演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ

0. この記事の要点

原子の世界では、位置や運動量やエネルギーを「測る」ことと、その値を数式でどう表すかが、日常の感覚とは違ってきます。この記事は、「測れる量」を数学でどんな対象として扱うのか、そして位置と運動量を同時には決められないのはなぜかを、順を追って確かめます。読み終えると、不確定性原理が数行の不等式から出てくる様子を、自分の手で追えるようになります。

• 物理量（観測量）は状態空間上のエルミート演算子で表されます。これは天下り的な約束ではなく、「期待値がどんな状態でも実数である」ことを要求すると強制されます。
• 測定で得られる値は演算子の固有値です。エルミート演算子の固有値が実数であること、異なる固有値の固有ベクトルが直交することが、この対応を支えています。
• 位置と運動量は正準交換関係 $[\hat X, \hat P] = i\hbar\hat I$ を満たします。この関係は有限次元では絶対に実現できず、量子力学が無限次元の状態空間を必要とする理由になっています。
• 任意の 2 つの観測量について $\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\bigl|\langle [\hat A,\hat B]\rangle\bigr|$（ロバートソンの不等式）が成り立ちます。ハイゼンベルクの不確定性原理はその特別な場合で、コーシー・シュワルツの不等式から数行で出ます。
• 2 つの観測量が同時に確定した値を持ちうるのは、それらが可換なときに限られます。
• 測定は状態を固有空間へ射影します（波動関数の収縮）。これはシュレーディンガー方程式による時間発展とは別立ての公理であり、シュテルン・ゲルラッハの連続測定で直接確かめられます。

この記事で使う事前知識

• ベクトル空間: 足し算と定数倍ができる対象の集まり。→ ベクトル空間
• 内積: 2 つのベクトルから数を作る操作で、長さや直交の概念のもと。→ 内積空間
• 固有値・固有ベクトル: $A v = a v$ となる数 $a$ とベクトル $v$ のこと。エルミート行列では固有ベクトルの正規直交基底がとれます。→ スペクトル定理
• トレース: 正方行列の対角成分の和。$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ が成り立ちます。
• 波動関数と期待値: 粒子の状態を表す関数と、測定値の平均の計算規則。→ シュレーディンガー方程式と波動関数
• 位相空間: 位置と運動量の組を座標にとった空間。→ 位相空間と正準座標

1. 動機：観測量はなぜ「行列」になったのか

古典力学では、物理量は相空間上の関数です。位置 $x$、運動量 $p$ を決めれば、エネルギー $H(x,p)$ も角運動量も一意に決まった実数として読み出せます。「測る」とは、すでにそこにある値を写し取ることでした。この描像は ハミルトン形式の力学 で完成された形にまとめられています（位相空間と正準座標（定義 4.1）［ハミルトン形式の力学］）。

ところが原子のスペクトルは、この描像と正面から衝突しました。水素原子は連続した任意の振動数の光を出さず、とびとびの線スペクトルだけを出します（量子力学の誕生）。相空間上の連続関数からは、とびとびの値の集合は自然には出てきません。

1925 年、ハイゼンベルクは「観測にかからない量（電子の軌道半径など）を理論から追放し、観測にかかる量（遷移振動数と強度）だけで力学を書き直す」という方針を取りました。すると力学変数は 1 つの数ではなく、2 つの状態の組で添字づけられた量の配列 $x_{nm}$ になります。配列どうしの積は行列の積になり、順序を入れ替えると値が変わります。ボルンとヨルダンはこの非可換性の正体を突き止め、位置と運動量の間に

$$\hat P\hat X - \hat X\hat P = \frac{\hbar}{i}\hat I$$

という関係があることを見出しました。これが本記事の主役の一つ、正準交換関係です。

一方 シュレーディンガー方程式と波動関数 では、エネルギーと運動量を

$$E \;\longrightarrow\; i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\qquad \boldsymbol{p} \;\longrightarrow\; -i\hbar\nabla$$

と「置き換える」規則を使いました（運動量演算子の導出（命題 5.1）［シュレーディンガー方程式と波動関数］）。この置き換えは、当座は方程式を作るための便法にすぎません。しかしハイゼンベルクの行列とシュレーディンガーの微分作用素は、同じ 1 つの構造の 2 つの姿です。その構造とは、物理量は状態空間に作用する線形演算子であるということです。

なぜ線形演算子なのか。理由は 2 つあります。第 1 に、量子力学の状態は重ね合わせができる、つまり状態空間はベクトル空間です。物理量から確率を読み出す規則がこの線形構造と両立するためには、物理量は線形な対象でなければなりません。第 2 に、線形演算子には固有値という、離散的になりうる「値の集合」が最初から備わっています。とびとびのエネルギー準位を説明したいという要請に、固有値はぴったり応えます。

この章で答えるのは次の 3 つの問いです。

1. 物理量に対応する演算子は、どんな性質を持たなければならないか。
2. 演算子どうしが可換でないことは、物理的に何を意味するのか。
3. 「測定する」とは、状態に対してどんな操作なのか。

2. 準備：状態空間とディラック記法

系の状態は、複素ヒルベルト空間 $\mathcal H$ の（ノルム 1 の）ベクトルで表されます。ベクトルを $|\psi\rangle$（ケット）と書き、内積を $\langle\phi|\psi\rangle$ と書きます。内積は第 1 引数について反線形、第 2 引数について線形とします。つまり複素数 $c$ について

$$\langle c\phi|\psi\rangle = \bar{c}\,\langle\phi|\psi\rangle,\qquad \langle\phi|c\psi\rangle = c\,\langle\phi|\psi\rangle,\qquad \overline{\langle\phi|\psi\rangle} = \langle\psi|\phi\rangle .$$

ここで反線形とは、係数が複素共役になって外に出ることです。ケット $|\psi\rangle$ はベクトルの名前の付け方にすぎず、$\langle\phi|\psi\rangle$ は 2 つのベクトルの内積を表す記号です。

ノルムは $\|\psi\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$ です。内積空間の一般論は 内積空間とグラム・シュミット直交化 にまとめてあります（内積空間の定義（定義 3.1）［内積空間とグラム・シュミット直交化］）。

1 次元の 1 粒子系では $\mathcal H = L^2(\mathbb{R})$、すなわち $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx < \infty$ を満たす関数の空間で、内積は

$$\langle\phi|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\overline{\phi(x)}\,\psi(x)\,dx$$

です。$\mathcal H$ 上の線形写像 $\hat A$ を演算子と呼び、$\langle\phi|\hat A|\psi\rangle := \langle\phi|\hat A\psi\rangle$ を行列要素と呼びます。有限次元の場合、正規直交基底 $\{|e_k\rangle\}$ をとれば $A_{jk} = \langle e_j|\hat A|e_k\rangle$ がまさに行列成分です。

ノート

以下では、微分や積分の順序交換、部分積分の境界項が消えること（$|x|\to\infty$ で $\psi\to 0$）を自由に使います。厳密には演算子の定義域を指定する必要があり、その注意点は 注意 3.7 にまとめます。当面は、無限遠で急速に減衰する滑らかな関数（シュワルツ空間 $\mathcal S(\mathbb{R})$）の上で議論していると思ってください。

3. 物理量はエルミート演算子である

定義 3.1（随伴演算子）↗

演算子 $\hat A$ に対し、すべての $|\phi\rangle, |\psi\rangle \in \mathcal H$ について

$$\langle \hat A\phi\,|\,\psi\rangle = \langle \phi\,|\,\hat A^{*}\psi\rangle$$

を満たす演算子 $\hat A^{*}$ を $\hat A$ の随伴演算子と呼びます。

有限次元で正規直交基底をとると、$(\hat A^{*})_{jk} = \overline{A_{kj}}$、すなわち随伴は行列の共役転置に対応します。定義から $(\hat A\hat B)^{*} = \hat B^{*}\hat A^{*}$ と $(\hat A^{*})^{*} = \hat A$ が従います。前者は $\langle \hat A\hat B\phi|\psi\rangle = \langle \hat B\phi|\hat A^{*}\psi\rangle = \langle\phi|\hat B^{*}\hat A^{*}\psi\rangle$ から読み取れます。

定義 3.2（エルミート演算子）↗

$\hat A^{*} = \hat A$ を満たす演算子、すなわちすべての $|\phi\rangle,|\psi\rangle$ について

$$\langle \hat A\phi\,|\,\psi\rangle = \langle \phi\,|\,\hat A\psi\rangle$$

が成り立つ演算子をエルミート演算子（対称演算子）と呼びます。

量子力学の基本的な約束は「観測量はエルミート演算子で表される」というものですが、これは次の命題によって、より素朴な要求から導かれます。状態 $|\psi\rangle$（$\|\psi\|=1$）における物理量 $\hat A$ の期待値を $\langle\hat A\rangle_\psi := \langle\psi|\hat A|\psi\rangle$ と定めるとき、期待値は測定値の平均ですから実数でなければなりません。

