## 2. 準備：sinc 関数と条件収束
実数 $a > 0$ に対し、関数 $\operatorname{sinc}_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を
$$
\operatorname{sinc}_a(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(a x)}{a x} & (x \ne 0), \\[2mm] 1 & (x = 0)\end{cases}
$$
で定めます。$a = 1$ のときは単に $\operatorname{sinc}(x) = \sin x / x$ と書きます。
$x \to 0$ で $\sin(ax)/(ax) \to 1$ ですから、$\operatorname{sinc}_a$ は $\mathbb{R}$ 全体で連続です。実際、$\sin$ のテイラー展開（
）から $\dfrac{\sin(ax)}{ax} = 1 - \dfrac{(ax)^2}{6} + \dfrac{(ax)^4}{120} - \cdots$ となり、右辺は $\mathbb{R}$ 全体で収束する冪級数なので $\operatorname{sinc}_a$ は $C^\infty$ 級でもあります。また $\operatorname{sinc}_a$ は偶関数です。
$\operatorname{sinc}_a$ を無限区間で積分するとき、まず気をつけるべきなのは「どういう意味で積分するのか」です。
広義積分 $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \lim_{R \to \infty}\int_0^R \frac{\sin x}{x}\,dx$ は収束します。しかし
$$
\int_0^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = +\infty
$$
であり、絶対収束はしません。さらに、任意の $1 \le R < R'$ に対して
$$
\left|\int_R^{R'} \frac{\sin x}{x}\,dx\right| \le \frac{3}{R}
$$
が成り立ちます。
**（1）収束と評価。** $1 \le R < R'$ とします。$u(x) = 1/x$、$v(x) = -\cos x$ として部分積分します（部分積分と微積分の基本定理については [積分の基本定理と定積分](/mathematics/calculus/integration-and-ftc)、とくに
## 3. ディリクレ積分
出発点となる等式を証明します。値そのものだけでなく、**パラメータ $t$ を含む形**まで示しておきます。後の議論で使うのはそちらです。
証明の鍵は、パラメータ $s$ を含む広義積分
$$
F(s) = \int_0^\infty e^{-sx}\,\frac{\sin x}{x}\,dx \qquad (s \ge 0)
$$
が $s \ge 0$ で**一様収束**することです。一様収束していれば、極限関数 $F$ が連続になり、$s \to 0^{+}$ の極限と $s = 0$ での値を結びつけられます。
$s \ge 0$ とし、$F_R(s) = \displaystyle\int_0^R e^{-sx}\frac{\sin x}{x}\,dx$ と置きます。このとき任意の $1 \le R < R'$ と任意の $s \ge 0$ に対して
$$
\left|F_{R'}(s) - F_R(s)\right| \le \frac{3}{R}
$$
が成り立ちます。したがって $F_R$ は $R \to \infty$ で $[0,\infty)$ 上一様収束し、極限 $F$ は $[0,\infty)$ 上連続です。
$g(x) = \dfrac{e^{-sx}}{x}$ と置き、$1 \le R < R'$ 上で部分積分します（$v(x) = -\cos x$）。
$$
\int_R^{R'} g(x)\sin x\,dx = \bigl[-g(x)\cos x\bigr]_R^{R'} + \int_R^{R'} g'(x)\cos x\,dx .
$$
境界項は $|g(R)| + |g(R')| = \dfrac{e^{-sR}}{R} + \dfrac{e^{-sR'}}{R'} \le \dfrac1R + \dfrac1R = \dfrac2R$ 以下です（$s \ge 0$ より $e^{-sx}\le 1$、および $R' > R \ge 1$）。
積分項については
$$
g'(x) = -e^{-sx}\left(\frac{s}{x} + \frac{1}{x^2}\right)
$$
であり、$x > 0$、$s \ge 0$ のとき $g'(x) \le 0$ で符号が一定です。よって
$$
\int_R^{R'}|g'(x)|\,dx = -\int_R^{R'} g'(x)\,dx = g(R) - g(R') = \frac{e^{-sR}}{R} - \frac{e^{-sR'}}{R'} \le \frac{1}{R},
$$
したがって $\left|\int_R^{R'} g'(x)\cos x\,dx\right| \le 1/R$ です。合わせて $|F_{R'}(s) - F_R(s)| \le 3/R$ となり、この上界は $s$ に依りません。
これは一様コーシー条件そのものなので、$F_R$ は $[0,\infty)$ 上一様収束します。各 $F_R$ は $s$ の関数として連続です（有限区間 $[0,R]$ 上の積分で、被積分関数 $e^{-sx}\sin x / x$ は $(s,x)$ について連続、$[0,R]$ はコンパクトなので（
## 4. sinc の積を「窓と密度」に翻訳する
ここからが本題です。鍵になるのは次の観察です。
$$
\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} e^{-i x t}\,dt = \frac{1}{2a}\cdot\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{ix} = \frac{\sin(ax)}{ax} = \operatorname{sinc}_a(x).
