ 随伴表現
• 1 形式: 各点で接ベクトルを受け取り数を返す、線形な対応。→ 1 形式
• ウェッジ積: 微分形式どうしの、符号付きの積。$\alpha\wedge\beta=(-1)^{pq}\beta\wedge\alpha$（$p,q$ は次数）。→ ウェッジ積
• 接バンドル: 多様体の各点の接ベクトル空間を全部まとめたもの。→ 接バンドル

1. 動機

電磁場のベクトルポテンシャル $A_\mu$ は、ゲージ変換 $A\mapsto A+d\chi$ の自由度を持ち、観測量は $F=dA$ と、閉曲線に沿った位相因子 $e^{i\oint A}$ です。非可換ゲージ理論では $A_\mu$ が Lie 環に値を取り、ゲージ変換は $A\mapsto hAh^{-1}+\cdots$ と非線形になります（非可換ゲージ理論の量子化）。これらの公式は物理的な要請から導かれますが、背後には一つの幾何学的構造があります。

• 「各点ごとに独立に位相（内部自由度の基底）を回せる」ことは、各点の上に群 $G$ と同じ形の空間（ファイバー）が乗った主束として定式化されます。
• 「異なる点の内部自由度を比較する規則」が接続で、$A_\mu$ はその局所表示です。ゲージ変換の非斉次項 $h^{-1}dh$ は、Christoffel 記号の変換則の非斉次項（Riemann 計量と Levi-Civita 接続）と同じ起源を持ちます。
• 場の強さ $F_{\mu\nu}$ は接続の曲率で、Wilson ループは閉曲線に沿った平行移動（ホロノミー）のトレースです。格子ゲージ理論はこの平行移動を直接の変数とします（格子ゲージ場）。

本記事では $G$ を行列 Lie 群（$GL(N,\mathbb{C})$ の閉部分群、たとえば $U(1)$、$SU(N)$、$O(n)$）とし、その Lie 環 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$ の元を行列として扱います。随伴作用は $\operatorname{Ad}(g)X=gXg^{-1}$、$g^{-1}dg$ は $\mathfrak{g}$ 値の 1 形式（Maurer–Cartan 形式）です（リー群とリー環、定義 7.1［リー群とリー環］）。行列値の形式の積 $\alpha\wedge\beta$ は、行列の積とウェッジ積を組み合わせたものです。

2. ファイバー束とベクトル束

定義 2.1（ベクトル束）↗

滑らかな全射 $\pi\colon E\to M$ が階数 $r$ の（実または複素）ベクトル束であるとは、各ファイバー $E_x=\pi^{-1}(x)$ がベクトル空間の構造を持ち、$M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と微分同相 $\Phi_\alpha\colon\pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times\mathbb{K}^r$（局所自明化）で、$\Phi_\alpha$ が各ファイバー上で $E_x\to\{x\}\times\mathbb{K}^r$ の線形同型となるものが存在することをいう。

二つの局所自明化の重なりでは、$\Phi_\alpha\circ\Phi_\beta^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha\beta}(x)v)$ となる滑らかな $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to GL(r,\mathbb{K})$ が定まります。これを変換関数といいます。定義から $g_{\alpha\alpha}=1$、そして $U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$ 上で

$$g_{\alpha\beta}\,g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}\qquad\text{（コサイクル条件）}$$

が成り立ちます（$\Phi_\alpha\Phi_\beta^{-1}\Phi_\beta\Phi_\gamma^{-1}=\Phi_\alpha\Phi_\gamma^{-1}$）。接バンドル $TM$ では、座標近傍 $U_\alpha$ 上の自明化 $v\mapsto(v^1,\dots,v^n)$ の変換関数は Jacobi 行列 $\partial x_\alpha/\partial x_\beta$ です（命題 4.3［ベクトル場と微分形式］）。

次の命題は、小さな部品を貼り合わせて大きな空間を作る一般的な方法を述べています。各部品 $U_\alpha\times F$ は単純な積で、貼り合わせの規則 $g_{\alpha\beta}$ が複雑さのすべてを担います。コサイクル条件は、三つの部品を順に貼ったときに矛盾が起きない条件です。

命題 2.2（コサイクルからの再構成）✓

$G$ を Lie 群、$F$ を $G$ が左から滑らかに作用する多様体とする。$M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と、コサイクル条件を満たす滑らかな $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to G$ が与えられたとき、

$$E=\bigsqcup_\alpha U_\alpha\times F\Big/\sim,\qquad(\alpha,x,f)\sim(\beta,x,g_{\beta\alpha}(x)f)\quad(x\in U_\alpha\cap U_\beta)$$

は $M$ 上の、ファイバー $F$、変換関数 $g_{\alpha\beta}$ のファイバー束である。

証明（命題 2.2）

コサイクル条件から $g_{\alpha\alpha}=g_{\alpha\alpha}g_{\alpha\alpha}$、すなわち $g_{\alpha\alpha}=1$、また $g_{\alpha\beta}g_{\beta\alpha}=g_{\alpha\alpha}=1$ です。よって $\sim$ は反射的（$g_{\alpha\alpha}=1$）、対称的（$g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}^{-1}$）、推移的（$g_{\gamma\beta}g_{\beta\alpha}=g_{\gamma\alpha}$）で、同値関係です。各 $U_\alpha\times F$ から $E$ への写像は単射で（同じ $\alpha$ どうしは $g_{\alpha\alpha}=1$ でしか同一視されない）、その像を $E$ の開集合とする位相と、$U_\alpha\times F$ のチャートを $E$ のアトラスとして入れます。二つのチャートの変換は $(x,f)\mapsto(x,g_{\beta\alpha}(x)f)$ で滑らかです。$E$ の Hausdorff 性は、同じファイバーの異なる 2 点は一つの $U_\alpha\times F$ の中で分離でき、異なるファイバーの点は $M$ の Hausdorff 性で分離できることから従います。射影 $[\alpha,x,f]\mapsto x$ は well-defined で、$U_\alpha\times F$ が局所自明化を与え、その変換関数は構成から $g_{\alpha\beta}$ です。

∎

ベクトル空間の直和・テンソル積・双対をファイバーごとに取ると、新しいベクトル束が得られます。変換関数の言葉では、行列にそれぞれの操作を施すことにあたります。Chern 類の Whitney の和公式（Chern–Weil 理論）や、テンソル場 $T^*M\otimes T^*M$ の切断としての計量は、この構成を前提にしています。

定義 2.3（ベクトル束の直和・テンソル積・双対）↗

$E,E'$ を $M$ 上の階数 $r,r'$ の $\mathbb{K}$ ベクトル束とする。$M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ を、各 $U_\alpha$ 上で $E$ と $E'$ の両方が局所自明化 $\Phi_\alpha,\Phi'_\alpha$ を持つように取り、変換関数を $g_{\alpha\beta},g'_{\alpha\beta}$ とする。