命題 3.3（期待値の実数性とエルミート性）✓

$\mathcal H$ を複素内積空間、$\hat A$ を $\mathcal H$ 上の線形演算子とします。このとき次は同値です。

1. すべての $|\psi\rangle\in\mathcal H$ について $\langle\psi|\hat A|\psi\rangle \in \mathbb{R}$。
2. $\hat A$ はエルミートである。

証明の方針を先に述べます。(1) から出発して、$\hat A-\hat A^{*}$ という演算子の「自分自身との内積」がどんなベクトルでも $0$ であることを示します。次に、1 つのベクトルについての情報から 2 つのベクトルの間の内積を取り出すために、$\psi+\phi$ と $\psi+i\phi$ という 2 通りの足し方を代入します。複素数の係数を使い分けることで、実部と虚部の両方を押さえるのがねらいです。

証明（命題 3.3）

(2) から (1)。 $\hat A$ がエルミートとすると、内積の共役対称性 $\overline{\langle\phi|\psi\rangle} = \langle\psi|\phi\rangle$ より

$$\overline{\langle\psi|\hat A\psi\rangle} = \langle \hat A\psi|\psi\rangle = \langle\psi|\hat A\psi\rangle$$

となります。最後の等号が 定義 3.2 です。自分自身の複素共役に等しい数は実数ですから、(1) が成り立ちます。

(1) から (2)。 $\hat B := \hat A - \hat A^{*}$ とおきます。定義 3.1 より $\langle\psi|\hat A^{*}\psi\rangle = \langle \hat A\psi|\psi\rangle = \overline{\langle\psi|\hat A\psi\rangle}$ ですから、仮定 (1)（$\langle\psi|\hat A\psi\rangle$ が実数）を使うと

$$\langle\psi|\hat B\psi\rangle = \langle\psi|\hat A\psi\rangle - \overline{\langle\psi|\hat A\psi\rangle} = 0 \qquad(\forall\,|\psi\rangle).$$

そこで任意の $|\psi\rangle,|\phi\rangle$ をとり、まず $|\psi\rangle+|\phi\rangle$ に上式を適用します。$\hat B$ の線形性と内積の双線形性から

$$0 = \langle\psi|\hat B\psi\rangle + \langle\psi|\hat B\phi\rangle + \langle\phi|\hat B\psi\rangle + \langle\phi|\hat B\phi\rangle = \langle\psi|\hat B\phi\rangle + \langle\phi|\hat B\psi\rangle .$$

次に $|\psi\rangle + i|\phi\rangle$ に適用します。第 1 引数の反線形性で $\langle i\phi| = -i\langle\phi|$ となることに注意すると

$$0 = \langle\psi|\hat B\psi\rangle + i\langle\psi|\hat B\phi\rangle - i\langle\phi|\hat B\psi\rangle + (-i)(i)\langle\phi|\hat B\phi\rangle = i\bigl(\langle\psi|\hat B\phi\rangle - \langle\phi|\hat B\psi\rangle\bigr),$$

すなわち $\langle\psi|\hat B\phi\rangle = \langle\phi|\hat B\psi\rangle$ です。1 つ前の式と足し合わせると $2\langle\psi|\hat B\phi\rangle = 0$、つまり任意の $|\psi\rangle,|\phi\rangle$ で $\langle\psi|\hat B\phi\rangle = 0$。ここで $|\psi\rangle = \hat B|\phi\rangle$ と選べば $\|\hat B\phi\|^2 = 0$、よって $\hat B = 0$、すなわち $\hat A = \hat A^{*}$ です。

∎

注意 3.4

この証明で「複素」内積空間であることは本質的です。実内積空間では反例があります。$\mathbb{R}^2$ の $90^\circ$ 回転 $R = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ は、任意の $\boldsymbol{v}$ に対し $\langle \boldsymbol{v}, R\boldsymbol{v}\rangle = 0$（回転後のベクトルは元と直交する）で常に実数ですが、$R^{\mathsf{T}} = -R \ne R$ なので対称ではありません。上の証明で $|\psi\rangle + i|\phi\rangle$ を代入する一手が使えないことが、違いを生んでいます。量子力学が複素数を使うことは、こうした場面で効いてきます。

期待値だけでなく、個々の測定値も演算子から読み取れます。その根拠が次の定理です。

定理 3.5（エルミート演算子の固有値と固有ベクトル）✓

$\hat A$ を複素内積空間 $\mathcal H$ 上のエルミート演算子とします。

1. $\hat A$ の固有値はすべて実数である。すなわち $\hat A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$、$|\psi\rangle \ne 0$ ならば $a\in\mathbb{R}$。
2. 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。すなわち $\hat A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$、$\hat A|\phi\rangle = b|\phi\rangle$、$a \ne b$ ならば $\langle\phi|\psi\rangle = 0$。

証明（定理 3.5）

(1)。 $\hat A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$、$|\psi\rangle\ne 0$ とします。左から $\langle\psi|$ を掛けると

$$\langle\psi|\hat A\psi\rangle = a\,\langle\psi|\psi\rangle .$$

一方 定義 3.2 より $\langle\psi|\hat A\psi\rangle = \langle \hat A\psi|\psi\rangle = \overline{a}\,\langle\psi|\psi\rangle$（第 1 引数の反線形性）。2 式を引いて $(a - \overline{a})\langle\psi|\psi\rangle = 0$ を得ます。$|\psi\rangle\ne 0$ なので $\langle\psi|\psi\rangle = \|\psi\|^2 > 0$、したがって $a = \overline{a}$、つまり $a$ は実数です。

(2)。 行列要素 $\langle\phi|\hat A\psi\rangle$ を 2 通りに計算します。$\hat A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$ をそのまま使えば $\langle\phi|\hat A\psi\rangle = a\langle\phi|\psi\rangle$。エルミート性で左に移せば $\langle\phi|\hat A\psi\rangle = \langle \hat A\phi|\psi\rangle = \overline{b}\,\langle\phi|\psi\rangle$ で、(1) より $b$ は実数なので $\overline{b} = b$。よって $(a-b)\langle\phi|\psi\rangle = 0$。仮定 $a\ne b$ から $\langle\phi|\psi\rangle = 0$ です。

∎

(1) は「測定値は実数である」という当然の要請を保証し、(2) は「異なる測定値に対応する状態は互いに識別可能である」ことを意味します。さらに有限次元（あるいは適当な条件下の無限次元）では、エルミート演算子の固有ベクトルは $\mathcal H$ の正規直交基底をなします。これが スペクトル定理（スペクトル定理（エルミート行列）（定理 4.2）［スペクトル定理］）で、測定の公理（公理 6.2）の土台になります。

例 3.6（位置・運動量・ハミルトニアンのエルミート性）

$\mathcal H = L^2(\mathbb{R})$ 上で $(\hat X\psi)(x) = x\,\psi(x)$、$(\hat P\psi)(x) = -i\hbar\,\psi'(x)$ とします。

位置。 $x$ は実数なので $\overline{x\phi(x)} = x\overline{\phi(x)}$ であり、

$$\langle\phi|\hat X\psi\rangle = \int \overline{\phi(x)}\,x\psi(x)\,dx = \int \overline{x\phi(x)}\,\psi(x)\,dx = \langle \hat X\phi|\psi\rangle .$$

運動量。 部分積分し、$|x|\to\infty$ で $\phi,\psi\to 0$ を使うと境界項が消えて

$$\begin{aligned} \langle\phi|\hat P\psi\rangle &= \int \overline{\phi}\,(-i\hbar\psi')\,dx = \Bigl[-i\hbar\,\overline{\phi}\,\psi\Bigr]_{-\infty}^{\infty} + i\hbar\int \overline{\phi}'\,\psi\,dx \\ &= \int \overline{(-i\hbar\phi')}\,\psi\,dx = \langle \hat P\phi|\psi\rangle . \end{aligned}$$

2 行目では $\overline{-i\hbar\,\phi'} = +i\hbar\,\overline{\phi}'$ を使いました。虚数単位が付いていなければ（つまり $d/dx$ 単体では）符号が合わずエルミートになりません。運動量演算子の $-i$ は、この 1 点のために必要です。

ハミルトニアン。 $\hat H = \hat P^2/(2m) + V(\hat X)$（$V$ は実数値関数）とすると、$(\hat P^2)^{*} = \hat P^{*}\hat P^{*} = \hat P^2$、$V(\hat X)^{*} = V(\hat X)$（実数値関数の掛け算）なので $\hat H$ もエルミートです。エルミート演算子の実係数の和はエルミートだからです。

