ストークスの定理：微分と境界の双対性

0. この記事の要点

円の内側の面積を、内側を調べずに、円周に沿って一周するだけの計算で求められたら不思議ではないでしょうか。区間 $[a,b]$ の上で関数の変化を細かく足し合わせると、結局は両端の値の差だけで決まります。この記事のストークスの定理は、この「内側の変化の合計は、縁での値だけで決まる」という事実を、曲線・曲面・高次元の図形すべてに通用する一つの式として述べるものです。読み終えると、微積分学で別々に習った基本定理・グリーンの定理・ガウスの定理が同じ式の特別な場合だとわかり、面積などを縁の積分で計算できるようになります。

• $n$ 次元多様体の上で $n$ 形式を積分するには向きが必要です。向き付け可能性は「至るところ消えない $n$ 形式が存在すること」と「座標変換のヤコビ行列式がつねに正となるアトラス（座標の貼り合わせ方の一覧）が取れること」の二つの言い換えを持ちます。
• 境界付き多様体 $M$ の境界 $\partial M$ は $(n-1)$ 次元多様体であり、$M$ の向きから「外向きベクトルを先頭に置く」という規約で $\partial M$ の向きが一意に決まります。
• 積分は「1 つのチャートに台を持つ形式の積分」を定義し、1 の分割（各点で足すとちょうど 1 になる滑らかな重み関数の組）で貼り合わせて作ります。座標変換のヤコビ行列式が正であることが、この貼り合わせが矛盾しない理由です。
• 一般化されたストークスの定理は、$M$ を向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体、$\omega$ を**コンパクトな台を持つ** $C^\infty$ 級 $(n-1)$ 形式とするとき $\int_M d\omega = \int_{\partial M} j^{*}\omega$（$j$ は包含写像、つまり境界の点を $M$ の点として見る写像）と述べます。外微分 $d$ と境界作用素 $\partial$ が積分を仲立ちとして双対であることを言っています。
• 微分積分学の基本定理、グリーンの定理、ガウスの発散定理、古典的ストークスの回転定理は、$n = 1, 2, 3$ と形式の取り方を指定した特別な場合です。
• 系として「円板から球面への $C^\infty$ 級レトラクションは存在しない」が出ます。積分定理が位相的な結論を導く典型例です。

この記事で使う事前知識

• $k$ 次微分形式: 各点で $k$ 個の接ベクトルを受け取って数を返す、交代的な多重線形の対象。→ k 次微分形式
• 外微分: 形式の次数を 1 つ上げる微分で、$d\circ d = 0$ を満たす。→ ベクトル場と微分形式
• 引き戻し: 写像 $F$ を使って、行き先の空間の形式を元の空間の形式に移す操作。→ ベクトル場と微分形式
• 閉形式と完全形式: $d\omega = 0$ となる形式が閉形式、ある形式の $d$ になっているものが完全形式。→ 閉形式と完全形式
• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト
• 行列式: 正方行列に対して決まる数で、符号が基底の「向き」を表す。→ 行列式

1. 動機

微分積分学を一通り学ぶと、よく似た形の定理が三つ四つ並ぶことに気づきます。

$$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a),$$ $$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy),$$ $$\iiint_\Omega \operatorname{div} \boldsymbol{X}\,dV = \iint_{\partial \Omega} \langle \boldsymbol{X}, \boldsymbol{\nu}\rangle\,dA .$$

どれも「領域の内部での微分の積分」が「境界での値の積分」に等しい、と言っています。左辺には微分が現れ、右辺には境界が現れる。次元も、積分の種類も、微分の種類（$f'$、回転、発散）も違うのに、形だけが執拗に一致します。

19 世紀にはこれらは別々の定理として発見されました。グリーンは 1828 年にポテンシャル論の論文で二次元の公式を、オストログラツキーとガウスは発散定理を、ケルヴィンはストークスに宛てた 1850 年の手紙で回転定理を書いています（後者はケンブリッジの試験問題として出題されたため「ストークスの定理」と呼ばれるようになりました）。統一が完成したのはエリー・カルタンが微分形式と外微分を整備した後、20 世紀に入ってからです。

統一の鍵は、次の三つを認めることです。

1. 積分される対象は「関数」ではなく $k$ 形式である。$\int_a^b f\,dx$ の $dx$ は記号ではなく 1 形式そのものです。
2. 三種類の微分（勾配・回転・発散）は、次数を 1 つ上げる唯一の作用素 $d$ の、$n = 3$ における三つの化身にすぎない。
3. 「境界を取る」操作 $\partial$ と「外微分を取る」操作 $d$ は、積分という双一次形式に関して互いに随伴である。

三つ目が本記事の主題です。記号で書けば

$$\langle d\omega, M\rangle = \langle \omega, \partial M\rangle, \qquad \langle \alpha, N\rangle := \int_N \alpha .$$

ここで「随伴」とは、行列の転置で $\langle Ax, y\rangle = \langle x, A^{T}y\rangle$ と書けるように、一方に作用させる操作をもう一方に作用させる操作へ移し替えられる関係を指します。

