リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する

0. この記事の要点

素数は $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ と不規則に並んでいるように見えます。ところが、$x$ 以下の素数が何個あるかを正確に知ろうとすると、リーマン・ゼータ関数という一つの関数が「どこで値 $0$ になるか」という問いにつながります。この記事では、その関数の定義から出発して、素数の個数の誤差の大きさが零点の位置で決まる仕組みと、零点はすべて一本の直線の上にあるはずだという未解決の予想（リーマン予想）の中身を順に見ていきます。読み終えると、この予想がなぜ素数の問題として最重要とされるのかを、自分の言葉で説明できるようになります。

• リーマン・ゼータ関数 $\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} n^{-s}$ は $\operatorname{Re} s > 1$ で絶対収束し、そこでオイラー積 $\prod_p (1-p^{-s})^{-1}$ に等しくなります。この一つの等式が「和（すべての自然数）」と「積（素数）」を橋渡しし、ゼータ関数を素数の言語に変えます。
• $\zeta$ は $s = 1$ を唯一の極（単純極、留数 $1$）として複素平面全体へ有理型に解析接続され、$s$ と $1-s$ を結ぶ関数等式を満たします（有理型とは、孤立した極を除いて複素微分できる関数のこと。解析接続とは、定義域の外へ「滑らかなまま」延ばすことです）。
• 関数等式から $s = -2, -4, -6, \ldots$ が零点になります（自明な零点）。それ以外の零点は帯 $0 \le \operatorname{Re} s \le 1$ に閉じ込められます。
• リーマン予想とは「非自明零点の実部はすべて $1/2$ である」という主張です。1859 年にリーマンが提示して以来、証明も反証もされていません。
• 重要性の核心は明示公式にあります。素数の個数の誤差項は $\sum_\rho x^{\rho}/\rho$ という零点にわたる和で書かれ、誤差の大きさは零点の実部そのものです。リーマン予想は $\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x}\log x)$ と同値です。ここで $O(\cdots)$ は「高々その程度の大きさ」を表す記号です。

この記事で使う事前知識

• 正則関数: 複素数の変数の関数で、各点で複素微分できるもの。→ 正則関数
• 整関数: 複素平面全体で正則な関数。→ 整関数
• 有理型関数: 孤立した極を除いて正則な関数。→ 有理型関数
• 一様収束: 各点ごとではなく、定義域全体で同じ速さで近づく収束。→ 一様収束
• 対数積分: 素数の個数の近似に使う関数 $\operatorname{li}(x)$。→ 対数積分

1. 動機：素数の分布を「関数の零点」に翻訳する

素数は $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ と、規則がありそうでない並び方をします。素数の魅力 - 素数定理 で見たように、$x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ は大域的には $x/\log x$ に近づきます（素数定理（定理 6.2）［素数の魅力と素数定理］）。しかし「近づく」だけでは足りません。数論の実際の問題では、$\pi(x)$ と近似値の差がどれくらい小さいかが決定的に効きます。差が $x^{0.9}$ 程度なのか $\sqrt{x}$ 程度なのかで、そこから導ける結論はまるで変わります。

素数そのものを直接眺めても、この誤差の大きさは見えてきません。オイラーは 18 世紀に、まったく別の入口を見つけました。$s > 1$ の実数に対し

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

が成り立つ、というのです。左辺には素数が一つも現れず、右辺は素数だけでできています。両者が等しいのは、素因数分解の一意性という算術の根本事実の言い換えにほかなりません（合同式とフェルマーの小定理 で使った一意分解、すなわち 算術の基本定理（定理 4.2）［素数の魅力と素数定理］ が、ここで解析の道具に化けます）。

リーマンは 1859 年の論文で決定的な一歩を踏み出しました。$s$ を複素数に拡張し、$\zeta(s)$ を複素平面全体で定義しなおしたのです。すると素数の個数を表す明示的な公式が得られ、その公式の中に $\zeta$ の零点が現れました。素数の分布のゆらぎは、零点の位置によって完全に支配されていたのです。零点がどこにあるか——それがリーマン予想です。

この章では、$\zeta(s)$ の定義から出発して、オイラー積・解析接続・関数等式を経て、リーマン予想の主張と、それが素数分布と同値である仕組みまでを追います。

2. 準備：複素べきと級数の収束

複素数 $s$ と正の実数 $n$ に対し、$n^{-s} := e^{-s \log n}$（$\log n$ は実自然対数）と定めます。$s = \sigma + it$（$\sigma, t \in \mathbb{R}$）と書くと

$$|n^{-s}| = |e^{-(\sigma + it)\log n}| = e^{-\sigma \log n} = n^{-\sigma}$$

です。つまり絶対値は実部だけで決まります。この一行が以後すべての収束判定の土台になります。

以下、$s$ の実部を $\sigma$、虚部を $t$ と書く習慣に従います。また $p$ は常に素数を走る変数とし、$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$（$0$ を含めない）とします。

定義 2.1（リーマン・ゼータ関数（級数表示））↗

複素数 $s$ が $\operatorname{Re} s > 1$ を満たすとき、

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$$

と定める。この級数は $\operatorname{Re} s > 1$ で絶対収束し、さらに任意の $\delta > 0$ に対し半平面 $\operatorname{Re} s \ge 1 + \delta$ 上で一様収束する。したがって $\zeta$ は $\operatorname{Re} s > 1$ で正則である。

収束を確かめておきます。$\sigma \ge 1 + \delta$ のとき $|n^{-s}| = n^{-\sigma} \le n^{-1-\delta}$ であり、$\sum_{n \ge 1} n^{-1-\delta}$ は積分判定法（$\int_1^\infty x^{-1-\delta}dx = 1/\delta < \infty$）により収束します。よってワイヤシュトラスの $M$ 判定法（各項を、収束する数列で一様に押さえられれば一様収束する、という判定法）から一様収束が従い、正則関数列の一様収束極限は正則なので $\zeta$ は正則です。一方 $\sigma \le 1$ では $\sum n^{-\sigma} \ge \sum n^{-1} = \infty$ なので、この級数はもう使えません。$\sigma = 1$ が級数表示の限界です。

3. オイラー積：ゼータ関数が素数を知っている理由

定理 3.1（オイラー積表示）✓

$\operatorname{Re} s > 1$ を満たすすべての複素数 $s$ に対して

$$\zeta(s) = \prod_{p:\ \text{素数}} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1}$$

が成り立つ。ここで右辺は $\lim_{N \to \infty} \prod_{p \le N} (1 - p^{-s})^{-1}$ の意味であり、この極限は存在する。

証明（定理 3.1）

$\sigma = \operatorname{Re} s > 1$ を固定します。

第 1 段（各因子の展開）. 任意の素数 $p$ に対し $|p^{-s}| = p^{-\sigma} \le 2^{-\sigma} < 1$ ですから、等比級数の公式が使えて

$$\left(1 - p^{-s}\right)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} p^{-ks}$$

が絶対収束します。

第 2 段（有限個の積の展開）. $N$ 以下の素数を $p_1 < p_2 < \cdots < p_r$ とします。絶対収束する級数は有限個であれば自由に掛け合わせて項別に並べ替えられるので（2 個の積は $(k_1,k_2)$ を添字とする絶対収束する二重級数で、定理 7.11［級数と収束判定］ の 2 により和は並べ方によらない。$r$ 個はこれを繰り返す）

$$\prod_{p \le N} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1} = \sum_{k_1, \ldots, k_r \ge 0} \left(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}\right)^{-s} = \sum_{n \in A_N} n^{-s}$$

となります。ここで $A_N$ は「素因数がすべて $N$ 以下であるような自然数」の集合です。二つ目の等号で素因数分解の一意性（定理 4.2［素数の魅力と素数定理］）を使いました。$A_N$ の各元 $n$ は指数の組 $(k_1,\ldots,k_r)$ とちょうど一対一に対応するので、右辺で各 $n$ が過不足なく一度だけ現れます。

第 3 段（極限）. $n \le N$ ならば $n$ の素因数はすべて $n$ 以下、したがって $N$ 以下ですから $n \in A_N$ です。対偶を取れば $n \notin A_N \Rightarrow n > N$、すなわち $A_N$ の補集合は $\{n : n > N\}$ に含まれます。したがって

$$\left|\zeta(s) - \prod_{p \le N}\left(1 - p^{-s}\right)^{-1}\right| = \left|\sum_{n \notin A_N} n^{-s}\right| \le \sum_{n > N} n^{-\sigma}.$$

最後の量は収束級数 $\sum_n n^{-\sigma}$ の剰余項なので $N \to \infty$ で $0$ に収束します。以上より主張が従います。

∎

この証明で使った算術の事実は素因数分解の一意性だけです。逆に言えば、オイラー積は一意分解の解析的な言い換えです。だからこそ、$\zeta$ の解析的な性質を調べることが素数を調べることになるのです。

まず、この積表示から $\zeta$ が右半平面で消えないことが出ます。

系 3.2（右半平面での非零性）✓

$\operatorname{Re} s > 1$ ならば $\zeta(s) \neq 0$ である。

証明（系 3.2）

$\sigma > 1$ とします。$\sum_n |n^{-s}|$ が収束するので並べ替えが自由にでき（定理 7.10［級数と収束判定］、定理 7.11［級数と収束判定］）、任意の素数 $p$ に対し

$$\zeta(s)\left(1 - p^{-s}\right) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} - \sum_{n \ge 1} (pn)^{-s} = \sum_{p \,\nmid\, n} n^{-s}$$

が成り立ちます（$\sum_n (pn)^{-s}$ はちょうど $p$ の倍数にわたる和だからです）。これを $p \le N$ なる素数について順に繰り返すと

$$\zeta(s) \prod_{p \le N} \left(1 - p^{-s}\right) = \sum_{n \in B_N} n^{-s}, \qquad B_N := \{n \in \mathbb{N} : n \text{ の素因数はすべて } N \text{ より大きい}\}$$

