マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ

0. この記事の要点

コイン投げで「表なら 1 円もらい、裏なら 1 円払う」賭けを続けるとき、賭け方をどんなに工夫しても平均的には得も損もしないはずです。この記事は、その直感を数学の言葉で言い直すところから始めます。そのうえで、花粉の粒のように休みなく揺れ動く量を表すブラウン運動を定義し、その道がどれほどギザギザしているかを調べます。読み終えると、賭けに勝つ確率や勝負にかかる平均の回数を、方程式を立てずに計算できるようになります。

• マルチンゲールとは「現時点までの情報を全部使っても、次の時点の期待値が現在値に等しい」確率過程（時間とともに動く確率的な量）です。条件付き期待値がなければ書けない概念であり、公平な賭けの数学的な定式化になっています。
• 可予測な賭け方をどう工夫しても公平なゲームは有利になりません。この事実は「マルチンゲール変換はマルチンゲールである」という一行の定理に集約されます。
• 停止時刻 $\tau$ で止めた過程もまたマルチンゲールです。ここから任意停止定理 $E[X_\tau] = E[X_0]$ が出て、ギャンブラーの破産確率と平均ゲーム時間が、微分方程式も母関数も使わずに求まります。
• ブラウン運動（ウィーナー過程）は、$B_0 = 0$・独立増分・$B_t - B_s \sim N(0, t-s)$・連続な道、という四条件で定義されます。これは「中心化ガウス過程で共分散が $\min(s,t)$」と同値です。
• ブラウン運動の道は二次変分（細かく刻んだ増分の二乗和）が $t$ という異常な性質を持ち、その帰結としてどの区間でも有界変動でない（折れ線で測った道のりの長さがいくらでも大きくなる）ことが従います。これが伊藤積分（ブラウン運動に関する積分）を必要とする直接の理由です。
• $B_t$、$B_t^2 - t$、$\exp(\lambda B_t - \lambda^2 t/2)$ の三つはいずれもマルチンゲールです。この三つを任意停止定理に流し込むだけで、ブラウン運動の到達時刻の分布が計算できます。

この記事で使う事前知識

• 条件付き期待値: 「ここまでの情報が分かっているとして」という条件のもとでの期待値。情報が増えるほど細かくなります。→ 条件付き期待値
• 期待値: 確率で重みをつけた値の平均。→ 期待値
• 正規分布: 平均と分散で決まる釣り鐘型の分布。ブラウン運動の増分はこの分布に従います。→ 正規分布
• 分布収束: 確率変数の分布が、ある分布に近づいていくこと。中心極限定理の言う収束です。→ 分布収束
• 連続性: 入力を少し変えても出力が少ししか変わらない、という関数の性質。→ 連続性

1. 動機

1.1. 「必勝法」はなぜ必勝でないのか

18 世紀のフランスで流行した賭け方に、こういうものがあります。まず 1 単位を賭ける。負けたら次は 2 単位、また負けたら 4 単位、と倍々に増やしていく。勝率が $1/2$ の公平なゲームなら、いつかは必ず勝つ。そして最初に勝った時点で、それまでの損失 $1 + 2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$ に対して $2^k$ の払い戻しを受けるので、差し引き必ず 1 単位の利益が出る。この賭け方は当時のフランス語で martingale と呼ばれました。今日の数学用語「マルチンゲール」の語源です。

もちろんこれは必勝法ではありません。破綻する理由は「所持金が有限」だからですが、では所持金が無限にあれば本当に必勝なのでしょうか。あるいは、もっと巧妙な賭け方なら公平なゲームを有利にできるのでしょうか。この素朴な疑問に完全な答えを与えるのが、この章で扱う理論です。答えを先に言うと、過去の情報だけを見て賭け金を決めるかぎり、有界な時間内では絶対に有利にできません（定理 3.7 と 定理 4.3）。そして倍賭け戦略が「必勝」に見えたのは、「初めて勝つまで」という停止時刻 $\tau$ が有界でなく、しかも途中の累積損失に上限がなかったからです。

1.2. 花粉の粒子から連続時間の過程へ

もう一つの出発点は物理です。1827 年、植物学者ロバート・ブラウンは水に浮かべた花粉から出た微粒子が不規則に運動し続けるのを観察しました。1905 年にアインシュタインがこれを分子の熱運動による衝突として説明し、変位の分散が時間に比例することを導きます。数学的には、これに先立つ 1900 年にバシュリエが株価の変動モデルとして本質的に同じ過程を扱っていました。

しかし「連続な道を持ち、独立な正規増分を持つ確率過程」が数学的な対象として存在することを証明したのは、1923 年のノーバート・ウィーナーです。存在証明が必要だったのは、要求している性質が互いに強く干渉するからです。増分が独立で分散が時間差に比例するなら、短い時間 $h$ での変位は典型的に $\sqrt{h}$ の大きさです。$\sqrt{h}/h \to \infty$ ですから、道は連続であっても微分可能ではありえません。連続かつ至るところ微分不可能な関数を、確率 1 で選び出す仕組みが要ります。

この二つの流れ、賭けの理論と物理の理論は、20 世紀半ばに一つになりました。ブラウン運動はマルチンゲールの典型例であり、逆にレヴィの特徴づけによれば、連続なマルチンゲールでその二次変分が $t$ であるものはブラウン運動しかありません（注意 6.5）。この章はその合流点を見るための章です。

この章の論理の流れ

2. 準備：情報の流れをどう書くか

この章では、時間とともに増えていく情報を $\sigma$-加法族の増大列で表します。以下 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ は確率空間とします（確率空間とコルモゴロフの公理 の 定義 4.1［確率空間とコルモゴロフの公理］ を参照）。

定義 2.1（フィルトレーションと適合過程）↗

添字集合を $T = \{0, 1, 2, \ldots\}$（離散時間）または $T = [0, \infty)$（連続時間）とする。

1. $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$-加法族の族 $(\mathcal{F}_t)_{t \in T}$ が、$s \le t$ ならば $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t$ を満たすとき、$(\mathcal{F}_t)_{t\in T}$ をフィルトレーションという。
2. 確率過程 $(X_t)_{t \in T}$ が、すべての $t \in T$ について $X_t$ が $\mathcal{F}_t$-可測であるとき、$(X_t)$ は $(\mathcal{F}_t)$ に適合しているという。
3. 特に $\mathcal{F}_t^X := \sigma(X_s : s \le t, \ s\in T)$ を $(X_t)$ の自然なフィルトレーションという。

$\mathcal{F}_t$ は「時刻 $t$ までに観測できた出来事の全体」を表します。適合性は「$X_t$ の値は時刻 $t$ には確定している」ことを意味し、未来を先読みしないという要請です。

証明で繰り返し使う条件付き期待値の性質を挙げておきます。表のうち「タワー性」は、細かい情報で条件づけた結果をさらに粗い情報で条件づけ直すと、最初から粗い情報で条件づけたのと同じになる、という性質です。「既知量の取り出し」は、条件の側で値が分かっている量は定数のように外に出せる、という性質です。$Z, W$ を可積分な確率変数、$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ を部分 $\sigma$-加法族とします（詳細は 条件付き期待値 の 定義 3.1［条件付き期待値］ 以降を参照）。

名称	主張
線形性	$E[aZ + bW \mid \mathcal{G}] = aE[Z\mid\mathcal{G}] + bE[W\mid\mathcal{G}]$ a.s.
タワー性	$\mathcal{H} \subset \mathcal{G}$ なら $E\bigl[E[Z\mid\mathcal{G}]\bigm\vert \mathcal{H}\bigr] = E[Z\mid\mathcal{H}]$ a.s.
既知量の取り出し	$Y$ が $\mathcal{G}$-可測で $YZ$ が可積分なら $E[YZ\mid\mathcal{G}] = Y\,E[Z\mid\mathcal{G}]$ a.s.
独立性	$Z$ が $\mathcal{G}$ と独立なら $E[Z\mid\mathcal{G}] = E[Z]$ a.s.
イェンセンの不等式	$\varphi$ が凸で $\varphi(Z)$ が可積分なら $\varphi(E[Z\mid\mathcal{G}]) \le E[\varphi(Z)\mid\mathcal{G}]$ a.s.