次の注意は、無限次元に特有の発展的な話です。初めて読むときは飛ばしても、以降の本文は追えます。

注意 3.7

無限次元では「エルミート（対称）」と「自己共役」は別の概念です。厳密には演算子 $\hat A$ には定義域 $D(\hat A)$ が付随し、$\hat A^{*}$ の定義域は $D(\hat A^{*}) \supseteq D(\hat A)$ となることがあります。両者が一致するとき自己共役といい、スペクトル定理や時間発展 $e^{-i\hat Ht/\hbar}$ のユニタリ性はこの強い条件を必要とします。

これは形式的なこだわりではありません。半直線 $[0,\infty)$ 上の $L^2$ 空間で $\hat P = -i\hbar\,d/dx$ を考えると、$\hat P$ は（原点と無限遠で消える滑らかな関数の上で）対称ですが、自己共役な拡張を 1 つも持ちません。方程式 $\hat P^{*}u = i\hbar u$ の解 $u = e^{-x}$ は 2 乗可積分ですが、$\hat P^{*}u = -i\hbar u$ の解 $u = e^{x}$ は可積分でなく、欠損指数が $(1,0)$ と非対称になるためです。「半直線上を動く粒子の運動量」という素朴な物理量は、実は存在しません。一方、有限区間 $[0,L]$ では欠損指数が $(1,1)$ となり、$\psi(L) = e^{i\theta}\psi(0)$ という位相 $\theta$ で分類される自己共役拡張の族が現れます。詳しくは Reed–Simon 第 VIII 章を参照してください。

4. 正準交換関係

行列では $AB$ と $BA$ が一般に違う値になります。演算子でも同じで、どちらを先に作用させるかで結果が変わりうるため、その差を交換子として定義します。

定義 4.1（交換子）↗

2 つの演算子 $\hat A,\hat B$ に対し

$$[\hat A,\hat B] := \hat A\hat B - \hat B\hat A$$

を交換子と呼びます。$[\hat A,\hat B] = 0$ のとき $\hat A$ と $\hat B$ は可換であるといいます。

補題 4.2（交換子の代数的性質）✓

任意の演算子 $\hat A,\hat B,\hat C$ と複素数 $\alpha,\beta$ について次が成り立ちます。

1. （双線形性）$[\alpha\hat A + \beta\hat B, \hat C] = \alpha[\hat A,\hat C] + \beta[\hat B,\hat C]$、および第 2 引数についても同様。
2. （反対称性）$[\hat A,\hat B] = -[\hat B,\hat A]$。
3. （ライプニッツ則）$[\hat A,\hat B\hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C]$、$[\hat A\hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B$。
4. （ヤコビ恒等式）$[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]] = 0$。

証明（補題 4.2）

(1)(2) は定義を書き下すだけです。(3) は右辺を展開すると

$$(\hat A\hat B - \hat B\hat A)\hat C + \hat B(\hat A\hat C - \hat C\hat A) = \hat A\hat B\hat C - \hat B\hat A\hat C + \hat B\hat A\hat C - \hat B\hat C\hat A = \hat A\hat B\hat C - \hat B\hat C\hat A = [\hat A,\hat B\hat C]$$

で、中間の 2 項が打ち消し合います。もう一方も同様に $\hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A\hat B\hat C - \hat C\hat A\hat B = [\hat A\hat B,\hat C]$ です。(4) は 3 つの二重交換子をすべて展開すると 12 個の項が現れ、$\hat A\hat B\hat C$ 型の 6 通りの並び方がそれぞれ $+1$ と $-1$ で 2 回ずつ現れて消えます。たとえば $\hat A\hat B\hat C$ は第 1 項 $[\hat A,[\hat B,\hat C]]$ の展開で $+\hat A\hat B\hat C$、第 3 項 $[\hat C,[\hat A,\hat B]]$ の展開で $-\hat A\hat B\hat C$ として現れます。

∎

(3) は「交換子は微分のように働く」ことを述べています。実際 $[\hat A,\cdot\,]$ は積に対してライプニッツ則を満たす写像、すなわち微分演算です。この見方は次の計算で威力を発揮します。

定理を示す前に具体例で確かめておきます。$\psi(x)=x^2$ に作用させると、$\hat X\hat P\psi = x\cdot(-i\hbar\cdot 2x) = -2i\hbar x^2$、$\hat P\hat X\psi = -i\hbar\,\dfrac{d}{dx}(x^3) = -3i\hbar x^2$ で、順序を替えると結果が違います。差は $-2i\hbar x^2-(-3i\hbar x^2)=i\hbar x^2=i\hbar\psi$ で、確かに $\psi$ の $i\hbar$ 倍です。

定理 4.3（正準交換関係）✓

$\mathcal H = L^2(\mathbb{R})$ 上で $(\hat X\psi)(x) = x\psi(x)$、$(\hat P\psi)(x) = -i\hbar\psi'(x)$ とします。このとき任意の微分可能な $\psi$ について

$$[\hat X,\hat P]\,\psi = i\hbar\,\psi,$$

すなわち演算子の等式として $[\hat X,\hat P] = i\hbar\hat I$ が成り立ちます。

証明（定理 4.3）

定義に従って両方の順序で作用させます。

$$(\hat X\hat P\psi)(x) = x\cdot\bigl(-i\hbar\psi'(x)\bigr) = -i\hbar\,x\psi'(x).$$

もう一方は、$\hat P$ が積 $x\psi(x)$ に作用するので、積の微分法則を使って

$$(\hat P\hat X\psi)(x) = -i\hbar\,\frac{d}{dx}\bigl(x\psi(x)\bigr) = -i\hbar\bigl(\psi(x) + x\psi'(x)\bigr).$$

差をとると $x\psi'$ の項が打ち消し合い

$$([\hat X,\hat P]\psi)(x) = -i\hbar x\psi'(x) + i\hbar\psi(x) + i\hbar x\psi'(x) = i\hbar\,\psi(x)$$

を得ます。$\psi$ は任意だったので $[\hat X,\hat P] = i\hbar\hat I$ です。非可換性の源が「積の微分法則の余分な 1 項」であることに注意してください。

∎

この関係は見かけよりずっと強い制約です。

系 4.4（正準交換関係は有限次元では実現できない）✓

$n \ge 1$ とします。$n$ 次正方複素行列 $A, B$ で $AB - BA = i\hbar I_n$（$\hbar \ne 0$）を満たすものは存在しません。

証明（系 4.4）

トレースを使います。まず任意の $n$ 次行列 $A,B$ について

$$\operatorname{tr}(AB) = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} A_{jk}B_{kj} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} B_{kj}A_{jk} = \operatorname{tr}(BA)$$

です（有限和なので和の順序交換が自由にできます）。したがってトレースの線形性より

$$\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0 .$$

一方 $\operatorname{tr}(i\hbar I_n) = i\hbar n \ne 0$（$\hbar\ne 0$、$n\ge 1$）。両辺のトレースが一致しないので、そのような $A,B$ は存在しません。

∎

つまり、位置と運動量が両方とも定義できる量子系の状態空間は、必ず無限次元でなければなりません。さらに強く、$\hat X$ と $\hat P$ が両方とも有界演算子であることもありえません（定理 8.5。実際にはどちらも非有界です）。注意 3.7 で見た定義域の問題が避けて通れないのは、このためです。逆にスピンのように有限次元で完結する自由度では、正準交換関係の形をした関係は現れません（角運動量とスピン）。

例 4.5（交換子の計算）

補題 4.2 の (3) と 定理 4.3 だけで、必要な交換子はほぼ全部計算できます。

(a) $[\hat X,\hat P^2]$。 ライプニッツ則で $\hat P^2 = \hat P\cdot\hat P$ を分解します。

$$[\hat X,\hat P^2] = [\hat X,\hat P]\hat P + \hat P[\hat X,\hat P] = i\hbar\hat P + \hat P\,i\hbar = 2i\hbar\hat P .$$

(b) $[\hat X^n,\hat P]$。 同じくライプニッツ則を繰り返して $[\hat X^n,\hat P] = \sum_{k=0}^{n-1}\hat X^{k}[\hat X,\hat P]\hat X^{n-1-k} = i\hbar\,n\hat X^{n-1}$。 $\hat X$ どうしは可換なので順序を気にせずまとめられます。

(c) $[\hat P, V(\hat X)]$。 $V$ が微分可能な実数値関数のとき、位置表示で直接計算します。

$$\bigl([\hat P,V]\psi\bigr)(x) = -i\hbar\frac{d}{dx}\bigl(V(x)\psi(x)\bigr) - V(x)\bigl(-i\hbar\psi'(x)\bigr) = -i\hbar\,V'(x)\psi(x).$$

よって $[\hat P, V(\hat X)] = -i\hbar\,V'(\hat X)$。(b) は $V(x)=x^n$ の場合の別解になっています（符号は反対称性 $[\hat X^n,\hat P] = -[\hat P,\hat X^n]$ で合います）。

