## 2. 準備：記号と一様ノルム
以下、$E$ は $\mathbb{R}$ の空でない部分集合、$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$）は実数値関数とします。$f \colon E \to \mathbb{R}$ も同様です。
反例と判定法の両方で主役になるのが、次の量です。
$h \colon E \to \mathbb{R}$ に対して
$$
\|h\|_E := \sup_{x \in E} |h(x)| \in [0, +\infty]
$$
と定め、$h$ の $E$ 上の**一様ノルム**（上限ノルム）と呼ぶ。集合 $\{|h(x)| : x \in E\}$ が上に有界でないときは $\|h\|_E = +\infty$ と約束する。
ここで上限が（有界なら実数として）存在することは、$\mathbb{R}$ の連続性公理（上限性質）そのものです。詳しくは [実数の完備性とコーシー列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy) の
を参照してください。この記事では、この先も同じ完備性が形を変えて何度も現れます。
一様ノルムは次の 3 つの性質を持ちます。$h, h_1, h_2 \colon E \to \mathbb{R}$、$c \in \mathbb{R}$ とします。
1. $\|h\|_E = 0$ であることと、$E$ 上で $h \equiv 0$ であることは同値です。実際、$\|h\|_E = 0$ ならすべての $x$ で $0 \le |h(x)| \le 0$ となります。
2. $\|c h\|_E = |c|\,\|h\|_E$ です（$|c h(x)| = |c||h(x)|$ の上限を取るだけです）。
3. $\|h_1 + h_2\|_E \le \|h_1\|_E + \|h_2\|_E$ です。実際、任意の $x \in E$ で $|h_1(x) + h_2(x)| \le |h_1(x)| + |h_2(x)| \le \|h_1\|_E + \|h_2\|_E$ が成り立つので、右辺は左辺全体の上界であり、上限は上界の最小値だからです。
## 3. 二つの収束
### 3.1. 定義
$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）と $f \colon E \to \mathbb{R}$ について
$$
\forall x \in E,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon
$$
が成り立つとき、$(f_n)$ は $E$ 上 $f$ に**各点収束する**といい、$f_n \to f$ と書く。これは「各 $x \in E$ を固定するごとに、実数列 $(f_n(x))_{n}$ が $f(x)$ に収束する」ことにほかならない。
$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）と $f \colon E \to \mathbb{R}$ について
$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ \forall x \in E, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon
$$
が成り立つとき、$(f_n)$ は $E$ 上 $f$ に**一様収束する**といい、$f_n \rightrightarrows f$ と書く。
二つの論理式に現れる記号はまったく同じで、違うのは $\forall x \in E$ の位置だけです。各点収束では $\forall x$ が $\exists N$ より前にあるので、$N$ は $x$ と $\varepsilon$ の両方に依存してよいことになります。一様収束では $\exists N$ が $\forall x$ より前にあるので、$N$ は $\varepsilon$ だけから決めなければならず、選んだ後にすべての $x$ で通用しなければなりません。
A2["ε > 0 が与えられる"] --> A3["N = N(x, ε) を選ぶ"] --> A4["n ≥ N で誤差が ε 未満"]
end
subgraph UN["一様収束：N は ε だけで決まる"]
B1["ε > 0 が与えられる"] --> B2["N = N(ε) を選ぶ"] --> B3["すべての点 x について同時に"] --> B4["n ≥ N で誤差が ε 未満"]
end`} />
### 3.2. 一様収束は各点収束より強い
$f_n \rightrightarrows f$ ならば $f_n \to f$ です。実際、
一様収束の意味は絵にすると一目でわかります。$f$ のグラフの上下に幅 $\varepsilon$ ずつの帯を描いたとき、$n \ge N$ ならば $f_n$ のグラフが**帯からはみ出さない**、というのが一様収束です。各点収束は「各 $x$ ごとに、$n$ を十分大きくすれば点 $(x, f_n(x))$ が帯に入る」としか言っておらず、グラフ全体が同時に入ることは要求していません。
### 3.3. 上限による判定
定義に現れる「すべての $x$ で $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$」は、要するに上限が小さいということです。これを正確にしておくと、以後の計算がすべて上限の計算に還元されます。
$f_n, f \colon E \to \mathbb{R}$ とする。$(f_n)$ が $E$ 上 $f$ に一様収束するための必要十分条件は