以下、条件付き期待値に関する等式・不等式はすべて「ほとんど確実に」の意味で述べます。毎回 a.s. と書くのは煩雑なので、断りのないかぎり省略します。

3. マルチンゲール

3.1. 定義と最初の帰結

定義 3.1（マルチンゲール）↗

$(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$ をフィルトレーション、$(X_n)_{n\ge0}$ を実数値確率過程とする。次の三条件が成り立つとき、$(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールであるという。

1. $(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に適合している。
2. すべての $n \ge 0$ について $E[|X_n|] < \infty$。
3. すべての $n \ge 0$ について $E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n$。

条件 3 を $E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \ge X_n$ で置き換えたものを劣マルチンゲール、$E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \le X_n$ で置き換えたものを優マルチンゲールという。連続時間 $T = [0,\infty)$ の場合は、条件 3 を「$0 \le s \le t$ に対し $E[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$」に読み替える。

条件 2 を落とすと条件付き期待値そのものが定義できないので、可積分性は飾りではありません。名前の直感は次のとおりです。$X_n$ を「時刻 $n$ での持ち金」と読むと、マルチンゲールは公平な賭け、劣マルチンゲールは自分に有利な賭け、優マルチンゲールは不利な賭けに対応します。日本語の「劣」「優」と有利・不利が逆に見えるのは、劣マルチンゲールが優調和関数ではなく劣調和関数に対応するという解析学側の命名に合わせているためです。

命題 3.2（マルチンゲールの基本性質）✓

$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールとする。このとき、$0 \le n \le m$ を満たす任意の整数 $n, m$ について

$$E[X_m \mid \mathcal{F}_n] = X_n, \qquad E[X_m] = E[X_0]$$

が成り立つ。

証明（命題 3.2）

$n$ を固定し、$m$ に関する帰納法で第一式を示します。$m = n$ のときは $X_n$ が $\mathcal{F}_n$-可測（定義 3.1 の条件 1）なので $E[X_n\mid\mathcal{F}_n] = X_n$ です。

$m \ge n$ で $E[X_m\mid\mathcal{F}_n] = X_n$ が成り立つとします。$\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_m$ なのでタワー性が使えて、

$$E[X_{m+1}\mid\mathcal{F}_n] = E\bigl[E[X_{m+1}\mid\mathcal{F}_m]\bigm|\mathcal{F}_n\bigr] = E[X_m \mid \mathcal{F}_n] = X_n .$$

二つ目の等号で 定義 3.1 の条件 3 を、三つ目で帰納法の仮定を使いました。

第二式は、第一式で $n = 0$ とし、両辺の期待値を取ればよいです。$E\bigl[E[X_m\mid\mathcal{F}_0]\bigr] = E[X_m]$ なので $E[X_m] = E[X_0]$ が出ます。

∎

命題 3.2 は「公平なゲームを何回続けても、平均持ち金は初期値のまま」という主張です。ここで重要なのは、$m$ が定数であることです。$m$ を確率変数（たとえば「勝ち越したところでやめる」）に置き換えると結論は一般には壊れます。どこまでなら壊れないかが 定理 4.3 の内容です。

3.2. 例

例 3.3（ランダムウォークと二次のマルチンゲール）

$\xi_1, \xi_2, \ldots$ を独立同分布な確率変数列で、$E[\xi_1] = 0$、$\sigma^2 := E[\xi_1^2] < \infty$ を満たすものとします。$S_0 = x$（定数）、$S_n = x + \xi_1 + \cdots + \xi_n$ とおき、$\mathcal{F}_n = \sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$（$\mathcal{F}_0$ は自明な $\sigma$-加法族）とします。

まず $(S_n)$ はマルチンゲールです。適合性と可積分性（$E|S_n| \le |x| + nE|\xi_1| < \infty$）は明らかなので、条件 3 を確かめます。$\xi_{n+1}$ は $\mathcal{F}_n$ と独立なので

$$E[S_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = E[S_n \mid \mathcal{F}_n] + E[\xi_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = S_n + E[\xi_{n+1}] = S_n + 0 = S_n .$$

既知量の取り出し（$S_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測）と独立性の性質を使いました。

次に $M_n := S_n^2 - n\sigma^2$ もマルチンゲールです。$S_{n+1} = S_n + \xi_{n+1}$ を展開すると

$$E[S_{n+1}^2 \mid \mathcal{F}_n] = E[S_n^2 + 2S_n\xi_{n+1} + \xi_{n+1}^2 \mid \mathcal{F}_n] = S_n^2 + 2S_n E[\xi_{n+1}] + E[\xi_{n+1}^2] = S_n^2 + \sigma^2$$

となります。ここでも $S_n$ と $S_n^2$ が $\mathcal{F}_n$-可測であることと、$\xi_{n+1}$ が $\mathcal{F}_n$ と独立であることを使いました。両辺から $(n+1)\sigma^2$ を引けば $E[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = M_n$ です。可積分性は $E[S_n^2] = x^2 + n\sigma^2 < \infty$ から従います。

例 3.4（ドゥーブのマルチンゲール）

$Z$ を $E|Z| < \infty$ なる確率変数、$(\mathcal{F}_n)$ を任意のフィルトレーションとし、$X_n := E[Z \mid \mathcal{F}_n]$ とおきます。条件付き期待値の定義から $X_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測、また $E|X_n| \le E\bigl[E[|Z| \mid \mathcal{F}_n]\bigr] = E|Z| < \infty$（イェンセンの不等式を $\varphi(u)=|u|$ に適用）なので可積分です。タワー性から

$$E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = E\bigl[E[Z\mid\mathcal{F}_{n+1}]\bigm|\mathcal{F}_n\bigr] = E[Z\mid\mathcal{F}_n] = X_n$$

となり、マルチンゲールです。これは「固定された量 $Z$ についての知識が、情報が増えるにつれて更新されていく」過程であり、ベイズ推定や機械学習の逐次学習の枠組みと同じ形をしています。

例 3.5（離散時間の指数マルチンゲール）

例 3.3 の設定で、さらに $\varphi(\lambda) := E[e^{\lambda\xi_1}] < \infty$ となる $\lambda$ を取ります（たとえば $\xi_1 = \pm1$ が等確率なら $\varphi(\lambda) = \cosh\lambda$ ですべての $\lambda$ で有限です）。このとき

$$Y_n := \frac{e^{\lambda S_n}}{\varphi(\lambda)^n}$$

はマルチンゲールです。実際、$e^{\lambda S_{n+1}} = e^{\lambda S_n}e^{\lambda\xi_{n+1}}$ と分解し、$e^{\lambda S_n}$ が $\mathcal{F}_n$-可測、$e^{\lambda\xi_{n+1}}$ が $\mathcal{F}_n$ と独立であることを使うと

$$E[e^{\lambda S_{n+1}}\mid\mathcal{F}_n] = e^{\lambda S_n}E[e^{\lambda\xi_{n+1}}] = e^{\lambda S_n}\varphi(\lambda)$$

となり、両辺を $\varphi(\lambda)^{n+1}$ で割れば主張を得ます。$\lambda$ を自由に動かせるので、この族は到達時刻のラプラス変換を計算する道具になります（演習 7.4）。

3.3. 賭け方を変えても勝てない

「どんな賭け方をしても公平なゲームは公平なまま」を定式化します。鍵は、時刻 $n$ の賭け金は時刻 $n-1$ までの情報だけで決まる、という制約です。

定義 3.6（可予測過程とマルチンゲール変換）↗

確率過程 $(H_n)_{n\ge1}$ が、すべての $n \ge 1$ について $H_n$ が $\mathcal{F}_{n-1}$-可測であるとき、$(H_n)$ は可予測であるという。$(X_n)_{n\ge0}$ に対し

$$(H\cdot X)_0 := 0, \qquad (H\cdot X)_n := \sum_{k=1}^{n} H_k\,(X_k - X_{k-1}) \quad (n \ge 1)$$

で定まる過程 $(H\cdot X)_n$ を、$H$ による $X$ のマルチンゲール変換という。

$H_k$ は「$k$ 回目の勝負に賭ける単位数」、$X_k - X_{k-1}$ は「1 単位あたりの損益」、$(H\cdot X)_n$ は「$n$ 回目までの累積損益」です。倍賭け戦略も、直前までの勝敗を見て賭け金を決めるので可予測です。

定理 3.7（マルチンゲール変換の不変性）✓

$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$(H_n)_{n\ge1}$ を可予測かつ各 $n$ について有界（$|H_n| \le C_n$ なる定数 $C_n$ が存在する）な過程とする。このとき $\bigl((H\cdot X)_n\bigr)_{n\ge0}$ も $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールであり、特に $E[(H\cdot X)_n] = 0$ がすべての $n$ で成り立つ。

証明（定理 3.7）

適合性を確かめます。$H_k$ は $\mathcal{F}_{k-1} \subset \mathcal{F}_n$-可測（$k \le n$）、$X_k, X_{k-1}$ は $\mathcal{F}_n$-可測なので、有限和である $(H\cdot X)_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測です。

可積分性を確かめます。三角不等式から

$$E\bigl[|(H\cdot X)_n|\bigr] \le \sum_{k=1}^{n} C_k\bigl(E|X_k| + E|X_{k-1}|\bigr) < \infty$$

であり、右辺の有限性は 定義 3.1 の条件 2 によります。

最後に条件 3 です。$(H\cdot X)_{n+1} - (H\cdot X)_n = H_{n+1}(X_{n+1}-X_n)$ であり、$H_{n+1}$ は $\mathcal{F}_n$-可測で有界ですから、既知量の取り出しが使えて

$$E\bigl[H_{n+1}(X_{n+1}-X_n)\bigm|\mathcal{F}_n\bigr] = H_{n+1}\,E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal{F}_n] = H_{n+1}\cdot 0 = 0 .$$

最後の等号は 定義 3.1 の条件 3 です。よって $E[(H\cdot X)_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = (H\cdot X)_n$ となります。$(H\cdot X)_0 = 0$ と 命題 3.2 から $E[(H\cdot X)_n] = 0$ です。

∎

ヒント

定理 3.7 は「システムベッティングは存在しない」という定理です。倍賭け戦略 $H_k = 2^{k-1}\mathbf{1}_{\{\tau \ge k\}}$（$\tau$ は初めて勝つ時刻）も、各 $k$ については $|H_k|\le 2^{k-1}$ と有界な可予測過程ですから、この定理の適用範囲内にあります。したがって固定した $n$ に対しては $E[(H\cdot X)_n]=0$、すなわち回数を先に決めて打ち切るかぎり倍賭けでも得はしません。それでも「必勝」に見えるのは、有界でない停止時刻 $\tau$ まで続けたときの $(H\cdot X)_\tau$ を見ているからで、そこでは賭け金も途中の損失も上限を持たず、定理 4.3 の (a) も (b) も満たされません（$\tau$ 自体は $E[\tau]=2$ と可積分です）。