次の注意は、古典力学との対応を知りたい人向けの補足です。名前の挙がる定理は読み飛ばしても、以降の本文に影響しません。

注意 4.6

古典力学では、相空間上の関数 $f,g$ に対しポアソン括弧 $\{f,g\} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial g}{\partial p} - \dfrac{\partial f}{\partial p}\dfrac{\partial g}{\partial x}$ が定義され、$\{x,p\} = 1$ が成り立ちます（正準変換とポアソン括弧 の ポアソン括弧の定義（定義 5.1）［正準変換とポアソン括弧］）。ポアソン括弧も交換子も、双線形・反対称・ライプニッツ則・ヤコビ恒等式を満たします（補題 4.2）。つまり両者は同じ代数構造（リー代数）を持ちます。

そこで 正準量子化、すなわち対応

$$\{f,g\} \;\longmapsto\; \frac{1}{i\hbar}[\hat f,\hat g]$$

を課すと、$\{x,p\}=1$ から直ちに $[\hat X,\hat P] = i\hbar$ が出ます。定理 4.3 はこの処方が矛盾なく実装できることの確認でもあります。

ただしこの対応を「すべての」物理量に一斉に課すことはできません。線形性、$1\mapsto\hat I$、$x\mapsto\hat X$、$p\mapsto\hat P$、そしてすべての多項式についてのポアソン括弧と交換子の対応、これらを同時に満たす量子化写像は存在しないことが知られています（フルーネヴォルト・ファンホーフの定理）。3 次以上の多項式で破綻が生じます。一方、$\hat X,\hat P$ をワイル形式（ユニタリ群 $e^{ia\hat X},e^{ib\hat P}$ の関係）で表したときの既約表現は、可分ヒルベルト空間上では $L^2(\mathbb{R})$ 上のシュレーディンガー表現と本質的に 1 通りしかありません（ストーン・フォンノイマンの定理）。ハイゼンベルクの行列力学とシュレーディンガーの波動力学が同じ理論である、という主張の数学的な内実がこれです。

5. 不確定性関係

定義 5.1（期待値と不確定性）↗

$\hat A$ をエルミート演算子、$|\psi\rangle$ を $\|\psi\|=1$ の状態とします。

$$\langle \hat A\rangle_\psi := \langle\psi|\hat A|\psi\rangle,\qquad \Delta_\psi \hat A := \sqrt{\bigl\langle (\hat A - \langle\hat A\rangle_\psi)^2\bigr\rangle_\psi}$$

をそれぞれ $\hat A$ の期待値、不確定性（標準偏差）と呼びます。以下、状態が文脈から明らかなときは添字 $\psi$ を省きます。

根号の中が非負であることを確かめておきます。$\bar a := \langle\hat A\rangle_\psi$ は 命題 3.3 より実数なので $\hat A - \bar a\hat I$ もエルミートです。したがって

$$\bigl\langle(\hat A-\bar a)^2\bigr\rangle_\psi = \langle\psi|(\hat A-\bar a)(\hat A-\bar a)\psi\rangle = \bigl\langle (\hat A-\bar a)\psi\,\bigl|\,(\hat A-\bar a)\psi\bigr\rangle = \bigl\|(\hat A-\bar a)\psi\bigr\|^2 \ge 0$$

となり（2 番目の等号で 定義 3.2 を使いました）、展開すれば $\langle\hat A^2\rangle - \langle\hat A\rangle^2$ に等しいこともわかります。この式は次の命題を即座に与えます。

命題 5.2（不確定性がゼロになるのは固有状態のときに限る）✓

$\hat A$ をエルミート演算子、$|\psi\rangle$ を $\|\psi\|=1$ の状態とします。$\Delta_\psi\hat A = 0$ であることと、$|\psi\rangle$ が $\hat A$ の固有ベクトルであること（固有値は $\langle\hat A\rangle_\psi$）は同値です。

証明（命題 5.2）

上の計算より $(\Delta_\psi\hat A)^2 = \|(\hat A - \bar a)\psi\|^2$、ただし $\bar a = \langle\hat A\rangle_\psi$。ノルムが $0$ であることとベクトルが $0$ であることは同値なので、$\Delta_\psi\hat A = 0 \iff (\hat A-\bar a)|\psi\rangle = 0 \iff \hat A|\psi\rangle = \bar a|\psi\rangle$ です。$\|\psi\|=1\ne0$ なので $|\psi\rangle$ は固有ベクトルです。逆に $\hat A|\psi\rangle = a|\psi\rangle$ なら $\bar a = \langle\psi|a\psi\rangle = a$ となり、同じ式で $\Delta_\psi\hat A = 0$ が従います。

∎

「物理量が確定した値を持つ状態」とは「その物理量の固有状態」のことである、という基本的な対応がこれです。では 2 つの物理量が同時に確定値を持てるでしょうか。答えを与えるのが次の定理です。

定理 5.3（ロバートソンの不確定性関係）✓

$\hat A,\hat B$ をエルミート演算子、$|\psi\rangle$ を $\|\psi\|=1$ の状態とし、$|\psi\rangle$ が $\hat A\hat B$ と $\hat B\hat A$ の定義域に属するとします。このとき

$$\Delta_\psi \hat A \cdot \Delta_\psi \hat B \;\ge\; \frac{1}{2}\Bigl|\bigl\langle [\hat A,\hat B]\bigr\rangle_\psi\Bigr| .$$

証明（定理 5.3）

$\bar a = \langle\hat A\rangle_\psi$、$\bar b = \langle\hat B\rangle_\psi$ とおき（命題 3.3 よりいずれも実数）、

$$\tilde A := \hat A - \bar a\hat I,\qquad \tilde B := \hat B - \bar b\hat I$$

とします。実数の定数倍の $\hat I$ を引いてもエルミート性は保たれます。また 補題 4.2 の双線形性より $\hat I$ は任意の演算子と可換なので

$$[\tilde A,\tilde B] = [\hat A,\hat B]$$

です。ここで $|f\rangle := \tilde A|\psi\rangle$、$|g\rangle := \tilde B|\psi\rangle$ とおくと、定義 5.1 の直後で確かめた式から

$$\|f\|^2 = (\Delta_\psi\hat A)^2,\qquad \|g\|^2 = (\Delta_\psi\hat B)^2 .$$

第 1 段：コーシー・シュワルツの不等式。 内積空間で一般に成り立つ コーシー・シュワルツの不等式（定理 4.2）［内積空間とグラム・シュミット直交化］ より

$$\|f\|^2\,\|g\|^2 \;\ge\; \bigl|\langle f|g\rangle\bigr|^2 .$$

第 2 段：虚部だけ残す。 複素数 $z$ について $|z|^2 = (\operatorname{Re}z)^2 + (\operatorname{Im}z)^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ ですから

$$\bigl|\langle f|g\rangle\bigr|^2 \;\ge\; \bigl(\operatorname{Im}\langle f|g\rangle\bigr)^2 .$$

第 3 段：虚部を交換子で書く。 $\tilde A$ のエルミート性（定義 3.2）より

$$\langle f|g\rangle = \langle \tilde A\psi|\tilde B\psi\rangle = \langle\psi|\tilde A\tilde B\psi\rangle, \qquad \overline{\langle f|g\rangle} = \langle g|f\rangle = \langle\psi|\tilde B\tilde A\psi\rangle .$$

したがって

$$2i\operatorname{Im}\langle f|g\rangle = \langle f|g\rangle - \overline{\langle f|g\rangle} = \bigl\langle [\tilde A,\tilde B]\bigr\rangle_\psi = \bigl\langle [\hat A,\hat B]\bigr\rangle_\psi .$$

結論。 3 つを合わせると

$$(\Delta_\psi\hat A)^2(\Delta_\psi\hat B)^2 \;\ge\; \bigl(\operatorname{Im}\langle f|g\rangle\bigr)^2 = \left|\frac{1}{2i}\bigl\langle[\hat A,\hat B]\bigr\rangle_\psi\right|^2 = \frac{1}{4}\Bigl|\bigl\langle[\hat A,\hat B]\bigr\rangle_\psi\Bigr|^2 .$$

両辺の平方根をとれば（左辺は非負）主張を得ます。

∎

系 5.4（ハイゼンベルクの不確定性原理）✓

1 次元の 1 粒子系の任意の状態 $|\psi\rangle$（$\|\psi\|=1$、$\hat X\hat P$ と $\hat P\hat X$ の定義域に属する）について

$$\Delta_\psi \hat X \cdot \Delta_\psi \hat P \;\ge\; \frac{\hbar}{2}.$$

証明（系 5.4）

定理 5.3 で $\hat A = \hat X$、$\hat B = \hat P$ とします。定理 4.3 より $[\hat X,\hat P] = i\hbar\hat I$ なので

$$\bigl\langle[\hat X,\hat P]\bigr\rangle_\psi = i\hbar\,\langle\psi|\psi\rangle = i\hbar .$$