1. 直和（Whitney 和）$E\oplus E'$：ファイバーが $E_x\oplus E'_x$、変換関数が $g_{\alpha\beta}\oplus g'_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}g_{\alpha\beta}&0\\0&g'_{\alpha\beta}\end{pmatrix}$ の階数 $r+r'$ のベクトル束。
2. テンソル積 $E\otimes E'$：ファイバーが $E_x\otimes E'_x$、変換関数が $g_{\alpha\beta}\otimes g'_{\alpha\beta}$（Kronecker 積）の階数 $rr'$ のベクトル束。
3. 双対 $E^*$：ファイバーが $E_x^*$、変換関数が $(g_{\alpha\beta}^{\mathsf{T}})^{-1}$ の階数 $r$ のベクトル束。

命題 2.4（直和・テンソル積・双対の構成）✓

定義 2.3 の三つの族はコサイクル条件を満たし、命題 2.2 によりベクトル束を定める。各ファイバーはそれぞれ $E_x\oplus E'_x$、$E_x\otimes E'_x$、$E_x^*$ と自然に同型で、得られる束は（同型を除いて）局所自明化の選び方によらない。

証明（命題 2.4）

共通の被覆. $E,E'$ の自明化の定義域 $\{U_\alpha\}$、$\{U'_\beta\}$ の共通部分 $U_\alpha\cap U'_\beta$ を取れば、両方が自明化を持つ開被覆が得られます。

コサイクル条件. $A\mapsto A\oplus B$ 型のブロック対角化、Kronecker 積 $(A,B)\mapsto A\otimes B$、$A\mapsto(A^{\mathsf{T}})^{-1}$ は、それぞれ $(AC)\oplus(BD)=(A\oplus B)(C\oplus D)$、$(AC)\otimes(BD)=(A\otimes B)(C\otimes D)$、$((AC)^{\mathsf{T}})^{-1}=(A^{\mathsf{T}})^{-1}(C^{\mathsf{T}})^{-1}$ を満たす準同型 $GL(r)\times GL(r')\to GL(\cdot)$（双対は $GL(r)\to GL(r)$）です。よって $g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$、$g'_{\alpha\beta}g'_{\beta\gamma}=g'_{\alpha\gamma}$ から、三つの族もコサイクル条件を満たします。成分は $g_{\alpha\beta},g'_{\alpha\beta}$ の成分の多項式（双対は Cramer の公式による有理式で、分母は $\det g_{\alpha\beta}\ne0$）なので滑らかです。

ファイバー. $x\in U_\alpha$ で、$\Phi_\alpha|_{E_x}:E_x\to\mathbb{K}^r$ と $\Phi'_\alpha|_{E'_x}$ の直和（テンソル積、双対写像の逆）$E_x\oplus E'_x\to\mathbb{K}^{r+r'}$ を考えます。$x\in U_\alpha\cap U_\beta$ なら、二つの同一視は $\mathbb{K}^{r+r'}$ 上で $g_{\alpha\beta}(x)\oplus g'_{\alpha\beta}(x)$ だけずれます。これは 命題 2.2 の同一視 $(\beta,x,v)\sim(\alpha,x,g_{\alpha\beta}(x)v)$ と同じなので、構成された束のファイバーは $E_x\oplus E'_x$ と well-defined に同一視されます。テンソル積では $(\Phi_\alpha\otimes\Phi'_\alpha)\circ(\Phi_\beta\otimes\Phi'_\beta)^{-1}=g_{\alpha\beta}\otimes g'_{\alpha\beta}$、双対では、線形同型 $T$ の双対写像の逆 $(T^*)^{-1}$ を考えると、$\Phi_\alpha\Phi_\beta^{-1}=g_{\alpha\beta}$ の双対写像の逆は標準双対基底の行列で $(g_{\alpha\beta}^{\mathsf{T}})^{-1}$ なので同様です。

自明化によらないこと. 別の自明化 $\tilde\Phi_\alpha=h_\alpha\Phi_\alpha$（$h_\alpha:U_\alpha\to GL(r)$ は滑らか）を取ると、変換関数は $h_\alpha g_{\alpha\beta}h_\beta^{-1}$ に変わり、上の操作を施した族も $(h_\alpha\oplus h'_\alpha)(g_{\alpha\beta}\oplus g'_{\alpha\beta})(h_\beta\oplus h'_\beta)^{-1}$ の形に変わります（テンソル積・双対も同様）。命題 2.2 の構成で $[\alpha,x,v]\mapsto[\alpha,x,(h_\alpha(x)\oplus h'_\alpha(x))v]$ と置くと、これは同一視と両立する滑らかな写像で、ファイバーごとに線形同型、逆も同じ形なので、二つの構成の間のベクトル束の同型です。被覆を細分した場合も、細分の各開集合に元の自明化を制限すれば同じ同一視が得られます。

∎

例 2.5（直和とテンソル積の例）

1. $M\subset\mathbb{R}^N$ が埋め込み部分多様体なら、法束 $\nu_x=(T_xM)^\perp$ について $TM\oplus\nu\cong M\times\mathbb{R}^N$（自明束）である。ファイバーごとの直交直和分解 $\mathbb{R}^N=T_xM\oplus\nu_x$ が同型を与える。$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ では $\nu$ は自明（外向き単位法線が大域的な切断）なので、$TS^n\oplus\underline{\mathbb{R}}$ は自明である。
2. $T^*M\otimes T^*M$ の切断は $(0,2)$ 型テンソル場で、Riemann 計量（Riemann 計量と Levi-Civita 接続）はその対称で正定値な切断である。変換関数 $(J^{\mathsf{T}})^{-1}\otimes(J^{\mathsf{T}})^{-1}$（$J$ は座標変換の Jacobi 行列）は、$g_{ij}$ の変換則そのものである。
3. 複素直線束 $L,L'$（階数 1）では変換関数は $\mathbb{C}^\times$ 値の関数で、$L\otimes L'$ の変換関数は積 $g_{\alpha\beta}g'_{\alpha\beta}$、$L^*$ の変換関数は $g_{\alpha\beta}^{-1}$ である。$L\otimes L^*$ の変換関数は $1$ なので、$L\otimes L^*$ は自明である。Hopf 束（例 3.2 の 3）の同伴直線束 $H$ の変換関数 $e^{i\varphi}$ に対し、$H^{\otimes k}$ の変換関数は $e^{ik\varphi}$ で、赤道上で $k$ 回巻く。

3. 主束と同伴束

主束は、ファイバーが群 $G$ そのものと同じ形をしたもの、と思ってください。各点の上に $G$ のコピーが立っていて、$G$ はそのコピーの中を右から動かします。ただし、コピーのどこが単位元かは決まっていません。局所切断は、各点でそこを選ぶことにあたります。