4. 停止時刻と任意停止定理

4.1. 停止時刻

定義 4.1（停止時刻）↗

写像 $\tau : \Omega \to \{0,1,2,\ldots\} \cup \{+\infty\}$ が、すべての $n \ge 0$ について

$$\{\tau \le n\} \in \mathcal{F}_n$$

を満たすとき、$\tau$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関する停止時刻という。連続時間の場合は、すべての $t \ge 0$ について $\{\tau \le t\} \in \mathcal{F}_t$ を要請する。

離散時間では $\{\tau \le n\} \in \mathcal{F}_n$ と $\{\tau = n\}\in\mathcal{F}_n$ は同値です。実際、$\{\tau = n\} = \{\tau\le n\}\setminus\{\tau\le n-1\}$ で、$\{\tau\le n-1\}\in\mathcal{F}_{n-1}\subset\mathcal{F}_n$ ですから前者から後者が出ます。逆は $\{\tau\le n\} = \bigcup_{k\le n}\{\tau = k\}$ です。

定義の意味は「時刻 $n$ の時点で、もう止まったかどうかが判定できる」ことです。「株価が最高値を付けた日に売る」は最高値がいつだったか将来にならないと分からないので停止時刻ではありません。「株価が初めて 1000 円を超えた日に売る」は停止時刻です。

補題 4.2（止めた過程もマルチンゲール）✓

$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\tau$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関する停止時刻とする。$X^\tau_n := X_{n\wedge\tau}$（$n\wedge\tau = \min(n,\tau)$）とおくと、$(X^\tau_n)_{n\ge0}$ もマルチンゲールであり、特に $E[X_{n\wedge\tau}] = E[X_0]$ がすべての $n$ で成り立つ。

証明（補題 4.2）

$H_k := \mathbf{1}_{\{\tau \ge k\}}$ とおきます。$\{\tau \ge k\} = \{\tau \le k-1\}^{c}$ であり、定義 4.1 より $\{\tau\le k-1\}\in\mathcal{F}_{k-1}$ ですから $H_k$ は $\mathcal{F}_{k-1}$-可測、すなわち可予測です。また $0 \le H_k \le 1$ で有界です。

このとき

$$(H\cdot X)_n = \sum_{k=1}^{n}\mathbf{1}_{\{\tau\ge k\}}(X_k - X_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n\wedge\tau}(X_k - X_{k-1}) = X_{n\wedge\tau} - X_0$$

が成り立ちます。二つ目の等号は、$k \le \tau$ のときだけ項が残ることと、$k$ は $n$ 以下を動くことによります。三つ目は望遠鏡和です。

定理 3.7 より $(H\cdot X)_n$ はマルチンゲールで、定数 $X_0$ を足しても（$X_0$ は $\mathcal{F}_0$-可測で可積分なので）マルチンゲール性は保たれます。実際 $E[X_0\mid\mathcal{F}_n] = X_0$ です。よって $X^\tau_n = X_0 + (H\cdot X)_n$ はマルチンゲールであり、$E[X^\tau_n] = E[X^\tau_0] = E[X_0]$ を得ます。

∎

4.2. 任意停止定理

補題 4.2 は $E[X_{n\wedge\tau}] = E[X_0]$ を与えます。欲しいのは $E[X_\tau] = E[X_0]$ ですから、$n \to \infty$ の極限を取る必要があります。極限と期待値の交換に条件が要る、というのがこの定理の全体像です。

定理 4.3（ドゥーブの任意停止定理）✓

$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\tau$ を停止時刻とする。次のいずれかが成り立つならば、$X_\tau$ は可積分で $E[X_\tau] = E[X_0]$ である。

(a) ある定数 $K$ が存在して $\tau \le K$ が確率 1 で成り立つ。

(b) $P(\tau < \infty) = 1$ であり、かつ可積分な確率変数 $Y$（$E[Y] < \infty$、$Y \ge 0$）が存在して、すべての $n$ について $|X_{n\wedge\tau}| \le Y$ が確率 1 で成り立つ。

証明（定理 4.3）

(a) の場合。$n = K$ とすると $K \wedge \tau = \tau$ なので、補題 4.2 の等式 $E[X_{K\wedge\tau}] = E[X_0]$ がそのまま $E[X_\tau] = E[X_0]$ です。可積分性も $X_\tau = X_{K\wedge\tau}$ が可積分であることから従います。

(b) の場合。$P(\tau<\infty) = 1$ なので、確率 1 の事象の上で、$n$ が十分大きければ $n \wedge \tau = \tau$ となります。したがって

$$X_{n\wedge\tau} \xrightarrow{n\to\infty} X_\tau \quad \text{a.s.}$$

です。仮定より $|X_{n\wedge\tau}| \le Y$ で $Y$ は可積分ですから、優収束定理（ルベーグ積分の定義と収束定理 の 定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］ を参照）が適用できて、$X_\tau$ は可積分であり

$$E[X_\tau] = \lim_{n\to\infty} E[X_{n\wedge\tau}] = E[X_0]$$

となります。最後の等号は 補題 4.2 です。

∎

実際に使いやすいのは次の形です。

系 4.4（増分が有界な場合）✓

$(X_n)$ をマルチンゲール、$\tau$ を停止時刻とする。$E[\tau] < \infty$ であり、さらにある定数 $C$ が存在してすべての $n \ge 1$ で $|X_n - X_{n-1}| \le C$ が確率 1 で成り立つならば、$E[X_\tau] = E[X_0]$ である。

証明（系 4.4）

$E[\tau]<\infty$ より $P(\tau<\infty) = 1$ です。また

$$|X_{n\wedge\tau} - X_0| = \Bigl|\sum_{k=1}^{n\wedge\tau}(X_k - X_{k-1})\Bigr| \le \sum_{k=1}^{n\wedge\tau} |X_k - X_{k-1}| \le C\,(n\wedge\tau) \le C\tau$$

なので、$Y := |X_0| + C\tau$ とおけば $|X_{n\wedge\tau}| \le Y$ がすべての $n$ で成り立ちます。$E[Y] \le E|X_0| + CE[\tau] < \infty$ ですから、定理 4.3 の (b) が適用できます。

∎

4.3. ギャンブラーの破産問題

次の例では、持ち金が 0 か目標額 $N$ に達したらゲームを終えるギャンブラーを考えます。やりたいことは三つあります。まず、ゲームが必ず終わり平均の長さも有限であること（第一段）を、「$N$ 回連続で $+1$ が出れば、出発点がどこでも必ず終わる」という事実を長さ $N$ のブロックごとに使って確かめます。次に、任意停止定理で目標額に届く確率を求め（第二段）、最後に二次のマルチンゲールで平均の勝負回数を求めます（第三段）。

ギャンブラーの破産問題。所持金 x から出発し、0 または N に到達した時刻が停止時刻 τ

例 4.5（破産確率と平均ゲーム時間）

$\xi_1,\xi_2,\ldots$ を $P(\xi_i = 1) = P(\xi_i = -1) = 1/2$ の独立同分布列とし、整数 $N \ge 2$ と $0 < x < N$ を固定して $S_n = x + \xi_1+\cdots+\xi_n$ とします。$\mathcal{F}_n = \sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ とし、

$$\tau := \inf\{n \ge 0 : S_n = 0 \ \text{または}\ S_n = N\}$$

とおきます（そのような $n$ がなければ $\tau = +\infty$）。$\{\tau \le n\}$ は $S_0,\ldots,S_n$ だけで決まるので $\tau$ は停止時刻です。

第一段：$E[\tau] < \infty$ を示す。 $N$ 回連続で $+1$ が出れば、出発点が $(0,N)$ のどこであっても値は $N$ 以上に到達するはずですが、歩幅が 1 なので途中で必ず $N$ に一致します。つまりその区間内で吸収されます。各長さ $N$ のブロックで $+1$ が $N$ 回連続する確率は $2^{-N}$ で、ブロックごとに独立ですから

$$P(\tau > (m+1)N) \le \bigl(1 - 2^{-N}\bigr)P(\tau > mN),$$

したがって $P(\tau > mN) \le (1-2^{-N})^m$ です。$q := 1-2^{-N} < 1$ とおくと

$$E[\tau] = \sum_{k \ge 0} P(\tau > k) \le \sum_{m\ge0} N\,P(\tau > mN) \le N\sum_{m\ge0}q^m = \frac{N}{1-q} = N\,2^{N} < \infty$$

