コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する

0. この記事の要点

平面から原点を取り除いた領域では、原点のまわりを一周しながら積分すると 0 にならない量（角度の変化を表す微分形式）があり、これが「原点に穴がある」ことを数値で教えてくれます。この記事は、そのように「空間の上の量を、穴のまわりで積分して穴を調べる」という見方を、一般の空間に広げる話です。読み終えると、穴を数える二つの方法（積分で測る方法と、図形を三角形に切って数える方法）が同じ答えを与えること、そして曲面のような空間では「$k$ 次元の穴」と「$n-k$ 次元の穴」が対になることを、証明つきで説明できるようになります。

• 特異鎖 $C_n(X)$ から係数群 $G$ への準同型をコチェインとし、その複体のホモロジーをコホモロジー $H^n(X;G)$ とします。ホモトピー不変性と Mayer–Vietoris 完全列は、ホモロジーの対応する事実を「双対化」するだけで得られます。
• 普遍係数定理（定理 3.4）: $H^n(X;G)\cong\operatorname{Hom}(H_n(X),G)\oplus\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$。コホモロジーはホモロジーから決まりますが、ねじれ（torsion）は次数が 1 つ上がって現れます。
• コホモロジーにはカップ積があり、次数付き可換な環になります（定理 4.4）。これがホモロジーにない構造です。コホモロジー類をホモロジー類に作用させるキャップ積も同じ式から作れます（命題 4.8）。
• de Rham の定理（定理 5.4）: 多様体の de Rham コホモロジーは実係数の特異コホモロジーと同型です。同型は「微分形式を特異単体の上で積分する」写像で与えられます。同じ論法で、ファイバー束の全空間のコホモロジーを底空間とファイバーから求める Leray–Hirsch の定理（定理 5.6）と Künneth の公式も示します。
• Poincaré 双対（定理 6.4）: 向き付けられた $n$ 次元多様体では $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^{n-k}_c(M)^*$。証明はどちらも、開集合の基底から Mayer–Vietoris で積み上げる同じ論法（補題 5.3）です。
• 補遺で、前の記事で主張のみだった「単体的ホモロジー $\cong$ 特異ホモロジー」を証明します（定理 7.6）。

この記事で使う事前知識

• 鎖ホモトピー: 二つの鎖準同型の差が $\partial P+P\partial$ の形に書けること。このとき両者はホモロジーに同じ写像を与えます。→ 鎖ホモトピー
• Mayer–Vietoris 完全列: 空間を二つの開集合で覆い、全体のホモロジーを二つの部分とその共通部分のホモロジーから結ぶ完全列。→ Mayer–Vietoris 完全列
• 五項補題: 完全列の間の可換図式で、両端の四つの写像が同型なら真ん中の写像も同型になる、という補題。→ 五項補題
• Zorn の補題: 半順序集合のどの鎖にも上界があれば、極大元が存在するという主張。→ Zorn の補題
• ファイバー束: 局所的には「底空間 × ファイバー」の形をした空間。→ ファイバー束
• de Rham コホモロジー: 閉形式を完全形式で割った商で、積分で穴を測る理論。→ de Rham コホモロジー

1. 動機：数える側から測る側へ

特異ホモロジーは、空間の中の「サイクル」を数える理論でした。一方 de Rham コホモロジーは、閉形式という「サイクルの上で積分すると値を返すもの」を集める理論です。積分 $\int_c\omega$ は、鎖 $c$ と形式 $\omega$ の組に数を返す双線形な対であり、Stokes の定理 $\int_c d\omega=\int_{\partial c}\omega$ は「$d$ は $\partial$ の転置である」と読めます。

この見方を位相空間一般に移すと、鎖に値を返す関数、つまり $C_n(X)$ 上の準同型（コチェイン）を考えることになります。転置 $\delta=\partial^{\mathsf T}$ は $\delta^2=0$ を満たすので、閉形式と完全形式の類似物ができます。これがコホモロジーです。

なぜわざわざ双対を取るのでしょうか。理由は三つあります。第一に、コチェインには掛け算（カップ積）が入り、ホモロジー群だけでは区別できない空間を区別できます。第二に、微分形式の世界との橋渡し（de Rham の定理）は、コホモロジーの言葉で最も自然に述べられます。第三に、多様体では $k$ 次の情報と $n-k$ 次の情報が互いに双対になる（Poincaré 双対）という、強い対称性が現れます。格子上の場の理論で場をコチェインとして離散化するときも、連続極限との対応を保証するのがこの記事の定理です。

2. 特異コホモロジー

$G$ をアーベル群とします。準同型全体 $\operatorname{Hom}(A,G)$ はアーベル群で、準同型 $f:A\to B$ は $f^*:\operatorname{Hom}(B,G)\to\operatorname{Hom}(A,G)$、$f^*\varphi=\varphi\circ f$ を誘導します。

定義 2.1（特異コホモロジー）↗

位相空間 $X$ に対し、$C^n(X;G)=\operatorname{Hom}(C_n(X),G)$ の元を $n$ コチェインという。余境界作用素 $\delta:C^n(X;G)\to C^{n+1}(X;G)$ を $\delta\varphi=\varphi\circ\partial$ で定めると $\delta\delta=0$ で、

$$H^n(X;G)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}$$

を $G$ 係数の $n$ 次特異コホモロジー群という。一般に、自由アーベル群の鎖複体 $C_*$ に対して $\operatorname{Hom}(C_*,G)$ のコホモロジーを $H^n(C;G)$ と書く。連続写像 $f:X\to Y$ は $f^*=(f_\sharp)^*:C^n(Y;G)\to C^n(X;G)$ を与え、$\delta f^*=f^*\delta$ なので $f^*:H^n(Y;G)\to H^n(X;G)$ を誘導する（向きが逆になる）。

$\delta\delta\varphi=\varphi\circ\partial\circ\partial=0$ は 命題 2.2［特異ホモロジー］ から従います。コチェイン複体も、$C_{-n}:=C^n$ と添字を付け替えれば鎖複体なので、定理 3.1［特異ホモロジー］ の長完全列とその自然性がそのまま使えます（連結準同型は次数を 1 つ上げる）。

命題 2.2（コホモロジーの基本性質）✓

1. 鎖準同型 $f,g:C_*\to D_*$ が鎖ホモトピック（$\partial P+P\partial=g-f$）ならば $f^*=g^*:H^n(D;G)\to H^n(C;G)$。特に $f\simeq g:X\to Y$ なら $f^*=g^*$ で、可縮な $X$ では $H^0(X;G)=G$、$H^n(X;G)=0$ $(n\ge1)$。
2. 道連結成分 $X_\alpha$ について $H^n(X;G)\cong\prod_\alpha H^n(X_\alpha;G)$（直積）。
3. Mayer–Vietoris 完全列: $\operatorname{int}U\cup\operatorname{int}V=X$ ならば

$$\cdots\to H^n(X;G)\to H^n(U;G)\oplus H^n(V;G)\to H^n(U\cap V;G)\xrightarrow{\ \delta\ }H^{n+1}(X;G)\to\cdots$$

が完全である。最初の写像は制限の組、二番目は $(\alpha,\beta)\mapsto\beta|_{U\cap V}-\alpha|_{U\cap V}$。

証明（命題 2.2）

(1) $P^*:C^{n+1}\to C^n$ を $P^*\varphi=\varphi\circ P$ とすると $\delta P^*+P^*\delta=(\partial P+P\partial)^*=g^*-f^*$ なので、余サイクル上で $g^*-f^*$ は余境界を与えます。空間の場合は 定理 4.1［特異ホモロジー］ の証明の鎖ホモトピーに適用します。一点の鎖複体は 命題 2.4［特異ホモロジー］ (3) の $\cdots\xrightarrow{1}\mathbb{Z}\xrightarrow{0}\mathbb{Z}\xrightarrow{1}\mathbb{Z}\xrightarrow{0}\mathbb{Z}$ で、$\operatorname{Hom}(-,G)$ を取ると $G\xrightarrow{0}G\xrightarrow{1}G\xrightarrow{0}\cdots$ なので $H^0=G$、他は $0$。

(2) $C_*(X)=\bigoplus_\alpha C_*(X_\alpha)$（命題 2.4［特異ホモロジー］ (1)）で、直和からの準同型は成分ごとの準同型の組（直積）です。

(3) 鎖複体の短完全列 $0\to C_*(U\cap V)\to C_*(U)\oplus C_*(V)\to C^{\mathcal U}_*(X)\to0$（定理 5.4［特異ホモロジー］ の証明のもの。$C^{\mathcal U}_n(X)=C_n(U)+C_n(V)$）は、各次数で右端が自由アーベル群（$U$ か $V$ に入る単体が基底）なので分裂します。分裂する短完全列に $\operatorname{Hom}(-,G)$ を施すと短完全列のままです。よってコチェイン複体の短完全列ができ、長完全列が得られます。残るのは $H^n(\operatorname{Hom}(C^{\mathcal U}_*,G))\cong H^n(X;G)$ です。定理 5.2［特異ホモロジー］ の証明は、包含 $\iota:C^{\mathcal U}_*\to C_*$ に対し鎖準同型 $\rho$ と $D$ を構成し、$\rho\iota=\mathrm{id}$、$\iota\rho=\mathrm{id}-\partial D-D\partial$ を示しています。(1) の議論で $\iota^*\rho^*=\mathrm{id}$、$\rho^*\iota^*$ は恒等写像と鎖ホモトピックなので、$\iota^*$ はコホモロジーの同型です。

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補題 2.3（滑らかな特異鎖によるコホモロジー）✓

滑らかな多様体 $M$ の滑らかな特異単体（$\Delta^n$ を含むアフィン平面の開集合上の滑らかな写像の制限 $\sigma:\Delta^n\to M$）で生成した部分複体を $C^\infty_*(M)\subset C_*(M)$ とし、$C^n_\infty(M;\mathbb{R})=\operatorname{Hom}(C^\infty_n(M),\mathbb{R})$ のコホモロジーを $H^n_\infty(M;\mathbb{R})$ とする。このとき 命題 2.2 の (1)（滑らかなホモトピーについて）・(2)・(3) は $H^n_\infty(M;\mathbb{R})$ についても成り立つ。

証明（補題 2.3）

定理 4.1［特異ホモロジー］ の柱体の鎖ホモトピー $P$ と、定理 5.2［特異ホモロジー］ の $S,T,D,\rho$ は、どれも特異単体に線形単体（アフィン写像）を合成して作られているので、$\sigma$ と（柱体の場合は）ホモトピー $F$ が滑らかなら、得られる鎖も滑らかです。したがって $C^\infty_*$ の上で同じ議論が通り、その双対のコホモロジーについて (1)（滑らかなホモトピーについて）・(2)・(3) が従います。

