環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する

0. この記事の要点

• 環とは「加法についてアーベル群、乗法について結合的で単位元をもち、その二つが分配則で結びついた集合」です。ここまでの章で扱ってきた「演算が一つの世界」を、演算が二つの世界へ広げます。
• $0a = 0$ や $(-a)(-b) = ab$ は約束事ではなく、環の公理から導かれる定理です。証明は分配則と加法群の逆元だけで書けます。
• 可換環に「$1 \ne 0$」と「零因子がない」を課すと整域、さらに「$0$ でない元がすべて可逆」を課すと体になります。体はつねに整域ですが、逆は偽で $\mathbb{Z}$ が反例です。ただし有限なら逆も成り立ちます。
• この基準を使うと、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ が体になるのは $n$ が素数のときに限られ、$R[x]$ が整域になるのは $R$ が整域のときに限られ、$M_2(\mathbb{R})$ は非可換で零因子をもつ、と代表的な環がすべて分類できます。
• 環準同型の核は、群における正規部分群にあたる「イデアル」という対象になります。次章で商環を作るための足場がここで揃います。

1. 動機

1.1. 演算が一つでは足りない

群論入門 から前章までで扱ってきたのは、演算を一つだけもつ集合でした。しかし私たちが最初に出会った数学的構造である整数 $\mathbb{Z}$ は、演算を二つもっています。足し算と掛け算です。

このうち足し算だけを見れば $(\mathbb{Z}, +)$ はアーベル群です。ところが掛け算だけを見ると $(\mathbb{Z}, \cdot)$ は群になりません。$2$ に掛けて $1$ になる整数が存在しないからです。実際、整数 $b$ が $2b = 1$ を満たすとすると、$b \ge 1$ なら $2b \ge 2$、$b \le 0$ なら $2b \le 0$ となり、どちらの場合も $2b = 1$ になりません。つまり乗法については逆元の存在を諦めざるをえません。

では乗法について何が残るかというと、結合律と単位元 $1$ です。この「群になり損ねた乗法」と「立派な加法群」とを結びつけているのが分配則

$$a(b+c) = ab + ac, \qquad (a+b)c = ac + bc$$

です。分配則がなければ、二つの演算はただ同じ集合の上に住んでいるだけで、互いに何の関係もありません。逆に分配則さえあれば、たとえば「$0$ を掛けると $0$ になる」という、小学校以来当たり前だと思ってきた事実が定理として証明できてしまいます（命題 3.3）。環とは、この最小限の取り決めだけを取り出した構造です。

1.2. 「割り算ができるか」を測る言葉

群では方程式 $ax = b$ がつねに一意に解けました（両辺に $a^{-1}$ を掛ければよい）。環ではそうはいきません。$\mathbb{Z}$ の中で $2x = 3$ は解をもちませんし、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の中では $\bar{2}x = \bar{0}$ が $x = \bar{0}$ 以外に $x = \bar{3}$ という解ももってしまいます。同じ「割り算ができない」でも、前者は $2$ が可逆でないという話、後者は $\bar 2$ が $\bar 3$ という道連れをもっている（零因子である）という話で、性質が違います。

この違いを言語化するのが単元・零因子・整域・体という一連の概念です。この記事の後半は、代表的な環をこの物差しで測っていく作業にあてます。

1.3. 歴史的な背景

環という概念は、19 世紀の整数論から生まれました。フェルマーの最終定理を $x^n + y^n = z^n$ から $\prod (x + \zeta^i y) = z^n$ と因数分解して攻めようとすると、$\mathbb{Z}[\zeta]$（$\zeta$ は $1$ の $n$ 乗根）の中で素因数分解の一意性が壊れることがあります。クンマーはこれを救うために「理想数」を導入し、デデキントがそれを集合として定式化してイデアルと名づけました。ヒルベルトが『数論報告』（1897）で使った Zahlring（数環）という語が短くなって Ring となり、日本語では環と訳されています。

抽象的な公理系として今日の形に整理されたのは 20 世紀初頭で、フレンケルの 1914 年の論文がその初期のものです。決定的だったのはエミー・ネーターの “Idealtheorie in Ringbereichen”（1921）で、環をイデアルの言葉で調べるという現在の可換環論の方針はここで確立されました。つまり環論は「数を一般化しよう」という抽象化の遊びから生まれたのではなく、具体的な整数論の困難を解くために必要になったのです。

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