Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式

0. この記事の要点

曲面のような空間の各点にベクトル空間がくっついていて、全体がねじれてつながっているとします。この「ねじれ具合」を、数で測れないでしょうか。接続という「隣の点へのずらし方の規則」を一つ決めると、各点で曲率という量が決まります。規則を取り替えると曲率は変わりますが、閉じた曲面全体で足し合わせた値は変わらず、直線束の場合は（$\frac{i}{2\pi}$ 倍すると）整数になります。この記事では、その仕組み（Chern–Weil 理論）を示し、量子 Hall 効果の整数や Berry 位相が同じ枠組みで説明できることを見ます。以下の箇条書きは、その結論を専門用語のまま並べたものです。

• Lie 環上の不変多項式 $f$ に曲率 $F$ を代入した $f(F)$ は、$M$ 上の閉形式になり、その de Rham 類は接続の取り方によりません（定理 2.3）。差は超越形式の外微分 $d\,Tf(A_0,A_1)$ で書けます。これが Chern–Weil 準同型です。
• $U(n)$ 束では $\det\bigl(1+\tfrac{i}{2\pi}F\bigr)=1+c_1+c_2+\cdots$ が Chern 類、$SO(2m)$ 束では Pfaffian $\operatorname{Pf}(F/2\pi)$ が Euler 類を与えます（定義 3.1、定義 3.3）。向き付けられた平面束では $e=c_1$ です。
• 閉曲面上の複素直線束の Chern 数 $\int_\Sigma c_1$ は整数です（定理 4.1）。証明は、曲面を小さな多角形に分けると各辺の平行移動が 2 回ずつ逆向きに現れ、ホロノミーの積が $1$ になることだけを使います。Hopf 束（磁気単極子）の Chern 数は $-1$ です。
• パラメータに依存する Hermite 行列の孤立した固有値の固有空間は直線束をなし、射影による微分が Berry 接続です（命題 5.1）。Berry 位相はそのホロノミー、TKNN の Hall 伝導度はその Chern 数です。
• $\operatorname{tr}(F\wedge F)=d\,\mathrm{CS}(A)$ となる Chern–Simons 形式 $\mathrm{CS}(A)=\operatorname{tr}(A\wedge dA+\tfrac23A\wedge A\wedge A)$ は、ゲージ変換で巻き付き数の項だけずれます（定理 6.1）。これはアノマリーと Chern–Simons 理論の水準の量子化の幾何学的な起源です。

この記事で使う事前知識

• 接続・ゲージポテンシャル・曲率: 主束の各点で「ずらし方」を決めるのが接続で、局所切断に関する表示がポテンシャル $A$、その曲率が $F=dA+A\wedge A$ です。→ ファイバー束・主束と接続
• ゲージ変換: 局所切断を取り替えたときにポテンシャルが $A\mapsto g^{-1}Ag+g^{-1}dg$ と変わる規則のことです。
• ホロノミー: ループに沿って平行移動したとき、ファイバーが元の位置に戻ってどれだけ変換されるか、という量です。→ ファイバー束・主束と接続
• de Rham コホモロジー: 閉形式を、完全形式（ある形式の外微分）の差を無視して同一視した類の集まりです。→ de Rham コホモロジー
• ベクトル束: 多様体の各点にベクトル空間（ファイバー）が滑らかにくっついたものです。
• Hermite 行列の固有値: Hermite 行列はユニタリ行列で対角化でき、固有値は実数です。→ ユニタリ行列

1. 動機

前章 の Hopf 束では、曲率の積分 $\int_{S^2}F=2\pi i$ が束の非自明性を示していました。接続を取り替えると $F$ は変わりますが、この積分は変わらないはずです。なぜなら、自明な束では $F=dA$（大域的）から積分は $0$ になり、積分の値は束の「ねじれ具合」だけを測っているように見えるからです。Chern–Weil 理論はこの直観を一般化し、曲率から作られる閉形式のコホモロジー類が、束だけで決まる位相不変量（特性類）であることを示します。

物理ではこの不変量があちこちに現れます。

• 量子 Hall 効果の Hall 伝導度は、Brillouin ゾーン上の Bloch 束の Chern 数に $e^2/h$ を掛けたものです（TKNN 公式、トポロジカル相）。
• 断熱過程で量子状態が得る Berry 位相は、固有状態の束の接続のホロノミーです。
• 軸性アノマリー $\partial_\mu j^{\mu5}\propto\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ の右辺は第 2 Chern 形式で、その積分（インスタントン数）は整数です（定理 6.2［非可換ゲージ理論の量子化］）。

以下、前章と同じく $G$ は行列 Lie 群、$\mathfrak{g}$ はその Lie 環で、$A_\alpha$、$F_\alpha=dA_\alpha+A_\alpha\wedge A_\alpha$ は局所切断 $s_\alpha$ に関するゲージポテンシャルと曲率です。

2. 不変多項式と Chern–Weil 準同型

定義 2.1（不変多項式）↗

対称な $k$ 重線形写像 $f\colon\mathfrak{g}\times\dots\times\mathfrak{g}\to\mathbb{C}$ が不変であるとは、すべての $g\in G$ について $f(gX_1g^{-1},\dots,gX_kg^{-1})=f(X_1,\dots,X_k)$ が成り立つことをいう。$f(X)=f(X,\dots,X)$ と略記する。