この式が意味を持つためには、多様体の上で形式を積分する方法を定義しなければなりません。ところが $\int f\,dx$ と $\int f\,dy$ を座標変換で結ぶには重積分の変数変換公式が要り、そこにはヤコビ行列式の絶対値が現れます。絶対値を外して符号を統一する仕組み、それが向き付けです。したがって話は順に、向き付け、境界付き多様体、積分の構成、そして定理本体、という順序になります。

2. 準備：微分形式と外微分

ベクトル場と微分形式 で扱った内容のうち、本記事で使うものを記号とともに確認します。$M$ は $C^\infty$ 級多様体、$\Omega^k(M)$ は $M$ 上の $C^\infty$ 級 $k$ 形式（k 次微分形式（定義 6.1）［ベクトル場と微分形式］）全体とします。$\Omega^k(M) = 0$（$k > \dim M$ または $k < 0$）です。

• 外微分 $d : \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$（外微分の存在と一意性（定理 6.2）［ベクトル場と微分形式］）は $\mathbb{R}$ 線形で、$d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{k}\alpha \wedge d\beta$（$\alpha \in \Omega^k$）を満たし、$d \circ d = 0$ であり、局所座標 $(x^1,\ldots,x^n)$ では $$d\!\left(\sum_I f_I\,dx^{I}\right) = \sum_I \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x^j}\,dx^j \wedge dx^{I}$$ で与えられます。ここで $I = (i_1 < \cdots < i_k)$、$dx^I = dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$ です。
• 引き戻し $F^{*} : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M)$（$F : M \to N$ が $C^\infty$）は $F^{*}(\alpha\wedge\beta) = F^{*}\alpha \wedge F^{*}\beta$ と $F^{*}(d\alpha) = d(F^{*}\alpha)$ を満たします。最後の可換性が、これから何度も使う道具です。
• 最高次形式の変換則。$\tau : \hat U \to \hat V$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合の間の $C^\infty$ 級写像とすると $$\tau^{*}\!\left(g\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n\right) = (g\circ\tau)\,\det\!\big(D\tau\big)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n .$$ これは $\tau^{*}dy^i = \sum_j \frac{\partial \tau^i}{\partial x^j}dx^j$ を代入し、外積の交代性から行列式が現れることによります。
• 内部積 $\iota_X : \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M)$ は $(\iota_X\alpha)(v_1,\ldots,v_{k-1}) = \alpha(X, v_1,\ldots,v_{k-1})$ で定めます。第 7 節で古典的定理を導くときに使います。
• 1 の分割。$M$ を第二可算かつハウスドルフな多様体、$\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ をその開被覆とすると、$\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$、$0 \le \rho_\alpha \le 1$、台の族が局所有限、$\sum_\alpha \rho_\alpha \equiv 1$ を満たす $C^\infty$ 級関数族 $\{\rho_\alpha\}$ が存在します。証明は Appendix に要点を置きました。1 の分割は、小さな範囲でしか定義できない計算を、重みを掛けて足し合わせることで多様体全体の計算につなぐための道具で、第 5 節で積分を定義するときに使います。

以下、多様体はすべて第二可算ハウスドルフとし、$C^\infty$ 級とします。$\operatorname{supp}\omega$ は $\omega$ が消えない点の集合の閉包を表します。

3. 向き付け

$n$ 次元ベクトル空間 $V$ の順序基底全体は、基底変換行列の行列式の符号によって二つの同値類に分かれます。どちらか一方を「正」と選ぶことを $V$ の向きと呼びます。多様体では、これを各接空間で連続的に選ぶ必要があります。連続性を扱いやすい形にするために、$n$ 形式を使います。

定義 3.1（向き付け可能性）↗

$M$ を $n$ 次元多様体（$n \ge 1$）とする。$M$ 上の $C^\infty$ 級 $n$ 形式 $\mu$ で、すべての $p \in M$ に対し $\mu_p \ne 0$ となるものが存在するとき、$M$ は向き付け可能 (orientable) であるという。そのような $\mu$ を向きの形式と呼び、$T_pM$ の順序基底 $(v_1,\ldots,v_n)$ が $\mu_p(v_1,\ldots,v_n) > 0$ を満たすとき正の向きであるという。

$\mu$ と $\mu'$ が同じ向きを定めるのは、至るところ正の関数 $h$ で $\mu' = h\mu$ となるときである。この同値類を一つ指定した多様体を向き付けられた多様体という。

$\dim T_pM = n$ なので $\Lambda^n(T_pM)^{*}$ は 1 次元です。したがって $\mu_p \ne 0$ という条件は $\mu_p$ が $\Lambda^n (T_pM)^{*}\setminus\{0\}$ の元だということで、その符号が $T_pM$ の向きを定めます。$\mu$ が $C^\infty$ であることが「連続的な選び方」を保証します。

次の命題は、先ほどの定義（消えない $n$ 形式がある）を、座標を使った言い方（ヤコビ行列式がつねに正）に言い換えるものです。第 5 節では後者の形で使います。証明は、$n$ 形式を座標で書いたときの係数の符号と、座標変換の行列式の符号がちょうど対応する、という一点に尽きます。