を得ます。$B_N$ には $1$ が属し、$1$ 以外の元は $N$ より大きい素因数を持つので $N$ より大きい数です。よって

$$\left|\zeta(s)\prod_{p \le N}\left(1 - p^{-s}\right)\right| \ge 1 - \sum_{n > N} n^{-\sigma}.$$

$\sum_n n^{-\sigma}$ が収束するので、$N$ を十分大きく取れば $\sum_{n>N} n^{-\sigma} \le 1/2$ とできます。そのとき左辺は $1/2$ 以上、特に $0$ ではありません。積の一因子である $\zeta(s)$ が $0$ なら左辺は $0$ になってしまうので、$\zeta(s) \neq 0$ です。

∎

系 3.3（素数の無限性（オイラー））✓

素数は無限個存在する。

証明（系 3.3）

$s$ を $1$ より大きい実数に限って考えます。まず $\zeta(s) \to \infty$（$s \to 1+0$）を示します。任意の $N$ を固定すると、正項級数なので $\zeta(s) \ge \sum_{n=1}^{N} n^{-s}$ です。右辺は $s$ の連続関数で、$s \to 1+0$ のとき調和数 $H_N = \sum_{n \le N} 1/n$ に収束します。よって $\liminf_{s \to 1+0} \zeta(s) \ge H_N$ が任意の $N$ で成り立ち、$H_N \to \infty$ ですから $\zeta(s) \to \infty$ です。

さて素数が有限個 $p_1, \ldots, p_r$ しかないと仮定します。定理 3.1 の右辺は有限積になり、$s \to 1+0$ のとき

$$\prod_{i=1}^{r} \left(1 - p_i^{-s}\right)^{-1} \longrightarrow \prod_{i=1}^{r}\left(1 - p_i^{-1}\right)^{-1} < \infty$$

と有限値に収束します。これは $\zeta(s) \to \infty$ に矛盾します。

∎

同じ道具をもう少し押すと、ユークリッドの証明（ユークリッドの定理（定理 3.2）［素数の魅力と素数定理］）では届かない「素数の密度」の情報が出ます。

命題 3.4（素数の逆数和の発散）✓

$\displaystyle\sum_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{p} = \infty$ である。

証明（命題 3.4）

$s > 1$ を実数とします。定理 3.1 の両辺は正の実数なので対数が取れ、$-\log(1-u) = \sum_{k \ge 1} u^{k}/k$（$0 < u < 1$）を各因子に適用して

$$\log \zeta(s) = \sum_{p} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{p^{-ks}}{k} = \sum_{p} p^{-s} + R(s), \qquad R(s) := \sum_{p}\sum_{k \ge 2} \frac{p^{-ks}}{k}$$

を得ます（二重級数はすべて正項なので順序交換は自由です。定理 7.11［級数と収束判定］ の 1）。剰余項 $R(s)$ を評価します。$1/k \le 1$ と等比級数の和から

$$0 \le R(s) \le \sum_{p} \sum_{k \ge 2} p^{-ks} = \sum_{p} \frac{p^{-2s}}{1 - p^{-s}} \le 2\sum_{p} p^{-2s} \le 2 \sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{2}} = 2\left(\frac{\pi^{2}}{6} - 1\right) < 1.3$$

です。ここで $s > 1$, $p \ge 2$ より $p^{-s} \le 1/2$、したがって $(1-p^{-s})^{-1} \le 2$ を使いました。よって

$$\sum_{p} p^{-s} \ge \log \zeta(s) - 1.3.$$

系 3.3 の証明で示したとおり $s \to 1+0$ で $\zeta(s) \to \infty$、すなわち $\log \zeta(s) \to \infty$ ですから、$\sum_p p^{-s} \to \infty$ です。

もし $\sum_p 1/p$ が収束していたとすると、$s > 1$ のとき $p^{-s} < p^{-1}$ なので $\sum_p p^{-s} \le \sum_p p^{-1} < \infty$ となり、$s \to 1+0$ で有界のままです。これは矛盾です。

∎

$\sum_n 1/n^{2}$ は収束するのに $\sum_p 1/p$ は発散する。これは「素数は平方数よりずっと多い」という定量的な情報で、素数の無限性よりはるかに強い主張です。オイラー積が素数の分布を掴んでいることの最初の証拠と言えます（この発散は 定理 5.2［素数の魅力と素数定理］ としても扱いました）。

例 3.5（バーゼル問題と「二数が互いに素である確率」）

バーゼル問題の答え $\zeta(2) = \pi^{2}/6 = 1.644934\ldots$ を認めます。定理 3.1 を $s = 2$ で使うと

$$\prod_{p}\left(1 - \frac{1}{p^{2}}\right) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^{2}} = 0.607927\ldots$$

です。左辺の意味を考えます。$1 \le a, b \le X$ からランダムに二つ選ぶとき、両方が $p$ で割り切れる確率はおよそ $1/p^{2}$、割り切れない確率はおよそ $1 - 1/p^{2}$ です。異なる素数についてこれらが独立に振る舞うと信じれば、$a$ と $b$ が互いに素である確率は $\prod_p (1-p^{-2}) = 6/\pi^{2} \approx 60.79\%$ になります。

実際、$X = 100$ で数えると、$1 \le a, b \le 100$ の $10000$ 組のうち $\gcd(a,b)=1$ となるのは $6087$ 組で、$60.87\%$ です。予言との差は $0.1$ ポイント未満でした。素数の「独立性」という素朴な直観が、オイラー積という等式によって正確な形を与えられています。

4. 解析接続：級数の外側へゼータ関数を延ばす

級数表示 定義 2.1 は $\operatorname{Re} s > 1$ でしか意味を持ちません。しかし素数の情報が濃く現れるのは、むしろその外側です。そこで解析接続という操作が要ります。

定義 4.1（解析接続）↗

領域 $U \subset \mathbb{C}$ 上の正則関数 $f$ と、$U$ を含む領域 $V \supset U$ 上の正則関数 $F$ が $F|_{U} = f$ を満たすとき、$F$ を $f$ の $V$ への解析接続という。$V$ が連結ならば、そのような $F$ は存在すれば一意である（一致の定理）。有理型関数への拡張も同様に「有理型接続」として扱う。

一意性は重要です。「$\zeta(-1) = -1/12$」といった等式が、勝手な定義の産物ではなく一意に決まった値であることを保証するのがこの定理だからです。実際の接続には、$\operatorname{Re} s > 1$ で $\zeta$ に一致し、より広い範囲で収束する式を一つ見つければ十分です。交代級数がその役を果たします。

補題 4.2（ディリクレのエータ関数）✓

$$\eta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}}$$

は半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ の各コンパクト部分集合上で一様収束し、そこで正則関数を定める。

証明（補題 4.2）

第 $2n-1$ 項と第 $2n$ 項を組にして $g_n(s) := (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s}$ とおきます。$\frac{d}{dx}\left(-x^{-s}\right) = s x^{-s-1}$ ですから、微積分学の基本定理より

$$g_n(s) = \int_{2n-1}^{2n} s\, x^{-s-1}\,dx.$$

$|x^{-s-1}| = x^{-\sigma-1}$ なので、$\sigma \ge \delta > 0$ かつ $|s| \le M$ を満たす $s$ に対し

$$|g_n(s)| \le |s| \int_{2n-1}^{2n} x^{-\sigma-1}dx \le M (2n-1)^{-\delta-1}.$$

$\sum_n (2n-1)^{-1-\delta} < \infty$ ですから、ワイヤシュトラスの $M$ 判定法により $\sum_n g_n$ はこの集合上で一様収束します。各 $g_n$ は整関数なので、和は正則です。半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ の任意のコンパクト集合はこの形の集合に含まれるので、広義一様収束が言えました。

$\sum_{n \le 2N} (-1)^{n-1}n^{-s} = \sum_{n \le N} g_n(s)$ ですから、$\eta$ の偶数番目の部分和は収束します。奇数番目の部分和との差は $(2N+1)^{-s}$ で、絶対値は $(2N+1)^{-\sigma} \to 0$（$\sigma > 0$）ですから、$\eta(s)$ 自身も同じ値に収束します。

∎

定理 4.3（ゼータ関数の有理型接続と単純極）✓

$\zeta$ は半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ 上の有理型関数に一意に接続され、その接続は $s = 1$ のみを極として持つ。この極は単純極で、留数は $1$ である。すなわち

$$\lim_{s \to 1}\,(s-1)\zeta(s) = 1 .$$

証明（定理 4.3）

第 1 段（恒等式）. $\operatorname{Re} s > 1$ では級数が絶対収束するので、偶数項だけを取り出して

$$\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \sum_{m \ge 1} (2m)^{-s} = 2^{-s}\zeta(s)$$

と書けます。したがって

$$\eta(s) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} - 2\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \zeta(s) - 2 \cdot 2^{-s}\zeta(s) = \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s).$$

第 2 段（接続の定義）. そこで $\operatorname{Re} s > 0$、$s \ne 1$ において

$$\zeta(s) := \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}$$

と定めます。補題 4.2 より分子は $\operatorname{Re} s > 0$ で正則、分母は整関数ですから、右辺は分母の零点を除いて正則で、そこでは有理型です。第 1 段よりこの関数は $\operatorname{Re} s > 1$ で元の $\zeta$ に一致します。一意性は 定義 4.1 の一致の定理によります。

第 3 段（$s=1$ での挙動）. 分母 $h(s) = 1 - 2^{1-s}$ は $h(1) = 0$、$h'(s) = 2^{1-s}\log 2$ より $h'(1) = \log 2 \ne 0$ なので、$s=1$ は $h$ の単純零点です。一方、分子は交代調和級数の和 $\eta(1) = \log 2 \ne 0$ です。よって $s=1$ は $\zeta$ の単純極であり、

$$\lim_{s \to 1}(s-1)\zeta(s) = \lim_{s\to 1}\frac{\eta(s)}{h(s)/(s-1)} = \frac{\eta(1)}{h'(1)} = \frac{\log 2}{\log 2} = 1 .$$∎