$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(N)$ のとき、$f_k(X_1,\dots,X_k)=\frac1{k!}\sum_{\sigma}\operatorname{tr}(X_{\sigma(1)}\cdots X_{\sigma(k)})$ は不変で、$f_k(X)=\operatorname{tr}X^k$ です。$\det(1+tX)$ の $t^k$ の係数も（対称化すれば）不変多項式で、$\operatorname{tr}X^k$ の多項式で書けます。

$\mathfrak{g}$ 値の微分形式 $\alpha_1,\dots,\alpha_k$（次数 $p_1,\dots,p_k$）には、$\mathfrak{g}$ の基底 $X_a$ で $\alpha_i=\sum_a\alpha_i^aX_a$ と展開して

$$f(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=\sum_{a_1,\dots,a_k}\alpha_1^{a_1}\wedge\dots\wedge\alpha_k^{a_k}\,f(X_{a_1},\dots,X_{a_k})$$

と代入します。偶数次の形式どうしは可換なので、$F$ のような 2 形式を代入したものは引数について対称です。局所的に $\alpha_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}\alpha_\alpha g_{\alpha\beta}$ と変換する形式（随伴型の形式。曲率がその例：命題 5.1［ファイバー束・主束と接続］ 1）を代入すると、不変性により $f(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ は重なりで一致し、$M$ 上の大域的な形式になります。随伴型の $p$ 形式 $\alpha$ の共変外微分を

$$D\alpha=d\alpha+A\wedge\alpha-(-1)^p\alpha\wedge A$$

と定めます。

次の補題は、この節の主定理の証明で外微分を計算するための道具です。共変外微分 $D$ は、ゲージ変換しても同じ規則で変わる形式（随伴型）に対して、ふつうの外微分 $d$ の代わりをするものと読んでください。証明の 2 は、一点でポテンシャルが $0$ になるゲージに取り替えれば、その点では $D$ が $d$ と一致して計算が楽になる、という方針です。

補題 2.2（共変外微分と不変多項式）✓

1. 随伴型の形式 $\alpha$ に対し $D\alpha$ も随伴型である。
2. 随伴型の形式 $\alpha_1,\dots,\alpha_k$（次数 $p_i$）に対し $$d\,f(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=\sum_{i=1}^k(-1)^{p_1+\dots+p_{i-1}}f(\alpha_1,\dots,D\alpha_i,\dots,\alpha_k).$$
3. Bianchi 恒等式は $DF=0$ と書ける。

証明（補題 2.2）

1。 $A'=g^{-1}Ag+g^{-1}dg$、$\alpha'=g^{-1}\alpha g$ とし、$d(g^{-1})=-g^{-1}dg\,g^{-1}$ を使って展開すると

$$\begin{aligned} d\alpha'&=-g^{-1}dg\,g^{-1}\wedge\alpha g+g^{-1}d\alpha\,g+(-1)^pg^{-1}\alpha\wedge dg,\\ A'\wedge\alpha'-(-1)^p\alpha'\wedge A'&=g^{-1}(A\wedge\alpha-(-1)^p\alpha\wedge A)g+g^{-1}dg\,g^{-1}\wedge\alpha g-(-1)^pg^{-1}\alpha\wedge dg \end{aligned}$$

で、和は $g^{-1}(D\alpha)g$ です。

2。 両辺は大域的な形式なので、各点 $x$ で一致を示せば十分です。$x$ のまわりの座標を $x(x)=0$ となるように取り、$h=\exp\bigl(-\sum_ix^iA_i(x)\bigr)$ と置きます（$A=\sum_iA_idx^i$、$A_i(x)$ は点 $x$ での値で定数行列）。$h(x)=1$、$dh(x)=-A(x)$ なので、ゲージ変換後のポテンシャル $h^{-1}Ah+h^{-1}dh$ は $x$ で $0$ です。1 と 命題 6.2［ファイバー束・主束と接続］ により両辺はゲージ変換で変わらないので、$A(x)=0$ のゲージで示せばよく、そのとき $x$ で $D\alpha_i=d\alpha_i$ です。$f$ は定数係数の多重線形写像なので、外微分の Leibniz 則から主張は $x$ で成り立ちます。

3 は 命題 5.1［ファイバー束・主束と接続］ 2 そのものです（$p=2$ で $DF=dF+A\wedge F-F\wedge A$）。

∎

次の定理は、曲率から作る形式が閉であることと、接続を取り替えても de Rham 類が変わらないことを述べます。1 は補題から出ます。2 は、$A_0$ から $A_1$ まで $A_t=A_0+t\eta$ でつないで、$f(F_t)$ の $t$ による微分が完全形式になることを示す、という方針です。

