リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する

0. この記事の要点

• リー群とは、多様体であって、しかも積と逆元をとる操作が滑らかな群のことです。回転、平行移動、ローレンツ変換といった「連続的な対称性」はすべてこの枠組みに入ります。
• 群であることの効果は絶大です。単位元 $e$ のまわりの情報が左移動 $L_g$ によって群全体へ運ばれるため、無限個の元をもつ曲がった空間が、有限次元ベクトル空間 $\mathfrak{g} = T_eG$ のデータでほぼ決まってしまいます。
• $\mathfrak{g}$ には左不変ベクトル場のリー括弧を通じてブラケット $[\cdot,\cdot]$ が入り、リー環になります。行列でできた群では、このブラケットは交換子 $AB - BA$ にほかなりません。
• 指数写像 $\exp \colon \mathfrak{g} \to G$ が両者を橋渡しします。$\exp$ は $0$ の近傍から $e$ の近傍への微分同相であり、連結なリー群は $\exp(\mathfrak{g})$ で生成されます。ただし $\exp$ は全射とは限らず、$SL(2,\mathbb{R})$ が反例になります。
• 古典群 $GL(n,\mathbb{R})$、$SL(n,\mathbb{R})$、$O(n)$、$U(n)$ は正則値定理でまとめて多様体だと分かり、同じ計算から次元とリー環が同時に読み取れます。

1. 動機：連続的な対称性をどう扱うか

ガロアは代数方程式の対称性を有限群として取り出し、解の公式の存在を群論の言葉に翻訳しました。1870 年代、ソフス・リーはこれと同じことを微分方程式に対して行おうとします。ところが微分方程式の対称性は「$x$ 軸方向に $t$ だけ平行移動する」「原点のまわりに角 $\theta$ だけ回す」のように連続パラメータで動くため、有限群では捉えられません。パラメータの動く範囲そのものが空間になっているのです。

そこでリーが取った戦略が、この記事の主題です。連続的な対称性の集まりを、群であると同時に多様体である対象として扱い、単位元の近くだけを見て「無限小の対称性」を取り出す。この無限小の対称性たちがなす代数系が、のちにヘルマン・ワイルによってリー環（リー代数）と呼ばれるものです。

なぜ単位元の近くだけで十分なのか、直感的な理由を先に言っておきます。群の積は一般に非線形です。たとえば行列の積 $(A,B) \mapsto AB$ は成分について 2 次式であって、線形代数の道具がそのままでは使えません。しかし群には $L_g(h) = gh$ という左移動があり、これは群全体を自分自身へ写す微分同相です。したがって $g$ の近くの様子は $e$ の近くの様子を $L_g$ で運んだものにすぎず、局所的な情報はすべて単位元に集約できます。単位元における接空間 $T_eG$ は有限次元のベクトル空間ですから、これで非線形な対象が線形代数の土俵に乗ります。

最も簡単な例で確かめておきます。単位円 $S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ は複素数の積について群であり、1 次元の多様体です。$e = 1$ における接空間は純虚数全体 $i\mathbb{R}$ で、これは 1 次元の実ベクトル空間です。接ベクトル $i\theta$ に対して曲線 $t \mapsto e^{i t \theta}$ を対応させると、直線 $i\mathbb{R}$ が円に巻きつきます。この「巻きつけ」が指数写像であり、この記事の最終目標です。

接空間（リー環）を指数写像で群に巻きつける。円周群 S¹ の場合。

物理でこの道具立てが要るのは、対称性が保存量を生むからです。時間並進の対称性はエネルギー保存を、空間回転の対称性は角運動量保存を与えます。ここで実際に効いているのは群そのものではなく「無限小の生成元」、すなわちリー環の元です。一般相対論のローレンツ群、素粒子論のゲージ群 $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ も、計算の現場ではほとんどリー環の言葉で扱われます。

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