次の注意のねらいは、$\zeta(s)=\eta(s)/(1-2^{1-s})$ の分母が $s=1$ 以外でも $0$ になるため、そこにも極が立つのではないかという疑問を片づけることです。方針は、$2$ を $3$ に替えた同じ形の式を作ると分母が消える点の集まりが別の場所になるので、二つの式を併用すれば $s=1$ 以外に極がないと言える、というものです。

注意 4.4

上の式の分母 $1 - 2^{1-s}$ は $s = 1 + 2\pi i k/\log 2$（$k \in \mathbb{Z}$）でも消えます。$k \ne 0$ のこれらの点で本当に極が立つのかが気になりますが、実は立ちません。$3$ を使った同じ計算

$$\left(1 - 3^{1-s}\right)\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{a_n}{n^{s}}, \qquad a_n = \begin{cases} -2 & (3 \mid n) \\ 1 & (3 \nmid n)\end{cases}$$

において、$a_n$ は周期 $3$ で一周期の和が $1+1-2=0$ ですから部分和が有界で、この級数も $\operatorname{Re} s > 0$ で収束します。したがって $\zeta$ は $1 - 3^{1-s}$ の零点 $s = 1 + 2\pi i k/\log 3$ の外では正則です。二つの零点集合の共通部分は $s = 1$ のみ（$\log 2/\log 3$ が無理数であることによります）なので、$s \ne 1$ ではどちらかの表示が正則性を保証します。

同じ手口をさらに進める（あるいはテータ関数のメリン変換を使う）と、$\zeta$ は複素平面全体へ接続され、次の顕著な対称性が現れます。

次の関数等式にはガンマ関数 $\Gamma$（階乗 $n!$ を複素数の変数へ延ばした関数で、$\Gamma(n)=(n-1)!$ です）が係数として現れます。証明のねらいは、複素解析の記事で示された対称な形 $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ を、ガンマ関数の倍数公式と相反公式で $\zeta(s)$ と $\zeta(1-s)$ の比の形に書き直すことで、新しい零点や極を調べるわけではありません。

定理 4.5（リーマンの関数等式）✓

$\zeta$ は $\mathbb{C}$ 全体へ有理型に接続され、$s = 1$ を唯一の極（単純極、留数 $1$）とする。さらに、すべての $s \in \mathbb{C}$ に対して

$$\zeta(s) = 2^{s}\,\pi^{s-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s)$$

が有理型関数の等式として成り立つ。同値な形として、完備ゼータ関数

$$\xi(s) := \frac{1}{2}\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$$

は整関数であり、$\xi(s) = \xi(1-s)$ を満たす。

証明（定理 4.5）

整関数とガンマ関数 の 定理 7.4［整関数とガンマ関数］ で、$\zeta$ が $\mathbb{C}$ 全体へ有理型に接続され、極は $s=1$ の単純極（留数 $1$）だけであること、$\Lambda(s):=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ が $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ を満たすこと、$\zeta(0)=-\tfrac12$、$\zeta(-2k)=0$（$k\ge1$）であることがテータ関数の変換則から証明されています。ここではそれをこの定理の 2 つの形に言い換えます。

$\xi$ が整関数であること。 $\xi(s)=\tfrac12s(s-1)\Lambda(s)$ です。$\Gamma(s/2)$ は $s=0,-2,-4,\dots$ に単純極をもつほかは正則で（定理 6.2［整関数とガンマ関数］）、$\zeta$ は $s=1$ 以外で正則なので、$\xi$ の特異点の候補は $s=1$ と $s=0,-2,-4,\dots$ だけです。$s=1$ では $\zeta$ の単純極を因子 $s-1$ が打ち消します。$s=-2k$（$k\ge1$）では $\Gamma(s/2)$ の単純極を $\zeta$ の零点 $\zeta(-2k)=0$ が打ち消します。$s=0$ では $\Gamma(s/2)$ の単純極を因子 $s$ が打ち消します。いずれも除去可能特異点なので $\xi$ は整関数です。$s(s-1)$ は $s\mapsto1-s$ で不変なので、$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ から $\xi(s)=\xi(1-s)$ です。

非対称な形。 $s\notin\mathbb{Z}$ とします。$\Gamma$ は零点をもたないので（定理 6.4［整関数とガンマ関数］）、$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ を書き直すと

$$\zeta(s)=\pi^{s-\frac12}\,\frac{\Gamma\bigl(\frac{1-s}2\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac s2\bigr)}\,\zeta(1-s).$$

Legendre の倍数公式 $\Gamma(2\nu+1)=\frac{4^\nu}{\sqrt\pi}\Gamma(\nu+\frac12)\Gamma(\nu+1)$（補題 2.1［Bessel・Airy・Whittaker 関数］。そこでは $\nu>-\frac12$ で示されていますが、両辺は $\nu$ の有理型関数なので一致の定理により $\mathbb{C}$ 全体で成り立ちます）に $\nu=-s/2$ を代入すると $\Gamma(1-s)=\frac{2^{-s}}{\sqrt\pi}\Gamma(\frac{1-s}2)\Gamma(1-\frac s2)$ です。相反公式（定理 6.5［整関数とガンマ関数］）で $\Gamma(1-\frac s2)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi s/2)\,\Gamma(s/2)}$ と書けるので

$$\frac{\Gamma\bigl(\frac{1-s}2\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac s2\bigr)}=2^{s}\pi^{-\frac12}\sin\Bigl(\frac{\pi s}2\Bigr)\Gamma(1-s).$$

代入すると $\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}2)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ です。両辺は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数で、$\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で一致するので、一致の定理により有理型関数として等しくなります。

∎

注意 4.6

この定理の証明はリーマンの 1859 年の論文にあり、ヤコビのテータ関数 $\theta(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2}x}$ の変換公式 $\theta(1/x) = \sqrt{x}\,\theta(x)$（ポアソン和公式から出ます）をメリン変換に通すのが標準的です。詳しい証明は Edwards『Riemann’s Zeta Function』第 1 章、または Titchmarsh 第 2 章にあります。Rikai ではテータ関数を使った証明を複素解析の記事で与えており、上の証明はそれをこの定理の形に言い換えたものです。

$\xi(s) = \xi(1-s)$ は、複素平面を直線 $\operatorname{Re} s = 1/2$ で折り返す鏡映対称性です。この直線が「臨界線」と呼ばれるのは、関数等式の対称軸だからです。さらに $n^{-\bar{s}} = \overline{n^{-s}}$ より $\zeta(\bar{s}) = \overline{\zeta(s)}$ が $\operatorname{Re} s > 1$ で成り立ち、一致の定理で全平面へ伝わります。したがって零点は実軸に関しても対称です。零点は上下左右の二重の対称性を持って配置されているわけです。

命題 4.7（ζ(0) の値）✓

$\zeta(0) = -\frac12$ である。とくに $s=0$ は $\zeta$ の零点ではない。

証明（命題 4.7）

定理 4.5 の等式で $s \to 0$ とします（$\zeta$ は $s=0$ で正則なので、左辺は $\zeta(0)$ に収束する）。$\sin(\pi s/2) \sim \pi s/2$、また 定理 4.3 より $\zeta(1-s) \sim -\frac{1}{s}$ ですから

$$\zeta(0) = \lim_{s\to 0} 2^{s}\pi^{s-1}\cdot\frac{\pi s}{2}\cdot \Gamma(1-s)\cdot\left(-\frac{1}{s}\right) = \pi^{-1}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot(-1) = -\frac{1}{2}.$$∎

例 4.8（関数等式から特殊値を計算する）

$s = -1$ を 定理 4.5 に代入します。$\sin(-\pi/2) = -1$、$\Gamma(2) = 1$、$\zeta(2) = \pi^{2}/6$ ですから

$$\zeta(-1) = 2^{-1}\pi^{-2}\cdot(-1)\cdot 1 \cdot \frac{\pi^{2}}{6} = -\frac{1}{12}.$$

$s = 0$ では $\sin 0 = 0$ と $\zeta(1) = \infty$ が打ち消しあうので、極限で計算します。$s \to 0$ のとき $\sin(\pi s/2) \sim \pi s/2$、また 定理 4.3 より $\zeta(1-s) \sim \frac{1}{(1-s)-1} = -\frac{1}{s}$ ですから

$$\zeta(0) = \lim_{s\to 0} 2^{s}\pi^{s-1}\cdot\frac{\pi s}{2}\cdot \Gamma(1-s)\cdot\left(-\frac{1}{s}\right) = 1 \cdot \pi^{-1}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1 \cdot(-1) = -\frac{1}{2}.$$

特に $s = 0$ は $\zeta$ の零点ではありません。この一点の確認が、次の命題で $s=0$ を除外する根拠になります。

5. 零点の地図とリーマン予想

命題 5.1（自明な零点）✓

$k = 1, 2, 3, \ldots$ に対し $\zeta(-2k) = 0$ である。さらに、半平面 $\operatorname{Re} s < 0$ における $\zeta$ の零点はこれらに限る。

証明（命題 5.1）

$\sigma = \operatorname{Re} s < 0$ とし、定理 4.5 の右辺の各因子を調べます。

• $2^{s}\pi^{s-1}$ は決して $0$ になりません。
• $\operatorname{Re}(1-s) = 1 - \sigma > 1$ なので、$\Gamma(1-s)$ は極を持たず、しかもガンマ関数は零点を持たない（$1/\Gamma$ が整関数であることによります）ので $\Gamma(1-s) \neq 0$ です。
• 同じく $\operatorname{Re}(1-s) > 1$ なので、系 3.2 より $\zeta(1-s) \neq 0$ です。また級数表示があるので有限値です。

