ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由

0. この記事の要点

• $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$（ディリクレ積分）は絶対収束しない広義積分で、値はパラメータ付き積分と一様収束を使って求まります。
• $\operatorname{sinc}(a x) = \dfrac{\sin(ax)}{ax}$ は「幅 $2a$ の箱型関数のフーリエ変換」です。したがって sinc の積は箱型関数の畳み込みに対応します。
• 畳み込みは確率の言葉で書けます。$X_k$ を区間 $[-a_k, a_k]$ 上の一様分布とすると $\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \frac{\pi}{2a_0}\Pr\!\left(\left|\sum_{k=1}^{n} X_k\right| \le a_0\right).$
• この式から、値が $\pi/(2a_0)$ に等しくなるための必要十分条件は $a_1 + \cdots + a_n \le a_0$ だと分かります。$a_k = 1/(2k+1)$ のとき、この条件は $\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{15} = 1.0218\ldots > 1$ で初めて破れます。だから 7 回続いて 8 回目に崩れます。
• 崩れ方は「はみ出した単体の体積」で正確に測れて、8 番目の積分は $\pi/2$ より $2.31 \times 10^{-11}$ だけ小さくなります。偶然でも計算誤差でもありません。

1. 動機：7 回続いた等式が 8 回目に崩れる

次の積分列を考えます。奇数 $1, 3, 5, \ldots$ で $x$ を割った sinc 関数を、順に掛け足していったものです。

$$\begin{aligned} I_0 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx, \\ I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx, \\ I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdot\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx, \\ &\ \ \vdots \\ I_n &= \int_0^\infty \prod_{k=0}^{n} \frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx. \end{aligned}$$

数値計算をすると、次の表が得られます。最後の列は小数第 10 位まで書いたものです。

$n$	最後に掛けた因子	$I_n$ の値
$0$	—	$1.5707963268 = \pi/2$
$1$	$\sin(x/3)\,/\,(x/3)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$2$	$\sin(x/5)\,/\,(x/5)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$3$	$\sin(x/7)\,/\,(x/7)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$4$	$\sin(x/9)\,/\,(x/9)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$5$	$\sin(x/11)\,/\,(x/11)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$6$	$\sin(x/13)\,/\,(x/13)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$7$	$\sin(x/15)\,/\,(x/15)$	$1.5707963268 \ne \pi/2$

最後の行だけ「$\ne$」と書きました。小数第 10 位までは $\pi/2$ と一致していますが、実際には

$$I_7 = 1.5707963267717960\ldots, \qquad \frac{\pi}{2} = 1.5707963267948966\ldots$$

で、$I_7$ は $\pi/2$ よりおよそ $2.31\times 10^{-11}$ だけ小さいのです。

この差は倍精度浮動小数点数の有効桁（10 進で 16 桁程度）の内側にありますから、原理的には計算機で見えます。にもかかわらず見落とされやすいのは、被積分関数の性質のせいです。$\prod_{k}\sin(x/(2k+1))\big/\prod_k (x/(2k+1))$ は $x$ が大きいところで $|x|^{-8}$ 程度でしか減衰せず、しかも符号を細かく振動させながら $x = \infty$ まで効きます。台形則やシンプソン則で区間 $[0, X]$ を刻んで足し上げると、打ち切り誤差と丸め誤差がすぐに $10^{-11}$ を超えてしまうのです。振動積分に適した方法（周期ごとに区切って交項級数として加速する、あるいは多倍長で計算する）を使って初めて、この差ははっきり見えます。

この現象は D. ボールウェインと J. M. ボールウェインが 2001 年に発表した論文で詳しく調べられ、現在はボールウェイン積分と呼ばれています。単なる数値の偶然ではありません。「なぜ 7 回まで持ちこたえるのか」「なぜ 8 回目で崩れるのか」「崩れ幅がなぜ $2.31\times10^{-11}$ なのか」のすべてに、きれいな理由があります。

この記事のゴールは、その理由を完全に説明することです。道具は 2 つだけです。ひとつは $I_0 = \pi/2$ というディリクレ積分、もうひとつは「積のフーリエ変換は畳み込み」という関係です。後者を確率の言葉に翻訳すると、崩れる条件が一行で書けてしまいます。

ノート

数式処理システムでこの積分列を計算すると、多くの環境で $n \le 6$ までは厳密に $\pi/2$ が返り、$n = 7$ で初めて $\pi/2$ でない値が返ります。以下で示すとおり、$I_7$ は具体的な有理数と $\pi$ の積として厳密に書けます。

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