定義 3.1（主束）↗

Lie 群 $G$ について、主 $G$ 束 $\pi\colon P\to M$ とは、$P$ に $G$ が右から滑らかに作用し（$u\mapsto ug$）、各 $x$ の近傍 $U$ と微分同相 $\pi^{-1}(U)\to U\times G$、$u\mapsto(\pi(u),\varphi(u))$ で $\varphi(ug)=\varphi(u)g$ を満たすものが存在することをいう。

作用はファイバーを保ち、各ファイバー上で自由かつ推移的です。局所自明化は、局所切断 $s_\alpha\colon U_\alpha\to P$（$\pi\circ s_\alpha=\mathrm{id}$）と同じものです。実際 $s_\alpha(x)=\Phi_\alpha^{-1}(x,1)$ と置けば $\Phi_\alpha^{-1}(x,g)=s_\alpha(x)g$ です。二つの局所切断の関係を

$$s_\beta(x)=s_\alpha(x)\,g_{\alpha\beta}(x)$$

と書くと、$s_\gamma=s_\beta g_{\beta\gamma}=s_\alpha g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}$ からコサイクル条件が従います。逆に 命題 2.2 を $F=G$（左乗法）に適用すると、右乗法が well-defined な右作用になり、コサイクルから主束が作られます。とくに、主束が自明（$P\cong M\times G$）であることと、大域的な切断を持つことは同値です。

主束の模式図。各点 x の上にファイバー（G と同じ形）が立ち、局所切断 s_α はそれぞれの点で一つの点を選ぶ。別の切断 s_β = s_α·g_αβ は、各ファイバー内で g_αβ(x) だけずれた点を選ぶ。

例 3.2（枠束と同伴束）

1. 階数 $r$ のベクトル束 $E$ の枠束 $\mathrm{Fr}(E)$ は、各ファイバー $E_x$ の基底 $u=(e_1,\dots,e_r)$ 全体で、$GL(r)$ が $ug=(\sum_ie_ig_{i1},\dots,\sum_ie_ig_{ir})$ と右から作用する主束である。計量があれば、正規直交枠の全体が主 $O(r)$ 束をなす。
2. 主 $G$ 束 $P$ と表現 $\rho\colon G\to GL(V)$ に対し、$P\times V$ を $(ug,v)\sim(u,\rho(g)v)$ で割った $P\times_GV$ は、変換関数 $\rho(g_{\alpha\beta})$ のベクトル束である（同伴束）。$E=\mathrm{Fr}(E)\times_{GL(r)}\mathbb{K}^r$ で、$[u,v]\mapsto\sum_iv^ie_i$ が同型を与える。
3. Hopf 束。$S^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2:|z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ に $U(1)$ が $(z_1,z_2)\lambda=(z_1\lambda,z_2\lambda)$ と作用し、$\pi(z_1,z_2)=(2\bar z_1z_2,\ |z_1|^2-|z_2|^2)\in\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ は $S^2$ への写像で、主 $U(1)$ 束 $S^3\to S^2$ を与える。球面座標 $(\theta,\varphi)$ で、切断

$$s_N(\theta,\varphi)=\bigl(\cos\tfrac\theta2,\ \sin\tfrac\theta2\,e^{i\varphi}\bigr)\quad(\theta\ne\pi),\qquad s_S(\theta,\varphi)=\bigl(\cos\tfrac\theta2\,e^{-i\varphi},\ \sin\tfrac\theta2\bigr)\quad(\theta\ne0)$$

はそれぞれ北極・南極を含む開集合上で滑らかで、$\pi\circ s_N=\pi\circ s_S=(\sin\theta\,e^{i\varphi},\cos\theta)$、$s_N=s_S\,e^{i\varphi}$。変換関数 $g_{SN}=e^{i\varphi}$ は赤道上で 1 回巻く。

同伴束 $E=P\times_GV$ の切断 $\psi$ は、局所切断 $s_\alpha$ に関する成分 $\psi_\alpha\colon U_\alpha\to V$（$\psi=[s_\alpha,\psi_\alpha]$）で表され、$[s_\alpha,\psi_\alpha]=[s_\beta,\psi_\beta]=[s_\alpha g_{\alpha\beta},\psi_\beta]=[s_\alpha,\rho(g_{\alpha\beta})\psi_\beta]$ から

$$\psi_\alpha=\rho(g_{\alpha\beta})\,\psi_\beta$$

と変換します。物理の「表現 $\rho$ に属する物質場」は、同伴束の切断です。以下 $\rho$ を省略し、$G\subset GL(V)$ が $V$ に行列として作用する場合を考えます。

4. 接続形式とゲージポテンシャル

$A\in\mathfrak{g}$ に対し、$P$ 上のベクトル場 $A^\#_u=\frac{d}{dt}\big|_0u\exp(tA)$ を $A$ の基本ベクトル場といいます。これはファイバーに接する（$\pi_*A^\#=0$）ベクトル場で、$A\mapsto A^\#_u$ は $\mathfrak{g}$ から垂直部分空間 $\ker d\pi_u$ への同型です。

接続は、各点 $u\in P$ で「ファイバーに沿って動く方向（垂直）」と「ファイバーを動かさない方向（水平）」を分ける規則です。垂直な方向は $\pi$ で決まりますが、水平な方向の選び方には自由があり、それを選ぶのが接続形式です。以下の定義の 1 は垂直方向を $\mathfrak{g}$ の元として読み取ること、2 は水平方向の選び方が $G$ の作用と両立することを表しています。

定義 4.1（主束の接続形式）↗

主 $G$ 束 $P$ の接続形式とは、$\mathfrak{g}$ 値の 1 形式 $\omega\in\Omega^1(P,\mathfrak{g})$ で、

1. $\omega(A^\#)=A$（$A\in\mathfrak{g}$）、
2. $R_g^*\omega=g^{-1}\omega g$（$R_g(u)=ug$）

を満たすものをいう。$H_u=\ker\omega_u$ を水平部分空間という。$T_uP=H_u\oplus\ker d\pi_u$ で、$d\pi_u\colon H_u\to T_{\pi(u)}M$ は同型である。

次の補題は、局所切断を $h$ だけ取り替えたとき、ゲージポテンシャルがどう変わるかの公式です。以降のゲージポテンシャルの変換則やゲージ変換の計算は、すべてこの一つの式から出てきます。証明は、$sh$ の速度を「$s$ に沿った動き」と「ファイバー方向の動き」に分けるだけです。

補題 4.2（切断を取り替えたときの引き戻し）✓

$s\colon U\to P$ を局所切断、$h\colon U\to G$ を滑らかな写像とすると

$$(sh)^*\omega=h^{-1}(s^*\omega)\,h+h^{-1}dh.$$

証明（補題 4.2）

$X\in T_xM$ とし、$c(t)$ を $\dot c(0)=X$ の曲線とします。$s(c(t))h(c(t))$ の $t=0$ での速度は、積の微分により

$$\frac{d}{dt}\Big|_0s(c(t))h(x)+\frac{d}{dt}\Big|_0s(x)h(c(t))=(R_{h(x)})_*ds(X)+\bigl(h^{-1}dh(X)\bigr)^\#_{s(x)h(x)}$$