したがって右辺が $0$ になるのは $\sin(\pi s/2) = 0$ のとき、つまり $s$ が偶数のときに限ります。$\sigma < 0$ の範囲でこれを満たすのは $s = -2, -4, -6, \ldots$ です。逆にこれらの $s$ では上の三つの因子が有限かつ非零で $\sin(\pi s/2)=0$ なので、積は $0$ になります。

∎

定義 5.2（非自明零点と臨界帯）↗

$\zeta$ の零点のうち $s = -2, -4, -6, \ldots$ 以外のものを非自明零点と呼ぶ。系 3.2（$\operatorname{Re} s > 1$ に零点なし）と 命題 5.1（$\operatorname{Re} s < 0$ には自明零点のみ）により、非自明零点はすべて帯

$$0 \le \operatorname{Re} s \le 1$$

に属する。この帯を臨界帯、直線 $\operatorname{Re} s = 1/2$ を臨界線という。

臨界帯と零点の配置（虚部の目盛りは模式的）

公理 5.3（リーマン予想（未解決の主張））↗

$\zeta$ のすべての非自明零点 $\rho$ は

$$\operatorname{Re}\rho = \frac{1}{2}$$

を満たす。同値な形で述べれば、$\xi(s) = 0 \Rightarrow \operatorname{Re} s = 1/2$ である。

注意 5.4

上の主張は定理ではありません。1859 年にリーマンが論文中で「証明を試みたが本筋から外れるので保留する」と述べたまま、今日まで証明も反証もされていない予想です。仮定として置いたうえで結論を導く（「リーマン予想の下で〜が成り立つ」）という使い方をされるため、ここでは公準の枠で提示しています。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つでもあります。

現在わかっていることを列挙します。

• ハーディ（1914）は臨界線上に非自明零点が無限個あることを示しました。ただし「無限個ある」ことと「すべてそこにある」ことは別です。
• コンリー（1989）は非自明零点の $2/5$ 以上が臨界線上にあることを示しました。この方向の記録は少しずつ更新されていますが、$100\%$ には遠く及びません。
• 数値計算では、虚部の小さいほうから $10^{13}$ 個の非自明零点がすべて臨界線上にあることが確認されています（グルドン Gourdon、2004）。反例は見つかっていません。
• 一方、$\operatorname{Re} s = 1$ 上に零点がないことは証明されています（アダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサン、1896）。これは素数定理と同値な事実で、リーマン予想はこの「$1$」を「$1/2$」まで押し下げよという要求だと読めます。

例 5.5（虚部 100 までの零点を数える）

虚部が $0 < \gamma < T$ の範囲にある非自明零点の個数 $N(T)$ について、リーマン・フォン・マンゴルトの公式

$$N(T) = \frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} + \frac{7}{8} + O(\log T)$$

が知られています。$T = 100$ で主要項を計算すると、$T/(2\pi) = 15.9155$、$\log(15.9155) = 2.7673$ より

$$15.9155 \times 2.7673 - 15.9155 + 0.875 = 44.04 - 15.92 + 0.88 = 29.00 .$$

実際に $0 < \gamma < 100$ にある非自明零点は 29 個で、主要項の予言とぴたりと一致します。虚部の小さいほうから並べると

$$\gamma_1 = 14.134725\ldots,\quad \gamma_2 = 21.022040\ldots,\quad \gamma_3 = 25.010858\ldots,\quad \gamma_4 = 30.424876\ldots$$

で、対応する零点は $\rho_k = \tfrac{1}{2} + i\gamma_k$ と、その複素共役 $\tfrac{1}{2} - i\gamma_k$ です。零点は虚部が大きくなるほど密に並んでおり、高さ $T$ あたりの密度は $\frac{1}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}$ でゆっくり増えます。

6. なぜこれが素数分布の最重要問題なのか

リーマン予想が「ゼータ関数のマニアックな性質」ではなく素数の問題である理由は、明示公式にあります。素数を数える代わりに、素数べきに $\log p$ の重みを付けたチェビシェフ関数を使うと式が最も簡単になります。

定義 6.1（チェビシェフ関数と対数積分）↗

フォン・マンゴルト関数を

$$\Lambda(n) := \begin{cases} \log p & (n = p^{k},\ p \text{ は素数},\ k \ge 1) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$$

で定め、$\psi(x) := \sum_{n \le x}\Lambda(n)$ とおく。また対数積分（定義 6.1［素数の魅力と素数定理］）を主値積分

$$\operatorname{li}(x) := \mathrm{p.v.}\!\int_{0}^{x} \frac{dt}{\log t}$$

で定める。素数定理は $\psi(x) \sim x$、あるいは $\pi(x) \sim \operatorname{li}(x)$ と表される。

注意 6.2（リーマンの明示公式）

$x > 1$ が素数べきでないとき、非自明零点 $\rho$ 全体にわたる和として

$$\psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \log(2\pi) - \frac{1}{2}\log\!\left(1 - x^{-2}\right)$$

が成り立ちます（和は $|\operatorname{Im}\rho| \le T$ で切って $T \to \infty$ とする対称的な極限の意味です）。この式は、$-\zeta'(s)/\zeta(s) = \sum_{n\ge1}\Lambda(n)n^{-s}$ を複素積分（ペロンの公式）で反転し、留数定理を使って得られます。$s=1$ の極が主要項 $x$ を、非自明零点 $\rho$ が項 $-x^{\rho}/\rho$ を、自明な零点が最後の対数項を生みます。証明は Edwards 第 3 章、または Apostol 第 13 章にあります。

この式は驚くべきものです。左辺は素数を数える階段関数、右辺は滑らかな項 $x$ と、零点ごとの波の重ね合わせです。$\rho = \beta + i\gamma$ と書くと

$$\left|\frac{x^{\rho}}{\rho}\right| = \frac{x^{\beta}}{|\rho|}$$

ですから、各零点の寄与の大きさは実部 $\beta$ だけで決まります。$\beta$ が $1$ に近い零点があれば誤差は $x$ とほぼ同じ大きさになり、素数の分布は大きく乱れます。逆にすべての $\beta$ が $1/2$ なら、誤差はどれも $\sqrt{x}$ の程度に揃います。リーマン予想とは「誤差項が可能な限り小さい」という主張なのです。

大きさの感覚をつかむために、各項の分母 $|\rho|$ を無視して $x^{\beta}$ だけを比べてみます。$x = 10^{6}$ のとき、$\beta = 1/2$ なら $x^{\beta} = 10^{3}$ ですが、$\beta = 0.9$ だと $x^{\beta}$ は約 $2.5 \times 10^{5}$ になり、同じ零点一つでも誤差への効き方が二桁以上違います。

なお、素数を数える関数がなぜ複素積分と結びつくのかは次のように考えます。$\psi(x)$ は級数 $\sum_n \Lambda(n) n^{-s}$ の係数 $\Lambda(n)$ を $n \le x$ まで足したものです。この級数は $-\zeta'/\zeta$ に等しく（演習 4）、級数から係数の和を取り出す道具が複素積分（ペロンの公式）です。その積分を留数定理で計算すると、$-\zeta'/\zeta$ の極、つまり $s=1$ と $\zeta$ の零点が拾われて、明示公式の各項になります。なお $\Lambda(n)$ はフォン・マンゴルト関数で、$n$ が素数べき $p^k$ のときに $\log p$、それ以外では $0$ をとる関数です。

ゼータ関数から素数分布へ至る論理の流れ

この直観を厳密にしたのがフォン・コッホの定理です。証明は二段構えで、まず $\pi(x)-\operatorname{li}(x)$ の大きさと $\psi(x)-x$ の大きさが互いに言い換えられること（部分和の公式）を示し、そのうえで $\psi$ の側で零点の位置と誤差の関係を調べます。

定理 6.3（フォン・コッホの同値定理）✓

次の二つは同値である。

1. リーマン予想（公理 5.3）が成り立つ。
2. ある定数 $C > 0$ が存在して、すべての $x \ge 2$ に対し

$$\left|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\right| \le C\sqrt{x}\,\log x .$$

同値な別形として、リーマン予想は「任意の $\varepsilon > 0$ に対し $\psi(x) = x + O\!\left(x^{1/2+\varepsilon}\right)$」とも同値である。

証明（定理 6.3）

補題は Appendix「フォン・コッホの同値定理の証明」に置きます。$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ とし、$x\ge2$ で $\operatorname{li}(x)=\operatorname{li}(2)+\int_2^x\frac{dt}{\log t}$ であることを使います（主値は $t=1$ でだけ必要）。

部分和の公式. $x\ge2$ について、$\log p=\log x-\int_p^x\frac{dt}t$ を素数 $p\le x$ について足し、Tonelli の定理で和と積分を交換すると $\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_2^x\frac{\pi(t)}t\,dt$。同様に $\frac1{\log p}=\frac1{\log x}+\int_p^x\frac{dt}{t\log^2t}$ を $\log p$ を掛けて足すと $\pi(x)=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}dt$。一方 $\frac{d}{dx}(\operatorname{li}(x)\log x)=1+\frac{\operatorname{li}(x)}x$、$\int_2^x\frac{dt}{\log t}=\frac x{\log x}-\frac2{\log2}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2t}$（部分積分）なので

$$\theta(x)-x=\bigl(\pi(x)-\operatorname{li}(x)\bigr)\log x-\int_2^x\frac{\pi(t)-\operatorname{li}(t)}{t}\,dt+c_1,\qquad \pi(x)-\operatorname{li}(x)=\frac{\theta(x)-x}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)-t}{t\log^2t}\,dt+c_2$$