となり、特に $P(\tau<\infty)=1$ です。

第二段：破産確率。 $(S_n)$ は 例 3.3 よりマルチンゲールです。$n \le \tau$ の間 $0 \le S_n \le N$ なので $|S_{n\wedge\tau}| \le N$ であり、定数 $Y = N$ が 定理 4.3 の (b) の条件を満たします。よって

$$x = E[S_0] = E[S_\tau] = 0\cdot P(S_\tau = 0) + N\cdot P(S_\tau = N)$$

となり、目標額 $N$ に到達する確率は

$$P(S_\tau = N) = \frac{x}{N}, \qquad P(S_\tau = 0) = 1 - \frac{x}{N}$$

と決まります。所持金 1 万円で 100 万円を目指すなら、成功確率はちょうど $1/100$ です。

第三段：平均ゲーム時間。 $\sigma^2 = E[\xi_1^2] = 1$ なので、例 3.3 より $M_n := S_n^2 - n$ はマルチンゲールです。$|M_{n\wedge\tau}| \le N^2 + (n\wedge\tau) \le N^2 + \tau$ であり、第一段より $E[N^2+\tau]<\infty$ ですから、再び 定理 4.3 の (b) が使えて $E[M_\tau] = E[M_0] = x^2$ です。すなわち

$$x^2 = E[S_\tau^2] - E[\tau] = N^2\cdot\frac{x}{N} - E[\tau] = Nx - E[\tau]$$

となり、

$$E[\tau] = Nx - x^2 = x(N-x)$$

を得ます。$x = N/2$ のとき最大で $N^2/4$ 回。$N = 100$、$x = 50$ なら平均 2500 回の勝負が必要という、直感よりかなり大きい数字です。

注意 4.6（マルチンゲール収束定理）

この章では扱いませんが、マルチンゲール理論の中心にはもう一つの柱があります。$(X_n)$ が優マルチンゲールで $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ ならば、$X_n$ はある可積分な確率変数 $X_\infty$ に確率 1 で収束します（ドゥーブの優マルチンゲール収束定理）。証明はアップクロッシング不等式によります。Williams『Probability with Martingales』第 11 章、または Durrett『Probability: Theory and Examples』第 4 章を参照してください。この定理から大数の強法則の別証明も得られます（大数の法則と中心極限定理 を参照）。

5. ブラウン運動

5.1. 定義

ランダムウォーク $S_n$ の分散は $n$ に比例します。時間を $1/n$ 倍に縮めると同時に空間を $1/\sqrt{n}$ 倍に縮めると分散が保存されるので、$S_{\lfloor nt\rfloor}/\sqrt{n}$ という縮尺のもとで極限を取るのが自然です。中心極限定理（定理 5.6）［大数の法則と中心極限定理］ から、固定した $t$ でこの量は $N(0,t)$ に分布収束します。その極限を「過程として」定義したものが次です。

定義 5.1（ブラウン運動（ウィーナー過程））↗

確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の実数値確率過程 $(B_t)_{t\ge0}$ が次の四条件を満たすとき、$(B_t)$ を標準ブラウン運動（ウィーナー過程）という。

1. $P(B_0 = 0) = 1$。
2. （独立増分）任意の $0 \le t_0 < t_1 < \cdots < t_k$ に対し、増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\ B_{t_2}-B_{t_1},\ \ldots,\ B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立である。
3. （正規増分）任意の $0 \le s < t$ に対し、$B_t - B_s$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布 $N(0,t-s)$ に従う。
4. （連続性）確率 1 で、写像 $t \mapsto B_t(\omega)$ は $[0,\infty)$ 上連続である。

条件 3 で分散が $t-s$ であること、すなわち $s$ と $t$ の差だけで決まることが、増分の定常性を含んでいます。条件 4 は他の三条件から導かれるものではありません。同じ有限次元分布を持ちながら道が至るところ不連続になるような過程も作れてしまうので、連続性は独立に要請する必要があります。

定理 5.2（ウィーナーの存在定理）✓

定義 5.1 の四条件をすべて満たす確率過程 $(B_t)_{t\ge0}$ が存在する。

証明（定理 5.2）

Kolmogorov の拡張定理と連続性定理 の 定理 7.2［Kolmogorov の拡張定理と連続性定理］ の (1) は、定義 5.1 の四条件を満たし、しかも（確率 1 でではなく）すべての道が連続な実数値過程の存在を述べています。条件 4 はそれより弱いので、その過程が求めるものです。

同定理の証明の流れは次のとおりです。共分散 $\min(s,t)$ の中心化 Gauss 過程をまず Kolmogorov の拡張定理で作り（ここまでで条件 1〜3 の有限次元分布が実現されます）、増分の 4 次モーメント $E|X_t-X_s|^4=3|t-s|^2$ に Kolmogorov の連続性定理を適用して連続な修正を取り、最後に本記事の 命題 5.5 の (ii) ⇒ (i) で標準ブラウン運動であることを確かめます。命題 5.5 の証明はブラウン運動の存在を使っていないので、循環はありません。

∎

注意 5.3（存在定理の証明について）

条件 1〜3 だけを満たす過程の存在はコルモゴロフの拡張定理から従いますが、それだけでは条件 4 が保証されません。上の証明はこの欠落を連続性定理で埋めました。連続な見本道を直接作る別の構成として標準的なのは、ハール関数の積分（シャウダー関数）による級数展開を使うレヴィ–チースィエルスキの構成です。骨子を Appendix に置きました。完全な証明は Mörters–Peres『Brownian Motion』第 1 章、または Karatzas–Shreve『Brownian Motion and Stochastic Calculus』第 2 章にあります。

5.2. ガウス過程としての特徴づけ

定義 5.4（中心化ガウス過程）↗

確率過程 $(X_t)_{t\ge0}$ が、任意の有限個の時刻 $t_1,\ldots,t_k \ge 0$ と任意の実数 $a_1,\ldots,a_k$ に対し $\sum_{i=1}^{k} a_i X_{t_i}$ が正規分布（分散 $0$ の退化した場合も含む）に従うとき、$(X_t)$ をガウス過程という。さらにすべての $t$ で $E[X_t]=0$ のとき中心化ガウス過程という。関数 $(s,t)\mapsto E[X_sX_t]$ をその共分散関数という。

命題 5.5（ブラウン運動のガウス過程による特徴づけ）✓

連続な見本道を持ち $P(X_0=0)=1$ を満たす確率過程 $(X_t)_{t\ge0}$ について、次は同値である。

(i) $(X_t)$ は標準ブラウン運動である。

(ii) $(X_t)$ は中心化ガウス過程であり、共分散関数が $E[X_sX_t] = \min(s,t)$ である。

証明（命題 5.5）

(i) ならば (ii)。 時刻 $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_k$ を取り、増分ベクトルを $\boldsymbol{\Delta} = (X_{t_1}-X_{t_0}, \ldots, X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^{\mathsf{T}}$ とします。定義 5.1 の条件 2, 3 より $\boldsymbol{\Delta}$ の成分は独立な正規確率変数なので、$\boldsymbol{\Delta}$ は多変量正規分布に従います。$X_{t_i} = \sum_{j\le i}(X_{t_j}-X_{t_{j-1}})$ ですから $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})^{\mathsf{T}} = A\boldsymbol{\Delta}$（$A$ は下三角の $0$-$1$ 行列）と書けます。多変量正規分布の線形像は多変量正規分布ですから、$(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})$ は多変量正規、すなわち $(X_t)$ はガウス過程です。平均は $E[X_t] = E[X_t - X_0] = 0$ です。

共分散は $s < t$ として

$$E[X_sX_t] = E\bigl[X_s(X_t - X_s)\bigr] + E[X_s^2] = E[X_s]\,E[X_t-X_s] + s = 0 + s = s$$

と計算されます。第二の等号で、$X_s = X_s - X_0$ と $X_t - X_s$ が独立（条件 2）であることと、$\operatorname{Var}(X_s) = s$（条件 3）を使いました。$s = t$ の場合も $E[X_t^2] = t$ なので、まとめて $E[X_sX_t] = \min(s,t)$ です。

(ii) ならば (i)。 条件 1 は仮定、条件 4 も仮定です。$0 \le t_0 < t_1 < \cdots < t_k$ を取ります。各増分 $X_{t_i}-X_{t_{i-1}}$ は $(X_{t_0},\ldots,X_{t_k})$ の線形結合ですから、増分ベクトル全体は多変量正規分布に従います。$s < t \le u < v$ のとき

$$E\bigl[(X_t-X_s)(X_v-X_u)\bigr] = \min(t,v)-\min(t,u)-\min(s,v)+\min(s,u) = t - t - s + s = 0$$

です（$s < t \le u < v$ より $\min(t,v)=t$、$\min(t,u)=t$、$\min(s,v)=s$、$\min(s,u)=s$）。よって相異なる増分は無相関で、多変量正規分布において無相関は共分散行列が対角であることを意味し、そのとき同時密度が積に分解するので独立です。これが条件 2 です。

最後に条件 3 です。$E[X_t-X_s]=0$ であり、

$$E\bigl[(X_t-X_s)^2\bigr] = E[X_t^2] - 2E[X_sX_t] + E[X_s^2] = t - 2s + s = t-s$$

なので、$X_t - X_s$ は $N(0,t-s)$ に従います。

∎

命題 5.5 の利点は、共分散関数さえ計算すればブラウン運動かどうかが判定できることです。実際に使ってみます。

命題 5.6（ブラウン運動の不変性）✓

$(B_t)_{t\ge0}$ を標準ブラウン運動とする。次の各過程もまた標準ブラウン運動である。

(a) （対称性）$X_t := -B_t$。

(b) （スケーリング）$c > 0$ を定数として $X_t := c^{-1/2}B_{ct}$。

(c) （マルコフ性・平行移動）$s \ge 0$ を定数として $X_t := B_{t+s}-B_s$。

(d) （時間反転）$X_0 := 0$、$t > 0$ に対して $X_t := t\,B_{1/t}$。

証明（命題 5.6）

いずれも 命題 5.5 を使います。(a)(b)(c) では道の連続性は明らかです（連続関数の定数倍・合成・平行移動だから）。

(a) $-B$ の有限次元分布は $B$ のそれの線形像なのでガウス過程であり、$E[(-B_s)(-B_t)] = E[B_sB_t] = \min(s,t)$ です。