よって右辺は $\frac{1}{2}|i\hbar| = \hbar/2$ です。この値は状態によらない定数であることに注意してください。

∎

不等式の右辺が状態によらない定数になるのは、交換子が $\hat I$ の定数倍という特別な形をしているからです。一般の観測量では右辺は状態に依存し、$0$ になることもあります。

次の例は「不等式の等号がいつ成り立つか」を調べます。コーシー・シュワルツの不等式の等号は 2 つのベクトルが比例するときに成り立つので、証明で使った $|f\rangle,|g\rangle$ が比例する条件を位置表示の微分方程式として解く、という流れです。

例 5.5（等号を達成する状態はガウス波束）

系 5.4 の等号がいつ成り立つかを調べます。証明の第 1 段（コーシー・シュワルツ）で等号が成り立つのは $|g\rangle = \lambda|f\rangle$（$\lambda\in\mathbb{C}$）と 1 次従属になるとき、第 2 段で等号が成り立つのは $\operatorname{Re}\langle f|g\rangle = 0$ のときです。後者は $\langle f|g\rangle = \lambda\|f\|^2$ より $\operatorname{Re}\lambda = 0$、すなわち $\lambda = i\mu$（$\mu\in\mathbb{R}$）を意味します。したがって等号条件は

$$(\hat P - \bar p)|\psi\rangle = i\mu\,(\hat X - \bar x)|\psi\rangle .$$

記述を簡単にするため $\bar x = \bar p = 0$ とします（一般の場合は平行移動すればよい）。位置表示では

$$-i\hbar\,\psi'(x) = i\mu\,x\,\psi(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\psi'(x)}{\psi(x)} = -\frac{\mu}{\hbar}\,x .$$

両辺を積分して $\log\psi = -\dfrac{\mu x^2}{2\hbar} + \text{const}$、すなわち

$$\psi(x) = C\exp\!\left(-\frac{\mu x^2}{2\hbar}\right).$$

2 乗可積分になるためには $\mu > 0$ が必要です。$\sigma^2 := \hbar/(2\mu)$ とおいて規格化すると

$$\psi(x) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4\sigma^2}\right), \qquad |\psi(x)|^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),$$

つまり確率密度は分散 $\sigma^2$ のガウス分布です。ここから $\Delta\hat X = \sigma$ です。

運動量側を計算します。$\psi$ は実関数なので $\langle\hat P\rangle = \int\overline{\psi}(-i\hbar\psi')\,dx = -i\hbar\bigl[\psi^2/2\bigr]_{-\infty}^{\infty} = 0$。次に部分積分（境界項は消える）で

$$\langle\hat P^2\rangle = \int \overline{\psi}\,(-\hbar^2\psi'')\,dx = \hbar^2\int |\psi'(x)|^2\,dx .$$

$\psi'(x) = -\dfrac{x}{2\sigma^2}\psi(x)$ なので

$$\int|\psi'|^2\,dx = \frac{1}{4\sigma^4}\int x^2|\psi(x)|^2\,dx = \frac{1}{4\sigma^4}\cdot\sigma^2 = \frac{1}{4\sigma^2},$$

ここで $\int x^2|\psi|^2dx = \sigma^2$（分散 $\sigma^2$ のガウス分布の 2 次モーメント）を使いました。よって $\langle\hat P^2\rangle = \hbar^2/(4\sigma^2)$、$\Delta\hat P = \hbar/(2\sigma)$。結局

$$\Delta\hat X\cdot\Delta\hat P = \sigma\cdot\frac{\hbar}{2\sigma} = \frac{\hbar}{2}$$

で、確かに等号が成り立ちます。$\sigma$ を小さくすれば位置は鋭くなりますが運動量の広がりは $1/\sigma$ で増え、積は変わりません。

ガウス波束の位置分布（左）と運動量分布（右）。実線は幅 σ が小さい波束、破線は σ が大きい波束で、位置で鋭い方は運動量では広がる。積 ΔX・ΔP はどちらも ħ/2 で等しい。

例 5.6（スピン 1/2 での不確定性関係）

2 次元の状態空間で、スピン演算子を $\hat S_j = \frac{\hbar}{2}\sigma_j$ と表します。ここで

$$\sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$

はパウリ行列です。直接計算すると $\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z$、$\sigma_y\sigma_x = -i\sigma_z$ なので $[\hat S_x,\hat S_y] = i\hbar\hat S_z$ です。定理 5.3 より

$$\Delta \hat S_x\cdot\Delta \hat S_y \ge \frac{\hbar}{2}\bigl|\langle \hat S_z\rangle\bigr| .$$

状態を $|{\uparrow_z}\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ にとると $\langle\hat S_z\rangle = \hbar/2$ なので右辺は $\hbar^2/4$ です。左辺を計算します。$\sigma_x|{\uparrow_z}\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ なので $\langle\hat S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\langle{\uparrow_z}|\sigma_x|{\uparrow_z}\rangle = 0$、また $\sigma_x^2 = I$ より $\langle\hat S_x^2\rangle = \hbar^2/4$。よって $\Delta\hat S_x = \hbar/2$、同様に $\Delta\hat S_y = \hbar/2$ で、積はちょうど $\hbar^2/4$。等号が成り立ちます。

$z$ 方向のスピンが確定した状態では、$x$ 方向と $y$ 方向のスピンは最大限に不確定です。命題 5.2 と合わせれば、$|{\uparrow_z}\rangle$ が $\hat S_x$ の固有状態でないことがその理由だとわかります。

注意 5.7

$\Delta_\psi\hat A$ は、同じ状態 $|\psi\rangle$ に用意した多数の系それぞれについて $\hat A$ を 1 回ずつ測ったときの測定値のばらつきです。1 つの系に対して $\hat A$ と $\hat B$ を続けて測ったときの「測定による乱れ」ではありません。ハイゼンベルクが 1927 年の論文で $\gamma$ 線顕微鏡の思考実験から論じたのは後者（測定誤差と擾乱の関係）で、定理 5.3 が述べているのは前者（状態が持つ広がり）です。この 2 つは別の主張で、測定誤差と擾乱についての正しい普遍的不等式は小澤（2003）によって定式化されました。定理 5.3 は状態の性質だけで決まり、測定装置には一切言及していないことを確認してください。

6. 同時測定と測定の公理

定理 6.1（可換なエルミート演算子は同時対角化できる）✓

$\mathcal H$ を有限次元の複素内積空間、$\hat A,\hat B$ を $\mathcal H$ 上のエルミート演算子とします。次は同値です。

1. $[\hat A,\hat B] = 0$。
2. $\hat A$ と $\hat B$ の同時固有ベクトルからなる $\mathcal H$ の正規直交基底が存在する。

証明（定理 6.1）

(2) から (1)。 そのような正規直交基底を $\{|e_k\rangle\}$ とし、$\hat A|e_k\rangle = a_k|e_k\rangle$、$\hat B|e_k\rangle = b_k|e_k\rangle$ とします。すると

$$\hat A\hat B|e_k\rangle = a_kb_k|e_k\rangle = \hat B\hat A|e_k\rangle$$

がすべての $k$ で成り立ちます。$[\hat A,\hat B]$ は線形演算子で、基底のすべての元を $0$ に写すので、$\mathcal H$ 全体で $0$ です。

(1) から (2)。 スペクトル定理 より $\hat A$ の固有値は実数で、$\mathcal H$ は $\hat A$ の固有空間の直交直和 $\mathcal H = \bigoplus_{a} V_a$ に分解されます（$V_a = \ker(\hat A - a\hat I)$）。

まず $\hat B$ が各 $V_a$ を保つことを示します。$|v\rangle\in V_a$ とすると、仮定 $\hat A\hat B = \hat B\hat A$ より

$$\hat A\bigl(\hat B|v\rangle\bigr) = \hat B\bigl(\hat A|v\rangle\bigr) = \hat B\,(a|v\rangle) = a\bigl(\hat B|v\rangle\bigr),$$

すなわち $\hat B|v\rangle$ も固有値 $a$ の固有ベクトル（または $0$）なので $\hat B|v\rangle \in V_a$ です。

次に $\hat B$ の $V_a$ への制限 $\hat B|_{V_a}$ を考えます。これは $V_a$ 上の線形演算子で、$V_a$ に属する任意の $|\phi\rangle,|\psi\rangle$ について $\langle\hat B\phi|\psi\rangle = \langle\phi|\hat B\psi\rangle$（$\mathcal H$ 全体で成り立つ式の特別な場合）なのでエルミートです。ふたたびスペクトル定理より、$V_a$ には $\hat B|_{V_a}$ の固有ベクトルからなる正規直交基底が存在します。それらは $V_a$ の元なので $\hat A$ の固有値 $a$ の固有ベクトルでもあり、同時固有ベクトルです。