です（$c_1=\operatorname{li}(2)\log2-2$、$c_2=\frac2{\log2}-\operatorname{li}(2)$）。

$(1)\Rightarrow(2)$. 補題 7.11 と 補題 7.5 の $0\le\psi(x)-\theta(x)\le2\sqrt x\log x$ から、$x\ge2$ で $|\theta(x)-x|\le C\sqrt x\log^2x$ です。第 2 の公式に代入すると

$$|\pi(x)-\operatorname{li}(x)|\le C\sqrt x\log x+C\int_2^x\frac{dt}{\sqrt t}+|c_2|\le C'\sqrt x\log x\qquad(x\ge2).$$

$(2)\Rightarrow(1)$. 第 1 の公式に $|\pi(t)-\operatorname{li}(t)|\le C\sqrt t\log t$ を代入すると $|\theta(x)-x|\le C\sqrt x\log^2x+C\int_2^x\frac{\log t}{\sqrt t}dt+|c_1|\le C''\sqrt x\log^2x$、したがって $|\psi(x)-x|\le C'''\sqrt x\log^2x$ です。任意の $\varepsilon\gt0$ で $\log^2x\le C_\varepsilon x^\varepsilon$ なので、補題 7.12 を $\alpha=\frac12$ で使うとリーマン予想（公理 5.3）が従います。

別形. リーマン予想の下では、上のとおり $\psi(x)=x+O(\sqrt x\log^2x)=x+O(x^{1/2+\varepsilon})$。逆に、すべての $\varepsilon\gt0$ で $\psi(x)=x+O(x^{1/2+\varepsilon})$ なら、補題 7.12 からリーマン予想が成り立ちます。

∎

注意 6.4

証明の骨格は、注意 6.2 の明示公式を有限の高さ $T$ で切った形（Perron の公式で $\psi(x)$ を $-\zeta'/\zeta$ の線積分に直し、積分路を $\operatorname{Re}s=\frac14$ まで動かす）に $|x^\rho|=\sqrt x$ を代入し、$\sum_{|\gamma|\lt T}1/|\rho|$ を高さ $1$ あたり $O(\log T)$ 個という零点の局所的な個数の評価で抑え、$T\approx x$ と選ぶことです。逆向きは、$-\zeta'(s)/\zeta(s)-\frac s{s-1}=s\int_1^\infty(\psi(x)-x)x^{-s-1}dx$ の右辺が $\operatorname{Re}s\gt\frac12$ で正則になることから、そこに零点がないことを読み取ります。Davenport『Multiplicative Number Theory』第 15・17・18 章、Titchmarsh 第 14 章に同じ方針の証明があります。なお定数まで込めた精密形として、リーマン予想の下で $x \ge 2657$ ならば $|\pi(x)-\operatorname{li}(x)| \le \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log x$ が成り立つことが Schoenfeld (1976) により示されています。

例 6.5（素数計数関数と対数積分の差を実際に見る）

既知の値を並べます。

$x$	$\pi(x)$	$\operatorname{li}(x)$（概算）	$\operatorname{li}(x)-\pi(x)$	$\sqrt{x}$
$10^{4}$	$1\,229$	$1\,246.1$	$17.1$	$100$
$10^{6}$	$78\,498$	$78\,627.5$	$129.5$	$1\,000$
$10^{8}$	$5\,761\,455$	$5\,762\,209.4$	$754.4$	$10^{4}$
$10^{10}$	$455\,052\,511$	$455\,055\,614.6$	$3\,103.6$	$10^{5}$
$10^{12}$	$37\,607\,912\,018$	$37\,607\,950\,280.8$	$38\,262.8$	$10^{6}$

差はどの行でも $\sqrt{x}$ より小さく、$x$ が $10^{8}$ 倍になっても差は $2000$ 倍程度にしか増えていません。$\sqrt{x}$ は $10^{4}$ 倍になっているので、経験的には $\sqrt{x}$ よりむしろ緩やかです。定理 6.3 の主張する $\sqrt{x}\log x$ の枠に、余裕をもって収まっています。

表を見ると $\operatorname{li}(x) > \pi(x)$ が常に成り立ちそうに見えますが、これは誤りです。リトルウッド（1914）は $\operatorname{li}(x) - \pi(x)$ が符号を無限回変えることを証明しました。最初の符号変化が起きる $x$ の位置は今も特定されておらず、上界（スキューズ数と呼ばれる系列の評価）が知られているだけです。有限の数値実験がどれほど説得的に見えても証明にはならない、という数論の教訓がここにあります。

注意

$10^{13}$ 個の零点を確認しても反例が出ないことは、リーマン予想の証拠ではあっても証明ではありません。リトルウッドの例が示すとおり、この分野では「最初の反例が天文学的に大きい」ことが実際に起こります。

li(x) − π(x) と √x の比較（両軸とも対数目盛り。値は上の表のもの）

リーマン予想が素数以外にも波及することを示すため、同値な言明をいくつか挙げます。見た目の分野がまったく違うのに、すべて臨界線上の零点という一点に帰着します。

同値な言明	内容	出典
素数計数の誤差	$\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x}\log x)$	von Koch (1901)
チェビシェフ関数	任意の $\varepsilon > 0$ で $\psi(x) = x + O(x^{1/2+\varepsilon})$	明示公式から
メルテンス関数	任意の $\varepsilon > 0$ で $\sum_{n \le x}\mu(n) = O(x^{1/2+\varepsilon})$	古典的
約数和の上界	$n > 5040$ なるすべての $n$ で $\sigma(n) < e^{\gamma} n \log\log n$	Robin (1984)
調和数による判定	すべての $n \ge 1$ で $\sigma(n) \le H_n + e^{H_n}\log H_n$（等号は $n=1$ のみ）	Lagarias (2002)

ここで $\mu$ はメビウス関数（$n$ が $1$ より大きい平方数で割り切れるなら $0$、異なる $k$ 個の素数の積なら $(-1)^k$ をとる関数）、$\sigma(n)$ は $n$ の約数の総和、$H_n = \sum_{k \le n} 1/k$、$\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数です。最後の二つは複素解析をまったく含まない初等的な形をしていますが、リーマン予想と完全に同値です。とくに Lagarias の判定は、リーマン予想を算術の $\Pi_1$ 文として書き下すための道具にもなります（例 8.2［ゲーデルの不完全性定理］）。

さらに、この構図は $\zeta$ に限りません。数論に現れる多くの対象——ディリクレの $L$ 関数、代数体のデデキント・ゼータ関数、そして 楕円曲線とモジュラー形式 で扱う楕円曲線の $L$ 関数（定義 4.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ のトレース $a_p$ から作られます）——にも同型の関数等式と「一般化リーマン予想」があります。同じ形の予想が広い範囲で立つこと自体が、零点の位置が偶然ではないことを示唆しています。リーマン予想は、素数分布という一つの問題であると同時に、$L$ 関数という一族全体の設計図についての問いでもあるのです。

7. 演習

演習 7.1易

$\operatorname{Re} s > 1$ のとき $\left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s) = \sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n^{-s}$ が成り立つことを、絶対収束を根拠として示してください。また $s = 2$ でこの等式を確かめ、$\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1}/n^{2}$ の値を求めてください。

解答

$\operatorname{Re} s = \sigma > 1$ で $\sum_n |n^{-s}| = \sum_n n^{-\sigma} < \infty$ なので、級数の項を自由に並べ替え・分割できます。偶数 $n = 2m$ にわたる和は

$$\sum_{m \ge 1}(2m)^{-s} = 2^{-s}\sum_{m\ge1} m^{-s} = 2^{-s}\zeta(s)$$

です。したがって

$$\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} = \sum_{n \ge 1}n^{-s} - 2\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \zeta(s) - 2\cdot 2^{-s}\zeta(s) = \left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s).$$

$s = 2$ とすると $1 - 2^{-1} = 1/2$ なので

$$\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} = \frac{1}{2}\zeta(2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{6} = \frac{\pi^{2}}{12} = 0.822467\ldots$$

です。

演習 7.2標準

$\mu$ をメビウス関数とします。$\mu(n)^{2}$ は $n$ が平方因子を持たないとき $1$、そうでないとき $0$ です。$\operatorname{Re} s > 1$ において

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)^{2}}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$$

を示してください。

解答

$\sigma > 1$ とします。定理 3.1 の証明と同じ論法を使います。$n$ が平方因子を持たないことは、$n$ の素因数分解に各素数が高々 $1$ 回しか現れないことと同値です。したがって有限積を展開すると

$$\prod_{p \le N}\left(1 + p^{-s}\right) = \sum_{n \in A_N,\ \mu(n)^2 = 1} n^{-s}$$

となります（各素数について「使わない」か「$1$ 回だけ使う」かの二択で、素因数分解の一意性からこれらの $n$ が重複なく現れます）。ここで $A_N$ は素因数がすべて $N$ 以下の自然数の集合です。$n \le N$ なら必ず $n \in A_N$ ですから、左辺と無限和の差は $n > N$ の項だけからなり、その絶対値は $\sum_{n>N} n^{-\sigma} \to 0$ で抑えられます。よって $N \to \infty$ として

$$\sum_{n\ge1}\frac{\mu(n)^{2}}{n^{s}} = \prod_{p}\left(1+p^{-s}\right).$$

（$\sum_n \mu(n)^2 n^{-\sigma} \le \zeta(\sigma) < \infty$ なので絶対収束は保証されます。）

次に恒等式 $1 + u = \dfrac{1-u^{2}}{1-u}$（$u = p^{-s}$）を使うと

$$\prod_p \left(1+p^{-s}\right) = \prod_p \frac{1 - p^{-2s}}{1-p^{-s}} = \frac{\prod_p\left(1-p^{-2s}\right)}{\prod_p\left(1-p^{-s}\right)} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} .$$