(b) $X_{t_1},\ldots,X_{t_k}$ は $B_{ct_1},\ldots,B_{ct_k}$ の定数倍なのでガウス過程です。平均は $0$、共分散は

$$E[X_sX_t] = c^{-1}E[B_{cs}B_{ct}] = c^{-1}\min(cs,ct) = \min(s,t)$$

です。

(c) $X_{t_1},\ldots,X_{t_k}$ は $B$ の値の線形結合なのでガウス過程、平均は $0$ です。$u \le v$ とすると

$$E[X_uX_v] = E\bigl[(B_{u+s}-B_s)(B_{v+s}-B_s)\bigr] = \min(u+s,v+s) - s - s + s = (u+s) - s = u$$

となり $\min(u,v)$ に一致します。

(d) $t > 0$ では $t\mapsto tB_{1/t}$ は連続関数の積なので連続です。ガウス過程であることは $B$ の値の定数倍だからで、平均は $0$、$0 < s \le t$ に対し

$$E[X_sX_t] = st\,E[B_{1/s}B_{1/t}] = st\cdot\min(1/s,1/t) = st\cdot\frac{1}{t} = s = \min(s,t)$$

です。残るのは $t \downarrow 0$ での連続性、すなわち $\lim_{t\downarrow0}X_t = 0$ を確率 1 で示すことです。$X$ と $B$ は $(0,\infty)$ 上で同じ有限次元分布を持ちますから、可算個の時刻だけで決まる事象については両者の確率が一致します。事象

$$A := \Bigl\{\lim_{t\downarrow0,\ t\in\mathbb{Q}_{>0}} X_t = 0\Bigr\}$$

は正の有理数時刻という可算集合の値だけで決まるので、$P(A) = P\bigl(\lim_{t\downarrow0,\,t\in\mathbb{Q}_{>0}}B_t = 0\bigr) = 1$ です。最後の等号は $B$ の道の連続性と $B_0=0$ によります。$A$ の上では、$X$ が $(0,\infty)$ で連続であることと合わせて $\lim_{t\downarrow0}X_t = 0$ が従います。実際、任意の $t>0$ に対し $t$ に十分近い有理数 $r$ を取れば $|X_t - X_r|$ を小さくできるからです。

∎

系 5.7（ブラウン運動の大数の法則）✓

標準ブラウン運動 $(B_t)$ について $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{B_t}{t} = 0$ が確率 1 で成り立つ。

証明（系 5.7）

命題 5.6 (d) の過程 $X_u = uB_{1/u}$ はブラウン運動であり、特に $u \downarrow 0$ で $X_u \to X_0 = 0$ が確率 1 で成り立ちます。$u = 1/t$ とおけば $X_{1/t} = B_t/t$ であり、$t\to\infty$ は $u\downarrow0$ に対応するので、$B_t/t \to 0$ が確率 1 で従います。

∎

5.3. 二次変分と道の粗さ

ブラウン運動の道がどれほど粗いかを、二次変分が定量的に教えてくれます。

道を細かい時間幅 $h$ で区切って、各区間の増分を二乗して足し合わせたものが二次変分です。滑らかな曲線なら増分は $h$ のオーダーなので、二乗すると $h^2$ のオーダーとなり、$1/h$ 個ほど足してもほぼ $0$ になります。一方ブラウン運動の増分は $\sqrt{h}$ のオーダーなので、二乗は $h$ のオーダーとなり、足すと $t$ 程度の有限の正の値が残ります。以下の定理はこの違いを正確に述べたもので、この「残ってしまうこと」が、次の系で道が有界変動でないことを示す手がかりになります。

定理 5.8（ブラウン運動の二次変分）✓

$(B_t)$ を標準ブラウン運動、$t > 0$ を固定する。二進分割 $t^n_k := kt/2^n$（$k = 0,1,\ldots,2^n$）に沿う二次変分を

$$Q_n := \sum_{k=1}^{2^n}\bigl(B_{t^n_k} - B_{t^n_{k-1}}\bigr)^2$$

と定める。このとき $E[Q_n] = t$ かつ $\operatorname{Var}(Q_n) = 2t^2/2^n$ であり、$Q_n \to t$ が $L^2$ の意味でも確率 1 でも成り立つ。

証明（定理 5.8）

$h := t/2^n$、$\Delta_k := B_{t^n_k}-B_{t^n_{k-1}}$ とおきます。定義 5.1 の条件 2, 3 より $\Delta_1,\ldots,\Delta_{2^n}$ は独立で、各々 $N(0,h)$ に従います。

期待値は $E[\Delta_k^2] = h$ なので $E[Q_n] = 2^n h = t$ です。

分散を計算します。$Z \sim N(0,h)$ に対し $E[Z^4] = 3h^2$（正規分布の 4 次モーメント）ですから

$$\operatorname{Var}(\Delta_k^2) = E[\Delta_k^4] - \bigl(E[\Delta_k^2]\bigr)^2 = 3h^2 - h^2 = 2h^2 .$$

$\Delta_k$ たちは独立なので $\Delta_k^2$ たちも独立であり、分散は加法的です。よって

$$\operatorname{Var}(Q_n) = 2^n\cdot 2h^2 = 2^n\cdot 2\cdot\frac{t^2}{2^{2n}} = \frac{2t^2}{2^n} .$$

したがって $E[(Q_n - t)^2] = \operatorname{Var}(Q_n) \to 0$、すなわち $Q_n \to t$ が $L^2$ ノルムの意味で成り立ちます（L^p 空間と関数解析への導入 を参照）。

確率 1 での収束を示します。任意の $\varepsilon > 0$ に対しチェビシェフの不等式より

$$P(|Q_n - t| > \varepsilon) \le \frac{\operatorname{Var}(Q_n)}{\varepsilon^2} = \frac{2t^2}{\varepsilon^2 2^n}$$

であり、右辺は $n$ について総和可能です。ボレル–カンテリの補題（補題 6.5）［確率空間とコルモゴロフの公理］ より $P(|Q_n-t|>\varepsilon \text{ が無限個の } n \text{ で起こる}) = 0$ です。$\varepsilon = 1/m$（$m\in\mathbb{N}$）について可算個の共通部分を取れば、確率 1 で $Q_n \to t$ を得ます。

∎

滑らかな関数なら二次変分は $0$ になります。実際 $f$ が $[0,t]$ でリプシッツ連続（定数 $L$）なら $\sum(f(t^n_k)-f(t^n_{k-1}))^2 \le 2^n L^2h^2 = L^2t^2/2^n \to 0$ です。ブラウン運動の二次変分が $0$ でない正の値 $t$ に収束するというのは、道が微分可能な関数とは質的に違うことを示しています。その最も重要な帰結が次です。

系 5.9（道は有界変動でない）✓

$t>0$ を固定する。確率 1 で、見本道 $s\mapsto B_s(\omega)$ は $[0,t]$ 上で有界変動ではない。すなわち

$$\sup\Bigl\{\sum_{k=1}^{m}|B_{s_k}-B_{s_{k-1}}| \ :\ m\in\mathbb{N},\ 0 = s_0 < s_1 < \cdots < s_m = t\Bigr\} = +\infty$$

が確率 1 で成り立つ。

証明（系 5.9）

$\Omega_0$ を「道が連続であり、かつ 定理 5.8 の意味で $Q_n\to t$ となる」$\omega$ の全体とします。$P(\Omega_0) = 1$ です。

$\omega\in\Omega_0$ を取り、この道が $[0,t]$ 上で有界変動であると仮定して矛盾を導きます。全変動を $V < \infty$ とします。道は $[0,t]$ 上連続なので、コンパクト集合上の連続関数として一様連続です（連続関数と一様連続性 の 定理 7.1［連続関数と一様連続性］ を参照）。したがって分割の幅 $t/2^n \to 0$ に対して

$$m_n := \max_{1\le k\le 2^n}\bigl|B_{t^n_k}(\omega)-B_{t^n_{k-1}}(\omega)\bigr| \longrightarrow 0 \quad (n\to\infty)$$

です。すると

$$Q_n(\omega) = \sum_{k}\bigl|B_{t^n_k}-B_{t^n_{k-1}}\bigr|^2 \le m_n\sum_{k}\bigl|B_{t^n_k}-B_{t^n_{k-1}}\bigr| \le m_n V \longrightarrow 0$$

となります。ここで中央の不等式は各項の絶対値の一方を最大値で抑えたもの、右の不等式は全変動の定義（二進分割も分割の一つ）です。一方 $\omega\in\Omega_0$ より $Q_n(\omega)\to t > 0$ でしたから矛盾します。よって $\Omega_0$ 上のすべての $\omega$ で道は有界変動ではありません。

∎

注意 5.10（至るところ微分不可能性）

系 5.9 より強く、確率 1 で見本道はどの点でも微分可能でないことが知られています（ペイリー・ウィーナー・ジグムント、1933 年）。有界変動でないことからは「どこかで微分不可能」までしか出ないので、これは別の証明を要します。Mörters–Peres『Brownian Motion』第 1 章に証明があります。

系 5.9 は応用上きわめて重要です。$\int_0^t f(s)\,dB_s$ を各見本道ごとのリーマン–スティルチェス積分として定義しようとすると、積分子が有界変動であることが要りますが、それが成り立ちません。この障害を回避するために、道ごとではなく $L^2$ の極限として積分を定義するのが伊藤積分です（確率微分方程式（伊藤積分） の 定理 4.7［確率微分方程式］ を参照）。

