微分幾何学

数学修士無料 12 章有料 0 章

曲線と曲面から、Riemann 計量と Levi-Civita 接続、曲率、測地線、Hodge 理論、主束と接続、Chern–Weil 理論までを扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）・数学や物理を深く学びたい人

前提テーマ:多様体論、線形代数学

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章曲線と曲面無料空間曲線の Frenet–Serret 公式と基本定理、曲面の第一・第二基本形式と Gauss 曲率、Gauss の Theorema Egregium、局所および大域の Gauss–Bonnet の定理、Hadamard の卵形面定理を証明つきで扱う。
2. 第 2 章Riemann 計量と Levi-Civita 接続無料多様体上の Riemann 計量の存在を 1 の分割で示し、アフィン接続と曲線に沿った共変微分を定義する。Koszul の公式で Levi-Civita 接続の存在と一意性を証明し、平行移動が等長であることと球面上のホロノミーを計算する。
3. 第 3 章曲率テンソル無料共変微分の非可換性として Riemann 曲率テンソルを定義し、その対称性・断面曲率による決定・Bianchi 恒等式を証明する。縮約 Bianchi 恒等式から Einstein テンソルの発散ゼロを導き、Cartan の構造方程式で球面と双曲平面の曲率を計算する。
4. 第 4 章測地線と完備性無料測地線を接バンドル上のベクトル場の積分曲線として構成し、指数写像と Gauss の補題から測地線の局所最短性を示す。Hopf–Rinow の定理を証明し、Jacobi 場・共役点・第二変分公式から Bonnet–Myers の直径評価を導く。
5. 第 5 章Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素無料Hodge スター・余微分・Hodge Laplacian を定義し、調和形式の特徴づけと Hodge 分解の直交性・一意性を証明する。Dirac 型作用素の Weitzenböck 公式から Bochner の消滅定理と Lichnerowicz 公式を導き、熱核の局所展開をトーラスと球面で確かめる。
6. 第 6 章熱核の漸近展開無料閉 Riemann 多様体上の Laplace 型作用素 ∇*∇+F の熱核を、正規座標の輸送方程式によるパラメトリクスと Volterra 級数で構成し、スペクトル分解・熱跡・小時間展開を証明して a₀=1、a₁=s/6−F を求める。
7. 第 7 章ファイバー束・主束と接続無料ベクトル束・主束・同伴束を変換関数で記述し、主束の接続形式と局所ゲージポテンシャルの変換則を証明する。曲率形式・ゲージ変換・ホロノミーを導入し、小さなループのホロノミーが曲率を与えることと、平坦接続の局所自明性を示す。
8. 第 8 章Chern–Weil 理論と特性類無料不変多項式に曲率を代入した微分形式が閉で、その de Rham 類が接続によらないことを証明する。Chern 類と Euler 類を定義し、曲面上の Chern 数の整数性をホロノミーから示す。Berry 接続と Chern–Simons 形式のゲージ変換則も導く。
9. 第 9 章指数定理無料楕円型作用素の解析的指数と位相的指数の一致を述べるアティヤ・シンガーの定理を出発点に、コンヌが巡回コホモロジーと K-理論の対で与えた非可換版の指数定理、局所指数公式、葉層構造への一般化、そして標準模型のスペクトル作用までを追います。
10. 第 10 章Morse 理論無料非退化臨界点の標準形（Morse の補題）を Taylor の積分形で証明し、Sard の定理から Morse 関数の存在と稠密性を示す。勾配流による劣位集合の変形と胞体の接着から Morse 不等式を導き、トーラス・CP^n・Reeb の球面定理に応用する。
11. 第 11 章Lorentz 多様体の因果構造無料時間向き付けられた Lorentz 多様体で因果的曲線と因果的未来・過去を定義し、正規近傍での局所因果構造から I⁺ の開性と押し上げ補題を証明する。全悪性時空、体積関数、generic 条件も扱う。
12. 第 12 章因果階層無料年代順的・因果的・識別的・強因果的・安定因果的・因果的に単純・大域双曲の各段階を定義し、含意をすべて証明して逆の反例を構成する。Cauchy 曲面、Geroch の分割定理、warped 積の大域双曲性を扱う。