$$
\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_E = 0
$$
である。ここで $\|\cdot\|_E$ は
## 4. 一様収束は連続性を保つ
は、各点収束では連続性が壊れることを示しました。一様収束に強めると壊れません。これがコーシーの主張の正しい形です。
$E \subseteq \mathbb{R}$、$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）、$f \colon E \to \mathbb{R}$ とし、次を仮定する。
1. 点 $c \in E$ において、すべての $n$ について $f_n$ は連続である。すなわち $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in E,\ |x - c| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(c)| < \varepsilon$。
2. $(f_n)$ は $E$ 上 $f$ に一様収束する。
このとき $f$ は $c$ で連続である。特に、すべての $f_n$ が $E$ 上連続で $f_n \rightrightarrows f$ ならば、$f$ は $E$ 上連続である。
$\varepsilon > 0$ を任意に取ります。
**第 1 段（$n$ を固定する）。** 仮定 2 と
この定理は「連続性は一様収束で保たれる」という肯定的な使い方より、対偶にして「一様収束していない」ことを示す道具として使う機会のほうが多いかもしれません。
$f_n \colon E \to \mathbb{R}$ がすべて $E$ 上連続で、$(f_n)$ が $f \colon E \to \mathbb{R}$ に各点収束しているとする。$f$ が $E$ のある点 $c$ で不連続ならば、$(f_n)$ は $E$ 上 $f$ に一様収束しない。
対偶を示します。もし $(f_n)$ が $f$ に一様収束したとすると、 にこれを適用すれば、上限を計算しなくても一様収束しないことが即座にわかります。$f_n(x) = x^n$ は連続、各点極限は $x = 1$ で不連続、ゆえに一様収束しない、というだけです。
逆向きの問い、すなわち「各点収束＋連続性から一様収束が言えるのはどんなときか」にも答えがあります。単調性とコンパクト性を足せば十分です。
$K \subseteq \mathbb{R}$ を空でない有界閉集合とし、$f_n \colon K \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）と $f \colon K \to \mathbb{R}$ について次を仮定する。
1. すべての $n$ について $f_n$ は $K$ 上連続であり、$f$ も $K$ 上連続である。
2. $(f_n)$ は $K$ 上 $f$ に各点収束する。
3. すべての $x \in K$ とすべての $n$ について $f_{n+1}(x) \le f_n(x)$（$n$ について単調減少）である。
このとき $(f_n)$ は $K$ 上 $f$ に一様収束する。（$f_{n+1} \ge f_n$ と単調増加を仮定した場合も、$-f_n$ に適用すれば同じ結論を得る。）
$g_n := f_n - f$ とおきます。仮定 1 より $g_n$ は連続関数の差なので $K$ 上連続です。仮定 3 より各 $x$ で $(g_n(x))_n$ は単調減少、仮定 2 よりその極限は $0$ ですから、単調減少列の項は極限以上であることに注意して $g_n(x) \ge 0$、また $n \le m$ ならば $g_m(x) \le g_n(x)$ が成り立ちます。示すべきことは $g_n \rightrightarrows 0$ です。
一様収束しないと仮定して矛盾を導きます。
## 5. 積分との交換
次に $\lim_n \int f_n = \int \lim_n f_n$ を考えます。まず、各点収束では完全に破綻することを見ます。
$n \ge 2$ に対して $f_n \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ を
$$
f_n(x) = \begin{cases}
n^2 x & \bigl(0 \le x \le \tfrac{1}{n}\bigr) \\[2pt]
2n - n^2 x & \bigl(\tfrac{1}{n} < x \le \tfrac{2}{n}\bigr) \\[2pt]
0 & \bigl(\tfrac{2}{n} < x \le 1\bigr)
\end{cases}
$$
と定めます。$n \ge 2$ より $2/n \le 1$ なので定義は意味を持ちます。$x = 1/n$ では $n^2 \cdot \frac{1}{n} = n$ と $2n - n^2\cdot\frac1n = n$、$x = 2/n$ では $2n - n^2 \cdot \frac{2}{n} = 0$ となって値が一致するので、$f_n$ は折れ線として連続です。グラフは底辺 $[0, 2/n]$、高さ $n$ の二等辺三角形です。
**各点極限は $0$。** $x = 0$ ではすべての $n$ で $f_n(0) = 0$ です。$x > 0$ を固定すると、$n > 2/x$ を満たすすべての $n$ について $2/n < x$ なので $f_n(x) = 0$ です。よって $f_n \to 0$ が $[0,1]$ 上で各点収束の意味で成り立ちます。
**積分は $1$ のまま。** 三角形の面積なので
$$
