重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する

0. この記事の要点

• 2 重積分は、長方形を細かく切り、その上に立つ「柱」の体積を足し上げたリーマン和の極限として定義します。1 変数の定積分が符号付き面積だったのに対し、2 重積分は符号付き体積です。
• 有界閉長方形の上の連続関数は可積分です。鍵になるのは一様連続性で、1 変数のときとまったく同じ筋道です。
• フビニの定理は「重積分（体積）＝累次積分（1 変数の積分を 2 回）」を保証します。これがないと、重積分は定義できても計算できません。
• 一般の領域では、領域を縦線集合として書くか横線集合として書くかが、そのまま積分順序の選択になります。順序の取り替えで値が変わるのは、被積分関数が非有界で重積分そのものが存在しないときです。
• 変数変換公式 $dx\,dy = \lvert\det J_\Phi\rvert\,du\,dv$ に現れるヤコビアン $\det J_\Phi$ は、写像 $\Phi$ が微小な面積を何倍に引き伸ばすかという「面積の拡大率」です。極座標では $r$ になります。
• 応用として、ガウス積分 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$ を極座標変換で計算します。

1. 動機：体積をどう定義し、どう計算するか

1 変数の定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ は、グラフの下の符号付き面積でした。定義は「区間を細かく切り、細長い長方形の面積を足し上げ、細かくする極限を取る」というものです。詳しくは 積分の基本定理と定積分 の リーマン可積分性の定義（定義 3.1）［積分の基本定理と定積分］ を参照してください。

2 変数関数 $z = f(x,y)$ のグラフは空間内の曲面です。その下の立体の体積を測りたい、というのが 2 重積分の出発点です。定義の作り方は 1 変数と同じで、平面領域を細かい長方形に切り、その上に立つ直方体（柱）の体積 $f(\text{代表点}) \times (\text{底面積})$ を足し上げ、細かくする極限を取ります。

ここで素朴な疑問が出ます。「$x$ で積分してから $y$ で積分すればいいのではないか」。この操作、つまり 1 変数の積分を 2 回繰り返すことを累次積分といいます。実際これが唯一の実用的な計算法です。しかし累次積分は「操作」であって、体積の定義ではありません。定義（体積）と計算法（2 回の積分）が一致する保証は、まったく自明ではないのです。

自明でないことは、次の 2 点からわかります。第一に、累次積分には $dy\,dx$ の順と $dx\,dy$ の順の 2 通りがあり、この 2 つの値が食い違う関数が実在します（例 5.6）。もし累次積分がいつでも体積に等しいなら、そんなことは起こりえません。第二に、累次積分は「各断面の面積 $F(x)=\int f(x,y)\,dy$ を求めてから、それを $x$ 方向に積み上げる」という操作ですが、断面の面積が定まっても立体の体積が定まる保証はありません。この橋渡しをするのがフビニの定理です。

歴史的にも、この橋渡しは繊細な問題として扱われてきました。リーマンが 1854 年の教授資格論文で積分を厳密に定義したあと、多変数への拡張と累次積分との関係が整理され、グイド・フビニが 1907 年に、ルベーグ積分の枠組みで一般的な定理を証明しました。翌々年にはトネリが、非負関数に対する使いやすい形（可積分性を仮定せずに済む形）を与えています。

もう一つの主役が変数変換です。1 変数では置換積分 $\int f(g(t))g'(t)\,dt$ が積分計算の要でした。円板や楕円板の上の積分では、直交座標のままでは領域の記述が $-\sqrt{a^2-x^2} \le y \le \sqrt{a^2-x^2}$ のように醜くなります。極座標に取り替えれば領域は長方形になり、計算が一気に楽になります。そのとき $dx\,dy$ が $r\,dr\,d\theta$ に化ける理由が、ヤコビ（1841 年に関数行列式を組織的に論じました）の名を冠したヤコビアンです。

この記事では、定義（リーマン和）→ フビニの定理 → 一般の領域と積分順序 → 変数変換とヤコビアン、の順に進みます。全体の見取り図は次のとおりです。

flowchart TD
A["2 重積分を計算したい"] --> B{"領域は縦線集合か横線集合か"}
B -- "はい" --> C["フビニの定理で累次積分に直す"]
B -- "いいえ" --> D["変数変換を探す"]
D --> E["ヤコビアンの絶対値を掛ける"]
E --> F["新しい領域は縦線集合か"]
F -- "はい" --> C
F -- "いいえ" --> D
C --> G["1 変数の定積分を 2 回実行する"]

2 重積分を計算するときの流れ

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