です。第 2 項は、$h(c(t))=h(x)\cdot h(x)^{-1}h(c(t))$ で $h(x)^{-1}h(c(t))$ が $1$ を通り速度 $h^{-1}dh(X)\in\mathfrak{g}$ を持つことから、基本ベクトル場の値になります。$\omega$ を作用させ、性質 2（$\omega((R_h)_*Y)=h^{-1}\omega(Y)h$）と性質 1 を使えば主張を得ます。

∎

定理 4.3（接続形式と局所ゲージポテンシャル）✓

$\{(U_\alpha,s_\alpha)\}$ を局所切断の族、$g_{\alpha\beta}$ を変換関数とする。

1. 接続形式 $\omega$ に対し $A_\alpha=s_\alpha^*\omega\in\Omega^1(U_\alpha,\mathfrak{g})$ と置くと、$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $$A_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}A_\alpha\,g_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}.$$
2. 逆に、この変換則を満たす $\mathfrak{g}$ 値 1 形式の族 $\{A_\alpha\}$ に対し、$s_\alpha^*\omega=A_\alpha$ となる接続形式 $\omega$ がただ一つ存在する。
3. 任意の主束は接続を持つ。

証明（定理 4.3）

1 は 補題 4.2 を $s=s_\alpha$、$h=g_{\alpha\beta}$ に適用したものです（$s_\beta=s_\alpha g_{\alpha\beta}$）。

2。 $\pi^{-1}(U_\alpha)$ を $U_\alpha\times G$ と同一視し（$(x,g)\leftrightarrow s_\alpha(x)g$）、そこで

$$\omega_\alpha=g^{-1}(\pi^*A_\alpha)\,g+g^{-1}dg$$

と置きます（$g^{-1}dg$ は $G$ 因子の Maurer–Cartan 形式）。性質 1：基本ベクトル場は $G$ 方向の $gA$ なので $\omega_\alpha(A^\#)=g^{-1}gA=A$。性質 2：$R_k$ は $(x,g)\mapsto(x,gk)$ なので $R_k^*\omega_\alpha=k^{-1}g^{-1}(\pi^*A_\alpha)gk+k^{-1}g^{-1}dg\,k$。$s_\alpha^*\omega_\alpha=A_\alpha$ は $g=1$ を代入すれば明らかです。重なりでの一致：$\omega_\alpha$ と $\omega_\beta$ はどちらも性質 1、2 を満たすので、両者の差 $\eta$ は垂直ベクトルで $0$、かつ $R_k^*\eta=k^{-1}\eta k$ です。$T_uP$ は垂直部分空間と $ds_\beta(T_xM)$ を右移動したもので張られるので、$s_\beta^*\eta=0$ を示せば十分です。1 と同じ計算で $s_\beta^*\omega_\alpha=g_{\alpha\beta}^{-1}A_\alpha g_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}^{-1}dg_{\alpha\beta}$ で、仮定からこれは $A_\beta=s_\beta^*\omega_\beta$ に等しいです。一意性も同じ理由（性質 1、2 と $s_\alpha^*\omega$ で $\omega$ が決まる）によります。

3。 自明化 $\pi^{-1}(U_\alpha)\cong U_\alpha\times G$ 上では $A_\alpha=0$ として 2 の構成で得る $\omega_\alpha=g^{-1}dg$ が接続形式です。1 の分割 $\{\rho_j\}$（$\operatorname{supp}\rho_j\subset U_{\alpha(j)}$、定理 6.3［部分多様体と正則値定理］）で $\omega=\sum_j(\rho_j\circ\pi)\,\omega_{\alpha(j)}$ と置きます。性質 1、2 はどちらも $\omega$ についてアフィンな条件で、係数の和が $1$ なので保たれます。

∎

同伴ベクトル束 $E=P\times_GV$ の切断 $\psi$ の共変微分を、局所的に

$$\nabla\psi=d\psi_\alpha+A_\alpha\psi_\alpha$$

で定めます。これは well-defined です。実際 $\psi_\alpha=g\psi_\beta$（$g=g_{\alpha\beta}$）なら $d\psi_\alpha+A_\alpha\psi_\alpha=g\bigl(d\psi_\beta+(g^{-1}dg+g^{-1}A_\alpha g)\psi_\beta\bigr)=g(d\psi_\beta+A_\beta\psi_\beta)$ で、成分が同伴束の変換則に従います。Leibniz 則 $\nabla(f\psi)=df\otimes\psi+f\nabla\psi$ を満たすので、$\nabla$ はベクトル束 $E$ の接続（Riemann 計量と Levi-Civita 接続 の 定義 4.1［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ を $E$ に広げたもの）です。$E=TM$、$P$ を正規直交枠束とすれば、$A_\alpha$ は 曲率テンソル の章の接続形式 $(\omega^i{}_j)$ そのものです。

物理の記法との対応は、$U(1)$ では $A=-ieA^{\mathrm{phys}}_\mu dx^\mu$（$\mathfrak{u}(1)=i\mathbb{R}$）として $\nabla_\mu=\partial_\mu-ieA^{\mathrm{phys}}_\mu$、$SU(N)$ では $A=-igA^a_\mu t^adx^\mu$（$t^a$ は Hermite 生成子）として $D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a$ です（定義 2.6［非可換ゲージ理論の量子化］）。数学では $\mathfrak{g}$ を反 Hermite 行列で取るので、$i$ と結合定数が $A$ に吸収されます。

5. 曲率形式

曲率は、$A$ の微分と $A$ 自身の積の組 $dA+A\wedge A$ です。非可換のときは $A\wedge A$ が消えません。次の命題の 1 は、この組み合わせにするとゲージ変換で $g$ の微分が消え、$F$ が単に共役で変わる、という性質です。証明の 1 は、その打ち消し合いを項ごとに確かめる計算です。

命題 5.1（曲率形式とその性質）✓

接続 $\omega$ の局所ゲージポテンシャル $A_\alpha$ に対し、$\mathfrak{g}$ 値 2 形式 $F_\alpha=dA_\alpha+A_\alpha\wedge A_\alpha$ を曲率（場の強さ）という。

1. $U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $F_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}F_\alpha\,g_{\alpha\beta}$。
2. （Bianchi 恒等式）$dF_\alpha+A_\alpha\wedge F_\alpha-F_\alpha\wedge A_\alpha=0$。
3. 同伴束の接続 $\nabla$ について $\nabla_X\nabla_Y\psi-\nabla_Y\nabla_X\psi-\nabla_{[X,Y]}\psi=F(X,Y)\psi$。

