Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマ 5 章の内容（自由 Dirac 作用素、Dirac–Coulomb、Brown–Ravenhall、外場 QED、Witten 指数）を一通り読んだ博士課程の人。自己共役作用素のスペクトル理論は既知とします。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• B. Thaller, The Dirac Equation (Springer, 1992)
• T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Springer, 1966)
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness (Academic Press, 1975)
• H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, B. Simon, Schrödinger Operators (Springer, 1987)

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: 自由 Dirac 作用素
• 11〜22: 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
• 23〜31: no-pair（Brown–Ravenhall）作用素
• 32〜42: 外場 QED と Shale–Stinespring の定理
• 43〜50: 超対称量子力学と Witten 指数

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 4 / 16 / 25 / 5。

この冊で使う定義・定理（81）

• 定理 4.4 Pauli の基本定理 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 3 番
• 定義 4.1 no-pair 作用素 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 29 番
• 例 5.3 2 準位系 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 30 番
• 補題 5.1 近い射影の補空間 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 31 番
• 補題 2.3 Q_l と c_l の性質 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 24, 27, 28 番
• 補題 2.2 正エネルギー部分空間の表示 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 24, 25, 28 番
• 命題 2.1 2 電子の自由なハミルトニアンのスペクトル no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 23 番
• 命題 2.4 部分波ごとの Kato 不等式 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 26, 27, 28 番
• 注意 3.3 臨界値の最良性と歴史 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 29 番
• 定理 3.2 Brown–Ravenhall 作用素の下界 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 24, 26, 28 番
• 定理 5.2 Mittleman の max-min 原理 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 30, 31 番
• 定理 4.2 no-pair 作用素の下界 no-pair（Brown–Ravenhall）作用素：臨界結合 2/(π/2+2/π) までの下界、Furry 描像、Mittleman の射影 → 29 番
• 系 5.5 相対論的 Schrödinger 作用素の下界 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 19, 20, 26 番
• 演習 7.1 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 15 番
• 補題 5.2 基本の積分 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 18 番
• 補題 5.1 Coulomb 項の運動量表示 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 18 番
• 補題 4.1 正則解と特異解 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 17 番
• 補題 2.3 最大作用素と Green の公式 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 14 番
• 補題 5.6 |x|^{-1/2} の相対コンパクト性 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 19, 21 番
• 補題 4.2 最大作用素の定義域の原点での構造 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 14, 17 番
• 補題 6.1 レゾルベントの差がコンパクトなら本質スペクトルは等しい 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 21 番
• 命題 2.1 部分波分解 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 16, 22 番
• 命題 4.7 D_ν の固有値と Sommerfeld の公式 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 12, 15 番
• 注意 5.4 定数の最良性と Herbst の一般化 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 19 番
• 定理 4.3 動径作用素の自己共役拡大 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 13, 14, 16, 22 番
• 定理 4.5 Dirac–Coulomb 作用素の本質的自己共役性 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 16 番
• 定理 4.6 特別な自己共役拡大 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 13, 15, 21, 22 番
• 定理 6.2 Dirac–Coulomb 作用素の本質スペクトル 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 21, 23 番
• 定理 5.3 Kato の不等式（相対論的 Hardy 不等式） 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 18, 20 番
• 定理 3.1 Coulomb 型ポテンシャルの Kato–Rellich 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大 → 11 番
• 系 5.3 真空の電荷 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 39, 42 番
• 定義 5.1 射影の対の指数 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 33, 37 番
• 定義 2.2 Q の真空 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 32 番
• 例 6.2 1+1 次元の静電ポテンシャル 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 40, 41 番
• 例 5.6 固有値が 0 を横切る 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 39 番
• 演習 8.3 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 41 番
