微分幾何学 100 本ノック

修士100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ全章（曲線と曲面から指数定理まで）の内容を学んだ修士課程の人。定理の仮定の要不要の判断と具体的な曲率の計算を練習します。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces
• M. P. do Carmo, Riemannian Geometry
• J. M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds (2nd ed.)
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜13: 曲線と曲面
• 14〜25: Riemann 計量と Levi-Civita 接続
• 26〜38: 曲率テンソル
• 39〜50: 測地線と完備性
• 51〜63: Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• 64〜76: ファイバー束・主束と接続
• 77〜89: Chern–Weil 理論と特性類
• 90〜100: 指数定理

形式: 単一選択 33・複数選択 17・○× 11・数値 15・並べ替え 8・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 0 / 28 / 62 / 10。

この冊で使う定義・定理（133）

• 定義 3.1 Chern 類 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 77, 85, 89 番
• 定義 3.3 Euler 類 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 80, 85 番
• 定義 2.1 不変多項式 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 77 番
• 例 3.4 曲面の Euler 類と Gauss–Bonnet Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 85 番
• 例 4.3 Hopf 束と磁気単極子の Chern 数 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 78, 81, 83, 87, 95 番
• 例 5.2 磁場中のスピン 1/2 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 82 番
• 演習 7.1 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 78, 83, 95 番
• 演習 7.2 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 88 番
• 命題 5.1 固有直線束と Berry 接続 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 82, 88 番
• 命題 3.2 Chern 類の基本性質 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 78, 79, 81, 82, 83, 95 番
• 定理 4.1 曲面上の Chern 数の整数性 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 81, 86 番
• 定理 6.1 Chern–Simons 形式 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 84, 89 番
• 定理 2.3 Chern–Weil の定理 Chern–Weil 理論と特性類：Chern 類・Euler 類・Berry 接続・Chern–Simons 形式 → 79, 87, 89 番
• 系 5.2 縮約 Bianchi 恒等式 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 29, 30, 32, 33, 36 番
• 系 5.3 Schur の定理 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 29, 32, 33 番
• 定義 6.1 接続形式と曲率形式 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 34, 38 番
• 定義 2.1 Riemann 曲率テンソル 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 26, 59 番
• 定義 4.1 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 30, 37, 96 番
• 例 6.4 上半平面モデルの曲率 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 35 番
• 例 6.3 回転対称な計量の曲率 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 28, 35 番
• 例 2.3 球面の曲率（Gauss 方程式） 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 27, 31, 37, 55 番
• 演習 7.2 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 29, 33, 36, 57, 100 番
• 演習 7.1 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 31, 55 番
• 命題 4.2 断面曲率は曲率テンソルを決める 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 30, 31 番
• 命題 3.1 曲率テンソルの対称性 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 26, 27, 47 番
• 定理 5.1 第 2 Bianchi 恒等式 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 36 番
• 定理 6.2 Cartan の構造方程式 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 28, 34, 35, 38 番
• 定理 2.4 平坦性の判定 曲率テンソル：Riemann・Ricci・スカラー曲率と Bianchi 恒等式 → 35 番
• 系 5.3 地図は歪む 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 8 番
• 定義 2.1 曲率・捩率・Frenet 標構 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 1, 2, 4 番
• 定義 3.2 第一基本形式 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 7 番
• 定義 4.1 形状作用素・第二基本形式・Gauss 曲率 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 6, 12 番
• 例 6.4 Gauss–Bonnet の例 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 10 番
• 例 2.3 常螺旋 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 1, 2 番
• 例 4.3 球面・円柱面・平面 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 6, 8, 11 番
• 演習 8.1 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 3 番
• 演習 8.4 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 9, 13 番
• 演習 8.2 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 5, 49 番
• 命題 5.1 Christoffel 記号は第一基本形式だけで決まる 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 7, 11 番
• 命題 4.2 形状作用素の性質 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 5 番
• 定理 2.4 空間曲線の基本定理 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 3, 4 番
• 定理 5.2 Gauss の Theorema Egregium 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 7, 8, 11 番
• 定理 2.2 Frenet–Serret の公式 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 3 番
• 定理 6.3 Gauss–Bonnet の定理 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 10, 57 番
• 定理 7.1 Hadamard の卵形面定理 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 12 番
• 定理 6.2 局所 Gauss–Bonnet の定理 曲線と曲面：Frenet–Serret から Theorema Egregium・Gauss–Bonnet・Hadamard の卵形面定理まで → 9, 13 番
• 定義 6.1 共役点 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 44 番
• 定義 2.1 測地線 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 39 番
• 定義 3.2 Jacobi 場 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 43 番
• 例 5.3 完備な例と完備でない例 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 41 番
• 例 3.5 定曲率空間の Jacobi 場 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 43, 44, 48 番
• 例 2.5 球面の測地線 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 50 番
• 演習 10.2 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 42, 48 番
• 演習 10.1 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 39, 40 番
• 補題 5.1 指数写像が全域で定義される点からの最短測地線 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 42 番
• 補題 6.4 指数形式が負なら最短でない 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 46, 50 番
• 命題 6.2 共役点と指数写像の臨界点 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 48 番
• 命題 3.4 指数写像の微分と Jacobi 場 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 47 番
• 命題 4.3 Riemann 距離 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 40 番
• 命題 3.3 Jacobi 場の基本性質 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 44 番
• 定理 6.6 Bonnet–Myers の定理 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 45, 49 番
• 定理 4.1 Gauss の補題 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 47 番
• 定理 5.2 Hopf–Rinow の定理 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 41, 42, 49 番