命題 3.2（向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ）✓

$M$ を $n$ 次元多様体（$n \ge 1$）とする。次は同値である。

1. $M$ は 定義 3.1 の意味で向き付け可能である。
2. $M$ のアトラス $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ で、すべての $\alpha,\beta$ と $x \in \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ に対して座標変換 $\tau_{\beta\alpha} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}$ が $\det\big(D\tau_{\beta\alpha}(x)\big) > 0$ を満たすものが存在する。

このようなアトラスを向きの合ったアトラスという。

証明（命題 3.2）

(1) $\Rightarrow$ (2)。向きの形式 $\mu$ を取ります。各 $p \in M$ に対し、$p$ を含む連結な定義域を持つチャート $(U,\varphi)$、$\varphi = (x^1,\ldots,x^n)$ を選びます（座標球を取ればよい）。$U$ 上で $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ は至るところ $0$ でない $n$ 形式なので、$\mu|_U = f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ と書けて $f$ は $U$ 上至るところ $0$ でない $C^\infty$ 関数です。$U$ が連結で $f$ が連続かつ零点を持たないので、中間値の定理（定理 6.1）［連結性］ により $f$ の符号は $U$ 上一定です。$f < 0$ なら $\varphi$ の第 1 成分を $-x^1$ に取り替えます。この操作で $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ は $-1$ 倍になるので $f > 0$ となります。こうして得たチャートの族を $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ とすると、各 $\alpha$ で $\mu = f_\alpha\,dx_\alpha^1\wedge\cdots\wedge dx_\alpha^n$、$f_\alpha > 0$ です。

$U_\alpha \cap U_\beta$ 上で二通りの表示を比べます。第 2 節の最高次形式の変換則を $\tau_{\beta\alpha}$ に適用すると、$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で

$$dx_\beta^1\wedge\cdots\wedge dx_\beta^n = \det\big(D\tau_{\beta\alpha}\big)\,dx_\alpha^1\wedge\cdots\wedge dx_\alpha^n$$

が成り立ちます（両辺を $\varphi_\alpha^{-1}$ で引き戻して比較しています）。これを $\mu = f_\beta\,dx_\beta^1\wedge\cdots\wedge dx_\beta^n$ に代入すると $f_\alpha = f_\beta \cdot \det(D\tau_{\beta\alpha})$。$f_\alpha, f_\beta > 0$ ですから $\det(D\tau_{\beta\alpha}) > 0$ です。

(2) $\Rightarrow$ (1)。向きの合ったアトラス $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ と、それに従属する 1 の分割 $\{\rho_\alpha\}$（第 2 節）を取り、

$$\mu := \sum_\alpha \rho_\alpha\, \varphi_\alpha^{*}\big(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\big)$$

と置きます。台の族が局所有限なので各点の近傍では有限和であり、$\mu$ は $C^\infty$ 級 $n$ 形式です。

$p \in M$ を固定し、$\mu_p \ne 0$ を示します。$\rho_\alpha(p) > 0$ となる $\alpha$ の一つを $\alpha_0$ とし（$\sum \rho_\alpha(p) = 1$ なので少なくとも一つある）、$\nu := \varphi_{\alpha_0}^{*}(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n)_p \ne 0$ と置きます。$\rho_\alpha(p) > 0$ なる各 $\alpha$ について、$p \in U_\alpha \cap U_{\alpha_0}$ であり、上と同じ変換則から

$$\varphi_\alpha^{*}\big(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\big)_p = \det\!\big(D\tau_{\alpha_0\alpha}(\varphi_\alpha(p))\big)^{-1}\,\nu = c_\alpha\, \nu, \quad c_\alpha > 0 .$$

したがって $\mu_p = \big(\sum_\alpha \rho_\alpha(p)c_\alpha\big)\nu$ であり、係数は正の数の正係数和なので $0$ ではありません。よって $\mu_p \ne 0$ です。

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ノート

$0$ 次元多様体（点の集合）は上の定義では扱えません。$0$ 次元多様体の向きとは、各点に符号 $\varepsilon(p) \in \{+1,-1\}$ を与えることだと約束します。第 4 節で $n = 1$ の境界を扱うときに必要になります。

命題 3.3（球面は向き付け可能）✓

$S^n$ 上の $n$ 形式 $\mu_p(v_1,\ldots,v_n)=\det(p,v_1,\ldots,v_n)$ は至るところ $0$ でなく、$S^n$ は向き付け可能である。

証明（命題 3.3）

$\mu$ は $n$ 個の接ベクトルについて交代的かつ多重線形なので $n$ 形式であり、成分が $p$ の多項式なので $C^\infty$ 級です。$T_pS^{n} = p^{\perp}$ なので、$T_pS^n$ の基底 $(v_1,\ldots,v_n)$ に位置ベクトル $p$ を加えると $\mathbb{R}^{n+1}$ の基底になり、$\mu_p(v_1,\ldots,v_n) \ne 0$ です。