6. ブラウン運動が生む三つのマルチンゲール

以下 $(\mathcal{F}_t)_{t\ge0}$ は $\mathcal{F}_t = \sigma(B_s : 0\le s\le t)$、すなわちブラウン運動の自然なフィルトレーションとします。定義 5.1 の条件 2 から、$t > s$ のとき増分 $B_t - B_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立です。これは、$\mathcal{F}_s$ が $B_{u}$（$u\le s$）で生成され、それらが増分 $B_{u_i}-B_{u_{i-1}}$（$u_i \le s$）の線形結合として書けることによります。

定理 6.1（ブラウン運動から作られるマルチンゲール）✓

$(B_t)_{t\ge0}$ を標準ブラウン運動、$(\mathcal{F}_t)$ をその自然なフィルトレーションとする。次の三つはいずれも $(\mathcal{F}_t)$ に関するマルチンゲールである。

(a) $B_t$ 自身。

(b) $B_t^2 - t$。

(c) 任意に固定した実数 $\lambda$ に対し、$Z^\lambda_t := \exp\bigl(\lambda B_t - \tfrac{1}{2}\lambda^2 t\bigr)$（指数マルチンゲール）。

証明（定理 6.1）

$0 \le s < t$ とし、$\Delta := B_t - B_s$ とおきます。定義 5.1 の条件 3 より $\Delta \sim N(0,t-s)$ で、上で述べたとおり $\Delta$ は $\mathcal{F}_s$ と独立です。適合性はいずれの過程も $B_t$ の可測関数なので明らかです。

(a) 可積分性は $E|B_t| = \sqrt{2t/\pi} < \infty$ です。$B_t = B_s + \Delta$ と分解し、$B_s$ が $\mathcal{F}_s$-可測、$\Delta$ が $\mathcal{F}_s$ と独立であることを使うと

$$E[B_t\mid\mathcal{F}_s] = B_s + E[\Delta\mid\mathcal{F}_s] = B_s + E[\Delta] = B_s + 0 = B_s .$$

(b) 可積分性は $E[B_t^2] = t < \infty$ です。$B_t^2 = (B_s+\Delta)^2 = B_s^2 + 2B_s\Delta + \Delta^2$ を条件付けると

$$E[B_t^2\mid\mathcal{F}_s] = B_s^2 + 2B_s\,E[\Delta] + E[\Delta^2] = B_s^2 + 0 + (t-s) .$$

既知量の取り出し（$B_s$ と $B_s^2$ は $\mathcal{F}_s$-可測）と独立性を使いました。両辺から $t$ を引くと $E[B_t^2 - t\mid\mathcal{F}_s] = B_s^2 - s$ です。

(c) 正規分布 $N(0,\sigma^2)$ のモーメント母関数は $E[e^{\lambda Z}] = e^{\lambda^2\sigma^2/2}$ です。まず可積分性は

$$E\bigl[Z^\lambda_t\bigr] = e^{-\lambda^2t/2}E[e^{\lambda B_t}] = e^{-\lambda^2t/2}e^{\lambda^2t/2} = 1 < \infty$$

から従います（被積分関数が正なので絶対値を付けても同じです）。次に $e^{\lambda B_t} = e^{\lambda B_s}e^{\lambda\Delta}$ と分解して

$$E\bigl[e^{\lambda B_t}\bigm|\mathcal{F}_s\bigr] = e^{\lambda B_s}E\bigl[e^{\lambda\Delta}\bigr] = e^{\lambda B_s}e^{\lambda^2(t-s)/2}$$

となります。両辺に $e^{-\lambda^2t/2}$ を掛けると

$$E\bigl[Z^\lambda_t\bigm|\mathcal{F}_s\bigr] = e^{\lambda B_s}e^{\lambda^2(t-s)/2 - \lambda^2t/2} = e^{\lambda B_s - \lambda^2s/2} = Z^\lambda_s$$

を得ます。

∎

任意停止定理は連続時間でもほぼ同じ形で成り立ちます。証明は離散時間の結果を二進時刻に制限して適用し、道の右連続性で極限を取る、という筋です。停止時刻を二進時刻で上から近似すると、各段階では離散時間の定理が使えます。残る問題は、近似の極限と期待値を交換してよいかどうかで、そこで「一様可積分性」（大きな値を取る部分の寄与が、近似の段階によらず一様に小さいこと）が働きます。

定理 6.2（任意停止定理（連続時間版））✓

$(M_t)_{t\ge0}$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関するマルチンゲールで、確率 1 で道が連続であるものとする。$\tau$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関する停止時刻とする。このとき、

(a) 任意の定数 $T \ge 0$ について $M_{T\wedge\tau}$ は可積分で、$E[M_{T\wedge\tau}] = E[M_0]$ が成り立つ。

(b) さらに $P(\tau<\infty)=1$ であり、可積分な確率変数 $Y \ge 0$ が存在してすべての $T \ge 0$ で $|M_{T\wedge\tau}| \le Y$ となるならば、$E[M_\tau] = E[M_0]$ である。

証明（定理 6.2）

道が連続でない零集合の上では $M$ を $0$ に取り替えておきます（期待値は変わりません）。

(a) 二進時刻への離散化。 $T>0$ を固定します（$T=0$ なら自明）。$n\ge1$ に対し格子 $D_n=\{kT2^{-n}\mid k=0,1,\ldots,2^n\}$ を取り、

$$\sigma_n:=\min\{s\in D_n\mid s\ge \tau\wedge T\}$$

とおきます。$\tau\wedge T\le T\in D_n$ なので最小値は存在し、$\tau\wedge T\le\sigma_n\le\tau\wedge T+T2^{-n}$ です。$D_n\subset D_{n+1}$ なので $\sigma_{n+1}\le\sigma_n$ で、$\sigma_n\downarrow\tau\wedge T$ です。

離散時間のフィルトレーション $\mathcal{G}_k:=\mathcal{F}_{kT2^{-n}}$（$k=0,\ldots,2^n$）と $X_k:=M_{kT2^{-n}}$ を考えると、連続時間のマルチンゲール条件から $(X_k)$ は $(\mathcal{G}_k)$ に関するマルチンゲールです（$k>2^n$ では $X_k=X_{2^n}$、$\mathcal{G}_k=\mathcal{G}_{2^n}$ と延ばしておきます）。$\rho_n:=2^n\sigma_n/T$ は $\{0,\ldots,2^n\}$ に値をとり、

$$\{\rho_n\le k\}=\{\tau\wedge T\le kT2^{-n}\}=\{\tau\le kT2^{-n}\}\cup\{T\le kT2^{-n}\}\in\mathcal{G}_k$$

なので $(\mathcal{G}_k)$ に関する停止時刻です（定義 4.1）。$\rho_n\le2^n$ ですから 定理 4.3 の (a) により

$$E[M_{\sigma_n}]=E[X_{\rho_n}]=E[X_0]=E[M_0].$$

一様可積分性。 $K\ge0$ とし、$A_k:=\{\rho_n=k,\ |X_k|>K\}\in\mathcal{G}_k$ とおきます。命題 3.2 より $X_k=E[X_{2^n}\mid\mathcal{G}_k]=E[M_T\mid\mathcal{G}_k]$ で、条件付き期待値に対するイェンセンの不等式（$\varphi(x)=|x|$）から $|X_k|\le E[|M_T|\mid\mathcal{G}_k]$ です。$\mathbf 1_{A_k}$ は $\mathcal{G}_k$-可測なので

$$E\bigl[|X_k|\mathbf 1_{A_k}\bigr]\le E\bigl[E[|M_T|\mid\mathcal{G}_k]\mathbf 1_{A_k}\bigr]=E\bigl[|M_T|\mathbf 1_{A_k}\bigr].$$

$k$ について足すと

$$E\bigl[|M_{\sigma_n}|\,;\,|M_{\sigma_n}|>K\bigr]\le E\bigl[|M_T|\,;\,|M_{\sigma_n}|>K\bigr]. \tag{$*$}$$

$K=0$ とすれば $E|M_{\sigma_n}|\le E|M_T|$、したがってマルコフの不等式で $P(|M_{\sigma_n}|>K)\le E|M_T|/K$ です。$M_T$ は可積分なので、任意の $\eta>0$ に対し $\delta>0$ を「$P(A)<\delta\Rightarrow E[|M_T|;A]<\eta$」となるように取れます（$E[|M_T|;A]\le E[|M_T|;|M_T|>L]+LP(A)$ で、第 1 項は優収束定理により $L\to\infty$ で $0$）。$K>E|M_T|/\delta$ なら、$(*)$ からすべての $n$ で $E[|M_{\sigma_n}|;|M_{\sigma_n}|>K]<\eta$ です。

極限移行。 道の連続性と $\sigma_n\downarrow\tau\wedge T$ から、各 $\omega$ で $M_{\sigma_n}\to M_{\tau\wedge T}$ です。$Z_n:=M_{\sigma_n}$、$Z:=M_{\tau\wedge T}$、$\phi_K(x):=\max(-K,\min(K,x))$ とおきます。有界収束（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）で $E[|Z|\wedge L]=\lim_nE[|Z_n|\wedge L]\le E|M_T|$、$L\to\infty$ として単調収束定理から $Z$ は可積分です。

$$|E[Z_n]-E[Z]|\le E\bigl[|Z_n|;|Z_n|>K\bigr]+\bigl|E[\phi_K(Z_n)]-E[\phi_K(Z)]\bigr|+E\bigl[|Z|;|Z|>K\bigr]$$

