Coulomb 多体系と原子の数理 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマの 4 つの章（2 電子原子、束縛電子数の上界、Zhislin と Efimov、ゼロ距離相互作用）を読んだ博士課程以上の人。作用素論と変分法の基礎は仮定します。

テーマの目次へ（Coulomb 多体系と原子の数理）

執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

読み込んでいます…

この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• E. H. Lieb, R. Seiringer, The Stability of Matter in Quantum Mechanics
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators
• S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics
• M. T. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe, Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜14: 2 電子原子と臨界核電荷
• 15〜28: 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論
• 29〜39: 束縛状態の個数：Zhislin と Efimov
• 40〜50: ゼロ距離相互作用

形式: 単一選択 16・複数選択 9・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 4 / 17 / 24 / 5。

この冊で使う定義・定理（74）

• 系 3.3 2 電子原子の臨界核電荷の下界 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 10 番
• 定義 4.1 Thomas–Fermi 汎関数 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 20, 21, 26 番
• 演習 8.1 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 16 番
• 演習 8.2 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 19 番
• 演習 8.3 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 21 番
• 演習 8.4 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 25 番
• 補題 2.2 Coulomb 核の正定値性 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 22, 23 番
• 補題 6.1 Onsager の補題 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 18, 22, 23 番
• 補題 5.1 連続な劣調和関数の最大値原理 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 28 番
• 補題 4.3 原子のエネルギーの有限性と尺度則 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 21 番
• 補題 5.2 Thomas–Fermi ポテンシャルの単調性 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 28 番
• 補題 3.1 重み付き運動エネルギーの非負性 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 16, 17, 24, 25 番
• 命題 4.2 球の中での最小化元と Thomas–Fermi 方程式 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 20, 28 番
• 注意 7.1 イオン化予想（未解決） 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 27 番
• 注意 3.4 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 27 番
• 定理 3.2 Lieb の電離上界 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 15, 16, 17, 24, 25, 27 番
• 定理 6.2 Lieb–Oxford 不等式 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 18, 19, 26 番
• 定理 5.3 Teller の非束縛定理 束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論：Lieb の N < 2Z+1、Teller の非束縛定理、Lieb–Oxford 不等式 → 21, 28 番
• 定義 2.1 2 電子原子のハミルトニアン 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 1 番
• 例 3.4 ヘリウムの上界 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 2, 14 番
• 例 4.4 調和振動子での Lehmann–Goerisch の下界 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 12 番
• 例 4.2 ヘリウムへの適用 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 6 番
• 演習 7.1 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 6 番
• 演習 7.2 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 5 番
• 演習 7.3 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 4 番
• 補題 6.1 逆 2 乗核の畳み込み 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 22 番
• 補題 2.2 Kato の不等式（Coulomb 版） 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 8, 9 番
• 補題 2.3 Newton の定理 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 23, 30 番
• 補題 5.1 尺度変換 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 10, 13 番
• 命題 2.4 しきい値と下界 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 1, 3, 5 番
• 注意 4.5 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 12 番
• 定理 5.2 臨界核電荷の存在 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 10, 13, 14 番
• 定理 3.3 Hylleraas–Ritz の上界 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 2, 3, 14 番
• 定理 4.3 Lehmann–Goerisch の定理 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 12 番
• 定理 6.2 相対論的 Kato の不等式 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 11 番
• 定理 4.1 Temple の不等式 2 電子原子と臨界核電荷：Hylleraas の上界、Temple・Lehmann–Goerisch の下界、束縛の閾値 → 4, 5, 6, 7 番
• 定義 2.1 原点で消える関数上の Laplacian ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 40, 48 番
• 定義 4.2 TMS 2 次形式 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 47 番
• 演習 6.2 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 41, 48 番
• 演習 6.1 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 43 番
• 補題 5.2 対数積分 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 46, 50 番
• 補題 2.2 Green 関数の性質 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 41, 42, 44, 49 番
• 補題 5.1 非対角部分の符号 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 45, 47, 50 番
• 命題 2.3 不足指数 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 40, 44 番
• 注意 5.4 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 45 番
• 定理 3.2 点相互作用の分類と Krein のレゾルベント公式 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 42, 44, 49 番
• 定理 3.3 点相互作用のスペクトル ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 41, 43 番
• 定理 5.3 2+1 フェルミオン系の安定性 ゼロ距離相互作用：点相互作用の自己共役拡大と Krein の公式、TMS 形式、2+1 フェルミオン系の安定性 → 45, 46, 50 番
• 演習 6.3 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 32 番
• 演習 6.2 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 31, 36 番
• 演習 6.4 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 31, 32 番
• 補題 2.1 固有関数の切り落としの誤差 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 30, 33, 35 番
• 注意 5.2 Efimov 効果の骨格 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 37 番
• 注意 4.2 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 29 番
• 注意 3.2 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 39 番
• 定理 5.1 逆 2 乗引力の束縛状態の対数則 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 32, 36, 37 番
• 定理 4.1 束縛状態の有限性の判定法 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 31, 34, 35, 38 番
• 定理 3.1 Zhislin の定理 束縛状態の個数：Zhislin の定理、Vugal'ter–Zhislin の有限性、Efimov 効果の骨格 → 29, 30, 33, 38, 39 番
• 補題 6.2 ミニマックス値と固有空間の次元 作用素の収束と摂動：レゾルベント収束・解析摂動・ミニマックス原理 → 7 番
• 定理 6.3 ミニマックス原理 作用素の収束と摂動：レゾルベント収束・解析摂動・ミニマックス原理 → 4, 7, 14 番
• 補題 4.2 値域と核の双対性 対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の拡大理論 → 40 番
• 定理 5.4 von Neumann の拡大定理 対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の拡大理論 → 49 番
• 例 5.3 1 次元のデルタ関数ポテンシャル 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 41 番
• 定理 5.2 KLMN の定理 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 48 番
• 定理 6.2 有界ボレル関数計算 スペクトル定理と関数計算：非有界自己共役作用素を射影値測度で対角化する → 7 番
• 定義 7.1 ゼロエネルギー共鳴（仮想準位） 多体系と HVZ 定理：クラスター分解・IMS 局所化・束縛状態の存在 → 37 番
• 補題 6.3 1s 型関数の積分 多体系と HVZ 定理：クラスター分解・IMS 局所化・束縛状態の存在 → 2 番
• 定理 7.2 Efimov 効果（Yafaev・Sobolev） 多体系と HVZ 定理：クラスター分解・IMS 局所化・束縛状態の存在 → 37 番
• 定理 6.2 水素陰イオン H⁻ の束縛状態 多体系と HVZ 定理：クラスター分解・IMS 局所化・束縛状態の存在 → 3 番
• 定理 6.1 原子・イオンに対する HVZ 定理 多体系と HVZ 定理：クラスター分解・IMS 局所化・束縛状態の存在 → 1, 15, 33 番
• 命題 8.1 相対論的水素様作用素の二分法 Lieb–Thirring 不等式と物質の安定性：負の固有値の和から Coulomb 系の線形下界へ → 11 番
• 定理 8.2 相対論的な Kato の不等式と臨界結合定数 Lieb–Thirring 不等式と物質の安定性：負の固有値の和から Coulomb 系の線形下界へ → 11 番
• 補題 2.1 Glazman の補題 シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態：Hardy・Kato・Birman–Schwinger → 30, 33, 34, 38 番
• 定理 3.1 Hardy の不等式 シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態：Hardy・Kato・Birman–Schwinger → 8, 9, 31, 34, 35 番