固有直線束と Berry 接続

命題 5.1（「Chern–Weil 理論と特性類」§5）・ ✓公理まで証明済み

各 $k_0\in X$ の近傍で、 $E(k)$ は滑らかであり、固有空間への直交射影 $P(k)$ は滑らかである。固有空間 $L_k=\operatorname{im}P(k)$ は自明な束 $X\times\mathbb{C}^N$ の滑らかな部分直線束 $L$ をなす。
$L$ の切断 $\psi$ に対し $\nabla\psi=P\,d\psi$ は Hermite 計量と両立する接続（Berry 接続）である。単位長の局所切断 $\psi$ に関するポテンシャルと曲率は

A=\langle\psi,d\psi\rangle,\qquad F=dA=\langle d\psi\wedge d\psi\rangle

で、 $A$ は純虚数値である（ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 2 引数について線形）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。