$$
つまり $\operatorname{sinc}_a$ は「区間 $[-a,a]$ 上の一様な密度」のフーリエ変換です。フーリエ変換は積を畳み込みに移すので、$\operatorname{sinc}$ の**積**は一様密度の**畳み込み**に対応するはずです。以下ではこの筋書きを、フーリエ反転定理を持ち出さずに、
と積和の公式だけで直接証明します。
$a > 0$ に対して
$$
h_a(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2a} & (|t| \le a), \\[1mm] 0 & (|t| > a)\end{cases}
$$
と定めます。これは区間 $[-a,a]$ 上の一様分布の確率密度で、$\int_{\mathbb{R}} h_a = 1$ です。有界可測かつ可積分な $f, g$ に対して畳み込みを
$$
(f * g)(t) = \int_{\mathbb{R}} f(t-u)\,g(u)\,du
$$
で定めます。特に $g = h_a$ のときは
$$
(f * h_a)(t) = \frac{1}{2a}\int_{t-a}^{t+a} f(u)\,du
$$
であり、これは「$f$ を幅 $2a$ の窓で移動平均する」操作です。
$a_0, a_1, \ldots, a_n > 0$ を固定し、$n \ge 0$ と $t \in \mathbb{R}$ に対して
$$
\Psi_n(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\right)\cos(tx)\,dx
$$
と定めます（$n = 0$ のときは
$\Psi_n(0)$ が求めたい積分の $2$ 倍であることに注意してください。被積分関数は偶関数なので
$$
\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\,dx = \frac{1}{2}\Psi_n(0).
$$
$$
\Psi_0(t) = \begin{cases}
\dfrac{\pi}{a_0} & (|t| < a_0), \\[2mm]
\dfrac{\pi}{2a_0} & (|t| = a_0), \\[2mm]
0 & (|t| > a_0).
\end{cases}
$$
すなわち $|t| \ne a_0$ では $\Psi_0(t) = 2\pi\,h_{a_0}(t)$ です。
積和の公式 $\sin(a_0x)\cos(tx) = \frac12\bigl[\sin((a_0+t)x) + \sin((a_0-t)x)\bigr]$ を使うと
$$
\operatorname{sinc}_{a_0}(x)\cos(tx) = \frac{1}{2a_0}\left[\frac{\sin((a_0+t)x)}{x} + \frac{\sin((a_0-t)x)}{x}\right].
$$
両辺を $\int_{-R}^{R}$ してから $R \to \infty$ とすると、右辺の各項は
$|t| = a_0$ という 2 点だけ値が半分になりますが、これから $\Psi_0$ は必ず積分される（移動平均される）ので、この 2 点の値は結果に影響しません。
$n \ge 1$ とします。
この系がこの記事の中心です。言葉で言い直すと、こうなります。
- $\operatorname{sinc}_{a_0}$ は「幅 $2a_0$ の窓 $[-a_0, a_0]$」を表す。
- 残りの因子 $\operatorname{sinc}_{a_1}, \ldots, \operatorname{sinc}_{a_n}$ を掛けることは、その窓を次々と移動平均でぼかすことに対応する。
- 積分の値は「ぼかした後の窓の中心の高さ」に比例する。窓の中心の高さは、ぼかしに使った質量のうち窓の中に残っている割合、つまり $\Pr(|S| \le a_0)$ である。
標準的なフーリエ解析の記号 $\widehat{f}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)e^{-ixt}\,dt$ を使うと、この節でやったことは 3 行で書けます。まず節の冒頭の計算は $\widehat{h_a}(x) = \operatorname{sinc}_a(x)$ を意味します。次に「畳み込みの変換は変換の積」という基本性質から
$$
\widehat{h_{a_0} * h_{a_1} * \cdots * h_{a_n}}(x) = \prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)
$$
です。最後にフーリエ反転公式を $t = 0$ で使えば
$$
H(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\widehat{H}(x)\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\,dx
$$
となって
次の図が、この記事全体の要約です。左は $S$ の密度が窓に収まる場合、右ははみ出す場合です。
$n = 1$、すなわち $\displaystyle\int_0^\infty \operatorname{sinc}_{a}(x)\operatorname{sinc}_{b}(x)\,dx$ を
## 5. ボールウェイン積分：崩れる条件と崩れ幅
$n \ge 1$ とし、$a_0, a_1, \ldots, a_n$ を正の実数、$B = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ とします。このとき
$$
\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \frac{\pi}{2a_0}
\quad\Longleftrightarrow\quad B \le a_0 .