で、第 1 項は $K$ を大きく取れば $n$ によらず小さく、第 3 項も（$Z$ が可積分なので）優収束定理で小さく、第 2 項は $|\phi_K|\le K$ なので優収束定理で $n\to\infty$ のとき $0$ に収束します。よって $E[M_{\tau\wedge T}]=\lim_nE[M_{\sigma_n}]=E[M_0]$ です。

(b) $T=m\in\mathbb{N}$ として $m\to\infty$ とします。$\tau<\infty$ となる $\omega$（確率 1）では $m\ge\tau(\omega)$ で $M_{m\wedge\tau}=M_\tau$ ですから $M_{m\wedge\tau}\to M_\tau$ a.s. です。$|M_{m\wedge\tau}|\le Y$ なので優収束定理より $M_\tau$ は可積分で、(a) から $E[M_\tau]=\lim_mE[M_{m\wedge\tau}]=E[M_0]$ です。

∎

注意 6.3（連続時間版の証明の所在）

上の証明では道の連続性を使って二進時刻からの極限を取りました。道が右連続なだけでも同じ議論が通ります。(a) は「止めた過程はマルチンゲール」という 補題 4.2 の連続時間版であり、(b) はそこから 定理 4.3 と同じ優収束定理の議論で従います。連続時間版の一般論の詳細（可測性のための通常条件、右連続修正の存在）は Karatzas–Shreve『Brownian Motion and Stochastic Calculus』第 1 章に整理されています。

例 6.4（ブラウン運動の出口問題）

$a, b > 0$ を定数とし、

$$\tau := \inf\{t \ge 0 : B_t = -a \ \text{または}\ B_t = b\}$$

とおきます。道が連続なので $\tau$ は停止時刻です。

第一段：$E[\tau] \le \max(a,b)^2$。 $c := \max(a,b)$ とおくと、$t \le \tau$ の間 $|B_t| \le c$ です。定理 6.1 (b) と 定理 6.2 (a) から、任意の $T$ について

$$0 = E\bigl[B_{T\wedge\tau}^2 - (T\wedge\tau)\bigr], \quad\text{すなわち}\quad E[T\wedge\tau] = E\bigl[B_{T\wedge\tau}^2\bigr] \le c^2 .$$

$T\wedge\tau$ は $T$ について単調増加で $\tau$ に収束するので、単調収束定理から $E[\tau] \le c^2 < \infty$ です。特に $P(\tau<\infty)=1$ です。

第二段：到達確率。 $|B_{T\wedge\tau}| \le c$ なので 定理 6.2 (b) が $Y = c$ で使えて、$E[B_\tau] = E[B_0] = 0$ です。$p := P(B_\tau = b)$ とおくと $B_\tau$ は $-a$ か $b$ しか取らないので

$$0 = -a(1-p) + bp = -a + (a+b)p \ \Longrightarrow\ p = \frac{a}{a+b} .$$

上に行くか下に行くかの確率が、逆側の壁までの距離に比例するわけです。

第三段：平均到達時間。 $M_t := B_t^2 - t$ に対し $|M_{T\wedge\tau}| \le c^2 + \tau$ であり、第一段より $c^2+\tau$ は可積分です。よって 定理 6.2 (b) から $E[B_\tau^2] - E[\tau] = 0$、すなわち

$$E[\tau] = E[B_\tau^2] = a^2(1-p) + b^2p = a^2\cdot\frac{b}{a+b} + b^2\cdot\frac{a}{a+b} = \frac{ab(a+b)}{a+b} = ab .$$

$a = b = 1$ なら平均 1 単位時間で $\pm1$ のどちらかに到達します。例 4.5 の答え $x(N-x)$ で $x = a$、$N = a+b$ と置いたものに一致しており、ランダムウォークの極限としてブラウン運動を見る見方と整合しています。

注意 6.5（レヴィの特徴づけ）

定理 6.1 の (a)(b) には逆が成り立ちます。$(M_t)$ が連続なマルチンゲールで $M_0 = 0$ を満たし、かつ $M_t^2 - t$ もマルチンゲールであるならば、$(M_t)$ は標準ブラウン運動です（レヴィの特徴づけ定理、1948 年）。多次元の形で、停止と Taylor 展開による証明を 定理 6.4［多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け］ に載せています。

この定理があるおかげで、確率解析では「連続マルチンゲールであること」と「二次変分がどうなっているか」だけを追跡すれば、ブラウン運動かどうかが判定できます。時間変更によって連続な局所マルチンゲールがブラウン運動に変換できる（デュビンス–シュワルツの定理）のも、この特徴づけの帰結です。

7. 演習

演習 7.1易

$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\varphi : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を凸関数とし、すべての $n$ について $E[|\varphi(X_n)|] < \infty$ が成り立つとする。このとき $(\varphi(X_n))_{n\ge0}$ は劣マルチンゲールであることを示せ。さらにこれを使って、$|X_n|$ と $X_n^2$（後者は $E[X_n^2]<\infty$ のとき）が劣マルチンゲールであることを示せ。

解答

適合性は、$\varphi$ が凸ゆえ連続、したがってボレル可測であることから従います。$X_n$ が $\mathcal{F}_n$-可測なら $\varphi(X_n)$ も $\mathcal{F}_n$-可測です。可積分性は仮定です。

条件付き期待値に対するイェンセンの不等式を $\mathcal{G}=\mathcal{F}_n$ に適用すると

$$\varphi\bigl(E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]\bigr) \le E\bigl[\varphi(X_{n+1})\bigm|\mathcal{F}_n\bigr]$$

です。左辺は 定義 3.1 の条件 3 より $\varphi(X_n)$ に等しいので、$E[\varphi(X_{n+1})\mid\mathcal{F}_n] \ge \varphi(X_n)$、すなわち劣マルチンゲールです。

$\varphi(u)=|u|$ は凸で、$E|X_n|<\infty$ は 定義 3.1 の条件 2 そのものなので、$(|X_n|)$ は劣マルチンゲールです。$\varphi(u)=u^2$ も凸で、$E[X_n^2]<\infty$ を仮定すれば $(X_n^2)$ も劣マルチンゲールです。なお $(X_n^2)$ がマルチンゲールになるとは限りません。例 3.3 では $E[S_{n+1}^2\mid\mathcal{F}_n] = S_n^2+\sigma^2 > S_n^2$（$\sigma>0$ のとき）で、真に劣マルチンゲールです。

演習 7.2標準

$\xi_1,\xi_2,\ldots$ を $P(\xi_i=1)=P(\xi_i=-1)=1/2$ の独立同分布列、$S_0=0$、$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$、$\mathcal{F}_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ とする。$M_n := S_n^3 - 3nS_n$ が $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールであることを示せ。

解答

$|S_n|\le n$ なので $|M_n| \le n^3 + 3n^2 < \infty$ であり、有界な確率変数として可積分です。適合性も $M_n$ が $S_n$ と定数の多項式であることから明らかです。

$\xi := \xi_{n+1}$ とおくと $\xi^2 = 1$（確率 1）、$E[\xi]=0$、$E[\xi^3] = E[\xi] = 0$ です。$S_{n+1}=S_n+\xi$ を三乗すると

$$S_{n+1}^3 = S_n^3 + 3S_n^2\xi + 3S_n\xi^2 + \xi^3 = S_n^3 + 3S_n^2\xi + 3S_n + \xi .$$

$\xi$ は $\mathcal{F}_n$ と独立、$S_n$ と $S_n^2$ は $\mathcal{F}_n$-可測なので

$$E[S_{n+1}^3\mid\mathcal{F}_n] = S_n^3 + 3S_n^2E[\xi] + 3S_n + E[\xi] = S_n^3 + 3S_n .$$

一方、例 3.3 より $E[S_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=S_n$ なので $E[3(n+1)S_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = 3(n+1)S_n$ です。差を取ると

$$E[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = S_n^3 + 3S_n - 3(n+1)S_n = S_n^3 - 3nS_n = M_n$$

となり、マルチンゲールです。

演習 7.3標準

$P(\xi_i=1)=p$、$P(\xi_i=-1)=q=1-p$（$0 < p < 1$、$p \ne 1/2$）の独立同分布列に対し $S_n = x + \xi_1+\cdots+\xi_n$（$x$ は $0 < x < N$ なる整数）とする。$r := q/p$ とおくとき、$Y_n := r^{S_n}$ がマルチンゲールであることを示し、例 4.5 の $\tau$ に対して $P(S_\tau = N)$ を求めよ。

解答

まず $E[r^{\xi_1}] = pr + qr^{-1} = p\cdot\frac{q}{p} + q\cdot\frac{p}{q} = q + p = 1$ です。可積分性は、$|S_n - x| \le n$ より $0 < Y_n = r^{S_n} \le r^{x}\max(r, 1/r)^{n}$ と、各 $n$ について $Y_n$ が定数で抑えられることから従います。適合性は $Y_n$ が $S_n$ の関数であることから明らかです。$r^{S_{n+1}} = r^{S_n}r^{\xi_{n+1}}$ と分解し、$r^{S_n}$ が $\mathcal{F}_n$-可測、$\xi_{n+1}$ が $\mathcal{F}_n$ と独立であることから

$$E[Y_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = r^{S_n}E[r^{\xi_{n+1}}] = r^{S_n}\cdot 1 = Y_n$$