証明（命題 5.1）

1。 $A'=g^{-1}Ag+g^{-1}dg$ とし、$d(g^{-1})=-g^{-1}dg\,g^{-1}$ を使って計算します。

$$\begin{aligned} dA'&=-g^{-1}dg\,g^{-1}\wedge Ag+g^{-1}dA\,g-g^{-1}A\wedge dg-g^{-1}dg\,g^{-1}\wedge dg,\\ A'\wedge A'&=g^{-1}A\wedge A\,g+g^{-1}A\wedge dg+g^{-1}dg\,g^{-1}\wedge Ag+g^{-1}dg\wedge g^{-1}dg. \end{aligned}$$

足すと、$g$ の微分を含む項は対ごとに打ち消し合い、$dA'+A'\wedge A'=g^{-1}(dA+A\wedge A)g$ が残ります。

2。 $dF=dA\wedge A-A\wedge dA$（1 形式なので符号 $-$）に $dA=F-A\wedge A$ を代入すると、$dF=F\wedge A-A\wedge A\wedge A-A\wedge F+A\wedge A\wedge A=F\wedge A-A\wedge F$ です。

3。 局所的に $\nabla_X\psi=X\psi+A(X)\psi$ です。$\nabla_X\nabla_Y\psi=XY\psi+\bigl(XA(Y)\bigr)\psi+A(Y)X\psi+A(X)Y\psi+A(X)A(Y)\psi$ で、$X,Y$ を入れ替えて引き、$\nabla_{[X,Y]}\psi$ を引くと、$\psi$ の微分の項は消え、$\bigl(XA(Y)-YA(X)-A([X,Y])\bigr)+\bigl(A(X)A(Y)-A(Y)A(X)\bigr)=dA(X,Y)+(A\wedge A)(X,Y)$ が残ります。

∎

1 により、$G$ が可換（たとえば $U(1)$）なら $F_\alpha$ は貼り合わさって $M$ 上の大域的な 2 形式 $F$ になります。非可換なら、$F$ は随伴表現の同伴束 $\operatorname{ad}P=P\times_G\mathfrak{g}$ に値を取る 2 形式です。成分で書くと $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+[A_\mu,A_\nu]$ で、物理の記法 $A=-igA^a_\mu t^adx^\mu$、$[t^a,t^b]=if^{abc}t^c$ に直すと $F=-igF^a_{\mu\nu}t^a\,\tfrac12dx^\mu\wedge dx^\nu$、$F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gf^{abc}A^b_\mu A^c_\nu$ となり、Yang–Mills の場の強さに一致します。Bianchi 恒等式は、$U(1)$ では $dF=0$（Maxwell 方程式の $\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ と Faraday の法則）です。正規直交枠束の Levi-Civita 接続では、$F$ は 曲率テンソル の章の曲率形式 $\Omega$（定理 6.2［曲率テンソル］）に一致します。

6. ゲージ変換

定義 6.1（ゲージ変換）↗

主束 $P$ のゲージ変換とは、微分同相 $\Phi\colon P\to P$ で $\pi\circ\Phi=\pi$、$\Phi(ug)=\Phi(u)g$ を満たすものをいう。その全体 $\mathcal{G}$ は合成について群をなす（ゲージ群）。

命題 6.2（ゲージ変換の局所表示と作用）✓

1. ゲージ変換 $\Phi$ は $\Phi(s_\alpha(x))=s_\alpha(x)h_\alpha(x)$ により滑らかな写像 $h_\alpha\colon U_\alpha\to G$ の族を定め、$h_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}h_\alpha g_{\alpha\beta}$ を満たす。逆にこの条件を満たす族はゲージ変換を定める。
2. $\Phi^*\omega$ は接続形式で、その局所ゲージポテンシャルと曲率は $$A^\Phi_\alpha=h_\alpha^{-1}A_\alpha h_\alpha+h_\alpha^{-1}dh_\alpha,\qquad F^\Phi_\alpha=h_\alpha^{-1}F_\alpha h_\alpha.$$
3. 同伴束の切断の成分を $\psi_\alpha\mapsto h_\alpha^{-1}\psi_\alpha$ と変換すると、$\nabla^\Phi(h^{-1}\psi)=h^{-1}\nabla\psi$（共変微分は共変に変換する）。

証明（命題 6.2）

1。 $\Phi(s_\alpha(x))$ と $s_\alpha(x)$ は同じファイバーにあり、作用は自由かつ推移的なので $h_\alpha(x)$ が一意に定まり、局所自明化で書けば滑らかです。$\Phi(s_\beta)=\Phi(s_\alpha g_{\alpha\beta})=s_\alpha h_\alpha g_{\alpha\beta}=s_\beta\,g_{\alpha\beta}^{-1}h_\alpha g_{\alpha\beta}$ です。逆は $\Phi(s_\alpha(x)g)=s_\alpha(x)h_\alpha(x)g$ と定めれば、条件により重なりで一致します。

2。 $\Phi$ は右作用と可換なので基本ベクトル場を保ち（$\Phi_*A^\#=A^\#$）、$R_g^*\Phi^*\omega=\Phi^*R_g^*\omega=g^{-1}\Phi^*\omega\,g$ です。よって $\Phi^*\omega$ は接続形式です。$s_\alpha^*\Phi^*\omega=(\Phi\circ s_\alpha)^*\omega=(s_\alpha h_\alpha)^*\omega$ に 補題 4.2 を適用すれば第 1 式、命題 5.1 1 と同じ計算で第 2 式を得ます。

3。 $d(h^{-1}\psi)+(h^{-1}Ah+h^{-1}dh)h^{-1}\psi=-h^{-1}dh\,h^{-1}\psi+h^{-1}d\psi+h^{-1}A\psi+h^{-1}dh\,h^{-1}\psi=h^{-1}(d\psi+A\psi)$ です。

∎

$\operatorname{tr}$ の巡回性から、$\operatorname{tr}(F\wedge\star F)$ や $\operatorname{tr}(F\wedge F)$ はゲージ変換で不変で、各 $U_\alpha$ 上の値が貼り合わさって $M$ 上の大域的な形式になります。Yang–Mills 作用 $S=-\frac{1}{2g^2}\int_M\operatorname{tr}(F\wedge\star F)$ がゲージ不変であるのはこのためです（命題 2.7［非可換ゲージ理論の量子化］）。$\operatorname{tr}(F\wedge F)$ が閉形式でその積分が位相不変量になることは、次章 の Chern–Weil 理論の出発点です。

