ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める

0. この記事の要点

• 方程式 $f(x) = 0$ に対して、その根がすべて現れる最小の体（最小分解体）$L$ を作り、$L$ の自己同型のうち係数体 $K$ を動かさないもの全体がなす群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ を対応させます。これは「$K$ の立場から見て根たちがどれくらい区別できないか」を測る有限群です。
• ガロア理論の基本定理は、$L/K$ の中間体全体と $\mathrm{Gal}(L/K)$ の部分群全体が包含関係を逆にして 1 対 1 に対応することを主張します。体という無限集合の問題が、有限群の部分群を数える問題に翻訳されます。
• この対応のもとで「中間体が $K$ 上ガロア」は「対応する部分群が正規」と同値になり、そのとき中間体のガロア群は商群として現れます。群の準同型定理の体版です。
• 「根号で解ける」とは、最小分解体が巾根を次々に添加した体の塔に含まれることです。この塔は群の側で、商がアーベル群であるような正規列（可解列）に翻訳されます。
• 一般の $n$ 次方程式のガロア群は対称群 $S_n$ です。$S_2, S_3, S_4$ は可解群ですが $S_5$ は可解群ではありません。これが「4 次まで公式があって 5 次で止まる」ことの正体です。
• 具体例として、$x^5 - 4x + 2$ のガロア群が $S_5$ であることを、既約性・実根の個数・複素共役という 3 つの材料だけから完全に証明します。この方程式は根号では解けません。

1. 動機：解の公式はなぜ 4 次で止まるのか

2 次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式は、平方完成という形で古代バビロニアの粘土板にすでに現れます。3 次方程式が解かれたのは 16 世紀のイタリアで、デル・フェッロとタルタリアの発見をカルダーノが『Ars Magna』（1545 年）に公表しました。カルダーノの弟子フェラーリは同じ頃に 4 次方程式を根号で解いています。4 次までが 1 世代で片づいたのですから、5 次も時間の問題に見えたはずです。

ところが、そこから 250 年間、誰も 5 次方程式の解の公式を書けませんでした。転機は 1770 年、ラグランジュが『方程式の代数的解法についての省察』で、3 次・4 次の古典的解法はいずれも「根の置換に対して分解式（レゾルベント）がどう振る舞うか」という一つの原理で説明できると見抜いたことです。彼は同じ方法が 5 次では破綻することにも気づいていました。1799 年にルフィニが不可能性の証明を試み（論証には隙がありました）、1824 年にアーベルが完全な証明を与えます。そして 1830 年から 1832 年にかけて、20 歳で決闘に倒れたガロアが、「どの方程式が根号で解けるか」という問いそのものに完全な答えを与えました。

ここで立ち止まって考えてほしいのは、「公式が存在しないこと」をどうやって証明するのかという点です。公式の候補は無限にあります。ひとつずつ試して潰すことはできません。必要なのは、「もし根号で解けるならば、その方程式は必ずこういう性質を持っているはずだ」という不変量です。ガロアの発見は、その不変量が群だということでした。

素朴な観察から入りましょう。$x^2 - 2 = 0$ の 2 根は $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ です。有理数係数の代数的な式だけを使って、この 2 つを区別できるでしょうか。$\sqrt{2}$ が満たす有理数係数の多項式関係は、そっくりそのまま $-\sqrt{2}$ も満たします。つまり有理数の世界から見ると、この 2 根は入れ替えても何も壊れないのです。

一方、$x^4 - 5x^2 + 6 = (x^2 - 2)(x^2 - 3)$ の 4 根 $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$ はどうでしょうか。$\sqrt{2}$ を $\sqrt{3}$ に移す「入れ替え」は許されません。$\sqrt{2}$ は $\alpha^2 = 2$ という有理数係数の関係を満たしますが、$\sqrt{3}$ は満たさないからです。許される入れ替えは $\{\sqrt2, -\sqrt2\}$ と $\{\sqrt3, -\sqrt3\}$ をそれぞれ保つものだけで、全部で高々 4 通り。4 文字の置換は $4! = 24$ 通りあるのに、この方程式の「対称性」はその 6 分の 1 しかないわけです。

この「許される入れ替え全体」が群をなします。これがガロア群です。方程式が根号で解けるかは、この群の形だけで決まる——それがガロア理論の結論です。

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