定理 2.3（Chern–Weil の定理）✓

$P\to M$ を主 $G$ 束、$f$ を次数 $k$ の不変多項式とする。

1. 任意の接続について $f(F)$ は $M$ 上の閉 $2k$ 形式である。
2. 二つの接続 $A_0,A_1$ について $\eta=A_1-A_0$、$A_t=A_0+t\eta$、$F_t$ をその曲率とすると $$f(F_1)-f(F_0)=d\,Tf(A_0,A_1),\qquad Tf(A_0,A_1)=k\int_0^1f(\eta,F_t,\dots,F_t)\,dt.$$ したがって de Rham 類 $[f(F)]\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(M;\mathbb{C})$ は接続によらない。
3. $f\mapsto[f(F)]$ は不変多項式の環から $H^{\mathrm{ev}}_{\mathrm{dR}}(M;\mathbb{C})$ への環準同型（Chern–Weil 準同型）である。

証明（定理 2.3）

1。 補題 2.2 2、3 から $d\,f(F,\dots,F)=\sum_if(F,\dots,DF,\dots,F)=0$ です（$F$ は偶数次なので符号はすべて $+$）。

2。 $\eta$ は二つの接続の差なので、変換則の非斉次項 $g^{-1}dg$ が打ち消し合って随伴型です。$A_t$ は接続で（定理 4.3［ファイバー束・主束と接続］ 2 の変換則を満たす）、

$$F_t=dA_0+A_0\wedge A_0+t(d\eta+A_0\wedge\eta+\eta\wedge A_0)+t^2\eta\wedge\eta$$

です。$t$ で微分すると $\frac{d}{dt}F_t=d\eta+A_t\wedge\eta+\eta\wedge A_t=D_t\eta$（$D_t$ は $A_t$ に関する共変外微分）です。$f$ の対称性から

$$\frac{d}{dt}f(F_t)=k\,f(D_t\eta,F_t,\dots,F_t).$$

一方 補題 2.2 2 と $D_tF_t=0$ から $d\,f(\eta,F_t,\dots,F_t)=f(D_t\eta,F_t,\dots,F_t)$ です。$t$ について $0$ から $1$ まで積分し、外微分と $t$ 積分を交換すれば主張を得ます（被積分関数は $t$ について滑らか）。

3。 積 $fg$（対称化した積）について $(fg)(F)=f(F)\wedge g(F)$ は代入の定義から従い、類の積は代表元の積で定まります。

∎

3. Chern 類と Euler 類

定義 3.1（Chern 類）↗

$E$ を Hermite 計量と、それと両立する接続を持つ階数 $n$ の複素ベクトル束とする（$\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(n)$、$F$ は反 Hermite 行列値）。

$$c(E)=\det\Bigl(1+\frac{i}{2\pi}F\Bigr)=1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots,\qquad c_k(E)\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(M)$$

で第 $k$ Chern 類 $c_k(E)$ を定める。とくに第 1 Chern 類は $c_1=\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F$、$\operatorname{tr}F=0$ のとき $c_2=\frac1{8\pi^2}\operatorname{tr}(F\wedge F)$。

$\frac{i}{2\pi}F$ は Hermite 行列値なので、その固有値の基本対称式である $c_k$ は実数値の形式です。定理 2.3 により類は接続によりません。また $c_2$ の式は、$\det(1+X)$ の 2 次の部分が $\frac12\bigl((\operatorname{tr}X)^2-\operatorname{tr}X^2\bigr)$ であることから従います。

命題 3.2（Chern 類の基本性質）✓

1. （自然性）滑らかな写像 $\phi\colon N\to M$ について $c(\phi^*E)=\phi^*c(E)$。
2. （Whitney の和公式）$c(E\oplus E')=c(E)\wedge c(E')$。
3. 直線束について $c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L')$、$c_1(L^*)=-c_1(L)$。
4. $E$ が自明なら $c(E)=1$。

証明（命題 3.2）

1。 $E$ の接続を引き戻すと、局所ポテンシャルは $\phi^*A_\alpha$、曲率は $\phi^*F_\alpha$ で、行列式は引き戻しと可換です。2。 $E\oplus E'$ の変換関数はブロック対角 $g\oplus g'$ です（命題 2.4［ファイバー束・主束と接続］）。$E,E'$ の接続の直和はブロック対角の接続で、曲率もブロック対角 $F\oplus F'$、行列式は積になります。3。 $L\otimes L'$ の接続 $\nabla\otimes1+1\otimes\nabla'$ の局所ポテンシャルは $A+A'$（$U(1)$ では数値）で、曲率は $F+F'$ です。$L^*$ では変換関数が $\bar g=g^{-1}$ で、ポテンシャルは $-A$ です。4。 自明な束は $A=0$ の接続を持ち、$F=0$ です。

∎

次の Euler 類は、偶数階数の向き付けられた実ベクトル束に対するもので、反対称行列の Pfaffian（定義の中の式で、下で触れるように 2 乗すると行列式になる量）に曲率を代入して作ります。

定義 3.3（Euler 類）↗

$E$ を計量と両立する接続を持つ向き付けられた実ベクトル束で、階数 $2m$ のものとする（$\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2m)$）。反対称行列 $X$ の Pfaffian を

$$\operatorname{Pf}(X)=\frac1{2^mm!}\sum_{\sigma\in S_{2m}}\operatorname{sgn}(\sigma)\,X_{\sigma(1)\sigma(2)}\cdots X_{\sigma(2m-1)\sigma(2m)}$$