\int_0^1 f_n(x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n}\cdot n = 1 \qquad (n \ge 2)
$$
です。したがって
$$
\lim_{n \to \infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx = 1 \neq 0 = \int_0^1 \Bigl(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\Bigr) dx
$$
となり、極限と積分は交換できません。三角形は横に潰れながら縦に伸び、面積 $1$ を保ったまま「どの点からも逃げていく」のです。
**一様収束していないこと。** $\|f_n - 0\|_{[0,1]} = f_n(1/n) = n \to \infty$ なので、
一様収束を仮定すると、リーマン積分は極限と交換します。しかも誤差評価が定量的に得られます。
$a < b$ とし、$f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）はすべて $[a,b]$ 上リーマン可積分とする。$(f_n)$ が $[a,b]$ 上 $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ に一様収束するならば、$f$ も $[a,b]$ 上リーマン可積分であり、
$$
\left| \int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right| \le (b-a)\,\|f_n - f\|_{[a,b]}
$$
が（右辺が有限であるすべての $n$ について）成り立つ。特に
$$
\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx
$$
である。
$d_n := \|f_n - f\|_{[a,b]}$ と書きます。
## 6. 一様コーシー列と完備性
ここまでの判定法（
）には実用上の弱点があります。極限関数 $f$ を先に知っていなければ $\|f_n - f\|_E$ を計算できません。しかし級数の和のように、極限が何であるか分からないまま収束を論じたい場面がほとんどです。数列のときと同じように、極限を持ち出さずに済む判定法を作ります。
$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）が $E$ 上の**一様コーシー列**であるとは
$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m, n \ge N,\ \forall x \in E, \quad |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon
$$
が成り立つことをいう。ここでも $N$ は $\varepsilon$ のみに依存し、$x$ に依存してはならない。
$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）とする。ある関数 $f \colon E \to \mathbb{R}$ が存在して $(f_n)$ が $E$ 上 $f$ に一様収束するための必要十分条件は、$(f_n)$ が $E$ 上の一様コーシー列であることである。
（必要性）$f_n \rightrightarrows f$ とし、$\varepsilon > 0$ を取ります。
コーシー判定法の最も便利な帰結が、次の判定法です。関数項級数の一様収束は、ほとんどの場合これで片が付きます。
$u_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）とし、定数 $M_n \ge 0$ が存在して
$$
|u_n(x)| \le M_n \quad (\forall x \in E, \ \forall n \in \mathbb{N}), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty
$$
を満たすとする。このとき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ は各 $x \in E$ で絶対収束し、部分和の列 $s_N = \sum_{n=1}^{N} u_n$ は $E$ 上一様収束する。
$T_N := \sum_{n=1}^{N} M_n$ とおきます。仮定より $(T_N)$ は収束列であり、収束列はコーシー列ですから、$\varepsilon > 0$ に対してある $N_0$ が存在して、$N > M \ge N_0$ ならば $T_N - T_M = \sum_{n=M+1}^{N} M_n < \varepsilon$ です。
このとき、$N > M \ge N_0$ とすべての $x \in E$ について、三角不等式と仮定 $|u_n(x)| \le M_n$ より
$$
|s_N(x) - s_M(x)| = \left|\sum_{n=M+1}^{N} u_n(x)\right| \le \sum_{n=M+1}^{N} |u_n(x)| \le \sum_{n=M+1}^{N} M_n < \varepsilon
$$
が成り立ちます。$N_0$ は $x$ に依存していないので $(s_N)$ は一様コーシー列であり、