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例 3.4（球面は向き付け可能）

$S^{n} = \{p \in \mathbb{R}^{n+1} : |p| = 1\}$ 上に

$$\mu_p(v_1,\ldots,v_{n}) := \det\big(p, v_1, \ldots, v_{n}\big)$$

と定めます（右辺は $\mathbb{R}^{n+1}$ の $(n+1)$ 個のベクトルの行列式）。$\mu$ は $n$ 個の接ベクトルについて交代的かつ多重線形なので $n$ 形式であり、成分が $p$ の多項式なので $C^\infty$ 級です。$T_pS^{n} = p^{\perp}$ なので、$T_pS^n$ の基底 $(v_1,\ldots,v_n)$ に位置ベクトル $p$ を加えると $\mathbb{R}^{n+1}$ の基底になり、$\mu_p(v_1,\ldots,v_n) \ne 0$ です。よって $S^n$ は向き付け可能で、この $\mu$ が定める向きを「外向き法線が正」の向きと呼びます。

例 3.5（メビウスの帯は向き付け不可能）

$M$ を、$\mathbb{R}^2$ の帯 $S = \mathbb{R}\times(-1,1)$ を写像 $\sigma(s,t) = (s+1, -t)$ が生成する群で割った商 $M = S/\langle\sigma\rangle$ とします。$\sigma$ は自由かつ固有不連続に作用するので $M$ は 2 次元多様体で、商写像 $\pi : S \to M$ は局所微分同相です。

$M$ が向き付け可能で $\mu$ を向きの形式とすると、$\pi^{*}\mu$ は $S$ 上至るところ $0$ でない 2 形式なので $\pi^{*}\mu = f\,ds\wedge dt$、$f$ は零点を持たず $S$ は連結なので符号一定、$f > 0$ としてよい。一方 $\pi\circ\sigma = \pi$ より $\sigma^{*}(\pi^{*}\mu) = \pi^{*}\mu$ です。ところが $\sigma^{*}(ds\wedge dt) = ds \wedge d(-t) = -\,ds\wedge dt$ なので

$$\sigma^{*}(\pi^{*}\mu) = (f\circ\sigma)\cdot(-1)\,ds\wedge dt .$$

両者を比べると $-(f\circ\sigma) = f$、すなわち $f(s+1,-t) = -f(s,t)$ となり、$f$ が正であることに反します。よって $M$（メビウスの帯）は向き付け不可能です。

4. 境界付き多様体と誘導される向き

区間 $[a,b]$ や閉球体は多様体ではありません。端点や球面上の点では、どんな近傍も $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相にならないからです。そこでモデル空間を半空間に取り替えます。

定義 4.1（境界付き多様体）↗

$$\mathbb{H}^n := \{x = (x^1,\ldots,x^n) \in \mathbb{R}^n : x^n \ge 0\}$$

を上半空間、$\partial\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{H}^n : x^n = 0\}$ とする（$\mathbb{H}^n$ の位相は $\mathbb{R}^n$ からの相対位相）。位相空間 $M$ が $n$ 次元境界付き多様体であるとは、$M$ が第二可算ハウスドルフであり、各点が $\mathbb{H}^n$ の開集合と同相な開近傍を持つことをいう。そのような同相写像 $\varphi : U \to \hat U \subset \mathbb{H}^n$ をチャートと呼び、座標変換がすべて $C^\infty$（$\mathbb{H}^n$ の部分集合上の $C^\infty$ 性は、$\mathbb{R}^n$ の開集合への $C^\infty$ 拡張を持つことで定義する）であるアトラスを与えたものを $C^\infty$ 級境界付き多様体という。

点 $p \in M$ は、あるチャート $\varphi$ について $\varphi(p) \in \partial\mathbb{H}^n$ となるとき境界点、そうでないとき内点と呼ぶ。境界点全体を $\partial M$、内点全体を $\operatorname{Int} M$ と書く。

補題 4.2（境界点であることはチャートによらない）✓

$C^\infty$ 級境界付き多様体の点 $p$ が、あるチャートで内点（像が $\mathbb{R}^n$ の開集合の中にあるように取れる）かつ別のチャートで境界点（$\varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n$）であることはない。

証明（補題 4.2）

そうだとすると、内点のチャートから境界点のチャートへの座標変換として、$\mathbb{R}^n$ の開集合 $O$ から $\mathbb{H}^n$ の開集合への微分同相 $F$ で $F(q) \in \partial\mathbb{H}^n$ となるものがあることになります。逆写像 $F^{-1}$ は $F(q)$ の $\mathbb{R}^n$ での近傍に $C^\infty$ 拡張 $G$ をもち（定義 4.1）、$q$ の近くで $G\circ F=\mathrm{id}$ なので連鎖律から $DG(F(q))\,DF(q)=I$、すなわち $DF(q)$ は可逆です。逆関数定理（定理 2.1［部分多様体と正則値定理］）より $F$ の像は $F(q)$ の近傍となる $\mathbb{R}^n$ の開集合を含みますが、$F(q) \in \partial\mathbb{H}^n$ の $\mathbb{R}^n$ における近傍は $\mathbb{H}^n$ に含まれません。矛盾です。

