未解決問題と大定理 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜13 章の主な定理（零点なし領域、Ricci flow、Frey 曲線、Leray 弱解、質量ギャップの定式化）を学んだ修士課程の人。主張のみの結果と証明済みの結果の区別を問う問題です。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function (2nd ed., revised by D. R. Heath-Brown)
• J. Morgan, G. Tian, Ricci Flow and the Poincaré Conjecture
• G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens (eds.), Modular Forms and Fermat's Last Theorem
• C. L. Fefferman, Existence and Smoothness of the Navier–Stokes Equation（Clay 数学研究所の問題記述）
• A. Jaffe, E. Witten, Quantum Yang–Mills Theory（Clay 数学研究所の問題記述）

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜12: リーマン予想（零点の理論・各種のアプローチ・準リーマン予想）
• 13〜22: ポアンカレ予想と Ricci flow
• 23〜32: フェルマーの最終定理（Frey 曲線・Ribet・Wiles）
• 33〜42: Navier–Stokes 方程式
• 43〜50: Yang–Mills 理論と質量ギャップ

形式: 単一選択 16・複数選択 8・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 5・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 16 / 33 / 1。

この冊で使う定義・定理（117）

• 定理 6.4 Poincaré 双対定理（de Rham 版） コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 19 番
• 定義 4.3 楕円曲線の Galois 表現 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 32 番
• 定義 6.1 Hecke 固有形式・保型的な mod p 表現 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 30 番
• 定義 4.11 良い還元・乗法的還元・半安定 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 23 番
• 定義 5.9 Serre の導手・指標・重さ（この章で使う場合） フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 24 番
• 例 4.15 E[2] と mod 2 表現 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 32 番
• 補題 3.2 立方数の合同 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 26, 29 番
• 補題 3.1 Eisenstein 整数環の基本性質 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 26, 29 番
• 命題 8.2 Serre の保型性予想からの導出 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 25 番
• 命題 6.9 レベル 2 への到達 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 28 番
• 命題 4.13 Frey 型の曲線の極小モデル フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 23, 24, 28 番
• 命題 5.8 乗法的還元の素数での惰性群の作用 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 24 番
• 命題 4.2 等分点の群構造 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 32 番
• 定理 3.3 指数 3 のフェルマーの最終定理 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 26, 29 番
• 定理 5.5 p での有限性の判定 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 24 番
• 定理 8.1 主張のみの 7 定理からフェルマーの最終定理が従う フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 25, 27, 28 番
• 定理 5.10 Frey 曲線の mod p 表現の分岐 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 27 番
• 定理 6.5 Serre の保型性予想（重さ 2・自明な指標の場合） フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 25 番
• 定理 7.1 S₂(Γ₀(2)) = 0 フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理 → 27, 28 番
• 定義 2.1 運動量の残差 Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む → 34 番
• 命題 5.1 主張を仮定したときの (D) と (C) Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む → 41 番
• 命題 4.1 残差を外力と定めれば方程式は成り立つ Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む → 41 番
• 命題 4.2 粘性の変換 Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む → 34 番
• 注意 3.1 主張（OpenAI, 2026。独立の査読は未了） Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む → 41 番
• 定義 2.1 非圧縮 Navier–Stokes 方程式・Euler 方程式 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 34, 40 番
• 例 9.4 平面 Couette 流と Poiseuille 流 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 40 番
• 補題 3.2 三重線形形式の反対称性 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 39, 40 番
• 命題 3.3 エネルギー等式 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 40, 41 番
• 命題 3.5 スケール不変性と各ノルムの次数 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 33, 37 番
• 定理 6.2 2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya） Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 38, 39 番
• 定理 7.5 小さい臨界ノルムの初期値に対する大域解 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 37 番
• 定理 7.3 滑らかな解の局所存在と延長の判定 Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解 → 39 番
• 系 3.3 爆発の速さの下界（Leray） Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 35 番
• 系 7.4 エネルギー恒等式と調和解析の評価だけでは (A) は証明できない Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 36 番
• 定義 2.1 混合ノルムと Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の指数 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 33, 35 番
• 定義 5.1 適切な弱解・放物型円柱・特異点集合 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 42 番
• 演習 8.1 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 42 番
• 命題 4.1 優臨界な量による評価は細かいスケールで弱くなる Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 37 番
• 命題 4.2 渦度方程式と伸張項 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 38 番
• 定理 3.7 Beale–Kato–Majda の判定条件 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 38 番
• 定理 5.6 Caffarelli–Kohn–Nirenberg の部分正則性定理 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 36, 42 番
• 定理 3.5 Escauriaza–Seregin–Šverák の定理 Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 33, 36 番
• 定理 3.1 Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価） Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 33, 35, 36 番
• 定理 6.3 自己相似な爆発の不在（Nečas–Růžička–Šverák） Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式） → 36 番
• 系 4.5 閉多様体上の定常 breather は Ricci 平坦 ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理 → 21 番
• 定義 4.4 breather ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理 → 21 番
• 定義 4.1 λ(g) ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理 → 13 番
• 命題 4.3 λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少 ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理 → 13, 21 番
• 系 5.2 スカラー曲率の最小値の単調性と存在時間の上界 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 16 番
• 定義 3.1 Ricci flow・正規化 Ricci flow ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 17 番
• 例 4.4 2 次元の Ricci flow は共形類を保つ ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 22 番
• 演習 8.1 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 15 番