とし、$e(E)=\bigl[\operatorname{Pf}\bigl(\tfrac{1}{2\pi}F\bigr)\bigr]\in H^{2m}_{\mathrm{dR}}(M)$ を Euler 類という。

Pfaffian は $\operatorname{Pf}(gXg^{\mathsf{T}})=\det(g)\operatorname{Pf}(X)$ を満たすので（$\operatorname{Pf}(X)$ は $\sum_{i<j}X_{ij}e_i\wedge e_j$ の $m$ 乗を $m!$ で割ったものの $e_1\wedge\dots\wedge e_{2m}$ の係数で、$g$ による基底変換で行列式倍される）、$SO(2m)$ について不変です。$\operatorname{Pf}(X)^2=\det X$ も成り立ちます。$m=1$ では $\operatorname{Pf}\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}=a$ です。

例 3.4（曲面の Euler 類と Gauss–Bonnet）

向き付けられた Riemann 曲面 $\Sigma$ の接バンドルでは、正規直交枠に関する Levi-Civita 接続の曲率は $\Omega=\begin{pmatrix}0&\Omega^1{}_2\\-\Omega^1{}_2&0\end{pmatrix}$、$\Omega^1{}_2=K\,\theta^1\wedge\theta^2$ である（定理 6.2［曲率テンソル］ の後の段落）。よって $e(T\Sigma)$ は $\frac1{2\pi}K\,\mathrm{vol}$ で代表され、Gauss–Bonnet の定理（曲線と曲面）は $\int_\Sigma e(T\Sigma)=\chi(\Sigma)$ と読める。単位球面では $\frac1{2\pi}\cdot4\pi=2=\chi(S^2)$ である。高次元の一般化 $\int_Me(TM)=\chi(M)$（Gauss–Bonnet–Chern）は指数定理の一例である（例 3.3［指数定理］）。

向き付けられた階数 2 の実ベクトル束は、正の向きの $90°$ 回転を $i$ 倍とみなすことで複素直線束になり、$SO(2)\cong U(1)$ です。回転の生成子 $\begin{pmatrix}0&-a\\a&0\end{pmatrix}$ は $ia\in\mathfrak{u}(1)$ に対応するので、$\Omega$ は $-i\Omega^1{}_2$ に対応し、$c_1=\frac{i}{2\pi}(-i\Omega^1{}_2)=\frac1{2\pi}\Omega^1{}_2=\operatorname{Pf}(\Omega/2\pi)$。すなわち $e=c_1$ です。

実ベクトル束には、不変多項式 $\det(1+X/2\pi)$（$X\in\mathfrak{so}(r)$）から Pontryagin 類 $p_k\in H^{4k}_{\mathrm{dR}}(M)$ が同じ方法で定まり、複素化の Chern 類と $p_k(E)=(-1)^kc_{2k}(E\otimes\mathbb{C})$ で結ばれます。定義と基本性質の証明は 指数定理 の 定義 3.11［指数定理］ と 命題 3.12［指数定理］ にあり、Hirzebruch の符号数定理（定理 3.14［指数定理］）や $\hat A$ 種数に現れます。

4. Chern 数の整数性

この節の目標は、曲面上の直線束で曲率を積分した値が $2\pi i$ の整数倍になることです。方針は、曲面を小さな多角形に分け、各多角形での積分をその境界のホロノミーで表し、どの辺も隣り合う二つの多角形で逆向きに通るのでホロノミーの積が $1$ になる、というものです。

定理 4.1（曲面上の Chern 数の整数性）✓

$\Sigma$ を向き付けられた閉曲面とし、$\Sigma$ が有限個の閉多角形 $D_1,\dots,D_m$ に分割されているとする。ここで各 $D_j$ はある座標チャートの中の（区分的に滑らかな辺を持つ）多角形で、向きは $\Sigma$ から誘導され、二つの多角形は辺または頂点でのみ交わり、各辺はちょうど二つの多角形に（逆向きに）属する。さらに直線束 $L$ は各 $D_j$ の近傍で自明であるとする。このとき $L$ の任意の $U(1)$ 接続について

$$\int_\Sigma c_1(L)=\frac{i}{2\pi}\int_\Sigma F\in\mathbb{Z}.$$

証明（定理 4.1）

$D_j$ の近傍の局所切断 $s_j$ に関するポテンシャルを $A_j$ とします。$U(1)$ は可換なので $F=dA_j$ が $D_j$ 上で成り立ち（命題 5.1［ファイバー束・主束と接続］ 1）、多角形上の Stokes の定理（チャート内の Green の定理）から

$$\int_{D_j}F=\oint_{\partial D_j}A_j.$$

一方、ループ $\partial D_j$ のホロノミーは $\exp(-\oint_{\partial D_j}A_j)$ です（命題 7.3［ファイバー束・主束と接続］ 3 と、$U(1)$ では経路順序が不要なこと）。よって $\exp(-\int_\Sigma F)=\prod_j\mathrm{hol}(\partial D_j)$ です。