7. 平行移動とホロノミー

定理 7.1（水平持ち上げ）✓

$\gamma\colon[0,1]\to M$ を区分的に滑らかな曲線、$u_0\in\pi^{-1}(\gamma(0))$ とする。$\tilde\gamma(0)=u_0$、$\pi\circ\tilde\gamma=\gamma$ で、$\omega(\dot{\tilde\gamma})=0$ となる曲線 $\tilde\gamma$（水平持ち上げ）がただ一つ存在する。$u_0g$ から出る水平持ち上げは $\tilde\gamma g$ である。局所切断 $s$ を使って $\tilde\gamma(t)=s(\gamma(t))g(t)$ と書くと、$g$ は

$$\dot g(t)=-A\bigl(\dot\gamma(t)\bigr)\,g(t)$$

を満たす。

証明（定理 7.1）

$\gamma$ の像が一つの $U_\alpha$ に入る部分で考えます。補題 4.2 と同じ計算で $\omega\bigl(\tfrac{d}{dt}s(\gamma)g\bigr)=g^{-1}A(\dot\gamma)g+g^{-1}\dot g$ なので、水平性は表示の方程式と同値です。これは行列値の線形常微分方程式で、係数 $A(\dot\gamma(t))$ は滑らかな各区間で連続なので、行列の空間で区間全体の解がただ一つ存在します（定理 2.1［線形微分方程式系］）。解が $G$ に留まることを示します。$G$ は閉部分群定理（定理 4.2［行列 Lie 群と指数写像］）により $GL(N,\mathbb{C})$ の埋め込み部分多様体で、$T_gG=\mathfrak{g}g$ なので、$g\mapsto-A(\dot\gamma(t))g$ は $G$ に接する（時間に依存する）ベクトル場で、時間変数を加えた $\mathbb{R}\times G$ 上のベクトル場の積分曲線として、$G$ の中の解が各時刻の近くで存在します（定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）。行列の空間での一意性により、それは上の解と一致します。したがって $\{t:g(t)\in G\}$ は開集合で、$G$ は $GL(N,\mathbb{C})$ の閉集合なので閉集合でもあり、区間全体です。

$\gamma([0,1])$ を有限個の $U_\alpha$ で覆い、区間を細分して順につなげば全体の水平持ち上げを得ます。水平性は切断の取り方によらないので、つなぎ目で矛盾は生じず、一意性も各部分の一意性から従います。$\tilde\gamma g$ が水平であることは $R_g^*\omega=g^{-1}\omega g$ から従います。

∎

$\tilde\gamma(1)$ を対応させる写像 $P_\gamma\colon\pi^{-1}(\gamma(0))\to\pi^{-1}(\gamma(1))$ が平行移動で、$P_\gamma(ug)=P_\gamma(u)g$ です。同伴束では $[u,v]\mapsto[P_\gamma u,v]$ が平行移動で、それは $\nabla_{\dot\gamma}\psi=0$ となる切断で運ぶことに一致します（局所的に $\psi=[s\,g,v]=[s,gv]$ の成分 $gv$ が $\tfrac{d}{dt}(gv)+A(\dot\gamma)gv=0$ を満たす）。

定義 7.2（ホロノミー群）↗

$u\in P$、$x=\pi(u)$ とする。$x$ を基点とする区分的に滑らかなループ $\gamma$ に対し、$P_\gamma(u)=u\,\mathrm{hol}_u(\gamma)$ で $\mathrm{hol}_u(\gamma)\in G$ を定める。その全体 $\operatorname{Hol}_u(\omega)$ を $u$ におけるホロノミー群という。

ループ γ の水平持ち上げ。出発点 u と終点 u·hol(γ) は同じファイバーにあり、そのずれがホロノミーである。

命題 7.3（ホロノミー群の性質）✓

1. $\operatorname{Hol}_u(\omega)$ は $G$ の部分群で、$\mathrm{hol}_u(\gamma_2*\gamma_1)=\mathrm{hol}_u(\gamma_2)\,\mathrm{hol}_u(\gamma_1)$（$\gamma_2*\gamma_1$ は $\gamma_1$ の後に $\gamma_2$ をたどるループ）。
2. $\operatorname{Hol}_{ug}(\omega)=g^{-1}\operatorname{Hol}_u(\omega)g$。$M$ が連結なら、ホロノミー群は共役を除いて基点によらない。
3. 局所切断 $s$ で $u=s(x)$ とすると、$\mathrm{hol}_u(\gamma)=g(1)$（$g$ は 定理 7.1 の方程式の $g(0)=1$ の解）で、ゲージ変換 $\Phi$（局所表示 $h$）で変換した接続について $\mathrm{hol}_u^{\Phi^*\omega}(\gamma)=h(x)^{-1}\mathrm{hol}_u^{\omega}(\gamma)h(x)$。とくに表現 $\rho$ の Wilson ループ $W(\gamma)=\operatorname{tr}\rho(\mathrm{hol}(\gamma))$ はゲージ不変である。

証明（命題 7.3）

1。 $P_{\gamma_1}(u)=ug_1$、$P_{\gamma_2}(u)=ug_2$ とすると、$P_{\gamma_2}(ug_1)=P_{\gamma_2}(u)g_1=ug_2g_1$ です。逆向きのループの持ち上げは持ち上げを逆にたどったものなので、$\mathrm{hol}(\gamma^{-1})=\mathrm{hol}(\gamma)^{-1}$ です。定値ループは $1$ を与えます。

2。 $P_\gamma(ug)=P_\gamma(u)g=u\,\mathrm{hol}_u(\gamma)\,g=(ug)\,g^{-1}\mathrm{hol}_u(\gamma)g$ です。$M$ が連結なら、同じファイバーにない $u'$ も $u$ と水平曲線で結べ（$x$ から $\pi(u')$ への曲線の持ち上げを右から調整する）、ループを曲線で共役すれば $\operatorname{Hol}_{u'}$ は $\operatorname{Hol}_u$ の共役になります。

3。 前半は 定理 7.1 の局所表示で $\tilde\gamma(1)=s(x)g(1)$ となることです。後半は、同じ切断 $s$ で $\Phi^*\omega$ の局所ポテンシャルが $A^\Phi=h^{-1}Ah+h^{-1}dh$（命題 6.2 2）であることから、 $g^\Phi(t)=h(\gamma(t))^{-1}g(t)h(x)$ が $\dot g^\Phi=-A^\Phi(\dot\gamma)g^\Phi$、$g^\Phi(0)=1$ を満たすことは微分して確かめられ、$t=1$ で $\gamma(1)=x$ から主張を得ます。トレースは共役で不変です。

∎

ホロノミーを $g(1)=\mathcal{P}\exp\bigl(-\int_\gamma A\bigr)$（後の時刻を左に置く経路順序積）と書くのが物理の慣習です。可換な $U(1)$ では経路順序は不要で、$\mathrm{hol}(\gamma)=\exp(-\oint_\gamma A)$ です。