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注意 2.4

滑らかな多様体 $M$ では、滑らかな特異単体（$\Delta^n$ を含むアフィン平面の開集合上の滑らかな写像の制限 $\sigma:\Delta^n\to M$）だけで生成した部分複体 $C^\infty_*(M)\subset C_*(M)$ も考えます。定理 4.1［特異ホモロジー］ の柱体の鎖ホモトピー $P$ と、定理 5.2［特異ホモロジー］ の $S,T,D,\rho$ は、どれも特異単体に線形単体（アフィン写像）を合成して作られているので、$\sigma$ と（柱体の場合は）ホモトピー $F$ が滑らかなら、得られる鎖も滑らかです。したがって 命題 2.2 の (1)（滑らかなホモトピーについて）・(2)・(3) は $C^\infty_*$ の双対 $C^n_\infty(M;\mathbb{R})=\operatorname{Hom}(C^\infty_n(M),\mathbb{R})$ のコホモロジー $H^n_\infty(M;\mathbb{R})$ についても成り立ちます。

3. 普遍係数定理

$\operatorname{Hom}(-,G)$ は短完全列を短完全列に送るとは限りません。$0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to0$ に $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$ を施すと $0\to0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}$ となり、右端が全射になりません。このずれを測るのが $\operatorname{Ext}$ で、コホモロジーとホモロジーの差はちょうどこれで書けます。まず、無限生成の場合にも使える補題を用意します。

次の補題は、Ext を定義するときに「分解の核が自由アーベル群になる」ことを保証するために要ります。証明の方針は、基底の添字を少しずつ増やしながら部分群の基底を延ばしていき、Zorn の補題でそれ以上延ばせない状態（極大元）を取ると、それが全体になる、というものです。

補題 3.1（自由アーベル群の部分群は自由）✓

自由アーベル群 $F$ の部分群 $H$ は自由アーベル群である。

証明（補題 3.1）

$F$ の基底を $\{e_i\}_{i\in I}$ とし、$J\subseteq I$ に対し $F_J$ を $\{e_j\}_{j\in J}$ が生成する部分群とします。$(J,B)$（$B$ は $H\cap F_J$ の基底）の組全体に、$J\subseteq J'$ かつ $B\subseteq B'$ で順序を入れます。$(\varnothing,\varnothing)$ があるので空でなく、鎖 $\{(J_\lambda,B_\lambda)\}$ に対して $(\bigcup J_\lambda,\bigcup B_\lambda)$ は上界です（$\bigcup B_\lambda$ の有限個の元は一つの $B_\lambda$ に入るので一次独立で、$H\cap F_{\bigcup J_\lambda}$ の元は有限個の $e_j$ しか使わないので、ある $F_{J_\lambda}$ に入り、$B_\lambda$ で書ける）。Zorn の補題 定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］ により極大元 $(J,B)$ があります。$J\ne I$ と仮定し $i\notin J$、$J'=J\cup\{i\}$ とします。$e_i$ の係数を取る準同型 $c:H\cap F_{J'}\to\mathbb{Z}$ の像は $d\mathbb{Z}$ の形です。$d=0$ なら $H\cap F_{J'}=H\cap F_J$ で $(J',B)$ が $(J,B)$ より大きく、$d\ne0$ なら $c(h)=d$ となる $h$ を取ると $B\cup\{h\}$ が $H\cap F_{J'}$ の基底です（定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ の証明と同じ議論）。どちらも極大性に反するので $J=I$、すなわち $B$ は $H$ の基底です。

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アーベル群 $A$ の自由分解とは、自由アーベル群の短完全列 $0\to F_1\xrightarrow{i}F_0\to A\to0$ のことです。$A$ の生成系の上の自由アーベル群 $F_0\to A$ を取れば、その核 $F_1$ は 補題 3.1 で自由なので、自由分解は必ず存在します。

定義 3.2（Ext）↗

自由分解 $0\to F_1\xrightarrow{i}F_0\to A\to0$ に対し

$$\operatorname{Ext}(A,G)=\operatorname{coker}\bigl(i^*:\operatorname{Hom}(F_0,G)\to\operatorname{Hom}(F_1,G)\bigr)$$

と定める。

補題 3.3（Ext は分解によらない）✓

$\operatorname{Ext}(A,G)$ は自由分解の取り方によらず、標準的な同型を除いて定まる。また $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}^r,G)=0$、$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/m,G)\cong G/mG$、$\operatorname{Ext}(A\oplus B,G)\cong\operatorname{Ext}(A,G)\oplus\operatorname{Ext}(B,G)$。

証明（補題 3.3）

二つの自由分解 $(F_1\xrightarrow{i}F_0)$、$(F'_1\xrightarrow{i'}F'_0)$ を取ります。$F_0$ の基底の像を $F'_0$ に持ち上げて、$A$ 上の恒等写像を覆う $\alpha_0:F_0\to F'_0$ を作ると、$\alpha_0(F_1)\subseteq\ker(F'_0\to A)=F'_1$ なので $\alpha_1=\alpha_0|_{F_1}$ が得られます。$\alpha_1^*$ は $i'^*$ の像を $i^*$ の像に写す（$\alpha_1^*i'^*\psi=i^*\alpha_0^*\psi$）ので、余核の間の写像 $\bar\alpha$ を誘導します。別の持ち上げ $\alpha'_0$ では $\alpha_0-\alpha'_0$ が $F'_1$ に値を取り、$s=\alpha_0-\alpha'_0:F_0\to F'_1$ について $\alpha_1-\alpha'_1=s\circ i$ なので $(\alpha_1-\alpha'_1)^*=i^*s^*$ は $i^*$ の像に入り、$\bar\alpha=\bar\alpha'$。したがって $\bar\alpha$ は持ち上げによらず、逆向きの持ち上げとの合成は恒等写像の持ち上げなので恒等写像を誘導します。よって $\bar\alpha$ は同型です。

計算: $\mathbb{Z}^r$ には分解 $0\to0\to\mathbb{Z}^r$ があり $\operatorname{Ext}=0$。$\mathbb{Z}/m$ には $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{m}\mathbb{Z}$ があり、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},G)=G$ 上で $i^*$ は $m$ 倍なので余核は $G/mG$。直和は分解の直和を取ればよいです。

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定理 3.4（普遍係数定理）✓

$C_*$ を自由アーベル群の鎖複体、$G$ をアーベル群とする。各 $n$ について分裂する短完全列

$$0\to\operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),G)\to H^n(C;G)\xrightarrow{\ h\ }\operatorname{Hom}(H_n(C),G)\to0$$

が存在する。ここで $h[\varphi]([z])=\varphi(z)$。特に $H^n(X;G)\cong\operatorname{Hom}(H_n(X),G)\oplus\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$。

証明の方針は次のとおりです。$\operatorname{Hom}(-,G)$ は一般には完全性を壊しますが、分裂する短完全列は壊しません。そこで鎖複体を「サイクルの部分」と「境界の部分」に分けた分裂する短完全列に $\operatorname{Hom}(-,G)$ を施し、得られる長完全列の連結準同型を具体的に計算します。その余核として Ext が現れ、核として $\operatorname{Hom}(H_n,G)$ が現れます。

証明（定理 3.4）

$h$ は well-defined です（$\varphi$ が余サイクルなら境界の上で $0$、$\varphi=\delta\psi$ ならサイクル上で $0$）。$Z_n=\ker\partial_n$、$B_n=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ とします。$B_{n-1}\subseteq C_{n-1}$ は 補題 3.1 で自由なので、$0\to Z_n\to C_n\xrightarrow{\partial}B_{n-1}\to0$ は分裂し、$\operatorname{Hom}(-,G)$ を施しても短完全です。$Z_*$ と $B_{*-1}$ を境界 $0$ の鎖複体と見ると、これは鎖複体の短完全列で、コチェインの長完全列

$$\cdots\to\operatorname{Hom}(Z_{n-1},G)\xrightarrow{\ \delta'\ }\operatorname{Hom}(B_{n-1},G)\to H^n(C;G)\to\operatorname{Hom}(Z_n,G)\xrightarrow{\ \delta'\ }\operatorname{Hom}(B_n,G)\to\cdots$$

を得ます（$Z,B$ 側は微分が $0$ なのでコホモロジーは $\operatorname{Hom}$ そのもの）。連結準同型 $\delta'$ を計算します。$\varphi\in\operatorname{Hom}(Z_n,G)$ を分裂を使って $\tilde\varphi\in\operatorname{Hom}(C_n,G)$ に延ばし、$\delta\tilde\varphi=\tilde\varphi\circ\partial$ を取ると、これは $C_{n+1}\xrightarrow{\partial}B_n$ と $\varphi|_{B_n}$ の合成です。つまり $\delta'$ は包含 $i_n:B_n\to Z_n$ の双対 $i_n^*$（制限）です。長完全列から短完全列

$$0\to\operatorname{coker}i_{n-1}^*\to H^n(C;G)\to\ker i_n^*\to0$$

が得られます。$\ker i_n^*$ は $B_n$ 上で $0$ になる $Z_n\to G$、すなわち $\operatorname{Hom}(H_n,G)$ で、写像 $H^n\to\ker i_n^*$ は余サイクルの $Z_n$ への制限なので $h$ です。$0\to B_{n-1}\to Z_{n-1}\to H_{n-1}\to0$ は自由分解なので $\operatorname{coker}i_{n-1}^*=\operatorname{Ext}(H_{n-1},G)$ です。

分裂: $p:C_n\to Z_n$ を分裂のレトラクション、$q:Z_n\to H_n$ を商写像とし、$f\in\operatorname{Hom}(H_n,G)$ に $\varphi=f\circ q\circ p$ を対応させます。$\partial c\in B_n$ では $p(\partial c)=\partial c$、$q(\partial c)=0$ なので $\varphi$ は余サイクルで、$h[\varphi]=f$。よって $f\mapsto[\varphi]$ は $h$ の切断です。

∎

普遍係数定理は「コホモロジーはホモロジーから決まる」と言っています。それでもコホモロジーを考える価値があるのは、次節のカップ積が群の同型だけでは見えない情報を運ぶからです。

系 3.5（有限生成の場合）✓

$H_n(X)\cong\mathbb{Z}^{b_n}\oplus T_n$（$T_n$ は有限群）がすべての $n$ で成り立つとき、$H^n(X;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{b_n}\oplus T_{n-1}$。また $\mathbb{Q}$ 係数や $\mathbb{R}$ 係数では $H^n(X;F)\cong\operatorname{Hom}(H_n(X),F)$。