右辺が $1$ であることを示します。各頂点 $v$ のファイバーに点 $u_v$ を一つずつ選びます。向き付きの辺 $e$（$v$ から $w$）に沿った平行移動について $P_e(u_v)=u_w\tau_e$ で $\tau_e\in U(1)$ を定めると、逆向きの辺では $\tau_{-e}=\tau_e^{-1}$ です。ループ $\partial D_j$ のホロノミーは、$U(1)$ が可換なので、基点や出発する頂点によらず、$\partial D_j$ をなす向き付きの辺についての積 $\prod_{e\subset\partial D_j}\tau_e$ に等しくなります（$P_e$ の合成を追うと、選んだ $u_v$ は打ち消し合う）。全体の積では各辺が両方の向きで 1 回ずつ現れるので $\prod_j\mathrm{hol}(\partial D_j)=1$ です。

したがって $\exp(-\int_\Sigma F)=1$、すなわち $\int_\Sigma F\in2\pi i\mathbb{Z}$ で、$\frac{i}{2\pi}\int_\Sigma F\in\mathbb{Z}$ です。

∎

注意 4.2

すべてのコンパクトな滑らかな曲面がこのような分割（十分細かい三角形分割）を持つことは、曲面の三角形分割定理から従います。本記事ではこの定理を証明しませんが、物理で重要な $S^2$（経線と緯線で区切る）とトーラス $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$（細かい正方格子で区切る）では、分割は明示的に作れます。トーラスの場合は トポロジカル相 の 定理 5.2［トポロジカル相］ に、平行移動で作った状態を使う別証明があります。

この証明は、格子ゲージ理論の「各リンクが二つのプラケットに逆向きに現れる」構造（曲率テンソル の章の動機で触れた離散 Bianchi 恒等式）と同じものです。連続理論では Stokes の定理が、格子ではリンクの打ち消し合いが、それぞれ整数性を保証しています。

例 4.3（Hopf 束と磁気単極子の Chern 数）

例 7.7［ファイバー束・主束と接続］ の接続では $F=\tfrac i2\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi$、$\int_{S^2}F=2\pi i$ なので

$$\int_{S^2}c_1=\frac{i}{2\pi}\cdot2\pi i=-1.$$

同伴する直線束 $S^3\times_{U(1)}\mathbb{C}$ は、$[(z_1,z_2),v]\mapsto v(z_1,z_2)$ により $\mathbb{CP}^1$ 上のトートロジー束（各点 $[z]$ に直線 $\mathbb{C}z$ を対応させる束）と同型である。二つの切断の変換関数 $g_{SN}=e^{i\varphi}$ を使うと、$\int_{S^2}F=\int_{D_N}dA_N+\int_{D_S}dA_S=\oint_{\text{赤道}}(A_N-A_S)=\oint i\,d\varphi=2\pi i$ とも計算でき、Chern 数は変換関数の巻き付き数で決まることがわかる。物理では、磁気単極子の磁荷と電荷の積が量子化されるという Dirac の量子化条件が、この整数性（変換関数が赤道上で整数回巻くこと）の表れである。

5. Berry 接続

$X$ を多様体（パラメータ空間）とし、$H\colon X\to\{N\times N\text{ Hermite 行列}\}$ を滑らかな写像、$E(k)$ を $H(k)$ の単純な固有値で、他の固有値から離れているものとします。

命題 5.1（固有直線束と Berry 接続）✓

1. 各 $k_0\in X$ の近傍で、$E(k)$ は滑らかであり、固有空間への直交射影 $P(k)$ は滑らかである。固有空間 $L_k=\operatorname{im}P(k)$ は自明な束 $X\times\mathbb{C}^N$ の滑らかな部分直線束 $L$ をなす。
2. $L$ の切断 $\psi$ に対し $\nabla\psi=P\,d\psi$ は Hermite 計量と両立する接続（Berry 接続）である。単位長の局所切断 $\psi$ に関するポテンシャルと曲率は

$$A=\langle\psi,d\psi\rangle,\qquad F=dA=\langle d\psi\wedge d\psi\rangle$$

で、$A$ は純虚数値である（$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 2 引数について線形）。

証明（命題 5.1）

1。 $k_0$ の近くで、$E(k_0)$ を中心とし他の固有値を含まない円 $C$ を取ります。$H(k)$ をユニタリ行列で対角化すると $(z-H)^{-1}=\sum_j(z-\lambda_j)^{-1}P_j$（$P_j$ は固有射影）なので、留数定理から

$$P(k)=\frac1{2\pi i}\oint_C(z-H(k))^{-1}dz$$

は $C$ の内側の固有値の固有射影です。固有値の連続性（特性多項式の根の連続性）により、$k$ が $k_0$ に近ければ $C$ の内側の固有値は $E(k)$ だけで、$P(k)$ はその固有射影です。被積分関数は $k$ について滑らかなので $P$ も滑らかで、$E(k)=\operatorname{tr}(H(k)P(k))$ も滑らかです。$P(k_0)v_0\ne0$ となる $v_0$ を取れば、$k\mapsto P(k)v_0$ は $k_0$ の近傍で $0$ にならない滑らかな切断で、$L$ の局所自明化を与えます。