∎

注意 4.3

境界点であることがチャートの取り方によらないことは確認が要ります。$p$ が一方のチャートで内点、他方で境界点だとすると、$\mathbb{R}^n$ の開集合の近傍と $\mathbb{H}^n$ の境界点の近傍の間に微分同相が生じます。すると $\mathbb{R}^n$ の開集合から $\mathbb{H}^n$ への微分同相 $F$ で $F(q) \in \partial\mathbb{H}^n$ となるものがあることになり、$DF(q)$ は可逆なので逆関数定理より $F$ の像は $F(q)$ の近傍となる $\mathbb{R}^n$ の開集合を含みます。しかし $F(q) \in \partial\mathbb{H}^n$ の $\mathbb{R}^n$ における近傍は $\mathbb{H}^n$ に含まれません。矛盾です。位相多様体の段階で示すには次元不変性定理（ブラウワー）が必要ですが、$C^\infty$ 級ならこのように逆関数定理で済みます。

命題 4.4（境界は 1 次元低い多様体）✓

$M$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 級境界付き多様体とすると、$\partial M$ は（部分空間位相で）$(n-1)$ 次元の境界のない $C^\infty$ 級多様体である。さらに $\operatorname{Int} M$ は $n$ 次元の境界のない多様体である。

証明（命題 4.4）

$p \in \partial M$ とし、$\varphi : U \to \hat U \subset \mathbb{H}^n$ を $p$ の周りのチャートとします。補題 4.2 より $\varphi(U \cap \partial M) = \hat U \cap \partial\mathbb{H}^n$ です。$\partial\mathbb{H}^n$ を $\mathbb{R}^{n-1}$ と $(x^1,\ldots,x^{n-1},0)\leftrightarrow(x^1,\ldots,x^{n-1})$ で同一視すれば、$\hat U \cap \partial\mathbb{H}^n$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ の開集合であり、$\varphi|_{U\cap\partial M}$ はそこへの同相写像です。これを $\partial M$ のチャートとします。

座標変換の $C^\infty$ 性は、$M$ の座標変換 $\tau$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合上の $C^\infty$ 写像に拡張し、その $\partial\mathbb{H}^n$ への制限が $C^\infty$ であることから従います（$\tau$ は境界を境界へ写すので、制限の像も $\partial\mathbb{H}^n$ に入ります）。$\partial M$ の各点はこうして $\mathbb{R}^{n-1}$ の開集合と同相な近傍を持つので、$\partial M$ に境界点はありません。$\operatorname{Int}M$ については、内点の周りのチャートの像を $\mathbb{H}^n$ の内部に取り直せばよく、これは $\mathbb{R}^n$ の開集合です。

∎

境界の向きを $M$ の向きから決めるには、「どちらが外か」を言う必要があります。たとえば平面の円板（標準の向き $e_1, e_2$ が正）で、境界の点 $(1,0)$ では外向きは $e_1$ の方向です。そこで「外向き、続いて境界の接ベクトル」の組が正の基底になるものを選ぶと、接ベクトルは $e_2$（上向き）となり、円周を反時計回りに進む向きが誘導されます。

円板の境界の誘導された向き。外向きベクトル ν を先頭に置いた組 (ν, t) が正の基底になるように、接ベクトル t が決まる

定義 4.5（外向きベクトルと誘導される向き）↗

$p \in \partial M$、$v \in T_pM$ とする。$p$ の周りのチャート $\varphi = (x^1,\ldots,x^n)$（像は $\mathbb{H}^n$ 内）について $v$ の第 $n$ 成分 $dx^n(v)$ が負のとき、$v$ は外向き (outward-pointing) であるという。この条件はチャートの取り方によらない。

$M$ を向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体、$n \ge 2$ とする。$p \in \partial M$ における $T_p\partial M$ の順序基底 $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ が

$$(\nu, v_1, \ldots, v_{n-1}) \ \text{が } T_pM \text{ の正の基底}$$

を満たすとき（$\nu$ は任意の外向きベクトル）正の向きであると定める。これを $\partial M$ の誘導された向きという。$n = 1$ のときは、$p \in \partial M$ に対し、外向きベクトルが $T_pM$ の正の基底になるとき $\varepsilon(p) = +1$、そうでないとき $\varepsilon(p) = -1$ と定める。

