関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか

0. この記事の要点

• 各点収束と一様収束を分けるのは、量化子の順序ただ一つです。番号 $N$ が点 $x$ に依存してよいのが各点収束、$\varepsilon$ だけで決まらなければならないのが一様収束です。
• 一様収束は「一様ノルム $\|f_n - f\|_E$ が $0$ に収束する」ことと同値です（命題 3.4）。反例を作るときも判定するときも、まずこの上限を計算します。
• 連続関数列の一様収束極限は連続です（定理 4.1）。逆にいえば、極限関数が不連続になった時点で、収束は一様でないと確定します。
• 有界閉区間の上では、一様収束すればリーマン積分と極限は交換できます（定理 5.2）。各点収束では交換できません。面積が消えずに残る反例を作れます。
• 微分だけは事情が違います。$f_n$ が一様収束しても導関数については何も従いません。必要なのは導関数列 $f_n'$ の一様収束と、たった 1 点での値の収束です（定理 7.3）。
• 極限関数を知らないまま一様収束を判定できるのが一様コーシー判定法（定理 6.2）で、その証明は $\mathbb{R}$ の完備性そのものに支えられています。ワイエルシュトラスの $M$ 判定法（系 6.4）はその系です。

1. 動機：コーシーの「定理」はなぜ間違っていたのか

1821 年、コーシーは『解析教程』の中で次の主張を定理として証明しました。

連続関数の級数が収束するならば、その和も連続である。

微分積分学の教科書で「連続関数の和・積・合成は連続」を学んだ人には、無限個の和でも同じだろうという感覚があると思います。コーシー自身、当時としては十分に厳密な証明を与えたつもりでした。

ところが 1826 年、アーベルは二項級数についての論文の脚注で、この定理には例外があると指摘し、次の級数を挙げました。

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n}$$

各項は $\mathbb{R}$ 全体で連続で、級数はすべての実数 $x$ で収束します（ディリクレの判定法によります。詳しくは 級数と収束判定 を参照してください）。そして和は $-\pi < x < \pi$ の範囲で $x/2$ に等しいことが知られています（フーリエ級数の標準的な例です）。一方 $x = \pi$ では $\sin(n\pi) = 0$ なのですべての項が $0$ で、和も $0$ です。したがって和 $S(x)$ は

$$\lim_{x \to \pi^-} S(x) = \frac{\pi}{2} \neq 0 = S(\pi)$$

を満たし、$x = \pi$ で不連続です。連続関数の級数が不連続な関数に収束したのです。

どこが間違っていたのでしょうか。コーシーの証明は、部分和を $s_n$、和を $S$ と書くとき「$n$ を大きく取れば $|S(x) - s_n(x)|$ は小さい」「$s_n$ は連続だから $x$ を動かしても値はあまり変わらない」という 2 つの事実を組み合わせるものでした。しかし前者の「$n$ を大きく取れば」の大きさが $x$ ごとに違う可能性を、彼は見落としていました。ある点 $x$ で誤差を $\varepsilon$ 以下にするのに $n \ge 10$ で足りても、隣の点では $n \ge 10^{6}$ が必要かもしれません。点を動かしながら $n$ を固定できないなら、この議論は成立しません。

この穴を埋める概念が一様収束です。1847 年、ザイデルとストークスがそれぞれ独立に「収束が任意に遅くなりうる」点に問題があることを見抜き、ワイエルシュトラスはベルリンでの講義を通じて「gleichmäßig konvergent（一様収束）」という言葉と定式化を定着させました。コーシー自身も 1853 年の短報で仮定を追加して定理を訂正しています。今日われわれが学ぶ順序（定義を書いてから定理を証明する）は、この 30 年あまりの混乱の結果として整えられたものです。

問題は連続性だけにとどまりません。関数列の極限を扱うとき、私たちが本当に知りたいのは次の交換ができるかどうかです。

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n = \int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n, \qquad \frac{d}{dx}\Bigl(\lim_{n \to \infty} f_n\Bigr) = \lim_{n \to \infty} \frac{d f_n}{dx}$$

冪級数の項別微分、フーリエ級数の項別積分、微分方程式の逐次近似法、数値解析の誤差評価は、いずれもこの交換が許されるかどうかに依存しています。この記事では、交換を保証する条件を一つずつ、反例と対にして確定させます。

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