証明（系 3.5）

系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ で $T_{n-1}\cong\bigoplus\mathbb{Z}/m_j$ と書きます。$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})=0$、$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/m$、$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},-)=0$（補題 3.3）を 定理 3.4 に代入します。$F=\mathbb{Q},\mathbb{R}$ では $F/mF=0$ なので Ext の項が消えます。

∎

例 3.6（実射影平面のコホモロジー）

例 3.6［胞体ホモロジーと写像度］ より $H_0(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$。系 3.5 から $H^0(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$、$H^1=0$、$H^2=\mathbb{Z}/2$ です。ホモロジーの 1 次にあったねじれが、コホモロジーでは 2 次に現れます。$\mathbb{Z}/2$ 係数では $H^1=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$、$H^2=\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ となり、どの次数にも $\mathbb{Z}/2$ が一つずつ現れます。

4. カップ積

この節では係数を単位元をもつ可換環 $R$（$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/p$, $\mathbb{R}$ など）とします。$n$ 単体 $\sigma$ と $0\le a\le b\le n$ に対し、$\sigma|[e_a,\dots,e_b]$ を、$\sigma$ を頂点 $e_a,\dots,e_b$ の張る面に制限し $\Delta^{b-a}$ と同一視した $(b-a)$ 単体とします（$\sigma$ の「前の面」「後ろの面」）。

定義 4.1（カップ積）↗

$\varphi\in C^k(X;R)$、$\psi\in C^l(X;R)$ に対し、$\varphi\smile\psi\in C^{k+l}(X;R)$ を

$$(\varphi\smile\psi)(\sigma)=\varphi\bigl(\sigma|[e_0,\dots,e_k]\bigr)\,\psi\bigl(\sigma|[e_k,\dots,e_{k+l}]\bigr)$$

で定める。

カップ積の定義。n = 5, k = 2, l = 3 の場合。σ の頂点 e₀, …, e₅ を順に並べると、φ は前の k 面（e₀ から e₂）に、ψ は後ろの l 面（e₂ から e₅）に値を取り、両者は頂点 e₂ だけを共有する。

命題 4.2（カップ積の基本性質）✓

1. $\delta(\varphi\smile\psi)=\delta\varphi\smile\psi+(-1)^k\varphi\smile\delta\psi$（$\varphi\in C^k$）。
2. $\smile$ は結合的で、すべての点で値 $1$ を取る $0$ コチェイン $1$ が単位元。
3. 連続写像 $f$ について $f^*(\varphi\smile\psi)=f^*\varphi\smile f^*\psi$。
4. したがって $[\varphi][\psi]=[\varphi\smile\psi]$ により $H^*(X;R)=\bigoplus_nH^n(X;R)$ は単位元をもつ次数付き環になり、$f^*$ は環準同型である。

(1) は積の微分則（ライプニッツ則）のコチェイン版で、このあと (4) でコホモロジーに積が定まる理由になります。証明では、$\delta(\varphi\smile\psi)$ の頂点を一つ抜く項を、$\varphi$ 側で抜く項と $\psi$ 側で抜く項に分けて並べます。共有する頂点 $e_k$ の前後の二項だけが符号違いで打ち消し合い、残りがそれぞれ $\delta\varphi\smile\psi$ と $(-1)^k\varphi\smile\delta\psi$ になります。

証明（命題 4.2）

(1) $(k+l+1)$ 単体 $\sigma$ に対し、$\sigma$ の第 $i$ 面を $\sigma_i$ と書くと

$$(\delta\varphi\smile\psi)(\sigma)=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\varphi\bigl(\sigma|[e_0..\widehat{e_i}..e_{k+1}]\bigr)\psi\bigl(\sigma|[e_{k+1}..e_{k+l+1}]\bigr),$$$$(-1)^k(\varphi\smile\delta\psi)(\sigma)=\sum_{i=k}^{k+l+1}(-1)^i\varphi\bigl(\sigma|[e_0..e_k]\bigr)\psi\bigl(\sigma|[e_k..\widehat{e_i}..e_{k+l+1}]\bigr).$$

第一式の $i=k+1$ の項と第二式の $i=k$ の項は、どちらも $\varphi(\sigma|[e_0..e_k])\psi(\sigma|[e_{k+1}..e_{k+l+1}])$ に符号 $(-1)^{k+1}$ と $(-1)^k$ を掛けたもので、打ち消し合います。残りの項の和は $\sum_i(-1)^i(\varphi\smile\psi)(\sigma_i)=(\varphi\smile\psi)(\partial\sigma)=\delta(\varphi\smile\psi)(\sigma)$ です。

(2) $((\varphi\smile\psi)\smile\chi)(\sigma)$ と $(\varphi\smile(\psi\smile\chi))(\sigma)$ はどちらも $\varphi(\sigma|[e_0..e_k])\psi(\sigma|[e_k..e_{k+l}])\chi(\sigma|[e_{k+l}..e_{k+l+m}])$。単位元は定義から明らか。(3) $(f\circ\sigma)|[\dots]=f\circ(\sigma|[\dots])$ から。

(4) (1) から、余サイクルどうしの積は余サイクルで、$\delta\varphi=0$ なら $\varphi\smile\delta\psi=(-1)^k\delta(\varphi\smile\psi)$、$\delta\psi=0$ なら $\delta\varphi\smile\psi=\delta(\varphi\smile\psi)$ なので、余境界を足しても積の類は変わりません。

∎

$H^*(X;R)$ の積は、$\varphi\smile\psi$ と $\psi\smile\varphi$ がコチェインのレベルでは一致しないにもかかわらず、コホモロジーでは符号を除いて可換になります。それを示すために、自然な鎖ホモトピーを作る一般的な補題を用意します。

補題 4.3（自然な鎖準同型の比較）✓

各空間 $X$ に鎖準同型 $\phi_X,\psi_X:C_*(X)\to C_*(X)$ が与えられ、連続写像 $f$ と可換（$f_\sharp\phi_X=\phi_Yf_\sharp$、$\psi$ も同様）で、$0$ 次では $\varepsilon\phi=\varepsilon\psi$ とする。このとき自然な準同型 $D_X:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ で $\partial D+D\partial=\psi-\phi$ を満たすものが存在する。

証明（補題 4.3）

$\iota_n\in C_n(\Delta^n)$ を恒等写像 $\Delta^n\to\Delta^n$ とします。任意の特異単体は $\sigma=\sigma_\sharp\iota_n$ と書けるので、$D(\iota_n)\in C_{n+1}(\Delta^n)$ を決めて $D(\sigma)=\sigma_\sharp D(\iota_n)$ と定めれば $D$ は自然です。$n$ に関する帰納法で、$\partial D(\iota_n)=\psi(\iota_n)-\phi(\iota_n)-D(\partial\iota_n)$ となるように選びます。$n=0$: $\Delta^0$ は一点で、$c=\psi(\iota_0)-\phi(\iota_0)\in C_0(\Delta^0)\cong\mathbb{Z}$ は $\varepsilon c=0$ なので $c=0$、$D(\iota_0)=0$ とします。$n\ge1$: $c=\psi(\iota_n)-\phi(\iota_n)-D(\partial\iota_n)$ とおくと、帰納法の仮定（$n-1$ 次で $\partial D=\psi-\phi-D\partial$）から

$$\partial c=\psi(\partial\iota_n)-\phi(\partial\iota_n)-\bigl(\psi(\partial\iota_n)-\phi(\partial\iota_n)-D(\partial\partial\iota_n)\bigr)=0.$$

$\Delta^n$ は凸なので可縮で $H_n(\Delta^n)=0$（系 4.2［特異ホモロジー］）、よって $c=\partial b$ となる $b$ があり、$D(\iota_n)=b$ とします。自然性から等式は任意の $\sigma=\sigma_\sharp\iota_n$ でも成り立ちます。

∎

定理 4.4（カップ積の次数付き可換性）✓

$\alpha\in H^k(X;R)$、$\beta\in H^l(X;R)$ に対し $\alpha\beta=(-1)^{kl}\beta\alpha$。

証明の方針は次のとおりです。コチェインのレベルでは $\varphi\smile\psi$ と $\psi\smile\varphi$ は等しくありませんが、単体の頂点の順序を逆にすると「前の面」と「後ろの面」が入れ替わります。頂点を逆順にする操作に符号 $\varepsilon_n$ を付けたものは、境界作用素と可換になる（鎖準同型になる）ように選んだ符号で、恒等写像と鎖ホモトピックです。そのため、順序を逆にしてもコホモロジー類は変わらず、積の順序を入れ替えたときに生じる符号だけが残ります。

証明（定理 4.4）

$r_n:\Delta^n\to\Delta^n$ を頂点の順序を逆にするアフィン写像（$e_i\mapsto e_{n-i}$）とし、$\bar\sigma=\sigma\circ r_n$、$\varepsilon_n=(-1)^{n(n+1)/2}$、$\rho(\sigma)=\varepsilon_n\bar\sigma$ とします。

$\rho$ は鎖準同型: $r_n$ と第 $i$ 面の包含の合成は、第 $(n-i)$ 面の包含と $r_{n-1}$ の合成に等しい（頂点の行き先を比べればよい）ので $(\bar\sigma)_i=\overline{\sigma_{n-i}}$。よって

$$\partial\rho\sigma=\varepsilon_n\sum_i(-1)^i\overline{\sigma_{n-i}}=\varepsilon_n\sum_j(-1)^{n-j}\overline{\sigma_j},\qquad \rho\partial\sigma=\varepsilon_{n-1}\sum_j(-1)^j\overline{\sigma_j}$$

で、$\varepsilon_n(-1)^n=\varepsilon_{n-1}$ から一致します。$\rho$ は自然で、$0$ 次では恒等写像です。補題 4.3 により $\rho$ は恒等写像と鎖ホモトピックで、命題 2.2 (1) から $\rho^*$ はコホモロジー上で恒等写像です。

次に $n=k+l$ とし、頂点を数えると $\bar\sigma|[e_0..e_k]=\overline{\sigma|[e_l..e_n]}$、$\bar\sigma|[e_k..e_n]=\overline{\sigma|[e_0..e_l]}$ です。したがって

$$\rho^*(\varphi\smile\psi)(\sigma)=\varepsilon_n\,\varphi\bigl(\overline{\sigma|[e_l..e_n]}\bigr)\psi\bigl(\overline{\sigma|[e_0..e_l]}\bigr)=\varepsilon_n\varepsilon_k\varepsilon_l\,(\rho^*\psi\smile\rho^*\varphi)(\sigma)$$