最後の等号で 定理 3.1 を $s$ と $2s$ の両方に適用しました（$\operatorname{Re}(2s) > 2 > 1$ なので適用可能で、系 3.2 より $\zeta(2s) \ne 0$ なので割り算も正当です）。

演習 7.3標準

定理 4.5 と $\zeta(4) = \pi^{4}/90$ を使って $\zeta(-3)$ を求めてください。

解答

関数等式

$$\zeta(s) = 2^{s}\pi^{s-1}\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$

に $s = -3$ を代入します。各因子を順に計算します。

• $2^{-3} = \dfrac18$、$\pi^{-3-1} = \pi^{-4}$。
• $\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right) = +1$（$-3\pi/2$ は $\pi/2$ と $2\pi$ の差なので値は $1$ です）。
• $\Gamma(1-(-3)) = \Gamma(4) = 3! = 6$。
• $\zeta(1-(-3)) = \zeta(4) = \dfrac{\pi^{4}}{90}$。

したがって

$$\zeta(-3) = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\pi^{4}}\cdot 1 \cdot 6 \cdot \frac{\pi^{4}}{90} = \frac{6}{8 \cdot 90} = \frac{1}{120}.$$

$\pi^{4}$ が約分されて有理数になる点に注意してください。一般に負の奇数点 $\zeta(1-2m)$ はベルヌーイ数を用いて $-B_{2m}/(2m)$ と書ける有理数になります。実際 $m=2$ では $B_4 = -1/30$ より $-B_4/4 = 1/120$ で、上の計算と一致します。

演習 7.4難

$\operatorname{Re} s > 1$ において

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}}$$

が成り立つことを示してください（$\Lambda$ は 定義 6.1 のフォン・マンゴルト関数）。これが 注意 6.2 の明示公式の出発点です。

解答

$\sigma_0 > 1$ を固定し、半平面 $\operatorname{Re} s \ge \sigma_0$ で考えます。系 3.2 より $\zeta(s)\ne0$ なので $\zeta'/\zeta$ はここで正則です。

命題 3.4 の証明と同じ展開により、$\operatorname{Re} s > 1$ で

$$\log \zeta(s) = \sum_{p}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p^{-ks}}{k}$$

が成り立ちます（対数は $\zeta$ の連続な分枝を取ります）。右辺の二重級数は $\operatorname{Re} s \ge \sigma_0$ で

$$\sum_p \sum_k \frac{p^{-k\sigma_0}}{k} \le \sum_p\sum_k p^{-k\sigma_0} \le 2\sum_p p^{-\sigma_0} \le 2\zeta(\sigma_0) < \infty$$

と一様に評価できるので、広義一様収束します。正則関数列が広義一様収束するとき項別微分できる（ワイヤシュトラスの定理）ので、$\frac{d}{ds}p^{-ks} = -(k\log p)\,p^{-ks}$ を使って

$$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \frac{d}{ds}\log\zeta(s) = \sum_p \sum_{k\ge1} \frac{-(k\log p)p^{-ks}}{k} = -\sum_p\sum_{k \ge 1}(\log p)\, p^{-ks}.$$

符号を移すと

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_p \sum_{k\ge1}\frac{\log p}{\left(p^{k}\right)^{s}} .$$

右辺の和は「素数べき $n = p^{k}$」を走り、そのとき係数は $\log p = \Lambda(n)$ です。素数べきでない $n$ には $\Lambda(n)=0$ を割り当てればよいので、右辺は $\sum_{n \ge 1}\Lambda(n)n^{-s}$ に等しくなります。素因数分解の一意性より、各素数べき $n$ を与える組 $(p,k)$ は一意なので、重複はありません。

参考文献

• B. Riemann, “Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859. — 関数等式・明示公式・リーマン予想が最初に現れた原論文。
• H. M. Edwards, Riemann’s Zeta Function, Academic Press, 1974（Dover 版 2001）— 第 1 章がリーマンの原論文の逐条解説、第 3 章が明示公式。
• E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd ed. (revised by D. R. Heath-Brown), Oxford University Press, 1986. — 第 2 章に関数等式、第 14 章にリーマン予想と誤差項の同値性。
• T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976. — 第 11〜13 章。オイラー積から素数定理までを学部レベルで丁寧に扱う。
• H. von Koch, “Sur la distribution des nombres premiers”, Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. — 定理 6.3 の原論文。
• J. B. Conrey, “The Riemann Hypothesis”, Notices of the American Mathematical Society 50 (2003), 341–353. — 現代的な研究状況の概観。

Appendix: 零点はなぜ「波」なのか

明示公式の各項を波として読む方法を補足します。 注意 6.2 の和に現れる零点は共役対 $\rho = \tfrac12 + i\gamma$ と $\bar\rho = \tfrac12 - i\gamma$ で現れます（定理 4.5 の後で述べた実軸対称性によります）。リーマン予想を仮定してこの対の寄与をまとめると、$x^{\rho} = x^{1/2}e^{i\gamma\log x}$ と $\overline{x^{\rho}} = x^{1/2}e^{-i\gamma\log x}$ の和になるので

$$\frac{x^{\rho}}{\rho} + \frac{x^{\bar\rho}}{\bar\rho} = 2\operatorname{Re}\frac{x^{\rho}}{\rho} = \frac{2\sqrt{x}}{|\rho|}\cos\!\left(\gamma\log x - \arg\rho\right)$$

という実数の式になります。これは変数 $u = \log x$ について周期 $2\pi/\gamma$ の余弦波で、振幅は $2\sqrt{x}/|\rho|$ です。

つまり明示公式は「$\psi(x) = x - (\text{無数の余弦波の重ね合わせ})$」と読めます。素数の分布は、主要項 $x$ に零点由来の波が干渉して階段状の形が作られる、という描像です。振幅は $2\sqrt{x}/|\rho|$ なので、虚部 $\gamma$ の小さい零点ほど大きく効きます。$\gamma_1 = 14.13$ の零点が最も強い波を出し、その周期は $\log x$ について $2\pi/14.13 \approx 0.445$、すなわち $x$ が $e^{0.445} \approx 1.56$ 倍になるごとに一周します。

もし臨界線から外れた零点 $\rho = \beta + i\gamma$（$\beta > 1/2$）が存在すれば、その波の振幅は $x^{\beta}$ に比例して他より速く育ち、いずれすべての波を圧倒します。リーマン予想とは「どの波も突出しない」、言い換えれば素数の分布が主要項のまわりで可能な限り整然と揺れている、という主張なのです。

Appendix: フォン・コッホの同値定理の証明

定理 6.3 の証明に使う補題をまとめます。$s=\sigma+it$ と書き、$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$、$\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$（定義 6.1）とします。零点は位数の分だけ重複して数えます。

補題群は二つの向きに分かれます。リーマン予想から誤差の評価を出す向き（補題 7.11）には、ゼータ関数の大きさ、零点の局所的な個数、打ち切ったペロンの公式の補題を順に使います。逆向き、つまり誤差の評価から零点の位置を出す向きには 補題 7.12 を使います。最初の補題は両方に共通する準備です。

補題 7.5（チェビシェフ関数の評価と対数微分）✓

1. $x\ge1$ について $\theta(x)\le x\log4$、$0\le\psi(x)-\theta(x)\le2\sqrt x\log x$、$\psi(x)\le3x$。
2. $\sigma\gt1$ で $-\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{\Lambda(n)}{n^s}=s\int_1^\infty\psi(x)x^{-s-1}dx$ で、$0\le\sum_n\Lambda(n)n^{-\sigma}\le\dfrac{3\sigma}{\sigma-1}$。

証明（補題 7.5）

1. $\theta(x)\le x\log4$ は 命題 5.3［素数の魅力と素数定理］ の証明（同記事 Appendix の第 1 段）で示されています。素数冪 $p^k\le x$ を $k$ ごとにまとめると $\psi(x)=\sum_{k\ge1}\theta(x^{1/k})$ で、$k\gt\log x/\log2$ では $x^{1/k}\lt2$ なので項は $0$ です。$k\ge2$ の項は $\theta(\sqrt x)\le\sqrt x\log4$ 以下なので、$\psi(x)-\theta(x)\le\frac{\log x}{\log2}\sqrt x\log4=2\sqrt x\log x$。$\log x/\sqrt x\le2/e$ から $\psi(x)\le(\log4+4/e)x\le3x$ です。

2. 定理 4.2［素数の魅力と素数定理］ で $n=\prod p^{e_p}$ と分解すると、$n$ の約数のうち素数冪であるものは $p^k$（$1\le k\le e_p$）なので $\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n$ です。$\sigma\gt1$ では $\sum n^{-s}$ と $\sum\Lambda(n)n^{-s}$（$0\le\Lambda(n)\le\log n$）が絶対収束するので、積を $(d,m)$ を添字とする絶対収束する二重級数とみて $n=dm$ ごとにまとめて（定理 7.11［級数と収束判定］ の 2） $\zeta(s)\sum_d\Lambda(d)d^{-s}=\sum_n(\log n)n^{-s}=-\zeta'(s)$ です（最後は部分和が $\sigma\ge\sigma_0\gt1$ で一様収束するので項別微分できること、定理 5.2［偏角の原理と Rouché の定理］）。$\zeta(s)\ne0$（系 3.2）で割れば第 1 の等式です。次に $n^{-s}=s\int_n^\infty x^{-s-1}dx$ を代入し、$\sum_n\Lambda(n)|s|\int_n^\infty x^{-\sigma-1}dx=\frac{|s|}\sigma\sum\Lambda(n)n^{-\sigma}\lt\infty$ なので和と積分を交換できて、$\sum_n\Lambda(n)n^{-s}=s\int_1^\infty\bigl(\sum_{n\le x}\Lambda(n)\bigr)x^{-s-1}dx$ です。$s=\sigma$ とし 1 の $\psi(x)\le3x$ を使えば最後の評価です。