• 定理 6.5 共役点を越えた測地線は最短でない 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 46 番
• 定理 4.2 測地線の局所最短性 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 50 番
• 定理 6.3 第一・第二変分公式 測地線と完備性：指数写像・Gauss の補題・Hopf–Rinow の定理・第二変分 → 46, 50 番
• 系 5.4 Bochner の公式と消滅定理 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 55, 58, 59 番
• 定義 5.2 Clifford 加群と Dirac 型作用素 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 58 番
• 定義 2.1 Hodge スター Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 51 番
• 例 4.5 平坦トーラスの調和形式 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 52, 63 番
• 例 7.3 平坦トーラスの熱核（鏡像法） Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 60 番
• 補題 5.1 外微分と余微分の共変微分表示 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 52, 63 番
• 命題 3.2 余微分は外微分の随伴 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 61, 62 番
• 命題 3.4 調和形式の特徴づけ Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 52, 53, 60, 62 番
• 命題 7.2 熱核の一意性 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 60 番
• 命題 4.1 Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 53, 56, 61, 63 番
• 命題 2.2 Hodge スターの性質 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 51, 53, 54 番
• 定理 4.2 Hodge Laplacian の解析的性質 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 56 番
• 定理 7.4 熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel） Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 57, 60, 100 番
• 定理 4.4 Hodge の定理 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 54, 56, 59, 61, 94 番
• 定理 5.5 Lichnerowicz の公式 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 58, 96 番
• 定理 5.3 Weitzenböck 公式 Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素：調和形式・Weitzenböck 公式・熱核 → 58 番
• 定義 2.6 解析的指数 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 98 番
• 定義 4.1 巡回コサイクルと巡回コホモロジー 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 99 番
• 定義 2.3 楕円型微分作用素と主表象 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 94 番
• 定義 2.1 フレドホルム作用素と指数 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 90, 93 番
• 例 3.4 ディラック作用素とA-hat 種数の整数性 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 95, 96 番
• 例 3.3 ド・ラーム作用素とオイラー標数 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 94, 98 番
• 例 4.7 円周上のトープリッツ作用素と巻き数 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 91 番
• 演習 8.2 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 98, 100 番
• 演習 8.5 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 93 番
• 演習 8.1 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 93 番
• 命題 2.4 楕円型作用素のフレドホルム性（Dirac 型の場合） 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 94 番
• 命題 2.2 カルデロン・フェドソフの公式 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 93 番
• 命題 3.5 マッキーン・シンガーの公式 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 92, 97, 100 番
• 注意 4.9 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 99 番
• 定理 6.1 アティヤの L2-指数定理 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 99 番
• 定理 3.1 アティヤ・シンガーの指数定理 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 95 番
• 定理 4.6 奇フレドホルム加群の指数公式 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 91 番
• 定理 6.3 コンヌの測度付き葉層指数定理 指数定理：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ → 99 番
• 定義 4.1 主束の接続形式 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 70 番
• 定義 6.1 ゲージ変換 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 71 番
• 定義 7.2 ホロノミー群 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 74 番
• 定義 3.1 主束 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 64 番
• 例 7.6 Aharonov–Bohm の位相 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 64, 67, 69, 73 番
• 例 3.2 枠束と同伴束 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 75 番
• 例 7.7 Hopf 束の接続と磁気単極子 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 65, 74 番
• 演習 8.1 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 70 番
• 演習 8.2 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 71 番
• 命題 2.2 コサイクルからの再構成 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 75 番
• 命題 5.1 曲率形式とその性質 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 65, 66, 67, 68, 70, 75, 76, 86 番
• 命題 6.2 ゲージ変換の局所表示と作用 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 66, 71, 76 番
• 命題 7.3 ホロノミー群の性質 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 65, 67, 73, 74, 76, 86, 88 番
• 定理 7.5 平坦な接続は局所的に自明 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 69, 73 番
• 定理 7.1 水平持ち上げ ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 72 番
• 定理 7.4 微小ループのホロノミーは曲率 ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 68, 72 番
• 定理 4.3 接続形式と局所ゲージポテンシャル ファイバー束・主束と接続：ゲージ場の幾何学 → 64, 70, 87 番
• 定義 5.1 捩れと計量との両立 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 15, 17, 18, 22 番
• 例 5.3 Christoffel 記号の計算 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 16, 20, 39 番
• 例 3.2 Riemann 計量の例 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 25 番
• 例 6.4 球面の緯線に沿った平行移動 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 19 番
• 演習 7.2 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 24 番
• 補題 2.1 テンソル判定補題 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 15 番
• 命題 4.2 接続の局所性と Christoffel 記号 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 15, 18, 21 番
• 命題 5.5 発散の座標表示 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 25 番
• 注意 3.7 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 14, 23 番
• 定理 4.3 曲線に沿った共変微分 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 19, 20, 21 番
• 定理 5.2 Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita） Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 16, 17, 19, 22, 24 番
• 定理 3.6 Riemann 計量の存在 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 14, 23 番
• 定理 6.3 Levi-Civita 接続の平行移動は等長 Riemann 計量と Levi-Civita 接続：接空間どうしをつなぐ微分 → 18, 20, 59 番
• 例 5.5 トーラスのコホモロジー de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴 → 63 番
• 定義 5.1 左不変ベクトル場 リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する → 17 番
• 系 6.2 閉多様体上での消滅 ストークスの定理：微分と境界の双対性 → 62 番