2。 $\nabla(f\psi)=P(df\,\psi+f\,d\psi)=df\,\psi+f\nabla\psi$（$P\psi=\psi$）なので接続です。$\langle\psi_1,\psi_2\rangle$ を微分すると $\langle d\psi_1,\psi_2\rangle+\langle\psi_1,d\psi_2\rangle$ で、$\psi_i\in L$ と $P$ の自己共役性から $\langle d\psi_1,\psi_2\rangle=\langle Pd\psi_1,\psi_2\rangle$ なので、計量と両立します。単位長の $\psi$ では $L$ が 1 次元なので $Pd\psi=\langle\psi,d\psi\rangle\psi$、すなわち $A=\langle\psi,d\psi\rangle$ です。$\langle\psi,\psi\rangle=1$ を微分して $A+\bar A=0$ です。$F=dA=\langle d\psi\wedge d\psi\rangle$（$\langle d\psi,\wedge d\psi\rangle$ の意味で、成分の積をウェッジ積で取る）です。

∎

物理の Berry 接続 $\mathcal{A}=i\langle u|du\rangle$（トポロジカル相 の 定義 4.1［トポロジカル相］）は $A=-i\mathcal{A}$ に当たります。断熱定理により、$H(k(t))$ のパラメータをループに沿ってゆっくり一周させると、状態は動的位相 $e^{-i\int E\,dt}$ と、Berry 接続のホロノミー $\exp(-\oint A)=\exp(i\oint\mathcal{A})$ を得ます（定理 6.5［時間発展と時間依存摂動論］）。断熱定理そのものは解析の定理で、ここで示したのはその幾何学的な部分です。

例 5.2（磁場中のスピン 1/2）

$X=S^2$、$H(\boldsymbol{n})=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$（$\boldsymbol{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$）の基底状態 $E=-1$ を考える。$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ を $\psi_N=(\cos\frac\theta2,\sin\frac\theta2e^{i\varphi})$ に作用させると、$\cos\theta\cos\frac\theta2+\sin\theta\sin\frac\theta2=\cos\frac\theta2$ と $e^{i\varphi}(\sin\theta\cos\frac\theta2-\cos\theta\sin\frac\theta2)=e^{i\varphi}\sin\frac\theta2$ から固有値 $+1$ の固有ベクトルである。これは Hopf 束の切断 $s_N$ そのもので、Berry 接続 $A=\langle\psi_N,d\psi_N\rangle$ は Hopf 束の接続の $A_N$ に一致する（例 7.7［ファイバー束・主束と接続］）。したがって基底状態の束の Chern 数は $-1$、緯線を一周したときの Berry 位相は $e^{-i\Omega/2}$（$\Omega$ は囲む立体角）である。これは 例 6.6［時間発展と時間依存摂動論］ の結果の幾何学的な説明になっている。

2 次元結晶の Bloch ハミルトニアン $H(\boldsymbol{k})$ は Brillouin ゾーン $T^2$ 上で周期的で、孤立したバンドの固有直線束の Chern 数 $C$ は 定理 4.1 により整数です。TKNN 公式は、そのバンドが占有された絶縁体の Hall 伝導度が $\sigma_{xy}=\frac{e^2}{h}C$ であることを主張します（定理 5.4［トポロジカル相］）。Hall 伝導度が精密に量子化される理由は、それが Chern–Weil 理論の位相不変量だからです。

6. Chern–Simons 形式

$\operatorname{tr}(F\wedge F)$ はゲージ変換で変わらない形式ですが、局所的には $A$ だけで書いた形式の外微分として表せます。それが Chern–Simons 形式です。次の定理の 1 はこの関係を、2 は $A$ をゲージ変換したときに $\mathrm{CS}$ がどうずれるかを述べます。証明はどちらも展開と、トレースの巡回性を使った項の整理です。

定理 6.1（Chern–Simons 形式）✓

開集合上の $\mathfrak{g}$ 値 1 形式 $A$（$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(N)$）に対し $\mathrm{CS}(A)=\operatorname{tr}\bigl(A\wedge dA+\tfrac23A\wedge A\wedge A\bigr)$ と置く。$F=dA+A\wedge A$ とすると

1. $d\,\mathrm{CS}(A)=\operatorname{tr}(F\wedge F)$。
2. $h$ を $G$ 値の関数、$A^h=h^{-1}Ah+h^{-1}dh$、$\theta=h^{-1}dh$ とすると

$$\mathrm{CS}(A^h)=\mathrm{CS}(A)-d\operatorname{tr}\bigl(\theta\wedge h^{-1}Ah\bigr)-\frac13\operatorname{tr}(\theta\wedge\theta\wedge\theta).$$

証明（定理 6.1）

行列値の形式のトレースは、$p$ 形式 $\alpha$ と $q$ 形式 $\beta$ について $\operatorname{tr}(\alpha\wedge\beta)=(-1)^{pq}\operatorname{tr}(\beta\wedge\alpha)$ を満たします。とくに 1 形式 3 つの積のトレースは巡回置換で不変で、$\operatorname{tr}(A\wedge A\wedge A\wedge A)=-\operatorname{tr}(A\wedge A\wedge A\wedge A)=0$ です。以下ウェッジ記号を省略します。