$$
さらに $B > a_0$ のときは、値は $\dfrac{\pi}{2a_0}$ より**真に小さく**なります。
この定理は「掛ける因子の幅の合計が最初の因子の幅を超えるまでは、いくら掛けても値が変わらない」と言っています。$\operatorname{sinc}_{a_0}$ が作る窓を移動平均でぼかしていっても、ぼかしの総幅が窓の半分（片側 $a_0$）以内なら、中心の高さは削られないのです。
注意してほしいのは、この定理が「$\pi/2$ が続く」ことと「いつか崩れる」ことを**同じ一つの不等式**で説明している点です。よくある説明は前半だけを扱いますが、
は必要十分条件なので、$B$ が $a_0$ を超えた瞬間に必ず値が変わることまで保証します。したがって「$n$ をもっと増やせばまた $\pi/2$ に戻る」ということは起こりません。$B_n$ は単調増加なので、一度超えたら二度と戻らないからです。
$a_k = \dfrac{1}{2k+1}$ の場合を
## 6. 変奏：余弦因子を掛けるともっと長く持つ
の証明を見ると、崩れる原因は「窓の外に確率がはみ出すこと」だけでした。ならば、窓を広げてやればもっと長く持つはずです。それを実現するのが $2\cos x$ という因子です。
$n \ge 1$、$a_0 = 1$ とし、$a_1, \ldots, a_n > 0$、$B = a_1 + \cdots + a_n$ とします。$S = X_1 + \cdots + X_n$（$X_k \sim U[-a_k, a_k]$、独立）とすると
$$
\int_0^\infty 2\cos x \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \pi\Pr\bigl(0 \le S \le 2\bigr).
$$
特に $B \le 2$ ならばこの値は $\dfrac{\pi}{2}$ です。
被積分関数 $2\cos x\prod_{k}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)$ は偶関数の積なので偶関数です。したがって $\int_0^\infty$ は $\int_{-\infty}^{\infty}$ の半分であり、
しきい値が $1$ から $2$ に倍増しました。
の $B_n$ が $2$ を超えるのはいつでしょうか。$B_n \approx \frac12\log n + \log 2 + \gamma/2 - 1$ を $2$ と等置すると $\log n \approx 4.04$、つまり $n \approx 57$ あたりです。実際に厳密に計算すると
$$
B_{55} = 1.9944375\ldots \le 2 < B_{56} = 2.0032871\ldots
$$
なので、$a_k = 1/(2k+1)$ に対して
$$
\int_0^\infty 2\cos x\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx = \frac{\pi}{2}
$$
は $n = 0, 1, \ldots, 55$ で成り立ち、$n = 56$（最後の因子が $\sin(x/113)/(x/113)$、sinc の因子は全部で 57 個）で初めて崩れます。
崩れ幅も
と同じ単体の計算で求まります。$B_{56} - 2 = 0.0032870\ldots$ は $2\min_k a_k = 2/113 = 0.0177\ldots$ 以下なので箱の制約は効かず、
$$
\pi\Pr(S > 2) = \pi\cdot\frac{(B_{56}-2)^{56}}{56!}\cdot\frac{1}{2^{56}\prod_{k=1}^{56}a_k} \approx 2.33\times 10^{-138}
$$
だけ $\pi/2$ より小さくなります。倍精度どころか、通常の多倍長計算でも意識しないと見えない差です。「数値実験で 100 桁一致した」ことが証明にならない、という教訓のもっとも劇的な例のひとつだと思います。
積分を等間隔の和に置き換えた
$$
\sum_{m=-\infty}^{\infty}\ \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\bigl(m/(2k+1)\bigr)}{m/(2k+1)}
$$
（$m = 0$ の項は $1$ と読む）についても、対応する積分と一致する範囲・一致しなくなる範囲が調べられています。R. Baillie、D. Borwein、J. M. Borwein による Monthly の論文にまとまっています。和と積分が長く一致するのは、この記事の議論をポアソン和公式と組み合わせると説明できます。
## 7. 演習
$\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx$ を、(a)
## 参考文献
- David Borwein and Jonathan M. Borwein, "Some remarkable properties of sinc and related integrals", *The Ramanujan Journal* **5** (2001), 73–89. — ボールウェイン積分の原論文。一般の $a_k$ に対する閉じた表示も与えられています。
- Robert Baillie, David Borwein and Jonathan M. Borwein, "Surprising sinc sums and integrals", *The American Mathematical Monthly* **115** (2008), 888–901. —
で触れた和の版。
- Hanspeter Schmid, "Two curious integrals and a graphic proof", *Elemente der Mathematik* **69** (2014), 11–17. — この記事の §4 と同じ「窓を移動平均でぼかす」図解による説明。