次の定理は、小さな正方形を一周したときのずれが、辺の長さの 2 乗に比例して曲率になる、という主張です。証明は、4 つの辺それぞれで平行移動の行列を $\varepsilon$ の 2 次まで展開し、それらを順に掛けて、$\varepsilon$ の 1 次の項と $A_1^2$、$A_2^2$ の項が消えるのを確かめる計算です。

定理 7.4（微小ループのホロノミーは曲率）✓

局所切断 $s$ と座標 $(x^1,\dots,x^n)$ を取り、点 $x$ から $(x^1,x^2)$ 平面内で一辺 $\varepsilon$ の正方形を $\partial_1,\partial_2,-\partial_1,-\partial_2$ の順にたどるループを $\gamma_\varepsilon$ とする。このとき

$$\mathrm{hol}_{s(x)}(\gamma_\varepsilon)=1-\varepsilon^2F_{12}(x)+O(\varepsilon^3),\qquad F_{12}=\partial_1A_2-\partial_2A_1+[A_1,A_2].$$

証明（定理 7.4）

長さ $\varepsilon$ の線分に沿った $\dot g=-a(t)g$、$g(0)=1$ の解は、積分方程式 $g(t)=1-\int_0^ta(t_1)g(t_1)dt_1$ を 2 回反復して

$$g(\varepsilon)=1-\int_0^\varepsilon a(t_1)dt_1+\int_0^\varepsilon\!\!\int_0^{t_1}a(t_1)a(t_2)\,dt_2dt_1+O(\varepsilon^3)$$

です（$a,g$ は有界なので 3 重積分は $O(\varepsilon^3)$）。$a(t)=a_0+ta_1+O(t^2)$ なら $g(\varepsilon)=1-\varepsilon a_0-\tfrac12\varepsilon^2a_1+\tfrac12\varepsilon^2a_0^2+O(\varepsilon^3)$ です。

以下 $A_i$ とその微分はすべて $x$ での値とします。4 辺で $a(t)=A(\dot\gamma)$ は順に

• 辺 1（$x$ から $\partial_1$ 方向）：$a_0=A_1$、$a_1=\partial_1A_1$。
• 辺 2（$x+\varepsilon e_1$ から $\partial_2$ 方向）：$a_0=A_2+\varepsilon\partial_1A_2$、$a_1=\partial_2A_2$。
• 辺 3（$x+\varepsilon e_1+\varepsilon e_2$ から $-\partial_1$ 方向）：$a_0=-(A_1+\varepsilon\partial_1A_1+\varepsilon\partial_2A_1)$、$a_1=\partial_1A_1$。
• 辺 4（$x+\varepsilon e_2$ から $-\partial_2$ 方向）：$a_0=-(A_2+\varepsilon\partial_2A_2)$、$a_1=\partial_2A_2$。

（$O(\varepsilon^2)$ の誤差は最終結果の $O(\varepsilon^3)$ に入る。）各辺の解を $T_1,\dots,T_4$ とすると、ホロノミーは $T_4T_3T_2T_1$ です。$\varepsilon^1$ の項は $-A_1-A_2+A_1+A_2=0$ です。$\varepsilon^2$ の項は、各 $T_i$ の $\varepsilon^2$ の項の和

$$\bigl(-\tfrac12\partial_1A_1+\tfrac12A_1^2\bigr)+\bigl(-\partial_1A_2-\tfrac12\partial_2A_2+\tfrac12A_2^2\bigr)+\bigl(\tfrac12\partial_1A_1+\partial_2A_1+\tfrac12A_1^2\bigr)+\bigl(\tfrac12\partial_2A_2+\tfrac12A_2^2\bigr)$$

と、$1$ 次の項 $L_1=-A_1$、$L_2=-A_2$、$L_3=A_1$、$L_4=A_2$ の順序付きの積 $\sum_{i>j}L_iL_j=A_2A_1-A_1^2-A_1A_2-A_2A_1-A_2^2+A_2A_1$ の和です。合計すると $A_1^2$ と $A_2^2$ が消え、$-\partial_1A_2+\partial_2A_1+A_2A_1-A_1A_2=-F_{12}$ が残ります。

∎

格子ゲージ理論では、格子間隔 $a$ のプラケットに沿ったリンク変数の積がちょうどこのホロノミーで（規約により向きか逆元が入れ替わる）、$U_P=1-a^2F_{\mu\nu}+O(a^3)$ です。Wilson 作用 $\sum_P\operatorname{Re}\operatorname{tr}(1-U_P)$ の主要項が $-\tfrac{a^4}2\sum\operatorname{tr}F_{\mu\nu}^2$ になり、Yang–Mills 作用を再現するのはこのためです（定理 3.6［格子ゲージ場］）。

定理 7.5（平坦な接続は局所的に自明）✓

$U$ を座標立方体とし、$U$ 上で $F=0$ とする。このとき局所切断 $s'$ で $s'^*\omega=0$（ゲージ $A=0$）となるものが存在する。したがって $U$ 内のループのホロノミーはすべて $1$ である。

証明（定理 7.5）

曲率テンソル の章の 定理 2.4［曲率テンソル］ と同じ構成をします。中心 $x_0$ の点 $u_0$ から、$x^1$ 軸に沿って水平持ち上げし、次に $x^1$ 軸上の各点から $x^2$ 方向に水平持ち上げし、…と続けて切断 $s'$ を作ります（定理 7.1 の解はパラメータに滑らかに依存する）。$A'=s'^*\omega$ とし、$k$ 段目の後、スライス $S_k=\{x^{k+1}=\dots=x^n=0\}$ 上で $i\le k$ に対し $A'_i=0$ であることを帰納法で示します。$A'_k=0$ は構成（$x^k$ 方向に水平）そのものです。$i<k$ なら、$S_k$ 上で $A'_k\equiv0$ なので $\partial_iA'_k=0$ で、$0=F'_{ki}=\partial_kA'_i-\partial_iA'_k+[A'_k,A'_i]=\partial_kA'_i$ です（命題 6.2 2 により $F'$ も $0$）。帰納法の仮定から $S_{k-1}$ 上で $A'_i=0$ なので、$x^k$ 方向に積分して $S_k$ 上で $A'_i=0$ です。$k=n$ で $A'=0$ を得ます。このゲージではホロノミーの方程式が $\dot g=0$ なので、$U$ 内のループのホロノミーは $1$ です。

∎

一般に、ホロノミー群の Lie 環は、すべての点に水平曲線で運んだ曲率の値 $F_u(X,Y)$ で生成されます（Ambrose–Singer の定理。本記事では証明しません。文献 [Kobayashi–Nomizu, Chapter II §8]）。定理 7.4 と 定理 7.5 は、その「無限小版」と「消滅版」にあたります。一方、平坦でも大域的なホロノミーは自明とは限りません。