1。 $d\,\mathrm{CS}=\operatorname{tr}(dA\,dA)+\tfrac23\cdot3\operatorname{tr}(dA\,AA)=\operatorname{tr}(dA\,dA)+2\operatorname{tr}(dA\,AA)$ です（$d(AAA)=dA\,AA-A\,dA\,A+AA\,dA$ の 3 項はトレースの性質で等しい）。一方 $\operatorname{tr}(FF)=\operatorname{tr}(dA\,dA)+\operatorname{tr}(dA\,AA)+\operatorname{tr}(AA\,dA)+\operatorname{tr}(AAAA)=\operatorname{tr}(dA\,dA)+2\operatorname{tr}(dA\,AA)$ で一致します。

2。 $\tilde A=h^{-1}Ah$ と置くと $A^h=\tilde A+\theta$、$d\theta=-\theta\theta$、$d\tilde A=h^{-1}dA\,h-\theta\tilde A-\tilde A\theta$ です。$\operatorname{tr}(\tilde A\,h^{-1}dAh)+\tfrac23\operatorname{tr}\tilde A^3=\mathrm{CS}(A)$（共役不変）に注意して展開すると、

$$\mathrm{CS}(A^h)=\mathrm{CS}(A)+\operatorname{tr}(\theta\,h^{-1}dA\,h)-2\operatorname{tr}(\tilde A\tilde A\theta)-3\operatorname{tr}(\tilde A\theta\theta)-\operatorname{tr}\theta^3+\tfrac23\bigl(3\operatorname{tr}(\tilde A\tilde A\theta)+3\operatorname{tr}(\tilde A\theta\theta)+\operatorname{tr}\theta^3\bigr)$$

となります（$\operatorname{tr}(A^h\,dA^h)$ から最初の 5 項、$\tfrac23\operatorname{tr}(A^h)^3$ から括弧の項）。整理すると

$$\mathrm{CS}(A^h)=\mathrm{CS}(A)+\operatorname{tr}(\theta\,h^{-1}dA\,h)-\operatorname{tr}(\tilde A\theta\theta)-\tfrac13\operatorname{tr}\theta^3.$$

最後に $d\operatorname{tr}(\theta\tilde A)=\operatorname{tr}(d\theta\,\tilde A)-\operatorname{tr}(\theta\,d\tilde A)=-\operatorname{tr}(\theta\theta\tilde A)-\operatorname{tr}(\theta\,h^{-1}dAh)+\operatorname{tr}(\theta\theta\tilde A)+\operatorname{tr}(\theta\tilde A\theta)=-\operatorname{tr}(\theta\,h^{-1}dAh)+\operatorname{tr}(\tilde A\theta\theta)$ なので、中央の 2 項は $-d\operatorname{tr}(\theta\tilde A)$ です。

∎

閉 3 次元多様体 $Y$ 上の自明な $SU(N)$ 束では、ゲージ変換 $h\colon Y\to SU(N)$ による Chern–Simons 作用 $\frac1{8\pi^2}\int_Y\mathrm{CS}(A)$ の変化は、Stokes の定理により

$$w(h)=-\frac1{24\pi^2}\int_Y\operatorname{tr}\bigl((h^{-1}dh)^3\bigr)$$

だけです。$Y=S^3$、$G=SU(2)\cong S^3$、$h=\mathrm{id}$ では、$\mathfrak{su}(2)$ の基底 $e_a=-\tfrac i2\sigma_a$（$[e_a,e_b]=\sum_c\epsilon_{abc}e_c$）で $\operatorname{tr}(\theta^3)(e_1,e_2,e_3)=3\operatorname{tr}(e_1[e_2,e_3])=3\operatorname{tr}(e_1^2)=-\tfrac32$、$e_a$ を正規直交とする両側不変計量で $SU(2)$ は半径 $2$ の 3 次元球面（体積 $16\pi^2$）なので、$w(\mathrm{id})=\frac{1}{24\pi^2}\cdot\frac32\cdot16\pi^2=1$ です。一般に $w(h)$ は写像 $h$ の写像度に等しい整数です（この事実は de Rham の写像度理論によるもので、ここでは主張にとどめます）。このため $\exp\bigl(\tfrac{ik}{4\pi}\int\mathrm{CS}(A)\bigr)$ が大きなゲージ変換でも不変であるためには、水準 $k$ が整数でなければなりません。また 4 次元では $\frac1{8\pi^2}\operatorname{tr}(F\wedge F)=c_2$ が局所的に $d\bigl(\tfrac1{8\pi^2}\mathrm{CS}\bigr)$ と書けることが、軸性アノマリーの右辺が全微分であるにもかかわらず物理的効果（インスタントン数）を持つ理由です。

7. 演習

演習 7.1易

$T\mathbb{CP}^1$、すなわち $S^2$ の接バンドルを複素直線束とみたとき、$\int_{S^2}c_1=2$ であることを 例 3.4 から示せ。またトートロジー束 $\gamma$ について $T\mathbb{CP}^1\cong\gamma^*\otimes\gamma^*$ と仮定すると、命題 3.2 と矛盾しないことを確かめよ。