（$R$ の可換性を使った）。$\varepsilon_n\varepsilon_k\varepsilon_l=(-1)^{[(k+l)(k+l+1)-k(k+1)-l(l+1)]/2}=(-1)^{kl}$。余サイクル $\varphi,\psi$ について類を取れば、$\rho^*=\mathrm{id}$ から $[\varphi][\psi]=(-1)^{kl}[\psi][\varphi]$。

∎

例 4.5（微分形式のウェッジ積との類似）

de Rham コホモロジーにはウェッジ積による積があり（命題 2.2［de Rham コホモロジー］ (4)）、$\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha$ はコチェインのレベルで成り立ちます。トーラス $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ では、$dx,dy$ が $H^1_{\mathrm{dR}}(T^2)\cong\mathbb{R}^2$ の基底を与え（例 5.5［de Rham コホモロジー］）、$[dx][dy]=[dx\wedge dy]$ は $\int_{T^2}dx\wedge dy=1\ne0$ なので $H^2$ の生成元です（Stokes の定理 系 6.2［ストークスの定理］ により完全形式の積分は $0$）。一方 $[dx]^2=0$。特異コホモロジーのカップ積は、この構造を任意の空間・任意の係数に広げたものです。

注意 4.6

次節の de Rham の同型 $H^*_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^*(M;\mathbb{R})$ は、ウェッジ積をカップ積に写す環同型であることが知られています（参考文献の Bott–Tu, Lee）。本記事ではベクトル空間としての同型だけを証明し、積の両立は使いません。

カップ積は「単体を前の面と後ろの面に分け、両方にコチェインを食わせる」積でした。後ろの面を食わせずに鎖として残すと、コホモロジー類がホモロジー類に作用する積が得られます。整数係数の Poincaré 双対はこの積で述べられます。$C_n(X;R)$ を特異 $n$ 単体を基底とする自由 $R$ 加群とし（$R=\mathbb{Z}$ なら $C_n(X)$）、境界作用素は同じ式とします。そのホモロジーが $H_n(X;R)$ です。

定義 4.7（キャップ積）↗

$\sigma$ を特異 $n$ 単体、$\varphi\in C^k(X;R)$（$k\le n$）とし、

$$\sigma\frown\varphi=\varphi\bigl(\sigma|[e_0,\dots,e_k]\bigr)\,\sigma|[e_k,\dots,e_n]\in C_{n-k}(X;R)$$

を $R$ 線形に延ばして $C_n(X;R)\times C^k(X;R)\to C_{n-k}(X;R)$ を定める（$k>n$ では $0$ と定める）。これをキャップ積（cap 積）という。

命題 4.8（キャップ積の基本性質）✓

$a\in C_n(X;R)$、$\varphi\in C^k(X;R)$ とする。

1. $\partial(a\frown\varphi)=(-1)^k\bigl(\partial a\frown\varphi-a\frown\delta\varphi\bigr)$。
2. したがってキャップ積は $H_n(X;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X;R)$、$([a],[\varphi])\mapsto[a\frown\varphi]$ を誘導する。
3. $\psi\in C^{n-k}(X;R)$ について $\psi(a\frown\varphi)=(\varphi\smile\psi)(a)$。$k=n$ では $a\frown\varphi$ は $0$ 鎖で、その係数の和は $\varphi(a)$ に等しい。
4. $\psi\in C^l(X;R)$ について $(a\frown\varphi)\frown\psi=a\frown(\varphi\smile\psi)$。
5. 連続写像 $f:X\to Y$ と $\varphi\in C^k(Y;R)$ について $f_\sharp(a\frown f^*\varphi)=f_\sharp a\frown\varphi$。

証明（命題 4.8）

どれも $R$ 線形なので $a=\sigma$（特異 $n$ 単体）で確かめれば十分です。

(1) $k=n$ なら、左辺は $0$ 鎖の境界で $0$、右辺の二つの項も次数の規約で $0$ なので、$k<n$ とします。$\sigma$ の第 $i$ 面を $\sigma_i$ とします。$i\le k$ なら $\sigma_i$ の前の $k$ 面は $\sigma|[e_0..\widehat{e_i}..e_{k+1}]$、後ろの面は $\sigma|[e_{k+1}..e_n]$ で、$i>k$ なら前の面は $\sigma|[e_0..e_k]$、後ろの面は $\sigma|[e_k..\widehat{e_i}..e_n]$ です。よって

$$\partial\sigma\frown\varphi=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\varphi\bigl(\sigma|[e_0..\widehat{e_i}..e_{k+1}]\bigr)\sigma|[e_{k+1}..e_n]+\sum_{i=k+1}^{n}(-1)^i\varphi\bigl(\sigma|[e_0..e_k]\bigr)\sigma|[e_k..\widehat{e_i}..e_n].$$

一方 $\sigma\frown\delta\varphi=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\varphi\bigl(\sigma|[e_0..\widehat{e_i}..e_{k+1}]\bigr)\sigma|[e_{k+1}..e_n]$ です。差を取ると $i\le k$ の項が消え、$\sigma\frown\delta\varphi$ の $i=k+1$ の項が符号を変えて残ります。$\sigma|[e_0..e_k]$ は $\sigma|[e_0..\widehat{e_{k+1}}..e_{k+1}]$ と同じなので

$$\partial\sigma\frown\varphi-\sigma\frown\delta\varphi=\varphi\bigl(\sigma|[e_0..e_k]\bigr)\sum_{i=k}^{n}(-1)^i\sigma|[e_k..\widehat{e_i}..e_n]$$

で、右辺の和は $(n-k)$ 単体 $\sigma|[e_k..e_n]$ の境界に $(-1)^k$ を掛けたものです（その第 $j$ 面は $\sigma|[e_k..\widehat{e_{k+j}}..e_n]$）。よって右辺は $(-1)^k\partial(\sigma\frown\varphi)$ です。

(2) $\partial a=0$、$\delta\varphi=0$ なら (1) から $\partial(a\frown\varphi)=0$。$a=\partial b$ なら $\partial(b\frown\varphi)=(-1)^k(a\frown\varphi)$ で境界です。$\varphi=\delta\eta$（$\eta\in C^{k-1}$）なら、(1) を $\eta$ に使って $a\frown\delta\eta=\partial a\frown\eta-(-1)^{k-1}\partial(a\frown\eta)=(-1)^k\partial(a\frown\eta)$（$\partial a=0$ を使った）で境界です。よって類は代表元によりません。

(3) $\psi(\sigma\frown\varphi)=\varphi(\sigma|[e_0..e_k])\psi(\sigma|[e_k..e_n])=(\varphi\smile\psi)(\sigma)$（定義 4.1）。$k=n$ なら $\sigma\frown\varphi=\varphi(\sigma)\,\sigma|[e_n]$ です。

(4) $\tau=\sigma|[e_k..e_n]$ の前の $l$ 面は $\sigma|[e_k..e_{k+l}]$、後ろの面は $\sigma|[e_{k+l}..e_n]$ なので、

$$(\sigma\frown\varphi)\frown\psi=\varphi(\sigma|[e_0..e_k])\psi(\sigma|[e_k..e_{k+l}])\,\sigma|[e_{k+l}..e_n]=(\varphi\smile\psi)(\sigma|[e_0..e_{k+l}])\,\sigma|[e_{k+l}..e_n].$$

(5) $(f\circ\sigma)|[\dots]=f\circ(\sigma|[\dots])$ から、両辺とも $\varphi\bigl(f\sigma|[e_0..e_k]\bigr)\,f\sigma|[e_k..e_n]$ です。

∎

(3) は、キャップ積がカップ積と Kronecker 積 $\langle\varphi,a\rangle=\varphi(a)$ について随伴であること、すなわち $\langle\psi,a\frown\varphi\rangle=\langle\varphi\smile\psi,a\rangle$ を表しています。向き付けられた閉 $n$ 次元多様体 $M$ の基本類 $[M]\in H_n(M;\mathbb{Z})$（多様体全体を一度おおう $n$ 次元のホモロジー類のこと）に対し、$[M]\frown-:H^k(M;\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$ が同型になる、というのが整数係数の Poincaré 双対です（注意 6.7）。

5. de Rham の定理

以下 $M$ は滑らかな多様体（Hausdorff・第二可算）です。$\Delta^k$ を座標 $(t_1,\dots,t_k)$ により $\{x\in\mathbb{R}^k:x_i\ge0,\ \sum x_i\le1\}$ と同一視します（頂点 $e_0\mapsto0$、$e_i\mapsto$ 第 $i$ 単位ベクトル）。第 $i$ 面の包含 $F_i:\Delta^{k-1}\to\Delta^k$ はアフィン写像です。

定義 5.1（積分写像）↗

$\omega\in\Omega^k(M)$ と滑らかな特異 $k$ 単体 $\sigma$（補題 2.3）に対し

$$I(\omega)(\sigma)=\int_{\Delta^k}\sigma^*\omega$$

と定める。右辺は $\sigma^*\omega=f\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_k$ のとき $\int_{\Delta^k}f\,dx$ のこと、$k=0$ では $I(f)(\sigma)=f(\sigma(e_0))$ とする。線形に延ばして $I:\Omega^k(M)\to C^k_\infty(M;\mathbb{R})$ を得る。

補題 5.2（単体上の Stokes の公式）✓

$k\ge1$ とし、$\eta$ を $\Delta^k$ の近傍で定義された滑らかな $(k-1)$ 形式とする。このとき

$$\int_{\Delta^k}d\eta=\sum_{i=0}^k(-1)^i\int_{\Delta^{k-1}}F_i^*\eta.$$

したがって $I(d\omega)=\delta I(\omega)$ であり、$I$ はコチェイン写像である。

証明（補題 5.2）

線形性から $\eta=f\,dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_j}\cdots\wedge dx_k$ の場合を示せば十分です。$d\eta=(-1)^{j-1}\partial_jf\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_k$。$x_j$ 以外の座標を $x'$、$s=\sum_{i\ne j}x_i$、$D=\{x'\ge0,\ s\le1\}$ とし、$x_j$ について先に積分すると（Fubini）

$$\int_{\Delta^k}d\eta=(-1)^{j-1}\int_D\bigl(f|_{x_j=1-s}-f|_{x_j=0}\bigr)\,dx'.$$

右辺を各面について計算します。$i\ge1$ の面 $F_i$ の像は超平面 $x_i=0$ にあるので $F_i^*dx_i=0$ です。よって $i\ne j$ ($i\ge1$) の項は $0$。$i=j$ の項: $F_j$ は $u\mapsto(u_1,..,u_{j-1},0,u_j,..,u_{k-1})$ で、$F_j^*\eta=f|_{x_j=0}\,du$、その項は $(-1)^j\int_Df|_{x_j=0}$。$i=0$ の項: $F_0$ は $x_1=1-\sum u_m$、$x_{m+1}=u_m$ です。$j=1$ なら $F_0^*\eta=f(F_0(u))\,du$。$j\ge2$ なら $F_0^*dx_1=-\sum_mdu_m$ から

$$F_0^*(dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_j}\cdots\wedge dx_k)=-du_{j-1}\wedge du_1\wedge\cdots\widehat{du_{j-1}}\cdots\wedge du_{k-1}=(-1)^{j-1}du_1\wedge\cdots\wedge du_{k-1}.$$