外向き性がチャートによらないことを確かめます。二つの境界チャート $\varphi,\psi$ の座標変換 $\tau$ は $\{x^n \ge 0\}$ を保ち $\{x^n = 0\}$ を $\{x^n=0\}$ に写すので、$\tau^n(x',x^n) \ge 0$ かつ $\tau^n(x',0) = 0$。よって $x^n$ の方向微分は $\partial\tau^n/\partial x^n(x',0) \ge 0$ であり、$D\tau$ が可逆で第 $n$ 行の他成分 $\partial\tau^n/\partial x^j(x',0) = 0$（$j < n$、$\tau^n$ が $x^n=0$ 上恒等的に $0$ だから）なので $\partial\tau^n/\partial x^n(x',0) > 0$。したがって $v$ の第 $n$ 成分の符号は両チャートで一致します。また誘導された向きが $\nu$ の選び方によらないことも見ておきます。$\nu \notin T_p\partial M$ と次元の勘定から $T_pM = \mathbb{R}\nu \oplus T_p\partial M$ なので、もう一つの外向きベクトル $\nu'$ は $\nu' = c\,\nu + w$（$c \in \mathbb{R}$、$w \in T_p\partial M$）と一意に書けます。$dx^n(w) = 0$ と $dx^n(\nu), dx^n(\nu') < 0$ から $c > 0$。$w$ を足しても $(\ \cdot\ , v_1,\ldots,v_{n-1})$ に代入した値は変わらないので、$\nu'$ による値は $\nu$ による値の $c$ 倍、すなわち符号が変わりません。

境界チャート。外向きベクトル ν は上半空間の側では −eₙ 方向に対応する

5. 多様体上の積分

以下 $M$ は向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体（$n \ge 1$）とします。境界のない多様体は $\partial M = \varnothing$ の場合として含まれます。

積分の作り方は二段構えです。まず 1 つのチャートの中に収まる形式を、座標を使って $\mathbb{R}^n$ 上の普通の積分に直して定義します。次に一般の形式を、1 の分割で 1 つのチャートに収まる断片に切り分け、断片ごとの積分を足し合わせます。向きの符号があるのは、チャートを取り替えても答えが変わらないようにするためです。

チャート $(U,\varphi)$ は、$U$ が連結で、$\varphi$ が向きを保つ（$M$ の正の基底を $\mathbb{R}^n$ の標準的な正の基底に写す）とき正のチャート、向きを逆にするとき負のチャートと呼び、$\varepsilon(\varphi) = +1, -1$ と書きます。連結性から符号は $U$ 上一定です。

定義 5.1（チャート内での積分）↗

$\omega \in \Omega^n(M)$ が連結なチャート $(U,\varphi)$ の中にコンパクトな台を持つとする。$(\varphi^{-1})^{*}\omega = f\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$（$f$ は $\varphi(U)$ 上の $C^\infty$ 関数でコンパクトな台を持つ）と書き、

$$\int_M \omega := \varepsilon(\varphi)\int_{\varphi(U)} f(x)\,dx^1\cdots dx^n$$

と定める。右辺は $\mathbb{R}^n$（あるいは $\mathbb{H}^n \subset \mathbb{R}^n$）上の通常のリーマン積分（ルベーグ積分）である。

補題 5.2（チャートの取り方によらない）✓

定義 5.1 の値は、$\operatorname{supp}\omega$ を含む連結なチャートの選び方によらない。

証明（補題 5.2）

$(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ をともに $K := \operatorname{supp}\omega$ を含む連結チャートとします。$\omega$ の台は $U \cap V$ に入るので、$W := U\cap V$ 上で比較すれば十分です。$\tau := \psi\circ\varphi^{-1} : \varphi(W)\to\psi(W)$ と置きます。

まず両方が正のチャートの場合。命題 3.2 の証明中で見た関係から $\det(D\tau) > 0$ です（正のチャート同士の座標変換だから）。$(\psi^{-1})^{*}\omega = g\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n$ と書くと、$\varphi^{-1} = \psi^{-1}\circ\tau$ より

$$(\varphi^{-1})^{*}\omega = \tau^{*}\big((\psi^{-1})^{*}\omega\big) = (g\circ\tau)\det(D\tau)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$

（第 2 節の変換則）。すなわち $f = (g\circ\tau)\det(D\tau)$。$\det(D\tau) > 0$ なので $|\det(D\tau)| = \det(D\tau)$ であり、重積分の変数変換公式（定理 6.7）［重積分と累次積分］（$\tau$ は微分同相）から

$$\int_{\varphi(W)} f\,dx = \int_{\varphi(W)} (g\circ\tau)\,|\det(D\tau)|\,dx = \int_{\psi(W)} g\,dy .$$

よって二つの定義は一致します。

$\varphi$ が正、$\psi$ が負の場合は $\det(D\tau) < 0$ となり、上の等式は $\int_{\varphi(W)}f\,dx = -\int_{\psi(W)}g\,dy$ を与えます。定義の $\varepsilon(\psi) = -1$ がこの符号をちょうど打ち消すので、やはり一致します。両方が負の場合は再び $\det(D\tau) > 0$ で、$\varepsilon(\varphi)=\varepsilon(\psi)=-1$ より一致します。

∎

定義 5.3（1 の分割による積分）↗

$\omega \in \Omega^n(M)$ がコンパクトな台を持つとする。$M$ を連結チャートの族 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ で覆い、それに従属する 1 の分割 $\{\rho_\alpha\}$ を取り、

$$\int_M \omega := \sum_\alpha \int_M \rho_\alpha\,\omega$$

と定める。右辺の各項は $\operatorname{supp}(\rho_\alpha\omega)\subset U_\alpha$ なので 定義 5.1 で定まる。