- Elias M. Stein and Rami Shakarchi, *Fourier Analysis: An Introduction*, Princeton University Press, 2003 — 第 5 章（$\mathbb{R}$ 上のフーリエ変換）。畳み込みと反転公式の標準的な扱い。
- Jonathan M. Borwein, David H. Bailey and Roland Girgensohn, *Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery*, A K Peters, 2004. — 数値実験から予想を立てるときの落とし穴として、この積分列が取り上げられています。
- 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 広義積分、パラメータを含む積分の一様収束と微分積分の順序交換。
と
の背景。
## Appendix: 極限交換の細部
の証明で、$R \to \infty$ の極限を積分の中に入れる操作を Appendix に回しました。ここを埋めます。
**（あ）正弦積分の一様な上界。** $\mathrm{Si}(X) = \displaystyle\int_0^X \frac{\sin v}{v}\,dv$ と置きます。主張は
$$
0 \le \mathrm{Si}(X) \le \mathrm{Si}(\pi) = 1.85193705\ldots \qquad (X \ge 0)
$$
です。証明はこうです。$\mathrm{Si}'(X) = \dfrac{\sin X}{X}$ は $X \in (2m\pi, (2m+1)\pi)$ で正、$X \in ((2m+1)\pi, (2m+2)\pi)$ で負なので、$\mathrm{Si}$ は $[m\pi, (m+1)\pi]$ ごとに単調で、極大は $X = (2m+1)\pi$、極小は $X = 2m\pi$ で起こります。区間ごとの増減の大きさは
$$
c_m = \left|\int_{m\pi}^{(m+1)\pi}\frac{\sin v}{v}dv\right| = \int_0^{\pi}\frac{\sin w}{w + m\pi}\,dw
$$
（$v = w + m\pi$ と置換）で、被積分関数が $m$ について単調減少なので $c_0 > c_1 > c_2 > \cdots > 0$ かつ $c_m \to 0$ です。したがって極大値の列 $\mathrm{Si}(\pi) > \mathrm{Si}(3\pi) > \cdots$ は減少、極小値の列 $\mathrm{Si}(0) < \mathrm{Si}(2\pi) < \cdots$ は増加します（
と同じ構造です）。ゆえに全体の最大は $\mathrm{Si}(\pi)$、最小は $\mathrm{Si}(0) = 0$ です。
**（い）$\Phi_R$ の一様有界性。**
の証明で使った $\Phi_R(u) = \displaystyle\int_{-R}^{R}P(x)\cos(ux)\,dx$、$P = \prod_{k=0}^{n-1}\operatorname{sinc}_{a_k}$ について、$R \ge 0$ と $u \in \mathbb{R}$ に依らない上界を作ります。
$n - 1 \ge 1$ のとき。すべての $a>0$ と $x \ne 0$ で $|\operatorname{sinc}_a(x)| \le \min\left(1, \dfrac{1}{a|x|}\right)$ なので、因子が 2 個以上あることから $|P(x)| \le \min\left(1, \dfrac{1}{a_0a_1x^2}\right)$ となり、$P$ は $\mathbb{R}$ 上可積分です。$|\cos| \le 1$ より
$$
|\Phi_R(u)| \le \int_{\mathbb{R}}|P(x)|\,dx =: C < \infty .
$$
$n - 1 = 0$ のとき。$P = \operatorname{sinc}_{a_0}$ は可積分ではないので、
の計算をそのまま使います。積和の公式から
$$
\Phi_R(u) = \frac{1}{a_0}\left[\int_0^{R}\frac{\sin\bigl((a_0+u)x\bigr)}{x}dx + \int_0^{R}\frac{\sin\bigl((a_0-u)x\bigr)}{x}dx\right]
$$
であり、$c \ne 0$ に対して $\displaystyle\int_0^{R}\frac{\sin(cx)}{x}dx = \mathrm{sgn}(c)\,\mathrm{Si}(|c|R)$、$c = 0$ なら $0$ です。（あ）より各項の絶対値は $\mathrm{Si}(\pi)$ 以下なので
$$
|\Phi_R(u)| \le \frac{2\,\mathrm{Si}(\pi)}{a_0} < \frac{3.71}{a_0} =: C .
$$
いずれの場合も $C$ は $R$ にも $u$ にも依りません。よって有限区間 $[0, a_n]$ 上で定数関数 $2C$ が優関数となり、有界収束定理から
$$
\lim_{R\to\infty}\int_0^{a_n}\bigl[\Phi_R(t+s) + \Phi_R(t-s)\bigr]ds = \int_0^{a_n}\bigl[\Psi_{n-1}(t+s) + \Psi_{n-1}(t-s)\bigr]ds
$$
が正当化されます。なお $\Phi_R(u) \to \Psi_{n-1}(u)$ の収束は $u = \pm a_0$ の近くでは一様ではありません（
の不連続点で、いわゆるギブス現象が起きます）。一様収束が使えないからこそ、一様**有界性**と有界収束定理が必要でした。