いずれの場合も $\int F_0^*\eta=(-1)^{j-1}\int_{\Delta^{k-1}}f(F_0(u))\,du$ で、変数変換 $u\mapsto x'$（行列式 $\pm1$ のアフィン写像で $\Delta^{k-1}$ を $D$ に写し、$x_j=u_{j-1}=1-s$）により $(-1)^{j-1}\int_Df|_{x_j=1-s}$ に等しい。合計すると左辺と一致します。

後半: $\sigma$ の第 $i$ 面は $\sigma\circ F_i$ なので、$I(d\omega)(\sigma)=\int_{\Delta^k}d(\sigma^*\omega)=\sum_i(-1)^i\int(\sigma F_i)^*\omega=I(\omega)(\partial\sigma)=\delta I(\omega)(\sigma)$（$k=1$ では微積分学の基本定理そのもの）。

∎

de Rham の定理と Poincaré 双対は、どちらも「小さな開集合で成り立つ同型を、Mayer–Vietoris 完全列と五項補題で大きな開集合へ広げる」という同じ論法で証明します。その骨組みを先に補題として取り出します。

補題 5.3（Mayer–Vietoris 論法）✓

$X$ を滑らかな多様体、$\mathfrak{B}$ を $X$ の開集合からなる位相の基底で有限個の共通部分で閉じたものとする。$X$ の開集合に関する性質 $P$ が次を満たすとする。 (a) $P(\varnothing)$ が成り立ち、$U\in\mathfrak{B}$ なら $P(U)$。 (b) 開集合 $U,V$ について $P(U)$, $P(V)$, $P(U\cap V)$ ならば $P(U\cup V)$。 (c) 互いに素な開集合の族 $\{U_i\}$ について、すべての $i$ で $P(U_i)$ ならば $P(\bigsqcup_iU_i)$。 このとき $P(X)$ が成り立つ。

証明の方針は、まず基底の元の有限個の合併で成り立つことを帰納法で示し、次に $X$ を殻状のコンパクト集合 $C_i$ に分けて、奇数番目と偶数番目の殻をそれぞれ「互いに素な合併」にまとめる、というものです。それぞれの合併で (b) と (c) を使うと、全体に届きます。

証明（補題 5.3）

第 1 段. $\mathfrak{B}$ の元 $m$ 個の合併について $P$ が成り立つことを $m$ の帰納法で示します。$W=U_1\cup\cdots\cup U_{m-1}$ とすると、$W\cap U_m=\bigcup_{i<m}(U_i\cap U_m)$ は $\mathfrak{B}$ の元 $m-1$ 個の合併なので、帰納法の仮定と (b) から $P(W\cup U_m)$。

第 2 段. 補題 6.2［部分多様体と正則値定理］ のコンパクト集合の列 $K_1\subset K_2\subset\cdots$（$K_j\subset\operatorname{int}K_{j+1}$、$K_j=\varnothing$ ($j\le0$)）を取り、

$$C_i=K_{2i}\setminus\operatorname{int}K_{2i-2},\qquad O_i=\operatorname{int}K_{2i+1}\setminus K_{2i-3}\qquad(i\ge1)$$

とします。$C_i$ はコンパクトで、$K_{2i-3}\subset\operatorname{int}K_{2i-2}$ から $C_i\subset O_i$、また $\bigcup C_i=X$ です（$x\in K_{2i}$ となる最小の $i$ を取る）。$j\ge i+2$ なら $O_j\cap K_{2i+1}=\varnothing$ なので $O_i\cap O_j=\varnothing$。$\mathfrak{B}$ は基底なので、$C_i$ は $O_i$ に含まれる $\mathfrak{B}$ の元の有限個で覆えます。その合併を $V_i$ とします。$A=\bigcup_{i\,\text{奇数}}V_i$、$B=\bigcup_{i\,\text{偶数}}V_i$ はそれぞれ互いに素な $V_i$ の合併で、$A\cap B=\bigcup_i(V_i\cap V_{i+1})$ も互いに素な合併です（$V_i\cap V_{i+1}$ と $V_{i+1}\cap V_{i+2}$ の共通部分は $V_i\cap V_{i+2}=\varnothing$ に含まれる）。各 $V_i$ と各 $V_i\cap V_{i+1}$ は $\mathfrak{B}$ の元の有限個の合併なので第 1 段から $P$ をみたし、(c) から $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$、(b) から $P(A\cup B)=P(X)$ です。

∎

第 2 段の分割。コンパクトな殻 C_i を覆う V_i は隣どうしとしか交わらないので、奇数番目の合併 A と偶数番目の合併 B に分けると、A・B・A∩B はどれも互いに素な合併になる。

定理 5.4（de Rham の定理）✓

滑らかな多様体 $M$ と各 $k$ について、

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\xrightarrow{\ I\ }H^k_\infty(M;\mathbb{R})\xleftarrow{\ \iota^*\ }H^k(M;\mathbb{R})$$

はどちらも同型である（$\iota:C^\infty_*\to C_*$ は包含）。したがって $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k(M;\mathbb{R})$ で、同型は滑らかな写像と可換である。

証明（定理 5.4）

開集合 $U\subseteq M$ について、$P(U)$ を「$U$ 上で $I$ と $\iota^*$ がすべての次数で同型」とします。三つのコホモロジーは滑らかな写像について関手的で、$I$, $\iota^*$ はそれと可換なので、$P$ は微分同相で保たれます。

(b) $U,V$ を開集合とします。de Rham の Mayer–Vietoris 完全列 定理 4.3［de Rham コホモロジー］ は形式の短完全列 $0\to\Omega(U\cup V)\to\Omega(U)\oplus\Omega(V)\to\Omega(U\cap V)\to0$ から、$H^*_\infty$ の Mayer–Vietoris 完全列（命題 2.2 (3) と 補題 2.3）はコチェインの短完全列から来ます。$I$ は制限と可換なので、二つの短完全列の間のコチェイン写像を与えます（$U\cup V$ では $I$ の後に小さい単体への制限を合成する）。連結準同型の自然性（定理 3.1［特異ホモロジー］）から、二つの長完全列の間の可換図式が得られます。$\iota^*$ についても同様です。$P(U),P(V),P(U\cap V)$ なら、五項補題 補題 3.3［特異ホモロジー］ から $P(U\cup V)$。

(c) 互いに素な合併では、三つのコホモロジーはどれも成分のコホモロジーの直積で（命題 2.2 (2)。形式も成分ごとの組）、$I,\iota^*$ も成分ごとなので $P$ は保たれます。

(a) 凸開集合 $U\subseteq\mathbb{R}^n$ では、de Rham コホモロジーは Poincaré の補題 定理 3.4［de Rham コホモロジー］ から $0$ 次の $\mathbb{R}$（定数関数）だけです。特異コホモロジーと滑らかな特異コホモロジーも、直線ホモトピー $F(x,t)=(1-t)x+tx_0$（滑らか）による 命題 2.2 (1) と 補題 2.3 から、$0$ 次の $\mathbb{R}$（定数コチェイン）だけです。$I(1)$ も $\iota^*1$ も定数コチェイン $1$ なので、$P(U)$ が成り立ちます。

以上を二段階で使います。まずチャート $(W,\varphi)$ の定義域 $W$ を多様体とみなし、$\mathfrak{B}_W=\{\varphi^{-1}(Q):Q\subseteq\varphi(W)$ は開直方体 $\prod(a_i,b_i)\}$ とします。直方体どうしの共通部分は直方体か空集合なので有限交叉で閉じ、各元は凸集合と微分同相です。補題 5.3 から、チャート定義域のすべての開集合で $P$ が成り立ちます。次に $M$ 上で、$\mathfrak{B}_M=\{$あるチャートの定義域に含まれる開集合$\}$ とすると、これは有限交叉で閉じた基底で、いま示したことから (a) を満たします。再び 補題 5.3 により $P(M)$ です。

∎

注意 5.5

証明から、同型 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k(M;\mathbb{R})$ は「閉形式 $\omega$ を、各滑らかな特異単体 $\sigma$ に $\int_\sigma\omega$ を返すコチェインと見る」ことで与えられます。系 3.5 と合わせると、$M$ のホモロジーが有限生成なら $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong\operatorname{Hom}(H_k(M),\mathbb{R})$ で、閉形式の類はサイクル上の積分（周期）で決まり、周期には $H_k(M)$ の自由部分の階数だけの自由度があります。たとえば 例 2.3［de Rham コホモロジー］ の角度形式は、$H_1(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})\cong\mathbb{Z}$ の生成元である単位円上の周期 $2\pi$ で特徴づけられます。

同じ Mayer–Vietoris 論法は、ファイバー束の全空間のコホモロジーの計算にも使えます。積空間 $M\times F$ なら「底空間のコホモロジーとファイバーのコホモロジーのテンソル積」になると期待されますが、ねじれた束ではそうなりません。全空間の上の大域的な閉形式が各ファイバーのコホモロジーの基底を与えるなら、ねじれていても積と同じ答えになる、というのが次の定理です。

以下、滑らかなファイバー束 $\pi:E\to M$（ファイバー $F$）とは、多様体の間の滑らかな全射で、各点の開近傍 $W$ と微分同相 $\pi^{-1}(W)\to W\times F$ で第 1 成分が $\pi$ に等しいもの（局所自明化）を持つものをいいます。各ファイバー $E_x=\pi^{-1}(x)$ は $F$ と微分同相な部分多様体で、包含を $j_x:E_x\to E$ と書きます。

定理 5.6（Leray–Hirsch の定理（de Rham 版））✓

$\pi:E\to M$ をファイバー $F$ の滑らかなファイバー束とし、$H^*_{\mathrm{dR}}(F)$ は有限次元とする。$E$ 上の閉形式 $e_1,\dots,e_r$（$e_j$ は $d_j$ 次）で、すべての $x\in M$ について $[j_x^*e_1],\dots,[j_x^*e_r]$ が $H^*_{\mathrm{dR}}(E_x)$ の基底になるものが存在するとする。このとき各 $k$ で

$$\Phi:\bigoplus_{j=1}^rH^{k-d_j}_{\mathrm{dR}}(M)\longrightarrow H^k_{\mathrm{dR}}(E),\qquad(\alpha_j)_j\mapsto\sum_j\pi^*\alpha_j\wedge[e_j]$$