∎

補題 7.6（臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ）✓

$P_2(x)=\frac12(\{x\}^2-\{x\})$（$\{x\}$ は小数部分）とおく。$\sigma\gt-1$、$s\ne1$ で

$$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-\frac12-s(s+1)\int_1^\infty P_2(x)\,x^{-s-2}\,dx$$

が成り立つ。とくに $-\frac12\le\sigma\le3$、$|t|\ge2$ で $|\zeta(s)|\le3|t|^2$、$\sigma\ge2$ で $|\zeta(s)|\le2$、また $|\zeta(2+it)|\ge c_0:=1-\sum_{n\ge2}n^{-2}\gt0.3$。

証明（補題 7.6）

$\sigma\gt1$ とします。$n(n^{-s}-(n+1)^{-s})=n^{1-s}-(n+1)^{1-s}+(n+1)^{-s}$ を $n=1,\ldots,N$ で足して $N\to\infty$ とすると、$s\int_1^\infty\lfloor x\rfloor x^{-s-1}dx=\sum_nn\cdot s\int_n^{n+1}x^{-s-1}dx=\zeta(s)$ です。$P_1(x)=\{x\}-\frac12$ とおくと $\lfloor x\rfloor=x-\frac12-P_1(x)$ で、$s\int_1^\infty x^{-s}dx=\frac s{s-1}$、$s\int_1^\infty\frac12x^{-s-1}dx=\frac12$ なので $\zeta(s)=\frac s{s-1}-\frac12-s\int_1^\infty P_1(x)x^{-s-1}dx$。$P_2$ は連続で $P_2'=P_1$（整数点以外）、$P_2$ は整数点で $0$、$-\frac18\le P_2\le0$ なので、部分積分で $\int_1^\infty P_1x^{-s-1}dx=(s+1)\int_1^\infty P_2x^{-s-2}dx$ を得て、$\sigma\gt1$ で等式が成り立ちます。

右辺の積分は、$\sigma\ge-1+\delta$ で被積分関数の絶対値が $\frac18x^{-1-\delta}$ 以下なので、$\int_1^N$（Fubini と Morera の定理 定理 3.6［正則関数の強力な性質］ で整関数）の局所一様な極限として $\sigma\gt-1$ で正則です（定理 5.2［偏角の原理と Rouché の定理］）。$\zeta$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数（定理 4.5）なので、一致の定理（定理 7.3［正則関数の強力な性質］）により等式は $\sigma\gt-1$、$s\ne1$ で成り立ちます。

評価: $-\frac12\le\sigma\le3$、$|t|\ge2$ では $|s|\le3+|t|\le\frac52|t|$、$|s+1|\le4+|t|\le3|t|$、$|s-1|\ge|t|$、積分は $\frac1{8(\sigma+1)}\le\frac14$ 以下なので $|\zeta(s)|\le\frac52+\frac12+\frac{15}8|t|^2\le3|t|^2$。$\sigma\ge2$ では $|\zeta(s)|\le\sum n^{-2}\lt2$、$|\zeta(2+it)|\ge1-\sum_{n\ge2}n^{-2}$ で、$\sum_{n\ge2}n^{-2}\le\frac14+\frac19+\sum_{n\ge4}\frac1{n(n-1)}=\frac14+\frac19+\frac13\lt0.7$ です。

∎

補題 7.7（Borel–Carathéodory 型の評価）✓

$h$ を閉円板 $|z-z_0|\le R$ を含む開集合で正則とし、$h(z_0)=0$、円周 $|z-z_0|=R$ 上で $\mathrm{Re}\,h\le A$ とする。このとき $|z-z_0|\lt R$ で $|h'(z)|\le\dfrac{2AR}{(R-|z-z_0|)^2}$。

証明（補題 7.7）

$z_0=0$ とし、$|z|\lt R$ を固定します。導関数版の積分公式（定理 3.2［正則関数の強力な性質］）から $h'(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{|w|=R}\frac{h(w)}{(w-z)^2}dw$。$h=\sum_na_nw^n$ は $|w|=R$ で一様収束し（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）、円周上では $\overline{h(w)}=\sum_n\bar a_nR^{2n}w^{-n}$、$\frac1{(w-z)^2}=\sum_{k\ge0}(k+1)z^kw^{-k-2}$ なので、$\oint\frac{\overline{h(w)}}{(w-z)^2}dw$ は $w^{-1}$ の項をもたない級数の項別積分で $0$ です。$\oint\frac{dw}{(w-z)^2}=0$ も同様です。よって $u=\mathrm{Re}\,h$ について

$$h'(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{|w|=R}\frac{2(u(w)-A)}{(w-z)^2}dw,\qquad|h'(z)|\le\frac{2R}{(R-|z|)^2}\cdot\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl(A-u(Re^{i\phi})\bigr)d\phi .$$

Cauchy の積分公式（定理 6.1［コーシーの積分定理と積分公式］）の実部から $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(Re^{i\phi})d\phi=u(0)=0$ なので、右辺は $\frac{2AR}{(R-|z|)^2}$ です。

∎

補題 7.8（零点の近くでの対数微分（Landau の補題））✓

$f$ を閉円板 $|z-z_0|\le\frac52$ を含む開集合で正則とし、$f(z_0)\ne0$、$M\ge1$ について円板上で $|f(z)|\le e^M|f(z_0)|$ とする。$Z$ を $|\rho-z_0|\le2$ にある $f$ の零点の多重集合とすると、(a) $\#Z\le M/\log\frac54$、(b) $|z-z_0|\le\frac74$ で $f(z)\ne0$ なら $\Bigl|\dfrac{f'(z)}{f(z)}-\displaystyle\sum_{\rho\in Z}\frac1{z-\rho}\Bigr|\le470M$。

証明（補題 7.8）

(a) Jensen の公式（定理 7.2［Jensen の公式と劣調和関数］）を半径 $\frac52$ で使うと、右辺の和の各項は非負で、$|\rho-z_0|\le2$ の零点の項は $\log\frac54$ 以上、左辺は $\log|f(z_0)|+M$ 以下なので、$\#Z\log\frac54\le M$ です。

(b) $n=\#Z$ とし、$g(z)=f(z)\prod_{\rho\in Z}(z-\rho)^{-1}$ とおくと、$g$ は除去可能特異点を除いて同じ開集合で正則で、$|z-z_0|\le2$ に零点をもちません。$|z-z_0|=\frac52$ では $|z-\rho|\ge\frac12$、$|z_0-\rho|\le2$ なので $\bigl|\frac{g(z)}{g(z_0)}\bigr|=\bigl|\frac{f(z)}{f(z_0)}\bigr|\prod_\rho\frac{|z_0-\rho|}{|z-\rho|}\le e^M4^n$ で、最大値原理（定理 7.7［正則関数の強力な性質］）から閉円板全体でも同じ評価が成り立ちます。$g$ は $|z-z_0|\le2$ を含む開円板で零点をもたないので、$g'/g$ の原始関数 $h$ で $h(z_0)=0$ となるものが取れ（凸領域では Goursat の定理 定理 4.5［コーシーの積分定理と積分公式］ から $h(z)=\int_{[z_0,z]}g'/g$ が原始関数）、$(ge^{-h})'=0$ から $g=g(z_0)e^h$、$\mathrm{Re}\,h=\log|g/g(z_0)|\le M+n\log4$ です。補題 7.7 を半径 $2$ で使うと、$|z-z_0|\le\frac74$ で

$$\Bigl|\frac{f'}{f}(z)-\sum_{\rho\in Z}\frac1{z-\rho}\Bigr|=|h'(z)|\le\frac{2\cdot2(M+n\log4)}{(1/4)^2}\le64\Bigl(1+\frac{\log4}{\log(5/4)}\Bigr)M\le470M .$$∎

補題 7.9（ゼータ関数の零点の局所的な個数）✓

$|t|\ge5$ とし、$Z(t)$ を $|\rho-(2+it)|\le2$ にある $\zeta$ の零点の多重集合とする。$\#Z(t)\le18\log|t|$ で、$|s-(2+it)|\le\frac74$ かつ $\zeta(s)\ne0$ なら

$$\Bigl|\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}-\sum_{\rho\in Z(t)}\frac1{s-\rho}\Bigr|\le1900\log|t| .$$

とくに、零点 $\rho=\beta+i\gamma$ で $\beta\ge\frac12$、$|\gamma-t|\le1$ を満たすものはすべて $Z(t)$ に属する。

証明（補題 7.9）

閉円板 $|s-(2+it)|\le\frac52$ は $s=1$ を含まず、その上で $-\frac12\le\sigma\le\frac92$、$|\mathrm{Im}\,s|\in[2,\frac32|t|]$ です。補題 7.6 から円板上で $|\zeta(s)|\le3\cdot\frac94t^2\le7t^2$、$|\zeta(2+it)|\ge c_0\gt0.3$ なので、$M=\log(24t^2)\le4\log|t|$（$|t|\ge5$ なら $24\le t^2$）として 補題 7.8 が使えます。$4/\log\frac54\le18$、$470\cdot4\le1900$ です。最後の主張は $\beta\le1$（系 3.2）から $|\rho-(2+it)|^2\le(2-\frac12)^2+1\lt4$ によります。

∎

補題 7.10（打ち切った Perron の公式）✓

$y\gt0$、$y\ne1$、$c\gt0$、$T\gt0$ について

$$\Bigl|\frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}\frac{y^s}{s}\,ds-\mathbf 1_{y\gt1}\Bigr|\le\frac{y^c}{\pi T|\log y|}.$$