• 演習 8.2 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 36 番
• 補題 3.1 二つの射影の標準形 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 33, 34, 35 番
• 命題 5.2 射影の対の指数の性質 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 37, 42 番
• 注意 6.3 3+1 次元の場合 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 41 番
• 定理 6.1 時間発展の実装可能性 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 40, 41 番
• 定理 4.2 Shale–Stinespring の定理（分極の形） 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 38 番
• 定理 5.5 真空電荷とスペクトル流 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 39, 42 番
• 定理 4.1 Q の真空の存在 外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流 → 32, 35, 36, 38, 42 番
• 定義 2.1 Dirac 行列 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 7 番
• 定義 4.1 正・負エネルギー射影 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 2, 4 番
• 例 5.3 1 次元の Dirac 作用素 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 6, 10 番
• 例 4.4 Zitterbewegung 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 9 番
• 補題 3.2 表象の固有分解 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 1, 2, 5, 6, 8 番
• 命題 4.3 速度作用素の正エネルギー部分 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 8, 9 番
• 注意 3.4 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 4 番
• 定理 2.2 Dirac 行列の一意性 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 3 番
• 定理 5.1 Foldy–Wouthuysen 変換 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 7, 9 番
• 定理 3.3 自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 1, 10 番
• 定理 4.2 正エネルギー状態はコンパクトな台を持たない 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換 → 4, 5 番
• 系 3.4 超対称性が破れない判定 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 43, 44, 47, 50 番
• 定義 5.1 格子 Nicolai 写像と格子分配関数 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 48 番
• 定義 2.1 超対称系 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 43 番
• 定義 3.1 Witten 指数 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 43 番
• 補題 4.1 1 次元の超電荷の定義域 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 46 番
• 補題 5.2 Piola 恒等式と変形不変性 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 49 番
• 命題 4.3 超対称な Dirac 作用素の ±m 固有値 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 47 番
• 命題 2.2 超電荷の行列表示 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 45 番
• 定理 4.2 1 次元の零モードと Witten 指数 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 44, 46, 50 番
• 定理 2.3 超対称な同スペクトル性（Deift） 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 45 番
• 定理 5.3 格子分配関数は Witten 指数 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 48, 49 番
• 定理 3.3 Witten 指数の安定性 超対称量子力学と Witten 指数：超電荷の同スペクトル性、指数の安定性、Nicolai 写像 → 44, 47, 50 番
• 定理 4.1 Plancherel の定理 ℝⁿ 上のフーリエ変換：反転公式・Plancherel の定理・Young の不等式・Poisson 和公式・Hermite 関数 → 40 番
• 定理 5.1 Rellich のコンパクト性定理 Sobolev 空間：弱微分・埋め込み定理・Rellich のコンパクト性・トレース定理 → 50 番
• 命題 6.3 Hilbert–Schmidt 作用素の性質 コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 38 番
• 定理 4.2 Hilbert–Schmidt の定理 コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス：特異値で測る作用素の大きさ → 34 番
• 系 4.4 本質的自己共役性の判定 対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の拡大理論 → 16 番
• 命題 3.4 自己共役作用素の極大性 対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の拡大理論 → 22 番
• 定理 3.2 Kato–Rellich の定理 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理 → 11 番
• 命題 5.6 スペクトルはスペクトル測度の台 スペクトル定理と関数計算：非有界自己共役作用素を射影値測度で対角化する → 10, 31 番
• 定理 4.3 A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル Hilbert 空間のテンソル積と直積分：合成系・可分解作用素・ファイバー分解 → 23 番
• 定理 3.1 Hardy の不等式 シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態：Hardy・Kato・Birman–Schwinger → 11 番
• 補題 2.2 ウェッジ積の内積は Gram 行列式 フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係：有界な生成消滅作用素・Jordan–Wigner 変換・電子陽電子の Fock 空間 → 35 番
• 補題 6.2 スピン角度関数の性質 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 25 番
• 定理 3.2 Dirac 行列の次元 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 3 番
• 定理 6.4 水素様原子の Dirac 準位 相対論的量子力学：Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式の共変性、Pauli 方程式、水素原子の Dirac 解 → 12 番