和が有限であることを確認します。$K = \operatorname{supp}\omega$ はコンパクトで、$\{\operatorname{supp}\rho_\alpha\}$ は局所有限なので、$K$ の各点は有限個の $\operatorname{supp}\rho_\alpha$ としか交わらない近傍を持ち、$K$ のコンパクト性からそのような近傍が有限個で $K$ を覆います。よって $\rho_\alpha\omega \ne 0$ となる $\alpha$ は有限個です。

注意 5.4（1 の分割の取り方によらないこと）

別の被覆と 1 の分割 $\{\sigma_\beta\}$ を取ったとします。$\sum_\alpha\rho_\alpha = \sum_\beta\sigma_\beta = 1$ より

$$\sum_\alpha \int_M \rho_\alpha\omega = \sum_\alpha \int_M \rho_\alpha\Big(\sum_\beta \sigma_\beta\Big)\omega = \sum_{\alpha,\beta}\int_M \rho_\alpha\sigma_\beta\,\omega = \sum_\beta \int_M \Big(\sum_\alpha\rho_\alpha\Big)\sigma_\beta\omega = \sum_\beta\int_M\sigma_\beta\omega .$$

途中の入れ替えは有限和なので正当です。各 $\rho_\alpha\sigma_\beta\omega$ の台は $U_\alpha \cap V_\beta$ に入るので、補題 5.2 によりどちらのチャートで計算しても同じ値です。積分の線形性（各項が同じチャートで計算されるので明らか）も使っています。

$0$ 次元の場合の約束も置いておきます。$P$ が向き付けられた $0$ 次元多様体（符号 $\varepsilon$ 付きの離散点集合）で $f$ が $P$ 上のコンパクトな台を持つ $0$ 形式（関数）なら

$$\int_P f := \sum_{p \in P} \varepsilon(p)\, f(p)$$

とします（有限和）。

6. 一般化されたストークスの定理

定理 6.1（ストークスの定理）✓

$M$ を向き付けられた $n$ 次元 $C^\infty$ 級境界付き多様体（$n \ge 1$）、$\partial M$ に 定義 4.5 の誘導された向きを与える。$j : \partial M \hookrightarrow M$ を包含写像とする。$\omega$ を $M$ 上のコンパクトな台を持つ $C^\infty$ 級 $(n-1)$ 形式とすると

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M} j^{*}\omega .$$

特に $\partial M = \varnothing$ のときは右辺を $0$ と読み、$\int_M d\omega = 0$ である。

台のコンパクト性は落とせません。$M = \mathbb{R}$、$\omega = f$ で $f$ が $+\infty$ で $1$、$-\infty$ で $0$ に近づく関数なら $\int_{\mathbb{R}}df = 1 \ne 0 = \int_{\varnothing}$ です。$M$ 自身がコンパクトなら条件は自動的に満たされます。

証明の方針は次のとおりです。1 の分割で、形式を 1 つのチャートに収まる断片に切り分けます。半空間 $\mathbb{H}^n$ では、$x^n$ 方向の積分が $x^n=0$ の面での値だけを残し、それが境界の積分に一致します。内部のチャートでは何も残らず、両辺とも $0$ です。第 3 段の符号 $(-1)^n$ は、たとえば $n=2$ で $\det(-e_2,e_1)=+1$、$n=3$ で $\det(-e_3,e_1,e_2)=-1$ となることからわかるように、次元が 1 つ増えるごとに符号が入れ替わります。

証明（定理 6.1）

第 1 段：1 の分割による局所化。 $K = \operatorname{supp}\omega$ はコンパクトです。$M$ の各点の周りに連結チャートを取り、$\mathbb{R}^n$ の開集合に写る内部チャートか、$\mathbb{H}^n$ の開集合に写る境界チャートかのいずれかとします。この被覆に従属する 1 の分割 $\{\rho_\alpha\}$ を取ると、第 5 節と同じ議論で $\rho_\alpha\omega \ne 0$ となる添字は有限個 $\alpha_1,\ldots,\alpha_N$ です。$\eta := \sum_{i=1}^N \rho_{\alpha_i}$ と置くと $K$ の近傍で $\eta \equiv 1$、したがって $\omega = \sum_i \rho_{\alpha_i}\omega$ かつ

$$d\omega = d\Big(\sum_i \rho_{\alpha_i}\omega\Big) = \sum_i d(\rho_{\alpha_i}\omega)$$

です（有限和なので $d$ が分配できます）。積分の線形性より、$\omega$ が 1 つのチャートにコンパクトな台を持つ場合に定理を示せば十分です。

第 2 段：チャートの向きの正規化。 $(U,\varphi)$ を $\operatorname{supp}\omega$ を含む連結チャートとします。$\varphi$ が負のチャートである場合、定理の両辺はともに $-1$ 倍されます。実際、$\int_M$ の定義には $\varepsilon(\varphi)$ が掛かっています。また $\varphi$ が向きを逆にするとき、$\varphi$ は外向きベクトルを外向きベクトルに写す（定義 4.5 の直後で見たとおり、境界チャートは $x^n$ 成分の符号を保つ）ので、$(\nu,v_1,\ldots,v_{n-1})$ の向きが逆転することは $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ の誘導された向きが逆転することと同じで、$\int_{\partial M}$ も $-1$ 倍されます。したがって等式の成否は変わらないので、以下 $\varphi$ は正のチャートとしてよいことになります。以後、$\varphi(U) = \hat U$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合（内部チャート）または $\mathbb{H}^n$ の開集合（境界チャート）とし、$\mathbb{R}^n$ には標準の向き $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ を与えます。

