マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ

0. この記事の要点

• マルチンゲールとは「現時点までの情報を全部使っても、次の時点の期待値が現在値に等しい」確率過程です。条件付き期待値がなければ書けない概念であり、公平な賭けの数学的な定式化になっています。
• 可予測な賭け方をどう工夫しても公平なゲームは有利になりません。この事実は「マルチンゲール変換はマルチンゲールである」という一行の定理に集約されます。
• 停止時刻 $\tau$ で止めた過程もまたマルチンゲールです。ここから任意停止定理 $E[X_\tau] = E[X_0]$ が出て、ギャンブラーの破産確率と平均ゲーム時間が、微分方程式も母関数も使わずに求まります。
• ブラウン運動（ウィーナー過程）は、$B_0 = 0$・独立増分・$B_t - B_s \sim N(0, t-s)$・連続な道、という四条件で定義されます。これは「中心化ガウス過程で共分散が $\min(s,t)$」と同値です。
• ブラウン運動の道は二次変分が $t$ という異常な性質を持ち、その帰結としてどの区間でも有界変動でないことが従います。これが伊藤積分を必要とする直接の理由です。
• $B_t$、$B_t^2 - t$、$\exp(\lambda B_t - \lambda^2 t/2)$ の三つはいずれもマルチンゲールです。この三つを任意停止定理に流し込むだけで、ブラウン運動の到達時刻の分布が計算できます。

1. 動機

1.1. 「必勝法」はなぜ必勝でないのか

18 世紀のフランスで流行した賭け方に、こういうものがあります。まず 1 単位を賭ける。負けたら次は 2 単位、また負けたら 4 単位、と倍々に増やしていく。勝率が $1/2$ の公平なゲームなら、いつかは必ず勝つ。そして最初に勝った時点で、それまでの損失 $1 + 2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$ に対して $2^k$ の払い戻しを受けるので、差し引き必ず 1 単位の利益が出る。この賭け方は当時のフランス語で martingale と呼ばれました。今日の数学用語「マルチンゲール」の語源です。

もちろんこれは必勝法ではありません。破綻する理由は「所持金が有限」だからですが、では所持金が無限にあれば本当に必勝なのでしょうか。あるいは、もっと巧妙な賭け方なら公平なゲームを有利にできるのでしょうか。この素朴な疑問に完全な答えを与えるのが、この章で扱う理論です。答えを先に言うと、過去の情報だけを見て賭け金を決めるかぎり、有界な時間内では絶対に有利にできません（定理 3.7 と 定理 4.3）。そして倍賭け戦略が「必勝」に見えたのは、停止時刻 $\tau$ が有界でも可積分でもなかったからです。

1.2. 花粉の粒子から連続時間の過程へ

もう一つの出発点は物理です。1827 年、植物学者ロバート・ブラウンは水に浮かべた花粉から出た微粒子が不規則に運動し続けるのを観察しました。1905 年にアインシュタインがこれを分子の熱運動による衝突として説明し、変位の分散が時間に比例することを導きます。数学的には、これに先立つ 1900 年にバシュリエが株価の変動モデルとして本質的に同じ過程を扱っていました。

しかし「連続な道を持ち、独立な正規増分を持つ確率過程」が数学的な対象として存在することを証明したのは、1923 年のノーバート・ウィーナーです。存在証明が必要だったのは、要求している性質が互いに強く干渉するからです。増分が独立で分散が時間差に比例するなら、短い時間 $h$ での変位は典型的に $\sqrt{h}$ の大きさです。$\sqrt{h}/h \to \infty$ ですから、道は連続であっても微分可能ではありえません。連続かつ至るところ微分不可能な関数を、確率 1 で選び出す仕組みが要ります。

この二つの流れ、賭けの理論と物理の理論は、20 世紀半ばに一つになりました。ブラウン運動はマルチンゲールの典型例であり、逆にレヴィの特徴づけによれば、連続なマルチンゲールでその二次変分が $t$ であるものはブラウン運動しかありません（注意 6.5）。この章はその合流点を見るための章です。

flowchart TD
A["条件付き期待値"] --> B["マルチンゲール"]
B --> C["マルチンゲール変換<br/>可予測な賭けは無効"]
B --> D["停止時刻と任意停止定理"]
D --> E["ギャンブラーの破産問題"]
F["ランダムウォーク"] -->|"スケール極限"| G["ブラウン運動"]
G --> H["二次変分が t に収束<br/>有界変動でない"]
G --> I["三つのマルチンゲール<br/>一次・二次・指数"]
B --> I
D --> J["到達時刻の分布"]
I --> J
H --> K["伊藤積分が必要になる"]

この章の論理の流れ

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