最後に、異なる $a$ に対する $V_a$ どうしは 定理 3.5 の (2) より直交します。したがって各 $V_a$ で作った正規直交基底をすべて合わせると $\mathcal H$ の正規直交基底になります。

∎

物理的に読み替えれば、2 つの観測量が同時に確定値を持つ状態が（基底をなすほど十分に）存在するのは、それらが可換なときに限ります。可換な観測量の組で、その同時固有状態が状態を一意に指定するものを可換観測量の完全集合と呼びます。水素原子で $\hat H,\hat{\boldsymbol{L}}^2,\hat L_z$ を選ぶのがその典型例です（角運動量とスピン）。

以上を踏まえて、測定に関する公理を述べます。

公理 6.2（測定の公理）↗

観測量 $\hat A$ をエルミート演算子とし、そのスペクトル分解を

$$\hat A = \sum_{a} a\,\hat P_a,\qquad \hat P_a\hat P_{a'} = \delta_{aa'}\hat P_a,\qquad \sum_a \hat P_a = \hat I$$

とします（$\hat P_a$ は固有値 $a$ の固有空間への直交射影）。状態 $|\psi\rangle$（$\|\psi\|=1$）に対し $\hat A$ を測定するとき、

1. 得られる値は固有値 $a$ のいずれかである。
2. ボルン則：値 $a$ が得られる確率は $p(a) = \|\hat P_a|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|\hat P_a|\psi\rangle$ である。
3. 射影仮説（波動関数の収縮）：値 $a$ を得た直後の状態は $|\psi'\rangle = \hat P_a|\psi\rangle \,/\, \bigl\|\hat P_a|\psi\rangle\bigr\|$ である。

3 番目が、シュレーディンガー方程式による滑らかでユニタリ（ベクトルの長さ、つまり確率の総和を保つ）な時間発展とはまったく異質な、非連続・非ユニタリな変化です。ここが量子力学の解釈問題の中心にあります。

命題 6.3（ボルン則と期待値・不確定性の整合）✓

公理 6.2 の設定のもとで、$\|\psi\| = 1$ ならば次が成り立ちます。

1. $\displaystyle\sum_a p(a) = 1$。
2. 測定値の平均は $\displaystyle\sum_a a\,p(a) = \langle\hat A\rangle_\psi$。
3. 測定値の分散は $\displaystyle\sum_a \bigl(a - \langle\hat A\rangle_\psi\bigr)^2 p(a) = (\Delta_\psi\hat A)^2$。

証明（命題 6.3）

(1)：$\sum_a p(a) = \sum_a\langle\psi|\hat P_a|\psi\rangle = \langle\psi|\bigl(\sum_a\hat P_a\bigr)|\psi\rangle = \langle\psi|\hat I|\psi\rangle = \|\psi\|^2 = 1$。射影の完全性 $\sum_a\hat P_a = \hat I$ を使いました。$p(a) = \|\hat P_a\psi\|^2 \ge 0$ なので、$p$ は確かに確率分布です。

(2)：同様に和と内積を交換して

$$\sum_a a\,p(a) = \Bigl\langle\psi\Bigl|\Bigl(\sum_a a\hat P_a\Bigr)\Bigr|\psi\Bigr\rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle = \langle\hat A\rangle_\psi .$$

(3)：$\bar a := \langle\hat A\rangle_\psi$ とおくと、スペクトル分解と射影の性質 $\hat P_a\hat P_{a'} = \delta_{aa'}\hat P_a$ から

$$(\hat A - \bar a\hat I)^2 = \Bigl(\sum_a (a-\bar a)\hat P_a\Bigr)^2 = \sum_{a}(a-\bar a)^2\hat P_a$$

です（交差項 $a\ne a'$ は $\hat P_a\hat P_{a'} = 0$ で消えます）。両辺の $|\psi\rangle$ による期待値をとれば

$$(\Delta_\psi\hat A)^2 = \sum_a (a-\bar a)^2\langle\psi|\hat P_a|\psi\rangle = \sum_a (a-\bar a)^2 p(a)$$

を得ます。

∎

(2) は「$\langle\psi|\hat A|\psi\rangle$ を期待値と呼んでよい」ことの根拠であり、(3) は「$\Delta_\psi\hat A$ が測定値のばらつきそのものである」ことの根拠です。定義 5.1 の定義が単なる記号遊びでないことが、ここで確認されます。

測定の公理が定める操作。値の選ばれ方は確率的で、選ばれた直後に状態は対応する固有空間へ射影される。

図の下段は射影仮説の直接の帰結です。実際、収縮後の状態 $|\psi'\rangle = \hat P_a|\psi\rangle/\|\hat P_a\psi\|$ に $\hat P_a$ を作用させると $\hat P_a^2 = \hat P_a$ より $\hat P_a|\psi'\rangle = |\psi'\rangle$ となり、ボルン則から $p'(a) = \|\psi'\|^2 = 1$ です。同じ量をすぐ測り直すと同じ値が出る、という測定の再現性が公理に組み込まれています。

例 6.4（シュテルン・ゲルラッハ装置の連続測定）

銀原子のビームに対して、$z$ 方向の磁場勾配を持つ装置（SG$z$）で $\hat S_z$ を測ると、$\pm\hbar/2$ の 2 本に分かれます。$+\hbar/2$ の側だけを取り出せば、射影仮説より状態は $|{\uparrow_z}\rangle$ です。

このビームを次に SG$x$（$\hat S_x$ の測定）に通します。$\hat S_x$ の固有状態は $|{\uparrow_x}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|{\uparrow_z}\rangle + |{\downarrow_z}\rangle)$、$|{\downarrow_x}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|{\uparrow_z}\rangle - |{\downarrow_z}\rangle)$ です。逆に解くと

$$|{\uparrow_z}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(|{\uparrow_x}\rangle + |{\downarrow_x}\rangle\bigr)$$

なので、ボルン則より $\pm\hbar/2$ がそれぞれ確率 $|1/\sqrt2|^2 = 1/2$ で得られます。ここで $+\hbar/2$ 側だけを取り出すと、状態は $|{\uparrow_x}\rangle$ に収縮します。

最後にもう一度 SG$z$ に通します。もし「$z$ 成分が上向き」という性質が保存されていれば、すべて $+\hbar/2$ に出るはずです。しかし $|{\uparrow_x}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|{\uparrow_z}\rangle + |{\downarrow_z}\rangle)$ なので、実際には再び 50 対 50 に分かれます。$\hat S_x$ の測定が $\hat S_z$ の情報を消してしまったのです。

これは 定理 6.1 の帰結として理解できます。$[\hat S_x,\hat S_z] = -i\hbar\hat S_y \ne 0$ なので、$\hat S_x$ と $\hat S_z$ の同時固有ベクトルからなる基底は存在しません。しかも状態空間が 2 次元なので、共通の固有ベクトルが 1 本でもあれば、その直交補空間（1 次元）も両者で不変になって同時対角化できてしまいます。したがって共通の固有ベクトルは 1 つもなく、「$\hat S_z$ が上向きかつ $\hat S_x$ が右向き」という状態は存在しません。片方を確定させれば他方は不確定になります。

最後の議論を言い換えます。もし $\hat S_x,\hat S_z$ に共通の固有ベクトルが 1 本あれば、2 次元なので、それと直交する方向も両方の演算子が保ちます。するとその方向も共通の固有ベクトルになり、2 本で基底ができて同時対角化が可能になってしまいます。これは $\hat S_x$ と $\hat S_z$ が可換でないことと矛盾するので、共通の固有ベクトルは 1 本もありません。

注意 6.5

射影仮説は「いつ・どこで収縮が起きるのか」を指定しません。装置も原理的には量子系ですから、系と装置を合わせた全体はシュレーディンガー方程式に従って発展するはずで、そこには収縮は現れません。この緊張が観測問題です。

現代の標準的な扱いでは、系が巨視的な環境と相互作用することで重ね合わせの干渉項が急速に失われる過程（デコヒーレンス）を考えます。デコヒーレンスは「なぜ古典的な選択肢が特別なのか」をユニタリな発展の枠内で説明しますが、「なぜそのうち 1 つだけが実現するのか」には答えません。多世界解釈・ボーム力学・自発的収縮理論などは、この残りの部分に対する異なる態度です。計算をする分には 公理 6.2 がそのまま使え、実験と一致します。

