微分積分学

数学学部無料 10 章有料 0 章

厳密さ（ε-δ論法）と直感的な理解（図解）のバランスを取る。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:数学基礎

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章極限と連続性 (ε-δ論法)無料「限りなく近づく」がなぜ定義になり得ないかをディリクレ関数で確かめ、ε-δ 論法を量化子の順序として読み直す。極限の一意性・四則・はさみうちから連続性・一様連続性までを定義だけから証明する。
2. 第 2 章導関数の定義と基本的な微分法無料微分係数を差分商の極限として定義し、微分可能性が一次近似の存在と同値であることを示す。x^n・sin x・e^x の導関数を定義から導出し、線形性・積・商の法則、連鎖律、逆関数の微分法を証明する。
3. 第 3 章平均値の定理とテイラーの定理無料ロル・ラグランジュ・コーシーの平均値の定理を最大値定理から順に証明し、それを土台にロピタルの定理とラグランジュ剰余付きテイラーの定理を導く。指数関数・正弦関数・対数関数のマクローリン展開を、誤差の評価まで込めて計算する。
4. 第 4 章積分の基本定理と定積分無料定積分をダルブー和（リーマン和）の極限として定義し、可積分条件と連続関数の可積分性を証明したうえで、微分積分学の基本定理を厳密に示し、置換積分・部分積分を導出する。
5. 第 5 章多変数関数の微分と偏微分無料偏導関数が両方あっても関数が連続とは限らない、という反例から出発し、微分を一次近似として定義し直す。接平面・勾配・連鎖律・2 変数テイラー展開・ヘッセ行列による極値判定までを、反例つきで証明します。
6. 第 6 章重積分と累次積分無料2 重積分を「柱の体積の和」のリーマン和として定義し、フビニの定理で累次積分に直す手順、積分順序の交換が破れる反例、極座標などの変数変換に現れるヤコビアンの意味と計算を解説する。
7. 第 7 章級数と収束判定無料無限級数の和を部分和の極限として定義し、比較・積分・ダランベール・コーシーの各判定法を証明付きで整理する。絶対収束と条件収束を区別し、交項級数とリーマンの再配列定理で和の順序が意味を持つ理由まで示す。
8. 第 8 章逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値無料微分が可逆なら写像は局所的に可逆である、という逆関数定理を縮小写像の原理で証明し、そこから陰関数定理とラグランジュの乗数法を導く。反例と図で各仮定の役割を確かめます。
9. 第 9 章ベクトル解析と積分定理無料線積分・面積分を定義し、grad・div・rot と曲線座標での表示を導き、グリーン・ガウス・ストークスの定理を標準領域で証明する。電磁気や流体の「流れと渦」を数学の言葉で読むための基礎です。
10. 第 10 章広義積分・パラメータ積分とガンマ関数無料広義積分の収束判定、積分記号下の微分（一様収束版）、ガウス積分、ガンマ関数とベータ関数、スターリングの公式 n! ~ √(2πn)(n/e)^n を、仮定の役割を確かめながら順に証明する。