は同型である。すなわち $H^*_{\mathrm{dR}}(E)$ は、$\pi^*$ で $H^*_{\mathrm{dR}}(M)$ 加群とみて、$[e_1],\dots,[e_r]$ を基底とする自由加群である。

証明（定理 5.6）

$\pi^*\alpha\wedge e_j$ は $d(\pi^*\alpha\wedge e_j)=\pi^*d\alpha\wedge e_j$（$e_j$ は閉）を満たすので、$\Phi$ は形式のレベルの写像 $(\alpha_j)\mapsto\sum\pi^*\alpha_j\wedge e_j$ から誘導され、閉形式・完全形式をそれぞれ閉形式・完全形式に送ります。$M$ の開集合 $U$ について、$E|_U=\pi^{-1}(U)\to U$ に $e_j|_{E|_U}$ を使った同じ写像を $\Phi_U$ とし、$P(U)$ を「すべての $k$ で $\Phi_U$ が同型」とします。補題 5.3 の条件を確かめます。$P(\varnothing)$ は両辺 $0$ で成り立ちます。

(b) $U,V$ を開集合とします。$\pi^{-1}(U\cup V)=\pi^{-1}(U)\cup\pi^{-1}(V)$、$\pi^{-1}(U\cap V)=\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V)$ です。$M$ 側の形式の短完全列（補題 4.2［de Rham コホモロジー］）を $j$ ごとに次数を $d_j$ ずらして直和したものから、$E$ 側の短完全列への写像 $(\alpha_j)\mapsto\sum\pi^*\alpha_j\wedge e_j$ は、制限と可換なので短完全列の間の可換図式を与えます。補題 4.1［de Rham コホモロジー］ の連結準同型は「持ち上げてから $d$ を取り、引き戻す」と定義されているので、左側の持ち上げをこの写像で送ったものは右側の持ち上げになり、連結準同型もこの写像と可換です。よって二つの Mayer–Vietoris 完全列（定理 4.3［de Rham コホモロジー］）の間の可換図式が得られ、$P(U),P(V),P(U\cap V)$ なら五項補題 補題 3.3［特異ホモロジー］ により $P(U\cup V)$ です。

(c) 互いに素な合併 $U=\bigsqcup U_i$ では、形式は成分ごとの組なので $H^k(U)=\prod_iH^k(U_i)$、$H^k(\pi^{-1}U)=\prod_iH^k(\pi^{-1}U_i)$ で、$\Phi_U$ は成分ごとです。$j$ についての直和は有限なので直積と交換し、$P(U_i)$ がすべての $i$ で成り立てば $P(U)$ です。

(a) $W$ を、チャート $\varphi:W\to\varphi(W)\subseteq\mathbb{R}^n$ の定義域で、局所自明化 $\pi^{-1}(W)\cong W\times F$ を持つ開集合とし、$U=\varphi^{-1}(Q)$（$Q\subseteq\varphi(W)$ は開直方体）とします。$U$ は凸集合 $Q$ と微分同相なので、Poincaré の補題 定理 3.4［de Rham コホモロジー］ から $H^*(U)$ は $0$ 次の $\mathbb{R}$（定数）だけで、$\Phi_U(c_1,\dots,c_r)=\sum_jc_j[e_j]$（$c_j$ は $d_j$ 次の成分に入る定数）です。一点 $u\in U$ を取ります。自明化で $\pi^{-1}(U)$ を $U\times F$、$E_u$ を $\{u\}\times F$ と同一視すると、$j_u:F\to U\times F$、$f\mapsto(u,f)$ と射影 $\mathrm{pr}:U\times F\to F$ について $\mathrm{pr}\circ j_u=\mathrm{id}$、また $j_u\circ\mathrm{pr}$ は $\bigl((y,f),t\bigr)\mapsto\bigl(\varphi^{-1}((1-t)\varphi(y)+t\varphi(u)),f\bigr)$ により恒等写像と滑らかにホモトピックです。よって 系 3.3［de Rham コホモロジー］ から $j_u^*:H^*(\pi^{-1}U)\to H^*(E_u)$ は同型です。$j_u^*\Phi_U(c)=\sum_jc_j[j_u^*e_j]$ は仮定により $c\mapsto$ 基底の一次結合で、同型です。したがって $\Phi_U$ も同型です。

de Rham の定理（定理 5.4）の証明と同じく、まず $W$ を多様体とみなして直方体の基底 $\{\varphi^{-1}(Q)\}$（有限交叉で閉じる）に 補題 5.3 を適用して $W$ のすべての開集合で $P$ を得ます。次に $M$ で、「そのような $W$ のどれかに含まれる開集合」全体（有限交叉で閉じた基底）に再び適用して $P(M)$ を得ます。

∎

系 5.7（de Rham コホモロジーの Künneth の公式）✓

$M,F$ を多様体とし、$H^*_{\mathrm{dR}}(F)$ は有限次元とする。このとき

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M\times F)\cong\bigoplus_{p+q=k}H^p_{\mathrm{dR}}(M)\otimes H^q_{\mathrm{dR}}(F),$$

同型は $[\alpha]\otimes[\beta]\mapsto[\mathrm{pr}_M^*\alpha\wedge\mathrm{pr}_F^*\beta]$ で与えられる。

証明（系 5.7）

$H^*(F)$ の基底を、斉次な閉形式 $f_1,\dots,f_r$ の類で取り、$e_j=\mathrm{pr}_F^*f_j$ と置きます。$\mathrm{pr}_M:M\times F\to M$ は（大域的に自明な）ファイバー束で、ファイバー $\{x\}\times F$ の包含 $j_x(f)=(x,f)$ について $\mathrm{pr}_F\circ j_x=\mathrm{id}_F$ なので $j_x^*e_j=f_j$ は基底です。定理 5.6 から $\bigoplus_jH^{k-\deg f_j}(M)\cong H^k(M\times F)$ で、左辺は $H^q(F)$ の基底のうち $q$ 次のものごとにまとめると $\bigoplus_qH^{k-q}(M)\otimes H^q(F)$ です。

∎

例 5.8（仮定が満たされない例：Hopf 束）

Hopf 束 $S^3\to S^2$（ファイバー $S^1$、命題 4.2［ホモトピー群とファイブレーション］。与えられた式から滑らかなファイバー束でもある）では、定理 5.6 の結論は成り立ちません。結論が成り立てば $H^1(S^3)\supseteq H^0(S^2)\otimes H^1(S^1)\cong\mathbb{R}$ となりますが、$H^1_{\mathrm{dR}}(S^3)=0$ です（定理 5.1［de Rham コホモロジー］）。実際、$S^3$ 上の閉 1 形式はすべて完全なので、ファイバーに制限すると完全形式になり、ファイバーの $H^1$ の生成元を与える大域的な閉形式は存在しません。仮定は「ファイバーの類が全空間の類に延びる」ことで、Hopf 束のねじれはまさにそれを妨げています。

6. Poincaré 双対

この節では $M$ を境界のない向き付けられた $n$ 次元多様体（$n\ge1$、定義 3.1［ストークスの定理］）とします。台がコンパクトな $k$ 形式の空間を $\Omega^k_c(M)$ とし、$d$ はこれを保つので、そのコホモロジーを $H^k_c(M)$（コンパクト台コホモロジー）と書きます。開集合 $U\subseteq M$ に対し、$U$ 上のコンパクト台の形式は $0$ で延長して $M$ 上の形式になります（$\Omega_c(U)\to\Omega_c(M)$。向きが逆の制限とは異なり、こちらは包含と同じ向き）。$M$ がコンパクトなら $H^k_c(M)=H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ です。

定義 6.1（Poincaré 双対写像）↗

$$\mathrm{PD}_M:H^k_{\mathrm{dR}}(M)\to H^{n-k}_c(M)^*,\qquad \mathrm{PD}_M[\omega]([\eta])=\int_M\omega\wedge\eta$$

と定める（$V^*$ は $\mathbb{R}$ 上の双対空間）。

$\omega\wedge\eta$ はコンパクト台なので積分が定まります（定義 5.3［ストークスの定理］）。代表元によらないこと: $\omega=d\alpha$ なら $d\alpha\wedge\eta=d(\alpha\wedge\eta)$（$d\eta=0$）で、$\alpha\wedge\eta$ はコンパクト台なので Stokes の定理 定理 6.1［ストークスの定理］（$\partial M=\varnothing$）により積分は $0$。$\eta=d\beta$（$\beta$ はコンパクト台）なら $\omega\wedge d\beta=(-1)^kd(\omega\wedge\beta)$ で同様です。

補題 6.2（コンパクト台の Poincaré の補題）✓

開直方体 $Q=\prod_{i=1}^n(a_i,b_i)\subseteq\mathbb{R}^n$（標準の向き）について、$k\ne n$ なら $H^k_c(Q)=0$ で、$\int_Q:H^n_c(Q)\to\mathbb{R}$ は同型である。

証明の方針は、次元に関する帰納法です。最後の座標 $t$ の方向に形式を積分して、コンパクト台の形式を一つ低い次元の直方体 $Q'$ の上の形式 $\gamma$ に落とします。$\gamma$ の分を引いた残りが完全になるように、$t$ について積分した形式を台がコンパクトになる形で補正したものが下の $\eta$ です（$d\eta$ を計算すると、$\omega$ との差が $\gamma\wedge e\,dt$ の形になることから、この補正が見つかります）。

証明（補題 6.2）

$\int_Q$ は Stokes の定理で well-defined で、台の小さい非負の山形の関数 $f$ に対する $f\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ を考えれば全射です。主張を $n$ の帰納法で示します（$n=1$ では下の $Q'$ を一点とし、$\Omega^0_c(\text{点})=\mathbb{R}$、$\int$ を値とみなす）。$k=0$: 閉な関数は局所定数で $Q$ は連結なので定数、コンパクト台なので $0$ です。

$1\le k\le n$ とし、$Q=Q'\times(a,b)$、座標を $(x,t)$ と書きます。$\omega\in\Omega^k_c(Q)$ は $dt$ を含まない項と含む項に一意に分かれ、$\omega=\alpha+\beta\wedge dt$ と書けます（$\alpha,\beta$ の係数は $(x,t)$ の関数）。$x$ についての外微分を $d_x$、係数の $t$ 微分を $\partial_t$ とすると $d\omega=d_x\alpha+\bigl((-1)^k\partial_t\alpha+d_x\beta\bigr)\wedge dt$ なので、$d\omega=0$ は $d_x\alpha=0$ かつ $d_x\beta=(-1)^{k+1}\partial_t\alpha$ を意味します。$\int_a^be=1$ となるコンパクト台の滑らかな関数 $e$ を取り、$E(t)=\int_a^te$、

$$\gamma=\int_a^b\beta(x,s)\,ds\in\Omega^{k-1}_c(Q'),\qquad \eta=\int_a^t\beta(x,s)\,ds-E(t)\,\gamma$$