7. 時間発展と交換子：エーレンフェストの定理

交換子は測定の話だけでなく、時間発展も支配します。

定理 7.1（エーレンフェストの定理）✓

$\hat H$ を（時間に依存しない）ハミルトニアン、$|\psi(t)\rangle$ をシュレーディンガー方程式 $i\hbar\,\partial_t|\psi(t)\rangle = \hat H|\psi(t)\rangle$ の解で $\|\psi(t)\|=1$ とします。$\hat A$ を時間に陽に依存しないエルミート演算子とし、必要な微分と内積の交換が許されるとすると

$$\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle_{\psi(t)} = \frac{i}{\hbar}\bigl\langle[\hat H,\hat A]\bigr\rangle_{\psi(t)} .$$

証明（定理 7.1）

シュレーディンガー方程式より $|\dot\psi\rangle = -\frac{i}{\hbar}\hat H|\psi\rangle$ です。積の微分法則で

$$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat A|\psi\rangle = \langle\dot\psi|\hat A\psi\rangle + \langle\psi|\hat A\dot\psi\rangle .$$

第 1 項は内積の第 1 引数についての反線形性（係数が複素共役になる）から

$$\langle\dot\psi|\hat A\psi\rangle = \overline{\left(-\frac{i}{\hbar}\right)}\langle \hat H\psi|\hat A\psi\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle \hat H\psi|\hat A\psi\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\psi|\hat H\hat A\psi\rangle,$$

最後の等号で $\hat H$ のエルミート性（定義 3.2）を使いました。第 2 項は第 2 引数について線形なので

$$\langle\psi|\hat A\dot\psi\rangle = -\frac{i}{\hbar}\langle\psi|\hat A\hat H\psi\rangle .$$

両者を足すと

$$\frac{d}{dt}\langle\hat A\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\psi|(\hat H\hat A - \hat A\hat H)|\psi\rangle = \frac{i}{\hbar}\bigl\langle[\hat H,\hat A]\bigr\rangle$$

を得ます。

∎

系 7.2（期待値が満たすニュートンの運動方程式）✓

$\hat H = \dfrac{\hat P^2}{2m} + V(\hat X)$（$V$ は微分可能な実数値関数）のとき

$$\frac{d}{dt}\langle\hat X\rangle = \frac{\langle\hat P\rangle}{m}, \qquad \frac{d}{dt}\langle\hat P\rangle = -\bigl\langle V'(\hat X)\bigr\rangle .$$

証明（系 7.2）

まず $[\hat H,\hat X]$ を計算します。$V(\hat X)$ は $\hat X$ と可換なので寄与しません。補題 4.2 の (3)（ライプニッツ則）と 定理 4.3 から $[\hat X,\hat P^2]=[\hat X,\hat P]\hat P+\hat P[\hat X,\hat P]=2i\hbar\hat P$ なので、反対称性から

$$[\hat H,\hat X] = \frac{1}{2m}[\hat P^2,\hat X] = -\frac{1}{2m}[\hat X,\hat P^2] = -\frac{2i\hbar\hat P}{2m} = -\frac{i\hbar}{m}\hat P .$$

定理 7.1 に代入して

$$\frac{d}{dt}\langle\hat X\rangle = \frac{i}{\hbar}\left(-\frac{i\hbar}{m}\right)\langle\hat P\rangle = \frac{\langle\hat P\rangle}{m}.$$

次に $[\hat H,\hat P]$。$\hat P^2$ は $\hat P$ と可換です。位置表示で積の微分から $\bigl([\hat P,V]\psi\bigr)(x)=-i\hbar\bigl(V\psi\bigr)'(x)-V(x)\bigl(-i\hbar\psi'(x)\bigr)=-i\hbar V'(x)\psi(x)$、すなわち $[\hat P,V(\hat X)]=-i\hbar V'(\hat X)$ なので

$$[\hat H,\hat P] = [V(\hat X),\hat P] = -[\hat P,V(\hat X)] = i\hbar\,V'(\hat X),$$

よって $\dfrac{d}{dt}\langle\hat P\rangle = \dfrac{i}{\hbar}\cdot i\hbar\,\langle V'(\hat X)\rangle = -\langle V'(\hat X)\rangle$ です。

∎

期待値は形式上ニュートンの運動方程式（ニュートン力学の基礎 の 第 2 法則（公理 3.3）［ニュートン力学の基礎］）に従います。ただし右辺は $\langle V'(\hat X)\rangle$ であって $V'(\langle\hat X\rangle)$ ではありません。両者が一致するのは $V$ が高々 2 次の多項式のとき（自由粒子・一様な力・調和振動子）で、このとき波束の中心は厳密に古典軌道を描きます。それ以外の場合、波束の広がりが大きいほど古典力学からのずれが大きくなります。

もう 1 つ重要な帰結があります。$[\hat H,\hat A] = 0$ ならば 定理 7.1 より $\langle\hat A\rangle$ は時間によらず一定です。すなわちハミルトニアンと可換な観測量は保存量です。古典力学で対称性が保存則を生む仕組み（対称性と保存則 の ネーターの定理（定理 4.1）［対称性と保存則］）が、量子力学では「対称変換の生成子が $\hat H$ と可換」という形で現れます。$\hat A = \hat H$ とすればエネルギー保存 $d\langle\hat H\rangle/dt = 0$ が直ちに従います。

8. 演習

演習 8.1易

補題 4.2 と 定理 4.3 のみを使って、次を示してください。

(1) $[\hat X,\hat P^3] = 3i\hbar\hat P^2$

(2) $[\hat X^2,\hat P^2] = 2i\hbar(\hat X\hat P + \hat P\hat X)$

解答

(1) ライプニッツ則 $[\hat A,\hat B\hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C]$ を $\hat P^3 = \hat P\cdot\hat P^2$ に使い、例 4.5 の (a) を代入します。

$$[\hat X,\hat P^3] = [\hat X,\hat P]\hat P^2 + \hat P[\hat X,\hat P^2] = i\hbar\hat P^2 + \hat P\cdot 2i\hbar\hat P = 3i\hbar\hat P^2 .$$

(2) 今度は左側にライプニッツ則を使います。

$$[\hat X^2,\hat P^2] = \hat X[\hat X,\hat P^2] + [\hat X,\hat P^2]\hat X = \hat X\cdot 2i\hbar\hat P + 2i\hbar\hat P\cdot\hat X = 2i\hbar(\hat X\hat P + \hat P\hat X).$$

$\hat X\hat P \ne \hat P\hat X$ なので、この 2 項をまとめて $4i\hbar\hat X\hat P$ と書いてはいけません。

演習 8.2標準

$\hat A,\hat B$ をエルミート演算子とします。

(1) 積 $\hat A\hat B$ がエルミートであるための必要十分条件は $[\hat A,\hat B]=0$ であることを示してください。

(2) $\hat A\hat B + \hat B\hat A$ と $i[\hat A,\hat B]$ はいずれもエルミートであることを示してください。

解答

(1) 定義 3.1 の直後で述べた性質 $(\hat A\hat B)^{*} = \hat B^{*}\hat A^{*}$ と、$\hat A^{*}=\hat A$、$\hat B^{*}=\hat B$ より $(\hat A\hat B)^{*} = \hat B\hat A$ です。したがって「$\hat A\hat B$ がエルミートである」ことは $\hat A\hat B = \hat B\hat A$ と同値で、これは 定義 4.1 より $[\hat A,\hat B] = 0$ と同値です。

(2) 随伴は反線形（$(c\hat C)^{*} = \bar c\,\hat C^{*}$）で和を保つので

$$(\hat A\hat B + \hat B\hat A)^{*} = \hat B\hat A + \hat A\hat B = \hat A\hat B + \hat B\hat A,$$$$\bigl(i[\hat A,\hat B]\bigr)^{*} = -i\,(\hat A\hat B - \hat B\hat A)^{*} = -i(\hat B\hat A - \hat A\hat B) = i[\hat A,\hat B].$$

(2) の後者は、非可換な観測量から新しい観測量を作る標準的な方法です。$[\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z$ で $\hat S_z$ がエルミートなのはこの一般則の実例です。

演習 8.3標準

定理 5.3 の証明で、第 2 段の「虚部だけ残す」不等式を使わずに実部の情報も保つと、より強い

$$(\Delta_\psi\hat A)^2(\Delta_\psi\hat B)^2 \ge \left(\frac{1}{2}\bigl\langle \{\hat A,\hat B\}\bigr\rangle - \langle\hat A\rangle\langle\hat B\rangle\right)^2 + \left(\frac{1}{2i}\bigl\langle[\hat A,\hat B]\bigr\rangle\right)^2$$

が得られることを示してください（シュレーディンガーの不確定性関係）。ここで $\{\hat A,\hat B\} := \hat A\hat B + \hat B\hat A$ は反交換子です。

