ベクトル束

滑らかな全射 $\pi\colon E\to M$ が階数 $r$ の（実または複素）ベクトル束であるとは、各ファイバー $E_x=\pi^{-1}(x)$ がベクトル空間の構造を持ち、$M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と微分同相 $\Phi_\alpha\colon\pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times\mathbb{K}^r$（局所自明化）で、$\Phi_\alpha$ が各ファイバー上で $E_x\to\{x\}\times\mathbb{K}^r$ の線形同型となるものが存在することをいう。