• 補題 2.4 単連結な多様体の閉 1 形式は完全 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 19 番
• 補題 3.8 2 次元の共形平坦な計量の曲率 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 22 番
• 補題 3.3 計量の Lie 微分 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 17 番
• 補題 2.5 単連結な多様体は向き付け可能 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 19 番
• 補題 3.4 丸い球面の曲率 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 14, 15 番
• 命題 6.1 Ricci flow の線形化の退化と Ricci–DeTurck 流 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 17 番
• 命題 3.5 Einstein 計量と S² × ℝ の流れ ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 14, 15 番
• 命題 3.6 丸い球面の Ricci flow ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 13, 14, 22 番
• 命題 2.6 単連結な閉 3 次元多様体の実コホモロジー ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 19 番
• 定理 7.1 Hamilton の定理（1982 年） ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 18 番
• 定理 7.3 Hamilton–Ivey の pinching 評価 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 18 番
• 定理 4.2 スカラー曲率と体積要素の発展方程式 ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 15, 16 番
• 定理 5.1 スカラー最大値原理（ODE との比較） ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理） → 16 番
• 補題 2.3 素数の ℤ[ω] での分解 リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む → 8 番
• 命題 2.2 ℤ[ω] の算術 リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む → 8 番
• 命題 7.2 一様な零点なし半平面からの帰結（仮定つき） リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む → 9 番
• 命題 4.1 原始的でない指標の L 関数は同じ零点をもつ リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む → 7 番
• 命題 4.2 ノルムと合成した指標の L 関数の分解 リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む → 8 番
• 定義 3.1 球面に沿った位相的な手術 ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理 → 20 番
• 例 5.9 消滅するが S³ でない多様体 ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理 → 18 番
• 補題 3.3 2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和 ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理 → 20 番
• 命題 3.4 手術と連結和 ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理 → 20 番
• 定理 5.5 手術つき Ricci flow の存在と有限時間消滅からポアンカレ予想が従う ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理 → 18 番
• 定義 2.2 Dirichlet 指標 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 7 番
• 定義 2.4 Dirichlet L 関数 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 6 番
• 定義 4.3 例外零点（Siegel 零点） リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 9 番
• 定義 4.2 一様な零点なし半平面（準リーマン予想） リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 4, 9, 10 番
• 定義 6.1 零点密度 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 5 番
• 補題 2.5 L 関数の Euler 積と対数 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 7 番
• 定理 3.1 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 6 番
• 定理 5.5 Hardy の定理（1914） リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 4 番
• 定理 6.2 零点密度評価（Ingham 1940、Guth–Maynard 2024） リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 4, 5 番
• 定理 3.3 L(1, χ) ≠ 0 リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 6 番
• 定理 5.6 Selberg の定理（1942） リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体） → 4 番
• 系 4.4 非自明零点は無限個ある リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 10 番
• 演習 8.4 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 3 番
• 補題 4.2 位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 11 番
• 補題 6.1 3-4-1 の不等式 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 2 番
• 補題 7.1 打ち切った明示公式 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 3 番
• 補題 4.1 位数 1 の整関数の零点の個数 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 12 番
• 補題 5.1 高さ 1 の帯にある零点の個数 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 10 番
• 定理 6.2 直線 Re s = 1 上に零点はない リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 2 番
• 定理 7.3 誤差項つきの素数定理（de la Vallée Poussin） リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 3 番
• 定理 5.2 Riemann–von Mangoldt の個数公式 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 1, 12 番
• 定理 4.3 ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 11, 12 番
• 定理 3.1 ξ の増大度 リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 11 番
• 定理 7.2 零点なし半平面から誤差項へ リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域） → 9 番
• 定義 6.1 添加つき係数環・完全交叉 フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え） → 31 番
• 例 6.5 2 つの形式が合同な場合 フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え） → 31 番
• 命題 5.3 Hecke 作用素の可換性と Hecke 環の有限性 フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え） → 30 番
• 定理 6.2 数値的判定法（Wiles–Lenstra） フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え） → 31 番
• 定義 2.1 格子 Yang–Mills 測度 Yang–Mills 理論と質量ギャップ II：考えられるアプローチ（構成的場の理論・Bałaban のくりこみ群・確率量子化・確率論からの研究） → 44 番
• 定理 5.6 強結合での体積に一様な Poincaré 不等式と相関の指数的減衰 Yang–Mills 理論と質量ギャップ II：考えられるアプローチ（構成的場の理論・Bałaban のくりこみ群・確率量子化・確率論からの研究） → 44 番
• 定義 3.2 Yang–Mills の存在と質量ギャップ（Jaffe–Witten の問題記述） Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 45, 50 番
• 定義 2.1 ゲージ群・接続・曲率・Yang–Mills 作用 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 48 番
• 例 5.2 U(1) と SU(2) の Wilson 作用での係数 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 43 番
• 命題 6.2 連続極限で質量ギャップが残るための条件 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 46, 47 番
• 命題 6.1 結合定数の次元と、摂動論で見えないスケール Λ Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 46, 47, 50 番
• 命題 2.4 作用の下限と自己双対性 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 49 番
• 命題 2.3 Yang–Mills 方程式・ゲージ不変性・共形不変性 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 49 番
• 定理 5.1 2 次元格子 Yang–Mills 理論の厳密解 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 43, 46, 48 番
• 定理 4.1 自由な Maxwell 場は存在するが質量ギャップをもたない Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 46 番
• 定理 3.4 質量ギャップと指数的クラスター性の同値 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 45 番
• 定理 2.6 Uhlenbeck のゲージ固定とコンパクト性 Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか → 49 番
• 例 6.4 導手 11 の楕円曲線とその新形式 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 30 番