関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined）

0. この記事の要点

• 二項関係とは、直積集合 $X \times Y$ の部分集合のことです。「$x$ と $y$ が関係を持つ」という言明は、順序対 $(x, y)$ がその部分集合に属することとして定義されます。
• 反射律・対称律・推移律の 3 つを満たす関係を同値関係と呼びます。この 3 条件は「同じとみなしてよい」ための最小限の要求です。
• 同値関係は集合を同値類に分割し、逆に分割は同値関係を定めます。両者はちょうど 1 対 1 に対応します（定理 4.4）。
• 同値類を元とする集合が商集合 $X/\!\sim$ です。「異なるものを同じとみなす」という操作は、商集合を作ることとして厳密に定式化されます。
• 商集合の上で写像や演算を定義するときは、代表元の取り方によらないこと（well-defined であること）の確認が必須です。その一般形が商集合の普遍性（定理 5.1）です。
• 有理数も実数も、適当な集合を同値関係で割って作られます。「$1/2$ と $2/4$ は同じ数」という小学校の約束は、同値類が等しいという主張です。

1. 動機：「同じ」は文脈で決まる

小学校で、$\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{2}{4}$ は同じ数だと習います。しかし記号列としては明らかに違います。分数を「分子と分母の対 $(a, b)$」だと思えば、$(1, 2)$ と $(2, 4)$ は順序対として異なります。それでも同じ数だと言い切ってよいのはなぜでしょうか。

似た状況はいくらでもあります。時計の針は 15 時と 3 時を区別しません。合同な三角形は、置かれている場所が違っても「同じ三角形」として扱われます。地図の縮尺を変えても、相似な図形は「同じ形」です。プログラムを書くときも、内部表現が違う 2 つのオブジェクトを「等しい」とみなす基準を自分で決めます。

これらに共通するのは、本来は異なる対象を、ある観点のもとで同一視しているという構造です。そして観点が変われば「同じ」の意味も変わります。時計は「12 で割った余り」という観点、合同は「動かして重ねられる」という観点です。

数学は「同じ」という語をあいまいなまま使いません。かわりに次の二段構えを取ります。

1. どういう性質を満たす関係なら「同じ」と呼んでよいかを決める（同値関係）。
2. その関係で対象をまとめ上げ、新しい集合を作る（商集合）。

この記事では、この二段構えを最後まで実行します。そして最も間違いやすい箇所、すなわち商集合の上で何かを定義するときに何を確かめなければならないか（well-defined 性）を、証明つきで扱います。$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ と書いてよい理由は §6 で回収します。

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