L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで

0. この記事の要点

• 測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$ の上で $\int_X |f|^p\,d\mu < \infty$ を満たす可測関数を集め、ほとんど至るところ一致する関数どうしを同一視すると、線形空間 $L^p(\mu)$ が得られます。この同一視をしないと $\|f\|_p = 0 \Rightarrow f = 0$ が成り立たず、ノルムになりません。
• $\|\cdot\|_p$ が三角不等式を満たすこと（ミンコフスキーの不等式）は $p = 1$ 以外では自明ではありません。ヤングの不等式 → ヘルダーの不等式 → ミンコフスキーの不等式という順に積み上げて証明します。
• $1 \le p \le \infty$ のとき $L^p(\mu)$ は完備、すなわちバナッハ空間です（リース–フィッシャーの定理）。完備性はルベーグ積分の収束定理から出るもので、リーマン積分の枠内では得られません。ここが微分積分学と実解析の分かれ目です。
• $p = 2$ のときに限り、ノルム $\|\cdot\|_2$ は内積 $\langle f,g\rangle = \int_X f\bar{g}\,d\mu$ から誘導されます。$L^2(\mu)$ はヒルベルト空間であり、フーリエ級数論・直交射影・量子力学の状態空間はすべてここに乗ります。
• $L^p$ 空間は「関数を空間の点とみなす」最初の本格的な例です。稠密性・双対性・弱収束といった関数解析の基本語彙が、この空間の上で具体的な計算として現れます。

1. 動機 — 関数を「点」とみなすということ

19 世紀の解析学は、関数を「変数 $x$ に値を対応させる規則」として扱ってきました。しかしフーリエ級数の研究が進むにつれて、別の見方が必要になります。三角級数 $\sum_{n} c_n e^{inx}$ が「どういう意味で」もとの関数に収束するのかを論じるには、関数の集まりの上に距離を入れて、収束を論じる舞台を作らなければなりません。つまり、関数 1 個を空間の 1 点とみなすという発想の転換です。

このとき距離をどう入れるかが問題になります。素朴には、各点での値の差の上限 $\sup_x |f(x)-g(x)|$ を距離にすればよさそうです。これは一様収束の距離（一様ノルム（定義 2.1）［関数列と一様収束］）であり、扱いやすい性質をたくさん持っています（関数列と一様収束 を参照してください）。しかしフーリエ級数は一般には一様収束しません。連続関数のフーリエ級数がある点で発散しうることさえ知られています。一様収束の距離は、フーリエ解析にとっては細かすぎるのです。

そこで「平均としてどれだけ違うか」を測る距離、たとえば $\int_0^1 |f-g|\,dx$ や $\bigl(\int_0^1 |f-g|^2\,dx\bigr)^{1/2}$ を考えます。ところが、これらの距離を連続関数やリーマン可積分関数の全体に入れると、完備でないという致命的な欠陥が現れます。

例 1.1（連続関数の空間は平均距離で完備でない）

$C([0,1])$ を $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体とし、距離を $d(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)|\,dx$ で定めます。$n \ge 3$ に対して

$$f_n(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le \tfrac12, \\[2pt] n\bigl(x - \tfrac12\bigr), & \tfrac12 < x < \tfrac12 + \tfrac1n, \\[2pt] 1, & \tfrac12 + \tfrac1n \le x \le 1 \end{cases}$$

と置くと、各 $f_n$ は連続です。$m > n$ のとき $f_m - f_n$ は $[\tfrac12, \tfrac12 + \tfrac1n]$ の外で $0$ であり、その上で $|f_m - f_n| \le 1$ ですから

$$d(f_n, f_m) \le \int_{1/2}^{1/2+1/n} 1 \, dx = \frac{1}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$$

となり、$(f_n)$ はコーシー列です。ところが、この列が $C([0,1])$ の元 $g$ に収束したとしましょう。$[0,\tfrac12]$ 上では $f_n \equiv 0$ なので $\int_0^{1/2}|g| \,dx = \lim_n \int_0^{1/2} |g - f_n|\,dx \le \lim_n d(f_n,g) = 0$、したがって $|g| = 0$ が $[0,\tfrac12]$ 上ほとんど至るところ成り立ちます。$g$ は連続なので、$[0,\tfrac12]$ 全体で $g \equiv 0$ です（連続関数がある区間上でほとんど至るところ $0$ なら、$g(x_0)\ne0$ となる点があれば連続性より $x_0$ の近傍全体で $|g| > |g(x_0)|/2$ となり、正の測度の集合で $g \ne 0$ となって矛盾します）。同様に、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $[\tfrac12+\varepsilon, 1]$ 上では十分大きい $n$ で $f_n \equiv 1$ なので $g \equiv 1$ が従い、連続性から $[\tfrac12, 1]$ 上で $g \equiv 1$ です。すると $g(\tfrac12) = 0$ かつ $g(\tfrac12) = 1$ となって矛盾します。

つまり $(C([0,1]), d)$ は完備ではありません。

この状況は、有理数体 $\mathbb{Q}$ が完備でないのとまったく同じ構図です。$\mathbb{Q}$ の穴を埋めて $\mathbb{R}$ を作ったように、関数空間の穴も埋めなければなりません（実数の完備性とコーシー列、とくに 定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］ を参照してください）。そして決定的な事実として、ルベーグ積分を使って空間を作り直すと、穴はちょうど埋まります。例 1.1 の $(f_n)$ の「行き先」は不連続関数 $\chi_{(1/2,1]}$ であり、リーマン積分でも扱えますが、一般のコーシー列の極限はリーマン可積分とは限りません。ルベーグ可測関数まで広げて初めて閉じるのです。

この事実を 1907 年にほぼ同時に発見したのが F. リースと E. フィッシャーで、以後この定理はリース–フィッシャーの定理と呼ばれています。本章の目標は、この定理を含む $L^p$ 空間の基本性質を、定義から順に証明することです。

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