証明（補題 7.10）

$y\gt1$ のとき、$U\gt0$ について頂点 $c\pm iT$、$-U\pm iT$ の長方形の周に留数定理（定理 5.1［留数定理と定積分への応用］）を使うと、内部の特異点は $s=0$（留数 $1$）だけです。水平な 2 辺の積分は、$|y^s/s|\le y^\sigma/T$ から合わせて $\frac2T\int_{-\infty}^cy^\sigma d\sigma=\frac{2y^c}{T\log y}$ 以下、左の縦の辺は $\frac{2Ty^{-U}}U\to0$（$U\to\infty$）なので、$2\pi$ で割って主張です。$y\lt1$ のときは右側の長方形（頂点 $c\pm iT$、$U\pm iT$）を使うと内部に特異点がなく、同様に $\frac{2}{T}\int_c^\infty y^\sigma d\sigma=\frac{2y^c}{T|\log y|}$ で抑えられます。

∎

補題 7.11（リーマン予想の下での ψ の誤差）✓

リーマン予想（公理 5.3）を仮定する。定数 $C$ があって、$x\ge2$ で $|\psi(x)-x|\le C\sqrt x\log^2x$。

証明（補題 7.11）

$\psi$ は $[N,N+1)$（$N$ は整数）で定数なので、$x=N+\frac12$（$N\ge5$）の場合に示せば十分です（一般の $x$ では $|x-(\lfloor x\rfloor+\frac12)|\le\frac12$、小さい $x$ は $C$ で吸収）。$c=1+1/\log x$ とおきます。

零点の位置. 定義 5.2 と仮定から、$\sigma\ge\frac14$ にある $\zeta$ の零点はすべて臨界線上の $\rho=\frac12+i\gamma$ です（$\sigma\gt1$ には零点がない）。$\zeta(\bar s)=\overline{\zeta(s)}$ なので零点は実軸について対称です。

(1) Perron の公式. 線分 $\mathrm{Re}\,s=c$ 上では $\sum_n\Lambda(n)|n^{-s}|\le\sum\Lambda(n)n^{-c}\lt\infty$ なので、項別に積分して 補題 7.5 の 2 から

$$J(x,T):=\frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}\Bigl(-\frac{\zeta'}\zeta(s)\Bigr)\frac{x^s}s\,ds=\sum_n\Lambda(n)\,\frac1{2\pi i}\int_{c-iT}^{c+iT}\frac{(x/n)^s}{s}ds .$$

補題 7.10 から $|\psi(x)-J(x,T)|\le\sum_n\Lambda(n)\frac{(x/n)^c}{\pi T|\log(x/n)|}$ です。$n\le x/2$ または $n\ge2x$ の項は $|\log(x/n)|\ge\log2$、$x^c=ex$、補題 7.5 の $\sum\Lambda(n)n^{-c}\le3c\log x$ から合わせて $\frac{3ec\,x\log x}{\pi T\log2}\le\frac{8x\log x}{T}$ 以下です。$x/2\lt n\lt2x$ の項では $\Lambda(n)\le\log2x$、$(x/n)^c\le4$、$u=x/n\in(\frac12,2)$ について $|\log u|\ge|u-1|/2\ge|x-n|/(4x)$、$|x-n|\ge\frac12$ なので、合わせて $\frac{16x\log2x}{\pi T}\sum_{x/2\lt n\lt2x}\frac1{|x-n|}\le\frac{16x\log2x}{\pi T}\cdot2\bigl(2+\log(4x+1)\bigr)$ 以下です。よって $|\psi(x)-J(x,T)|\le C_1\frac{x\log^2x}{T}$ です。

(2) 高さ $T$ の選び方. 補題 7.9 を $t=x+\frac12$ で使うと、$\gamma\in[x,x+1]$ の零点は $Z(x+\frac12)$ に属し、その個数 $K$ は $18\log(x+\frac12)$ 以下です。$[x,x+1]$ を $K+1$ 等分すると、内部に $\gamma$ を含まない小区間があり、その中点を $T$ とすると、すべての零点について $|T-\gamma|\ge\frac1{2(K+1)}\ge\frac1{40\log x}$（$x\ge5$）。対称性から $|-T-\gamma|$ も同じです。

(3) 積分路の移動. 頂点 $c\pm iT$、$\frac14\pm iT$ の長方形の周に留数定理を使います。領域としては、$|\gamma|\in(T,T+\delta)$ の零点がないように小さい $\delta\gt0$ を取った凸領域 $\{0\lt\sigma\lt3,\ |t|\lt T+\delta\}$ を取ります。周の上に零点はなく、内部の特異点は $s=1$（定理 4.3 から $\zeta(s)=h(s)/(s-1)$、$h(1)=1$ と書けて $-\zeta'/\zeta=\frac1{s-1}-h'/h$ なので、$-\frac{\zeta'}{\zeta}\frac{x^s}s$ の留数は $x$）と $|\gamma|\lt T$ の零点 $\rho$（補題 2.3［偏角の原理と Rouché の定理］ から留数は $-m_\rho x^\rho/\rho$、$m_\rho$ は位数）です。よって

$$J(x,T)=x-\sum_{|\gamma|\lt T}\frac{x^\rho}{\rho}-\frac1{2\pi i}\Bigl(\int_{c+iT}^{\frac14+iT}+\int_{\frac14+iT}^{\frac14-iT}+\int_{\frac14-iT}^{c-iT}\Bigr)\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\Bigr)\frac{x^s}{s}ds$$

（和は重複込み）。

(4) 評価. 水平な辺 $s=\sigma\pm iT$（$\frac14\le\sigma\le c\le2$）では $|s-(2\pm iT)|=2-\sigma\le\frac74$、$|s-\rho|\ge|T\mp\gamma|\ge\frac1{40\log x}$ なので、補題 7.9 から $|\zeta'/\zeta(s)|\le18\log T\cdot40\log x+1900\log T\le C_2\log^2x$（$T\le x+1$）。$|x^s/s|\le x^\sigma/T$、$\int_{1/4}^cx^\sigma d\sigma\le x^c/\log x=ex/\log x$ なので、水平な辺の寄与は $C_3x\log x/T$ 以下です。縦の辺 $s=\frac14+it$ では、$|t|\ge5$ なら $|s-\rho|\ge\frac14$ から $|\zeta'/\zeta(s)|\le4\cdot18\log|t|+1900\log|t|\le2000\log|t|$、$|t|\le5$ では零点も極もない有界閉線分上の連続関数として有界です。よって寄与は $x^{1/4}\bigl(C_4+\int_5^T\frac{4000\log t}{t}dt\bigr)\le C_5x^{1/4}\log^2x$ です。零点の和は、$|x^\rho|=\sqrt x$、$|\rho|\ge\max(\frac12,|\gamma|)$ と、$k\ge5$ について $\gamma\in[k,k+1]$ の零点が $Z(k+\frac12)$ に属し $18\log(k+1)$ 個以下であること（負の側も対称）、$|\gamma|\le5$ の零点が有限個であることから

$$\sum_{|\gamma|\lt T}\frac{|x^\rho|}{|\rho|}\le\sqrt x\Bigl(C_6+2\sum_{5\le k\le T}\frac{18\log(k+1)}{k}\Bigr)\le C_7\sqrt x\log^2x .$$

(1)〜(4) を合わせ、$x\le T\le x+1$ を使えば $|\psi(x)-x|\le C\sqrt x\log^2x$ です。

∎

補題 7.12（誤差の評価から零点のない領域へ）✓

$\frac12\le\alpha\lt1$ とし、任意の $\varepsilon\gt0$ について定数 $C_\varepsilon$ があって $x\ge1$ で $|\psi(x)-x|\le C_\varepsilon x^{\alpha+\varepsilon}$ とする。このとき $\zeta$ は $\mathrm{Re}\,s\gt\alpha$ に零点をもたない。とくに $\alpha=\frac12$ ならリーマン予想が成り立つ。

証明（補題 7.12）

補題 7.5 の 2 と $s\int_1^\infty x\cdot x^{-s-1}dx=\frac s{s-1}$ から、$\sigma\gt1$ で

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}-\frac{s}{s-1}=s\int_1^\infty(\psi(x)-x)x^{-s-1}dx=:G(s).$$

$\sigma\ge\alpha+2\varepsilon$ では被積分関数の絶対値は $C_\varepsilon x^{-1-\varepsilon}$ 以下なので、補題 7.6 の証明と同じく $G$ は $\sigma\gt\alpha$ で正則です。左辺は $\sigma\gt\alpha$ で有理型で、その極を除いた（連結な）領域で $G$ と一致します（一致の定理）。$\zeta(\rho)=0$、$\mathrm{Re}\,\rho\gt\alpha$ なら $\rho\ne1$ で、補題 2.3［偏角の原理と Rouché の定理］ から $-\zeta'/\zeta$ は $\rho$ で留数 $-m\ne0$ の極をもち、$\frac s{s-1}$ は $\rho$ の近くで正則なので、左辺は $\rho$ の近くで有界になりません。これは $G$ が $\rho$ で正則であることに矛盾します。

$\alpha=\frac12$ とします。非自明零点 $\rho$ は $0\le\mathrm{Re}\,\rho\le1$ を満たし（定義 5.2）、いま示したことから $\mathrm{Re}\,\rho\le\frac12$ です。$\mathrm{Re}\,\rho\lt\frac12$ と仮定します。$\rho\ne0$（$\zeta(0)=-\frac12$、命題 4.7）なので $\rho/2$ と $(1-\rho)/2$ は $\Gamma$ の極（$0,-1,-2,\ldots$、定理 6.2［整関数とガンマ関数］）でなく、$\Gamma$ は零点をもたない（定理 6.4［整関数とガンマ関数］）ので、$\xi(\rho)=0$ で、定理 4.5 の $\xi(1-\rho)=\xi(\rho)=0$ から $\zeta(1-\rho)=0$ です。ところが $\mathrm{Re}(1-\rho)\gt\frac12$ なので前半に矛盾します。よってすべての非自明零点は $\mathrm{Re}\,\rho=\frac12$ を満たします。

∎