解答

$e=c_1$ なので $\int c_1(TS^2)=\int e(TS^2)=\frac1{2\pi}\int_{S^2}K\,\mathrm{vol}=\frac{4\pi}{2\pi}=2$。一方 例 4.3 より $\int c_1(\gamma)=-1$ で、命題 3.2 3 から $\int c_1(\gamma^*\otimes\gamma^*)=2\cdot1=2$ です。両者は一致します。

演習 7.2標準

$\boldsymbol{d}\colon T^2\to\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ を滑らかな写像とし、$H(\boldsymbol{k})=-\boldsymbol{d}(\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{\sigma}$ の基底状態の束 $L$ を考える。$\hat{\boldsymbol{d}}=\boldsymbol{d}/|\boldsymbol{d}|\colon T^2\to S^2$ とする。(a) $L$ は 例 5.2 の束の $\hat{\boldsymbol{d}}$ による引き戻しで、Berry 曲率は $F=\hat{\boldsymbol{d}}^*\bigl(\tfrac i2\mathrm{vol}_{S^2}\bigr)$ であることを示せ。(b) Chern 数が

$$C=-\frac1{4\pi}\int_{T^2}\hat{\boldsymbol{d}}\cdot\bigl(\partial_1\hat{\boldsymbol{d}}\times\partial_2\hat{\boldsymbol{d}}\bigr)\,dk_1dk_2$$

となることを示せ。

解答

(a) $H(\boldsymbol{k})=|\boldsymbol{d}|\,H_0(\hat{\boldsymbol{d}}(\boldsymbol{k}))$（$H_0(\boldsymbol{n})=-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$）で、正の定数倍は固有ベクトルを変えないので、$L_{\boldsymbol{k}}=L^{(0)}_{\hat{\boldsymbol{d}}(\boldsymbol{k})}$ です。射影も $P(\boldsymbol{k})=P_0(\hat{\boldsymbol{d}}(\boldsymbol{k}))$ なので、Berry 接続 $P\,d\psi$ は引き戻しの接続で、曲率は引き戻し $\hat{\boldsymbol{d}}^*F_0$（命題 3.2 1 の証明と同じ）です。$F_0=\tfrac i2\mathrm{vol}_{S^2}$ は 例 5.2 から従います。

(b) $\mathrm{vol}_{S^2}$ を点 $\boldsymbol{n}$ で $\mathrm{vol}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$ と書くと、$\hat{\boldsymbol{d}}^*\mathrm{vol}=\hat{\boldsymbol{d}}\cdot(\partial_1\hat{\boldsymbol{d}}\times\partial_2\hat{\boldsymbol{d}})\,dk_1\wedge dk_2$ です。$C=\frac{i}{2\pi}\int F=\frac{i}{2\pi}\cdot\frac i2\int\hat{\boldsymbol{d}}^*\mathrm{vol}$ で主張を得ます。被積分関数の積分は $\hat{\boldsymbol{d}}$ が球面を覆う回数の $4\pi$ 倍で、Qi–Wu–Zhang 模型の Chern 数の計算（定理 6.2［トポロジカル相］）はこの公式の具体例です（符号は基底状態か励起状態か、Berry 接続の規約で変わります）。

演習 7.3標準

$U(1)$ 束の二つの接続 $A_0,A_1$ について、定理 2.3 の超越形式を $f(X)=\frac{i}{2\pi}X$（$k=1$）で計算し、$c_1$ の代表元の差が $d\bigl(\frac i{2\pi}(A_1-A_0)\bigr)$ であることを確かめよ。$A_1-A_0$ が $M$ 上の大域的な 1 形式であることも説明せよ。

解答

$k=1$ では $Tf=\int_0^1f(\eta)dt=\frac{i}{2\pi}\eta$ で、$\eta=A_1-A_0$ です。$U(1)$ では $F_t=dA_t$ なので $f(F_1)-f(F_0)=\frac{i}{2\pi}d\eta$ と直接一致します。変換則 $A_\beta=A_\alpha+g^{-1}dg$ の非斉次項は接続によらないので、差 $\eta$ では打ち消し合い、$\eta_\alpha=\eta_\beta$（可換なので共役も不要）となって大域的な形式です。

参考文献

• S. S. Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory, 2nd ed., Springer, 1979 — Chapter III–IV（Chern–Weil 理論と特性類）。
• J. Milnor, J. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974 — Appendix C（Chern–Weil 理論）。
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. II, Wiley, 1969 — Chapter XII。
• M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2nd ed., IOP Publishing, 2003 — Chapter 11（特性類、Chern–Simons 形式）、Chapter 10.6（Berry 位相）。
• M. V. Berry, “Quantal phase factors accompanying adiabatic changes”, Proceedings of the Royal Society of London A 392 (1984), 45–57. doi:10.1098/rspa.1984.0023
• D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. den Nijs, “Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential”, Physical Review Letters 49 (1982), 405–408. doi:10.1103/PhysRevLett.49.405