とおきます。$\eta$ は $t$ が小さいとき両項が $0$、$t$ が大きいとき $\gamma-\gamma=0$ なので、コンパクト台です。$d_x\gamma=(-1)^{k+1}\int_a^b\partial_s\alpha\,ds=0$（$\alpha$ はコンパクト台）で、

$$d\eta=d_x\eta+(-1)^{k-1}\partial_t\eta\wedge dt=(-1)^{k+1}\alpha+(-1)^{k+1}(\beta-e\gamma)\wedge dt=(-1)^{k+1}\bigl(\omega-\gamma\wedge e(t)\,dt\bigr).$$

したがって $\omega$ は $H^k_c(Q)$ で $\gamma\wedge e\,dt$ と同じ類です。$k<n$ なら $k-1<n-1$ で、帰納法の仮定から $\gamma=d\theta$（$\theta$ はコンパクト台）、すると $\gamma\wedge e\,dt=d(\theta\wedge e\,dt)$ は完全です。$k=n$ なら $\alpha=0$（$Q'$ は $n-1$ 次元）で、Fubini により $\int_Q\omega=\int_{Q'}\gamma$。$\int_Q\omega=0$ なら帰納法の仮定から $\gamma$ は完全で、同様に $\omega$ も完全です。

∎

補題 6.3（コンパクト台の Mayer–Vietoris 完全列）✓

開集合 $U,V$ について、$s(\eta)=(-\eta,\eta)$、$t(\alpha,\beta)=\alpha+\beta$（いずれも $0$ 延長）とすると

$$0\to\Omega^k_c(U\cap V)\xrightarrow{s}\Omega^k_c(U)\oplus\Omega^k_c(V)\xrightarrow{t}\Omega^k_c(U\cup V)\to0$$

は完全であり、長完全列 $\cdots\to H^k_c(U\cap V)\to H^k_c(U)\oplus H^k_c(V)\to H^k_c(U\cup V)\xrightarrow{\delta_c}H^{k+1}_c(U\cap V)\to\cdots$ を得る。$U\cup V$ 上の 1 の分割 $\rho_U+\rho_V=1$（$\operatorname{supp}\rho_U\subseteq U$, $\operatorname{supp}\rho_V\subseteq V$）を取ると $\delta_c[\tau]=[d\rho_V\wedge\tau]$。

証明（補題 6.3）

$s$ の単射性と $ts=0$ は明らか。$t(\alpha,\beta)=0$ なら $\alpha=-\beta$ で、その台は $U$ のコンパクト集合でも $V$ のコンパクト集合でもあるので $U\cap V$ のコンパクト集合、よって $(\alpha,\beta)=s(\beta)$。$t$ の全射性: 1 の分割は 補題 4.2［de Rham コホモロジー］ の証明と同じく 定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ から作れ、$\tau=\rho_U\tau+\rho_V\tau$ で $\rho_U\tau$ の台は $\operatorname{supp}\rho_U\cap\operatorname{supp}\tau$（$U$ に含まれるコンパクト集合）です。長完全列は 補題 4.1［de Rham コホモロジー］ によります。閉形式 $\tau$ の持ち上げ $(\rho_U\tau,\rho_V\tau)$ に $d$ を施すと $(d\rho_U\wedge\tau,d\rho_V\wedge\tau)=s(d\rho_V\wedge\tau)$（$d\rho_U=-d\rho_V$）で、$d\rho_V\wedge\tau$ の台は $\operatorname{supp}\rho_U\cap\operatorname{supp}\rho_V\cap\operatorname{supp}\tau\subseteq U\cap V$ でコンパクトです。

∎

定理 6.4（Poincaré 双対定理（de Rham 版））✓

境界のない向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$ と各 $k$ について、$\mathrm{PD}_M:H^k_{\mathrm{dR}}(M)\to H^{n-k}_c(M)^*$ は同型である。

証明（定理 6.4）

開集合 $U$ に誘導された向きを入れ、$P(U)$ を「$\mathrm{PD}_U$ がすべての $k$ で同型」とします。

(b) $U,V$ を開集合とし、de Rham の Mayer–Vietoris 完全列（定理 4.3［de Rham コホモロジー］、$\partial[\omega]=[d\rho_U\wedge\omega]$）と、補題 6.3 の長完全列の双対を並べます。

$$\begin{matrix} H^{k-1}(U)\oplus H^{k-1}(V)&\to&H^{k-1}(U\cap V)&\xrightarrow{\partial}&H^k(U\cup V)&\to&H^k(U)\oplus H^k(V)&\to&H^k(U\cap V)\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ H^{n-k+1}_c(U)^*\oplus H^{n-k+1}_c(V)^*&\to&H^{n-k+1}_c(U\cap V)^*&\xrightarrow{\delta_c^*}&H^{n-k}_c(U\cup V)^*&\to&H^{n-k}_c(U)^*\oplus H^{n-k}_c(V)^*&\to&H^{n-k}_c(U\cap V)^* \end{matrix}$$

縦は $\mathrm{PD}$ です。下の行は完全です。実際、ベクトル空間の完全列 $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ に対し、$\varphi\in B^*$ が $\varphi f=0$ なら $\varphi$ は $\ker g$ 上で $0$ なので $\operatorname{im}g$ 上の線形形式を誘導し、$\operatorname{im}g$ の補空間（定理 6.3［選択公理と Zorn の補題］ で基底を延長して作る）上で $0$ と延ばせば $\varphi=\psi g$ となる $\psi\in C^*$ が得られます。

可換性を確かめます。制限の四角: $\int_{U\cup V}\omega\wedge(\alpha+\beta)=\int_U\omega|_U\wedge\alpha+\int_V\omega|_V\wedge\beta$。差の四角: $\int_{U\cap V}(\beta-\alpha)\wedge\xi=\mathrm{PD}_U\alpha(-\xi)+\mathrm{PD}_V\beta(\xi)$。連結準同型の四角: $\omega$ を $U\cap V$ 上の閉 $(k-1)$ 形式、$\tau$ を $U\cup V$ 上のコンパクト台の閉 $(n-k)$ 形式とすると

$$\int_{U\cap V}\omega\wedge d\rho_V\wedge\tau=-\int\omega\wedge d\rho_U\wedge\tau=(-1)^k\int_{U\cup V}d\rho_U\wedge\omega\wedge\tau,$$

すなわち $\mathrm{PD}(\partial\omega)(\tau)=(-1)^k\mathrm{PD}(\omega)(\delta_c\tau)$ で、符号を除いて可換です。符号は核と像を変えないので、五項補題 補題 3.3［特異ホモロジー］ の証明がそのまま通り、$P(U),P(V),P(U\cap V)$ から $P(U\cup V)$ が従います。

(c) 互いに素な合併 $\bigsqcup U_i$ では $H^k=\prod H^k(U_i)$、コンパクト集合は有限個の $U_i$ としか交わらないので $H^{n-k}_c=\bigoplus H^{n-k}_c(U_i)$、そして $(\bigoplus V_i)^*=\prod V_i^*$。$\mathrm{PD}$ は成分ごとなので $P$ は保たれます。

(a) 向きを保つチャート $(W,\varphi)$（命題 3.2［ストークスの定理］）と開直方体 $Q\subseteq\varphi(W)$ について、$\varphi^{-1}(Q)$ は $Q$ と向きを保って微分同相なので $Q$ で考えればよく、定理 3.4［de Rham コホモロジー］ と 補題 6.2 から、両辺は $k=0$ でだけ $\mathbb{R}$ です。$\mathrm{PD}_Q(1)=\int_Q$ は $H^n_c(Q)$ 上の同型なので、$H^n_c(Q)^*$ の $0$ でない元で、$\mathrm{PD}_Q$ は同型です。

de Rham の定理の証明と同じく、まずチャート定義域で直方体の基底に、次に $M$ でチャート定義域の開集合の基底に 補題 5.3 を適用します。

∎

系 6.5（Poincaré 双対の帰結）✓

1. $M$ が連結なら $\int_M:H^n_c(M)\to\mathbb{R}$ は同型である。特に閉（コンパクトで境界なし）連結な $M$ では $H^n_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathbb{R}$。
2. $M$ が閉なら $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M)^*$ で、de Rham の定理 定理 5.4 と合わせて $H^k(M;\mathbb{R})\cong H^{n-k}(M;\mathbb{R})^*$。これらが有限次元なら Betti 数は $b_k=b_{n-k}$ を満たす。
3. 閉形式 $\omega$ について、すべての閉コンパクト台形式 $\eta$ で $\int_M\omega\wedge\eta=0$ なら $\omega$ は完全である。

証明（系 6.5）

(1) $k=0$ では $H^0(M)=\mathbb{R}$（命題 2.2［de Rham コホモロジー］ (1)）なので $H^n_c(M)^*\cong\mathbb{R}$、よって $H^n_c(M)$ は 1 次元（2 次元以上なら双対も 2 次元以上）。$\mathrm{PD}(1)=\int_M$ が $0$ でない線形形式なので同型です。(2) $M$ がコンパクトなら $H_c=H_{\mathrm{dR}}$。有限次元なら $\dim V^*=\dim V$。(3) $\mathrm{PD}[\omega]=0$ と単射性から。

∎

例 6.6（例）

(a) $M=\mathbb{R}^n$: $H^0=\mathbb{R}$ と $H^n_c=\mathbb{R}$ が対になり、他は $0$。コンパクト台を使わずに $H^n_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^n)$ と比べると $0$ なので、非コンパクトな多様体では一方をコンパクト台にすることが本質的です。 (b) $T^2$: $H^1$ の基底 $[dx],[dy]$ に対し $\int dx\wedge dy=1$、$\int dy\wedge dx=-1$、$\int dx\wedge dx=0$ で、対の行列 $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ は正則です。中次元 $k=n/2$ の対は $(-1)^{k^2}$ 対称で、$n=2$ では交代形式になります。 (c) 閉で向き付けられた奇数次元の $M$ では、有限次元性の下で $\chi(M)=\sum(-1)^kb_k=\sum(-1)^kb_{n-k}=-\chi(M)$ なので $\chi(M)=0$。