解答

証明の記号をそのまま使います。$|f\rangle = \tilde A|\psi\rangle$、$|g\rangle = \tilde B|\psi\rangle$、$\tilde A = \hat A - \bar a$、$\tilde B = \hat B - \bar b$ とすると、コーシー・シュワルツの不等式は

$$(\Delta_\psi\hat A)^2(\Delta_\psi\hat B)^2 = \|f\|^2\|g\|^2 \ge |\langle f|g\rangle|^2 = \bigl(\operatorname{Re}\langle f|g\rangle\bigr)^2 + \bigl(\operatorname{Im}\langle f|g\rangle\bigr)^2$$

です。虚部は証明の第 3 段そのままで $\operatorname{Im}\langle f|g\rangle = \frac{1}{2i}\langle[\hat A,\hat B]\rangle$。実部は

$$2\operatorname{Re}\langle f|g\rangle = \langle f|g\rangle + \overline{\langle f|g\rangle} = \langle\psi|(\tilde A\tilde B + \tilde B\tilde A)|\psi\rangle = \bigl\langle\{\tilde A,\tilde B\}\bigr\rangle .$$

反交換子を展開すると、$\bar a,\bar b$ は実数の定数なので

$$\{\tilde A,\tilde B\} = \{\hat A,\hat B\} - 2\bar b\hat A - 2\bar a\hat B + 2\bar a\bar b\hat I,$$

期待値をとって $\langle\{\tilde A,\tilde B\}\rangle = \langle\{\hat A,\hat B\}\rangle - 2\bar a\bar b$。したがって

$$\operatorname{Re}\langle f|g\rangle = \frac{1}{2}\bigl\langle\{\hat A,\hat B\}\bigr\rangle - \langle\hat A\rangle\langle\hat B\rangle$$

となり、上のコーシー・シュワルツの不等式に代入すれば主張が出ます。第 1 項を捨てれば 定理 5.3 に戻ります。

演習 8.4難

幅 $L$ の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0 \le x \le L$ の外では波動関数が $0$）の基底状態

$$\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\frac{\pi x}{L}\qquad (0\le x\le L)$$

について $\Delta\hat X$ と $\Delta\hat P$ を計算し、系 5.4 と比べてください。必要なら $\displaystyle\int_0^L x^2\sin^2\frac{\pi x}{L}\,dx = L^3\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{4\pi^2}\right)$ を使ってかまいません。

解答

位置。 $|\psi_1|^2$ は $x = L/2$ について対称なので $\langle\hat X\rangle = L/2$ です。2 次のモーメントは与えられた積分から

$$\langle\hat X^2\rangle = \frac{2}{L}\cdot L^3\left(\frac16 - \frac{1}{4\pi^2}\right) = L^2\left(\frac13 - \frac{1}{2\pi^2}\right).$$

よって

$$(\Delta\hat X)^2 = L^2\left(\frac13 - \frac{1}{2\pi^2}\right) - \frac{L^2}{4} = L^2\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}\right).$$

数値では $1/12 = 0.08333$、$1/(2\pi^2) = 0.05066$ なので $(\Delta\hat X)^2 = 0.03267\,L^2$、$\Delta\hat X = 0.1808\,L$。

運動量。 $\psi_1$ は実関数で両端で $0$ なので

$$\langle\hat P\rangle = \int_0^L \psi_1(-i\hbar\psi_1')\,dx = -\frac{i\hbar}{2}\bigl[\psi_1^2\bigr]_0^L = 0 .$$

また $\psi_1'' = -(\pi/L)^2\psi_1$ なので $\hat P^2\psi_1 = -\hbar^2\psi_1'' = \dfrac{\hbar^2\pi^2}{L^2}\psi_1$、すなわち $\psi_1$ は $\hat P^2$ の固有状態で

$$\langle\hat P^2\rangle = \frac{\hbar^2\pi^2}{L^2},\qquad \Delta\hat P = \frac{\hbar\pi}{L}.$$

積。

$$\Delta\hat X\cdot\Delta\hat P = 0.1808\,L\cdot\frac{\hbar\pi}{L} = 0.5679\,\hbar \approx 1.14\times\frac{\hbar}{2}.$$

確かに $\hbar/2$ より大きく、系 5.4 と整合します。等号にならないのは、例 5.5 で見たとおり等号を実現するのはガウス型の波動関数だけで、正弦波はそうでないからです。

なお 注意 3.7 で述べたとおり、有限区間で $\hat P$ を自己共役に定義するには境界条件の指定が要ります。ここでは $\psi_1$ が両端で消えることを使って部分積分の境界項を落としており、その範囲で計算は正当です。

参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2020 — 第 1 章（Fundamental Concepts）に、シュテルン・ゲルラッハ実験から演算子形式・交換関係・不確定性関係までの筋道がまとめられています。
• P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Oxford University Press, 1958 — ブラケット記法と観測量の理論の原典。ポアソン括弧と交換子の対応もここで論じられています。
• 清水明『新版 量子論の基礎 — その本質のやさしい理解のために』サイエンス社、2004 — 物理量とエルミート演算子の対応、および測定の公理を、前提を明示した形で丁寧に扱っています。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised ed., Academic Press, 1980 — 第 VIII 章「Unbounded operators」に、対称作用素と自己共役作用素の区別、欠損指数、自己共役拡張の理論があります。
• W. Heisenberg, “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”, Zeitschrift für Physik 43 (1927), 172–198 — 不確定性原理の原論文。
• H. P. Robertson, “The Uncertainty Principle”, Physical Review 34 (1929), 163–164 — 定理 5.3 の原論文。
• M. Ozawa, “Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement”, Physical Review A 67 (2003), 042105 — 測定誤差と擾乱についての不等式（arXiv:quant-ph/0207121）。

Appendix: 正準交換関係は有界演算子では実現できない

系 4.4 は「有限次元では無理」と述べましたが、実はもっと強い結論が成り立ちます。ノルム $\|\hat A\| = \sup_{\|\psi\|=1}\|\hat A\psi\|$ が有限である演算子を有界演算子と呼びます。有界演算子の全体では、積のノルムについて $\|\hat A\hat B\| \le \|\hat A\|\,\|\hat B\|$ が成り立ちます。

定理 8.5（ウィントナー・ヴィーラントの定理）✓

$\hbar \ne 0$ とします。ヒルベルト空間 $\mathcal H \ne \{0\}$ 上の有界演算子 $\hat A,\hat B$ で $[\hat A,\hat B] = i\hbar\hat I$ を満たすものは存在しません。

証明（定理 8.5）

そのような有界演算子 $\hat A,\hat B$ が存在したと仮定します。

第 1 段。 すべての $n\ge 1$ について

$$[\hat A^n,\hat B] = i\hbar\,n\,\hat A^{n-1}$$

を $n$ についての帰納法で示します。$n=1$ は仮定そのものです。$n$ で成立するとして、補題 4.2 の (3)（$[\hat A\hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B$ の形）を $\hat A^{n+1} = \hat A^{n}\cdot\hat A$ に適用すると

$$[\hat A^{n+1},\hat B] = \hat A^{n}[\hat A,\hat B] + [\hat A^{n},\hat B]\hat A = \hat A^{n}\,i\hbar + i\hbar n\hat A^{n-1}\hat A = i\hbar(n+1)\hat A^{n}.$$

第 2 段：$\hat A^n \ne 0$（すべての $n\ge 0$）。 もしある $n\ge 1$ で $\hat A^{n} = 0$ なら、第 1 段の左辺が $0$ になるので $i\hbar n\hat A^{n-1} = 0$、$\hbar\ne 0$、$n\ne 0$ より $\hat A^{n-1}=0$。これを繰り返すと $\hat A^{0} = \hat I = 0$ となり、$\mathcal H\ne\{0\}$ に矛盾します。

第 3 段：ノルムの評価。 第 1 段の両辺のノルムをとります。左辺には三角不等式と積の評価を使って

$$\hbar\,n\,\|\hat A^{n-1}\| = \bigl\|[\hat A^{n},\hat B]\bigr\| \le \|\hat A^{n}\hat B\| + \|\hat B\hat A^{n}\| \le 2\|\hat A^{n}\|\,\|\hat B\| \le 2\|\hat A\|\,\|\hat A^{n-1}\|\,\|\hat B\| .$$

第 2 段より $\|\hat A^{n-1}\| \ne 0$ なので、両辺をこれで割ると

$$\hbar\,n \le 2\|\hat A\|\,\|\hat B\|$$

がすべての $n\ge 1$ で成り立つことになります。右辺は $n$ によらない有限の値なので、$n$ を十分大きくとれば矛盾します。

∎

したがって、位置と運動量の少なくとも一方は必ず非有界です。実際にはどちらも非有界で、$\hat X$ の場合、$|x|$ がいくらでも大きい領域に支持を持つ規格化された関数を取れば $\|\hat X\psi\|$ はいくらでも大きくなります。非有界演算子は空間全体では定義できず、注意 3.7 の定義域の議論が必然的に要求されます。数学的な煩雑さは正準交換関係が押し付けてくるものであって、避けて通れる種類のものではありません。