例 7.6（Aharonov–Bohm の位相）

$M=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上の自明な $U(1)$ 束に $A=-ie\frac{\Phi}{2\pi}d\theta$ を与える（物理のベクトルポテンシャル $\frac{\Phi}{2\pi}d\theta$、電荷 $e$、$\hbar=1$）。$F=dA=0$ で平坦だが、原点を 1 周するループのホロノミーは $\exp(-\oint A)=e^{ie\Phi}$ で、$e\Phi\notin2\pi\mathbb{Z}$ なら $1$ でない。定理 7.5 と矛盾しないのは、このループが立方体（星形領域）に収まらないからである。de Rham コホモロジーの言葉では、閉形式 $d\theta$ が完全でないこと（例 5.4［de Rham コホモロジー］）がこの位相の起源である。

例 7.7（Hopf 束の接続と磁気単極子）

例 3.2 3 の Hopf 束で $\omega=\bar z_1dz_1+\bar z_2dz_2$（$S^3$ に制限）と置く。$\omega+\bar\omega=d(|z_1|^2+|z_2|^2)=0$ なので $\omega$ は $\mathfrak{u}(1)=i\mathbb{R}$ 値で、$A=i\theta$ の基本ベクトル場 $i\theta(z_1,z_2)$ について $\omega(A^\#)=i\theta(|z_1|^2+|z_2|^2)=A$、また $|\lambda|=1$ から $R_\lambda^*\omega=\omega$ なので、接続形式である。切断 $s_N,s_S$ で引き戻すと

$$A_N=i\sin^2\tfrac\theta2\,d\varphi=\tfrac i2(1-\cos\theta)\,d\varphi,\qquad A_S=-i\cos^2\tfrac\theta2\,d\varphi=-\tfrac i2(1+\cos\theta)\,d\varphi.$$

変換則 $A_N=A_S+g_{SN}^{-1}dg_{SN}=A_S+i\,d\varphi$ が確かに成り立つ。曲率は $F=dA_N=\tfrac i2\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi$、すなわち $S^2$ の面積要素の $i/2$ 倍で、$\int_{S^2}F=2\pi i$。物理的には原点に置かれた磁気単極子の場である。緯線 $\theta=\theta_0$ を $\varphi$ の増える向きに一周するホロノミーは

$$\exp\Bigl(-\oint A_N\Bigr)=\exp\bigl(-i\pi(1-\cos\theta_0)\bigr)=e^{-i\,\mathrm{Area}/2}$$

で、$\mathrm{Area}=2\pi(1-\cos\theta_0)$ は囲まれた球帽の面積（立体角）である。これは磁場中のスピン $1/2$ が向きを一周させたときに得る Berry 位相 $-\Omega/2$ と同じ式で、その理由は 次章 で明らかになる。

8. 演習

演習 8.1標準

Hopf 束 $S^3\to S^2$ が自明な束 $S^2\times U(1)$ と同型でないことを、例 7.7 の $\int_{S^2}F=2\pi i$ と Stokes の定理を使って示せ。

解答

自明なら大域的な切断 $s\colon S^2\to S^3$ があり、$A=s^*\omega$ は $S^2$ 全体で定義された 1 形式です。$U(1)$ は可換なので曲率は切断によらず（命題 5.1 1）、$F=dA$ が $S^2$ 全体で成り立ちます。Stokes の定理（系 6.2［ストークスの定理］）から $\int_{S^2}F=\int_{S^2}dA=0$ で、$2\pi i$ に矛盾します。$\int F$ が接続の取り方によらない位相不変量であることは次章で示します。

演習 8.2易

$U(1)$ 束で $h=e^{i\chi}$ のゲージ変換を考える。命題 6.2 から $A\mapsto A+i\,d\chi$、$F\mapsto F$ を導き、物理の記法 $A=-ieA^{\mathrm{phys}}$ では $A^{\mathrm{phys}}\mapsto A^{\mathrm{phys}}-\tfrac1ed\chi$、物質場 $\psi\mapsto e^{-i\chi}\psi$ となることを確かめよ。

解答

$U(1)$ は可換なので $h^{-1}Ah=A$、$h^{-1}dh=i\,d\chi$ で $A\mapsto A+i\,d\chi$。$F^\Phi=h^{-1}Fh=F$。$-ieA^{\mathrm{phys}}+i\,d\chi=-ie(A^{\mathrm{phys}}-\tfrac1ed\chi)$。物質場は $\psi\mapsto h^{-1}\psi=e^{-i\chi}\psi$（命題 6.2 3）で、$(\partial_\mu-ieA^{\mathrm{phys}}_\mu)\psi$ は同じ因子 $e^{-i\chi}$ で変換します。$\chi=-e\alpha$ と置けば $\psi\mapsto e^{ie\alpha}\psi$、$A^{\mathrm{phys}}\mapsto A^{\mathrm{phys}}+d\alpha$ となり、ゲージ理論と自発的対称性の破れ の規約（定義 3.1［ゲージ理論と自発的対称性の破れ］）に一致します。

演習 8.3標準

同伴ベクトル束の切断 $\psi$ が $M$ 全体で平行（$\nabla\psi=0$）ならば、(a) $F(X,Y)\psi=0$ がすべての $X,Y$ で成り立つこと、(b) $\psi(x)$ はホロノミー群の作用で固定されること（すなわち $\psi=[u,v]$ と書くと $\rho(\operatorname{Hol}_u)v=v$）を示せ。また Riemann 多様体の接バンドルにこれを適用して、平行なベクトル場 $X$ があれば $R(Y,Z)X=0$ となることを確かめよ。

解答

(a) 命題 5.1 3 で $\nabla\psi=0$ を代入すると左辺は $0$ です。(b) ループ $\gamma$ に沿って $\psi(\gamma(t))$ は平行なので、平行移動は $\psi(x)$ を $\psi(x)$ に写します。$\psi(x)=[u,v]$ なら $P_\gamma[u,v]=[u\,\mathrm{hol}_u(\gamma),v]=[u,\rho(\mathrm{hol}_u(\gamma))v]$ なので $\rho(\mathrm{hol}_u(\gamma))v=v$ です。接バンドルでは (a) は $R(Y,Z)X=0$ です（曲率は 定義 2.1［曲率テンソル］ に一致）。たとえば単位球面 $S^2$ では $R(Y,Z)X=\langle Z,X\rangle Y-\langle Y,X\rangle Z$ が $X\ne0$ のとき $0$ にならないので、零でない平行なベクトル場は存在しません。

参考文献

• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, Wiley, 1963 — Chapter I §5（ファイバー束）、Chapter II（主束の接続、ホロノミー、Ambrose–Singer の定理）。
• 小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』裳華房、1989 — 第 1–2 章。
• M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd ed., IOP Publishing, 2003 — Chapter 9–10（ファイバー束と接続、物理との対応）。
• D. Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley, 1981 — Chapter 1–3。
• T. T. Wu, C. N. Yang, “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Physical Review D 12 (1975), 3845–3857. doi:10.1103/PhysRevD.12.3845