となり、マルチンゲールです。

例 4.5 の第一段の議論（$+1$ が $N$ 回連続する確率は $p^N > 0$ に置き換わる）から $P(\tau<\infty)=1$ が同様に従います。$n\le\tau$ の間 $0\le S_n\le N$ なので $|Y_{n\wedge\tau}| \le \max(1, r^N)$ と有界で、定理 4.3 の (b) が定数 $Y=\max(1,r^N)$ で使えます。よって $E[Y_\tau] = E[Y_0] = r^x$、すなわち $u := P(S_\tau=N)$ とおくと

$$r^{x} = r^{0}(1-u) + r^{N}u = 1 + (r^N-1)u .$$

$r \ne 1$ より $r^N \ne 1$ なので

$$P(S_\tau = N) = u = \frac{r^{x}-1}{r^{N}-1} = \frac{(q/p)^{x}-1}{(q/p)^{N}-1} .$$

$p \to 1/2$ の極限ではロピタルの定理により $x/N$ に収束し、例 4.5 の結果と整合します。$p < 1/2$（不利なゲーム）で $N$ が大きいと $r > 1$ より $u \approx r^{x-N} \to 0$ となり、成功確率は指数関数的に小さくなります。

演習 7.4難

$(B_t)$ を標準ブラウン運動、$a > 0$ とし、$\tau_a := \inf\{t\ge0 : B_t = a\}$ とおく。$\theta > 0$ に対して

$$E\bigl[e^{-\theta\tau_a}\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}}\bigr] = e^{-a\sqrt{2\theta}}$$

を示し、さらに $P(\tau_a<\infty)=1$ を導け。

解答

$\lambda := \sqrt{2\theta} > 0$ とし、定理 6.1 (c) の指数マルチンゲール $Z_t = \exp(\lambda B_t - \lambda^2t/2)$ を考えます。$\lambda^2/2 = \theta$ なので $Z_t = \exp(\lambda B_t - \theta t)$ です。

$t \le \tau_a$ の間 $B_t \le a$ なので、$\lambda>0$ と $\theta>0$ より

$$0 < Z_{t\wedge\tau_a} = \exp\bigl(\lambda B_{t\wedge\tau_a} - \theta(t\wedge\tau_a)\bigr) \le e^{\lambda a}$$

と一様に有界です。定数 $Y = e^{\lambda a}$ は可積分なので、$\tau_a<\infty$ が確率 1 とはまだ分かっていませんが、有界収束定理を直接使えます。極限を調べます。

$\tau_a<\infty$ となる $\omega$ では $t\to\infty$ のとき $Z_{t\wedge\tau_a} \to \exp(\lambda a - \theta\tau_a)$ です（$B_{\tau_a}=a$ は道の連続性による）。$\tau_a=\infty$ となる $\omega$ では $Z_{t\wedge\tau_a}=Z_t = \exp(t(\lambda B_t/t - \theta))$ であり、系 5.7 より $B_t/t\to0$ が確率 1 で成り立つので、指数の中身は $-\infty$ に発散し $Z_t \to 0$ です。まとめると確率 1 で

$$Z_{t\wedge\tau_a} \longrightarrow e^{\lambda a}e^{-\theta\tau_a}\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}} .$$

定理 6.2 (a) より各 $t$ で $E[Z_{t\wedge\tau_a}] = E[Z_0] = 1$ なので、有界収束定理から

$$1 = e^{\lambda a}\,E\bigl[e^{-\theta\tau_a}\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}}\bigr], \qquad\text{すなわち}\qquad E\bigl[e^{-\theta\tau_a}\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}}\bigr] = e^{-\lambda a} = e^{-a\sqrt{2\theta}} .$$

次に $\theta \downarrow 0$ とします。被積分関数 $e^{-\theta\tau_a}\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}}$ は $\theta$ について単調増加で $1$ で抑えられ、各点で $\mathbf{1}_{\{\tau_a<\infty\}}$ に収束します。有界収束定理より左辺は $P(\tau_a<\infty)$ に収束し、右辺 $e^{-a\sqrt{2\theta}}$ は $1$ に収束します。よって $P(\tau_a<\infty)=1$ です。

なお、この結果から $E[\tau_a] = +\infty$ も従います。$P(\tau_a<\infty)=1$ が分かったので示した等式は $E[e^{-\theta\tau_a}] = e^{-a\sqrt{2\theta}}$ と書けます。$u \mapsto e^{-\theta u}$ は凸なのでイェンセンの不等式より $E[e^{-\theta\tau_a}] \ge e^{-\theta E[\tau_a]}$ であり（$E[\tau_a]=\infty$ のときは右辺を $0$ と読みます）、両辺の対数を取ると $-a\sqrt{2\theta} \ge -\theta E[\tau_a]$、すなわち

$$E[\tau_a] \ge \frac{a\sqrt{2\theta}}{\theta} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{\theta}}$$

です。$\theta\downarrow0$ とすれば右辺は $+\infty$ に発散するので $E[\tau_a]=+\infty$ です。確率 1 で到達するのに平均到達時間は無限大、というのがブラウン運動の再帰性の特徴です。

参考文献

• D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991 — 第 10〜14 章。離散時間マルチンゲールの標準的な入門書で、任意停止定理と収束定理の扱いが丁寧です。
• R. Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019 — 第 4 章（マルチンゲール）、第 7 章（ブラウン運動）。
• I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 1 章（連続時間マルチンゲール）、第 2 章（ブラウン運動の構成）、第 3 章（レヴィの特徴づけ）。
• P. Mörters and Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, 2010 — 第 1 章（構成と道の性質）、第 2 章（強マルコフ性）。
• 舟木直久『確率論』朝倉書店、2004 — 測度論的確率論からマルチンゲール、ブラウン運動までを日本語で通した標準的な教科書です。
• N. Wiener, “Differential-Space”, Journal of Mathematics and Physics 2 (1923), 131–174 — ブラウン運動の測度論的構成を与えた原論文。

Appendix: ブラウン運動の構成の骨子

方針。 定理 5.2 の証明として標準的なレヴィ–チースィエルスキの構成を、$[0,1]$ 上に限って概観します。考え方は「独立な正規確率変数の列を係数とする関数級数を作り、それが一様収束することを示す」というものです。一様収束極限は連続関数なので、定義 5.1 の条件 4 が構成から自動的に出る点が要点です。

ハール関数とシャウダー関数。 $H_{0,0}(t) := 1$ とし、$n \ge 0$ と $1 \le k \le 2^{n+1}$ が奇数のときに、区間 $[(k-1)2^{-n-1}, k2^{-n-1})$ で $2^{n/2}$、次の同じ長さの区間で $-2^{n/2}$、他で $0$ を取る関数を並べると、これらは $L^2([0,1])$ の完全正規直交系をなします（ハール系）。その原始関数 $S_{n,k}(t) := \int_0^t H_{n,k}(u)\,du$ をシャウダー関数といい、$S_{n,k}$ は台が長さ $2^{-n}$ の区間に含まれる三角形状の関数で、その最大値は $2^{-n/2-1}$ です。

級数の定義。 $(Z_{n,k})$ を独立な標準正規確率変数の族とし、

$$B_t := \sum_{n,k} Z_{n,k}\,S_{n,k}(t)$$

と定めます。この級数が確率 1 で $[0,1]$ 上一様収束することが証明の山場です。同じ $n$ に属する $S_{n,k}$ たちは台が交わらないので、第 $n$ 段の寄与の一様ノルムは $\bigl(\max_{k}|Z_{n,k}|\bigr)\cdot 2^{-n/2-1}$ で抑えられます。標準正規分布の裾の評価 $P(|Z| > u) \le e^{-u^2/2}$（$u \ge 1$）と、第 $n$ 段の項数が $2^{n}$ 程度であることから、$u_n := c\sqrt{n}$ を十分大きな $c$ で取れば

$$P\Bigl(\max_{k}|Z_{n,k}| > c\sqrt{n}\Bigr) \le 2^{n}e^{-c^2n/2}$$

が総和可能になります。ボレル–カンテリの補題より、確率 1 で有限個の $n$ を除いて第 $n$ 段の寄与は $c\sqrt{n}\,2^{-n/2-1}$ 以下であり、この列は総和可能です。したがって ワイエルシュトラスの M 判定法（系 6.4）［関数列と一様収束］ により級数は確率 1 で一様収束し（関数列と一様収束 を参照）、極限 $B_t$ は連続関数になります。

性質の確認。 残りは 命題 5.5 を使うのが早道です。$B_t$ は独立な正規確率変数の（$L^2$ 収束する）線形結合なのでガウス過程であり、平均は $0$ です。共分散はハール系の完全性（パーセバルの等式）から

$$E[B_sB_t] = \sum_{n,k}S_{n,k}(s)S_{n,k}(t) = \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,s]}(u)\,\mathbf{1}_{[0,t]}(u)\,du = \min(s,t)$$

と計算されます。ここで $S_{n,k}(s) = \langle \mathbf{1}_{[0,s]}, H_{n,k}\rangle$ であることを使いました。よって 命題 5.5 より $(B_t)_{t\in[0,1]}$ は標準ブラウン運動です。$[0,\infty)$ 上のブラウン運動は、独立なコピーを $[0,1]$、$[1,2]$、… と端点をつないで並べれば得られます。