注意 6.7

本記事は実係数の de Rham 版を証明しました。整数係数では、向き付けられた閉 $n$ 次元多様体に基本類 $[M]\in H_n(M;\mathbb{Z})$ があり、キャップ積 $[M]\frown-:H^k(M;\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$ が同型になります（参考文献の Hatcher 第 3.3 節）。証明は同じ Mayer–Vietoris 論法ですが、基本類の構成とキャップ積の準備が要ります。また閉多様体のコホモロジーが有限次元であることは、測地的凸近傍による有限被覆（good cover）を使って示されます（参考文献の Bott–Tu 第 I 章 §5）。本記事ではこの二点を使いません。

7. 演習

演習 7.1標準

Klein の壺 $K$ のホモロジーは $H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$ である。$H^n(K;\mathbb{Z})$ と $H^n(K;\mathbb{Z}/2)$ を求めよ。

解答

定理 3.4 と 補題 3.3 から、$\mathbb{Z}$ 係数: $H^0=\mathbb{Z}$、$H^1=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$、$H^2=\operatorname{Hom}(0,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2$。$\mathbb{Z}/2$ 係数: $H^0=\mathbb{Z}/2$、$H^1=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=(\mathbb{Z}/2)^2$、$H^2=\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$。

演習 7.2標準

$k$ が奇数で $2$ が $R$ で可逆（たとえば $R=\mathbb{R}$）なら、任意の $\alpha\in H^k(X;R)$ について $\alpha^2=0$ であることを示せ。また、$2$ が可逆でないと結論が成り立たない理由を説明せよ。

解答

定理 4.4 から $\alpha\alpha=(-1)^{k^2}\alpha\alpha=-\alpha\alpha$、よって $2\alpha^2=0$ で、$2$ が可逆なら $\alpha^2=0$。$R=\mathbb{Z}/2$ では $-1=1$ なので次数付き可換性は何も言わず、実際 $H^1(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z}/2)$ の生成元の平方は $0$ でないことが知られている（参考文献の Hatcher 第 3.2 節）。

演習 7.3易

$S^n$ ($n\ge1$) について、定理 6.4 が 定理 5.1［de Rham コホモロジー］ と整合することを確かめよ。また $M=S^1\times\mathbb{R}$ で $H^1_c(M)$ と $H^2_c(M)$ を求めよ。

解答

$S^n$ はコンパクトで、$H^0=H^n=\mathbb{R}$、他は $0$。$k\leftrightarrow n-k$ で $0\leftrightarrow n$ が入れ替わり整合します。$M=S^1\times\mathbb{R}$ は連結で $H^0=\mathbb{R}$、$S^1$ にホモトピー同値なので $H^1=\mathbb{R}$、$H^2=0$（系 3.5［de Rham コホモロジー］）。双対から $H^2_c(M)\cong(H^0)^*=\mathbb{R}$、$H^1_c(M)\cong(H^1)^*=\mathbb{R}$、$H^0_c(M)=(H^2)^*=0$。

参考文献

• A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 — 第 3.1 節（普遍係数定理）、第 3.2 節（カップ積）、第 3.3 節（Poincaré 双対）、第 2.1 節（単体的ホモロジーと特異ホモロジー）。
• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer GTM 82, 1982 — 第 I 章 §§1–5（コンパクト台コホモロジー、Mayer–Vietoris 論法、Poincaré 双対、Künneth の公式と Leray–Hirsch の定理）。
• J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer GTM 218, 2013 — 第 18 章（de Rham の定理）。
• J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984 — 普遍係数定理と非輪状モデル。
• 枡田幹也『代数的トポロジー』朝倉書店、2002 — コホモロジーと積の章。

Appendix: 単体的ホモロジーと特異ホモロジー

胞体ホモロジーと写像度の Lefschetz の不動点定理は、有限単体複体 $K$ の単体的鎖複体 $C^\Delta_*(K)$ のホモロジーが $|K|$ の特異ホモロジーと自然に同型であることを使いました（注意 7.3［胞体ホモロジーと写像度］）。ここでそれを証明します。記号はその記事に従います。

鎖写像 $\theta$. $K$ の頂点に全順序を一つ固定します。$n$ 単体の頂点を $v_0<\cdots<v_n$ と並べ、$C^\Delta_n(K)$ の基底 $[v_0,\dots,v_n]$ に、線形な特異単体 $\theta[v_0,\dots,v_n]:\Delta^n\to|K|$（$e_i\mapsto v_i$ のアフィン写像）を対応させます。面の頂点も昇順なので $\partial\theta=\theta\partial$ で、$\theta:C^\Delta_*(K)\to C_*(|K|)$ は鎖準同型です。

補題 7.4（恒等単体は基本類）✓

$\iota_n\in C_n(\Delta^n)$ を恒等写像とする。$\iota_n$ は相対サイクルで、その類は $H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\cong\mathbb{Z}$ の生成元である。

証明（補題 7.4）

$n=0$ は $H_0(\Delta^0)=\mathbb{Z}$ の生成元そのものです。$n\ge1$ とし、$\Lambda\subset\partial\Delta^n$ を第 $1,\dots,n$ 面（どれも頂点 $e_0$ を含む）の合併とします。$\Lambda$ は $e_0$ について星形なので可縮で、$\Delta^n$ も可縮なので、対の長完全列 系 3.2［特異ホモロジー］ から $H_*(\Delta^n,\Lambda)=0$。三つ組 $(\Delta^n,\partial\Delta^n,\Lambda)$ の鎖の短完全列 $0\to C_*(\partial\Delta^n,\Lambda)\to C_*(\Delta^n,\Lambda)\to C_*(\Delta^n,\partial\Delta^n)\to0$ の長完全列（定理 3.1［特異ホモロジー］）から、連結準同型 $\partial:H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\to H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)$ は同型です。次に $\partial\Delta^n$ は $\Lambda$ に第 0 面 $F_0(\Delta^{n-1})$ を一つの $(n-1)$ 胞体として接着したものなので、補題 3.1［胞体ホモロジーと写像度］ の証明（骨格 $X^{n-1}$ を閉部分空間 $\Lambda$ に置き換えても一字一句通る）により、$(F_0)_*:H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1})\to H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)$ は同型です。$\partial\iota_n=\sum(-1)^iF_i$ のうち $i\ge1$ の項は $\Lambda$ に入るので、$\partial[\iota_n]=[F_0]=(F_0)_*[\iota_{n-1}]$。帰納法の仮定から右辺は生成元なので、$[\iota_n]$ も生成元です（同時に $H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\cong\mathbb{Z}$ も示された）。

∎

補題 7.5（非輪状な台）✓

$\phi,\psi:C^\Delta_*(K)\to C_*(Y)$ を鎖準同型とする。$K$ の各単体 $s$ に部分空間 $Y_s\subseteq Y$ が対応し、$\tilde H_*(Y_s)=0$、面 $s'\subseteq s$ では $Y_{s'}\subseteq Y_s$、$\phi(s),\psi(s)\in C_*(Y_s)$、さらに $0$ 次で $\varepsilon\phi=\varepsilon\psi$ とする。このとき $\phi$ と $\psi$ は鎖ホモトピックである。

証明（補題 7.5）

各単体に向きを一つ選んで基底とし、$D(s)\in C_{n+1}(Y_s)$ を $\partial D(s)=\psi(s)-\phi(s)-D(\partial s)$ となるように次元の帰納法で定めます。$0$ 次では $c=\psi(v)-\phi(v)\in C_0(Y_v)$ は $\varepsilon c=0$ で、$\tilde H_0(Y_v)=0$ から境界です。$n\ge1$ では、$c=\psi(s)-\phi(s)-D(\partial s)$ は $C_n(Y_s)$ に入り（$\partial s$ の単体の台は $Y_s$ に含まれる）、補題 4.3 の証明と同じ計算で $\partial c=0$、$H_n(Y_s)=0$ から境界です。

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定理 7.6（単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致）✓

$\Theta_K=\theta_*:H_n(C^\Delta(K))\to H_n(|K|)$ は同型で、頂点の順序によらない。単体写像 $g:K'\to K$ について $\Theta_Kg_\#=g_*\Theta_{K'}$、重心細分 $K'$ について $\Theta_{K'}\mathrm{Sd}_*=\Theta_K$ が成り立つ。

証明（定理 7.6）

同型. $X=|K|$、$X^n$ を次元 $n$ 以下の単体の合併とします。$X^{n-1}\sqcup\bigsqcup_s\Delta^n\to X^n$（各 $n$ 単体 $s$ に $\theta(s)$）はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので閉写像、したがって商写像で、同一視は $\partial\Delta^n$ 上でだけ起こります（$\theta(s)$ は単射で、異なる単体の内部は交わらない）。$(\Delta^n,\partial\Delta^n)\cong(D^n,S^{n-1})$ なので、$X$ は $n$ 胞体を $n$ 単体とする有限 CW 複体です。補題 3.1［胞体ホモロジーと写像度］ と 補題 7.4 から、$H_n(X^n,X^{n-1})$ は類 $[\theta(s)]=\theta(s)_*[\iota_n]$ を基底とする自由アーベル群で、$\Psi(s)=[\theta(s)]$ は群の同型 $C^\Delta_n(K)\to C^{\mathrm{cell}}_n(X)$ です。胞体境界は $d\Psi(s)=j[\partial\theta(s)]=j[\theta(\partial s)]=\Psi(\partial s)$ なので、$\Psi$ は鎖複体の同型です。

単体的サイクル $c$ に対し $\theta(c)$ は $X^n$ の特異サイクルで、定理 3.4［胞体ホモロジーと写像度］ の証明の同型 $H_n(X)\cong H_n(X^n)/\operatorname{im}\partial\cong\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}$ は $[\theta(c)]\in H_n(X^n)$ を $j_n[\theta(c)]=\Psi(c)$ に送ります。したがって $\theta_*$ は、同型 $\Psi_*$ と胞体ホモロジー定理の同型の合成であり、同型です。

自然性. 二つの順序による $\theta,\theta'$ は、どちらも単体 $s$ を $Y_s=s$（凸なので非輪状）に載せ、頂点を頂点に送るので、補題 7.5 により鎖ホモトピックです。単体写像 $g$ については、$\theta_Kg_\#$ と $g_\sharp\theta_{K'}$ がどちらも $s'$ を $Y_{s'}=g(s')$（$K$ の単体）に載せ、頂点 $v$ を $g(v)$ に送ります。細分については、$\theta_{K'}\mathrm{Sd}$ と $\theta_K$ がどちらも $s$ を $Y_s=s$ に載せ（$\mathrm{Sd}\,s$ は $s$ に含まれる単体の和）、頂点を動かしません。いずれも 補題 7.5 とホモトピー不変性（定理 4.1［特異ホモロジー］ の直前に述べた、鎖ホモトピックな写像は同じ準同型を誘導すること）から主張が従います。

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