ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式

0. この記事の要点

• 正整数 $n$ の根基 $\operatorname{rad}(n)$ は、$n$ を割り切る相異なる素数の積です。$n$ の「素因数の集合」だけを残し、指数の情報をすべて捨てた量だと思ってください。
• ABC 予想は、$\gcd(a,b)=1$ と $a+b=c$ を満たす正整数の三つ組について、$c$ が $\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$ を超えることは（$\varepsilon > 0$ を固定するごとに）有限回しか起こらない、と主張します。指数を $1$ にすると偽になり、$\varepsilon$ の余裕がどうしても必要です。
• この主張は「足し算の結果が、高い冪をたくさん含む（＝根基が極端に小さい）ことは稀である」という形で、加法と乗法の噛み合わなさを定量化しています。
• ABC 予想を仮定すると、十分大きい $n$ に対するフェルマーの最終定理、フェルマー・カタラン方程式の解の有限性、Hall 予想の弱形、Szpiro 予想などが短い計算で従います。数論の多くの問題が 1 本の不等式に還元されるのです。
• 多項式に対する類似（Mason–Stothers の定理）は $\varepsilon$ なしの形で成立し、初等的に証明できます。整数版が難しいのは、整数には微分に相当する操作が無いからだと理解されています。
• 望月新一による証明の主張（宇宙際 Teichmüller 理論）は 2021 年に学術誌に掲載されましたが、証明の要となる部分に専門家からの反論があり、本記事の執筆時点で数学界の合意には至っていません。

1. 動機：足し算は掛け算の構造を壊す

1.1. 素因数分解と加法の断絶

整数論の出発点は素因数分解の一意性（算術の基本定理（定理 4.2）［素数の魅力と素数定理］）です。これは掛け算についての定理であって、足し算については何も言いません。実際、$a$ と $b$ の素因数分解を完全に知っていても、$a+b$ の素因数分解については、ほとんど何も分かりません。

たとえば $3^5 = 243$ と $11^4 = 14641$ は、$3$ と $11$ という小さな素数の高い冪です。ところが和は

$$3^5 + 11^4 = 243 + 14641 = 14884 = 2^2 \cdot 61^2$$

となり、突然 $61$ という新しい素数が現れます。逆にこの例は「小さな素数の冪を足したら、また小さな素数の冪（しかも平方数 $122^2$）になった」珍しい例でもあります。

この「珍しさ」を測れないでしょうか。素朴な直観はこうです。$a$ と $b$ がともに高い冪を含む数だとすると、$a+b$ もまた高い冪を含む、ということは滅多に起こらないはずだ。なぜなら、和を取る操作は素因数分解の構造を完全に破壊するので、和がふたたび「構造のある数」になるのは偶然に頼るしかないからです。ABC 予想は、この直観を根基というたった一つの量で定量化したものです。

歴史的には、ABC 予想は 1985 年に J. Oesterlé と D. Masser によって定式化されました。Oesterlé は楕円曲線の判別式と導手を比較する Szpiro 予想を研究する中でこの形の不等式に到達し、Masser はそれを $\varepsilon$ を含む一般の形に整えました。背景には、次に述べる多項式の世界での定理があります。

1.2. 多項式の世界からの示唆

多項式 $a(t), b(t), c(t)$ に対して「$a+b=c$ で、$a,b,c$ が高い重複度の根ばかり持つ」ことがどれくらい起こるかは、1981 年の W. W. Stothers と 1984 年の R. C. Mason によって完全に解決されていました。結論だけ先に言うと、$a,b,c$ が互いに素で全部は定数でなければ

$$\max(\deg a, \deg b, \deg c) \le n_0(abc) - 1$$

が成り立ちます。ここで $n_0(f)$ は $f$ の相異なる根の個数です（定理 5.1 で証明します）。「相異なる根の個数」は、多項式における根基の次数にほかなりません。つまり多項式の世界では、$\varepsilon$ の余裕すら要らない鋭い不等式が、しかも初等的な計算で証明できるのです。

数体と関数体（多項式の世界）は多くの現象を共有します。ABC 予想は、この多項式版の定理を整数に翻訳したらどうなるか、という問いから生まれました。翻訳の辞書は

$$\deg f \ \longleftrightarrow\ \log |n|, \qquad n_0(f) \ \longleftrightarrow\ \log \operatorname{rad}(n)$$

です。この辞書で上の不等式を書き直すと $\log c \le \log \operatorname{rad}(abc)$、すなわち $c \le \operatorname{rad}(abc)$ になります。命題 3.5 で見るように、この形は整数では偽です。しかし「ほんの少し」だけ緩めれば正しいだろう、というのが ABC 予想です。

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