$M_n$ の取り方は、$M_n = \sup_{x\in E}|u_n(x)| = \|u_n\|_E$ とするのが最良ですが、実際には計算しやすい上界を取れば十分です。冪級数 $\sum a_n x^n$ が収束半径 $R$ の内側の閉区間 $[-r, r]$（$0 < r < R$）で一様収束することも、$M_n = |a_n| r^n$ として $M$ 判定法を使えば直ちに従います（[級数と収束判定](/mathematics/calculus/series-and-convergence) を参照してください）。
$0 < a < 1$ とし、$b$ を正の整数として
$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) \qquad (x \in \mathbb{R})
$$
を考えます。$|a^n\cos(b^n \pi x)| \le a^n$ であり、$\sum_{n \ge 0} a^n = \dfrac{1}{1-a} < \infty$（等比級数）ですから、$M_n = a^n$ として
## 7. 微分との交換
の成功を見ると、微分についても「$f_n \rightrightarrows f$ ならば $f_n' \to f'$」が成り立ちそうに思えます。しかし成り立ちません。原因は、積分が関数を平均して滑らかにする作用素であるのに対し、微分は局所的な傾きを取り出す作用素であり、値の小ささが傾きの小ささを何ら意味しないからです。
$f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$（$x \in \mathbb{R}$）とします。$|\sin(nx)| \le 1$ かつ $x = \pi/(2n)$ で $\sin(nx) = 1$ となるので
$$
\|f_n - 0\|_{\mathbb{R}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \longrightarrow 0
$$
であり、
正しい定理は、仮定を $f_n$ ではなく $f_n'$ の側に置きます。しかも $f_n$ 自身については、たった 1 点での収束を仮定すれば足ります。
$a < b$ とし、$f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）はすべて $C^1$ 級（$[a,b]$ 上微分可能で、導関数 $f_n'$ が $[a,b]$ 上連続。端点では片側微分係数を取る）とする。さらに次を仮定する。
1. ある点 $x_0 \in [a,b]$ が存在して、数列 $(f_n(x_0))_n$ は収束する。
2. 導関数の列 $(f_n')$ は $[a,b]$ 上ある関数 $g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ に一様収束する。
このとき $(f_n)$ は $[a,b]$ 上ある関数 $f$ に一様収束し、$f$ は $C^1$ 級で $f' = g$、すなわち
$$
\Bigl(\lim_{n \to \infty} f_n\Bigr)' = \lim_{n \to \infty} f_n' \qquad ([a,b] \text{ 上で})
$$
が成り立つ。
$A := \lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$（仮定 1 により存在）とおきます。
**第 1 段（$g$ は連続）。** 各 $f_n'$ は仮定より連続で、仮定 2 より $f_n' \rightrightarrows g$ ですから、
## 8. 演習
$f_n(x) = n x e^{-n x^2}$（$x \in [0,1]$、$n \in \mathbb{N}$）とする。
1. 各点極限 $f$ を求めよ。
2. $\|f_n - f\|_{[0,1]}$ を計算し、一様収束するかどうかを判定せよ。
3. $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx$ と $\int_0^1 f(x)\,dx$ を計算して比較せよ。
**1.** $x = 0$ ではすべての $n$ で $f_n(0) = 0$ です。$x > 0$ を固定し $t = n x^2$ とおくと $t \to \infty$ で、
$$
f_n(x) = n x e^{-nx^2} = \frac{t}{x}e^{-t}
$$
です。$t e^{-t} \to 0$（$t \to \infty$）であり $x$ は固定された正数なので、$f_n(x) \to 0$ です。よって各点極限は $f \equiv 0$ です。
**2.** $f_n$ を微分すると、積の微分法と合成関数の微分法から
$$
f_n'(x) = n e^{-nx^2} + nx\cdot(-2nx)e^{-nx^2} = n e^{-nx^2}\bigl(1 - 2n x^2\bigr)
$$
です。$e^{-nx^2} > 0$ なので $f_n'(x)$ の符号は $1 - 2nx^2$ の符号と一致し、$f_n$ は $x = 1/\sqrt{2n}$ で最大になります（$1/\sqrt{2n} \le 1/\sqrt{2} < 1$ なので、この点は $[0,1]$ に属します）。$f_n \ge 0$ なので
$$
\|f_n - 0\|_{[0,1]} = f_n\!\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right) = n \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} \cdot e^{-1/2} = \sqrt{\frac{n}{2}}\, e^{-1/2} \longrightarrow +\infty
$$
となり、
## 参考文献
- 高木貞治『解析概論』改訂第三版、岩波書店、1961 — 第 4 章「無限級数 一様収束」。一様収束、項別積分・項別微分の古典的で簡潔な扱い。
- 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 関数列・関数項級数の一様収束を扱う章。$\varepsilon$-$N$ 論法を省略なく書き下す方針が本記事と近い。
- W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 7 "Sequences and Series of Functions"。導関数の連続性を仮定しない項別微分定理、ディニの定理、いたるところ微分不可能な連続関数の構成が含まれる。
- E. Hairer, G. Wanner, *Analysis by Its History*, Springer, 1996 — コーシー、アーベル、ザイデル、ワイエルシュトラスを追いながら一様収束の概念が成立する過程を扱う章がある。
- N. H. Abel, "Untersuchungen über die Reihe $1 + \frac{m}{1}x + \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}x^2 + \cdots$", *Journal für die reine und angewandte Mathematik* 1 (1826) — コーシーの主張に対する反例が脚注で述べられている。
- G. H. Hardy, "Weierstrass's non-differentiable function", *Transactions of the American Mathematical Society* 17 (1916) —
の関数が $ab \ge 1$ で微分不可能であることの証明。
## Appendix: 反例のカタログ
**一覧。** 本文で使った反例を、どの結論が壊れるかで整理します。$E$ 上の各点極限を $f$ と書きます。
| 関数列 | 定義域 | 収束の様子と $\lVert f_n - f \rVert$ | 壊れる結論 |
|---|---|---|---|
| $x^n$ | $[0,1]$ | 各点収束のみ、$\lVert f_n - f \rVert = 1$ | 極限が不連続になる |
| 三角形（
） | $[0,1]$ | 各点収束のみ、$\lVert f_n \rVert = n$ | 積分と極限が交換しない |
| $n x e^{-nx^2}$ | $[0,1]$ | 各点収束のみ、$\lVert f_n \rVert = \sqrt{n/(2e)}$ | 積分と極限が交換しない |
| $\sin(nx)/\sqrt n$ | $\mathbb{R}$ | 一様収束、$\lVert f_n \rVert = n^{-1/2}$ | $f_n'$ が発散する |
| $\sqrt{x^2 + n^{-2}}$ | $\mathbb{R}$ | 一様収束、$\lVert f_n - f \rVert \le n^{-1}$ | 極限が微分不可能になる |
| $x/(1+nx^2)$ | $\mathbb{R}$ | 一様収束、$\lVert f_n \rVert = \frac{1}{2\sqrt n}$ | $x=0$ で $\lim f_n' \ne f'$ |
| 高さ $1/n$ の平坦な山 | $[0,\infty)$ | 一様収束、$\lVert f_n \rVert = n^{-1}$ | 区間が非有界だと積分が交換しない |
上 3 つは「収束が一様でない」ことが原因なので、一様収束を仮定すれば防げます。下 4 つは一様収束していてもなお壊れる現象で、微分の交換には別の仮定（
）が、非有界区間には別の道具が必要であることを示しています。
**三角形の列と優収束定理。**
で触れた点を確認します。
の $f_n$ に対し $\varphi(x) := \sup_{n \ge 2} f_n(x)$ とおきます。$0 < x < 1/3$ を取り、$m := \lceil 1/x \rceil$ とおくと $m \ge 4$ で、$m - 1 < 1/x \le m$ すなわち $\frac{1}{m} \le x < \frac{1}{m-1} \le \frac{2}{m}$（最後の不等式は $m \ge 2$ から従います）が成り立ちます。よって $x$ は $f_m$ の右側の斜辺の上にあり、
$$
f_m(x) = 2m - m^2 x = m\,(2 - m x), \qquad m x < \frac{m}{m-1} \le \frac{4}{3}
$$
です（最後は $m \ge 4$ を使いました）。したがって $2 - mx > \frac{2}{3}$ となり、
$$
\varphi(x) \ge f_m(x) > \frac{2}{3}m \ge \frac{2}{3x}
$$
を得ます。$\int_0^{1/3}\frac{dx}{x} = \infty$ ですから $\varphi$ は $[0,1]$ 上可積分ではなく、$|f_n| \le \varphi$ を満たす可積分関数は存在しません。つまりこの列は、ルベーグ積分に移って優収束定理を使おうとしても救済されません。極限と積分の交換が失敗するのは積分の定義の弱さではなく、関数列そのものの性質だ、ということです。