第 3 段：$\mathbb{H}^n$ の境界の誘導された向き。 $p \in \partial\mathbb{H}^n$ で外向きベクトルは $\nu = -e_n$ です（$dx^n(-e_n) = -1 < 0$）。$(e_1,\ldots,e_{n-1})$ が $\partial\mathbb{H}^n \cong \mathbb{R}^{n-1}$ の誘導された向きで正かどうかは

$$\det(-e_n, e_1,\ldots,e_{n-1}) = -\,(-1)^{n-1}\det(e_1,\ldots,e_n) = (-1)^{n}$$

の符号で決まります。すなわち誘導された向きは $\mathbb{R}^{n-1}$ の標準の向きの $(-1)^n$ 倍です。$n=1$ のときは $\varepsilon(0) = -1$ と読みます。

第 4 段：局所計算。 $\hat U \subset \mathbb{H}^n$（境界チャート）の場合を計算します。内部チャートの場合は $\hat U \subset \mathbb{R}^n$ で、以下の計算のうち境界項が現れないだけです。$(\varphi^{-1})^{*}\omega$ を $\mathbb{R}^n$ 全体に $0$ 拡張して

$$(\varphi^{-1})^{*}\omega = \sum_{i=1}^{n} f_i\, dx^1\wedge\cdots\wedge \widehat{dx^i}\wedge\cdots\wedge dx^n$$

と書きます（$\widehat{\ \cdot\ }$ は除く記号、$f_i$ はコンパクトな台を持つ $C^\infty$ 関数）。外微分を取ると、$dx^j \wedge dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^i}\cdots\wedge dx^n$ は $j \ne i$ なら重複により $0$、$j = i$ なら $dx^i$ を $i-1$ 回の互換で第 $i$ 位置に移して

$$d\big((\varphi^{-1})^{*}\omega\big) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n .$$

$(\varphi^{-1})^{*}$ と $d$ が可換なので、これは $(\varphi^{-1})^{*}(d\omega)$ に等しく、

$$\int_M d\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\int_{\mathbb{H}^n}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\,dx .$$

$i < n$ の項を見ます。フビニの定理（定理 4.2）［重積分と累次積分］ で $x^i$ について先に積分すると、$f_i$ はコンパクトな台を持つので $R$ を十分大きく取って

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial f_i}{\partial x^i}\,dx^i = \big[f_i\big]_{x^i=-R}^{x^i=R} = 0 - 0 = 0 .$$

（ここで $x^i$ の積分範囲が $\mathbb{R}$ 全体であることを使いました。制約 $x^n \ge 0$ は $i < n$ の変数には効きません。）よって $i < n$ の項はすべて消えます。

$i = n$ の項は、$x^n$ を $0$ から $\infty$ まで積分して

$$\int_0^{\infty}\frac{\partial f_n}{\partial x^n}\,dx^n = 0 - f_n(x',0), \qquad x' = (x^1,\ldots,x^{n-1}),$$

なので

$$\int_M d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\big(-f_n(x',0)\big)\,dx' = (-1)^{n}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} f_n(x',0)\,dx' .$$

第 5 段：境界側。 $\partial\mathbb{H}^n$ 上では $x^n$ は恒等的に $0$ なので、包含写像による引き戻しで $dx^n \mapsto 0$ です。よって $i < n$ の項（いずれも因子 $dx^n$ を含む）は消え、

$$j^{*}\big((\varphi^{-1})^{*}\omega\big) = f_n(x',0)\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1}$$

が残ります。第 3 段より $\partial\mathbb{H}^n$ の誘導された向きは標準の向きの $(-1)^n$ 倍なので、定義 5.1 の $\varepsilon$ は $(-1)^n$ で、

$$\int_{\partial M} j^{*}\omega = (-1)^n \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f_n(x',0)\,dx' .$$

第 4 段の結果と一致します。

内部チャートの場合は $\hat U$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合で、$i = n$ の項も $\int_{-\infty}^{\infty}\partial f_n/\partial x^n\,dx^n = 0$ となるため $\int_M d\omega = 0$ であり、$\operatorname{supp}\omega \cap \partial M = \varnothing$ なので右辺も $0$ です。以上で証明が終わります。

∎

系 6.2（閉多様体上での消滅）✓

$M$ をコンパクトで境界を持たない向き付けられた $n$ 次元多様体とすると、任意の $\alpha \in \Omega^{n-1}(M)$ に対し $\int_M d\alpha = 0$ である。したがって $M$ 上の向きの形式 $\mu$（$\int_M \mu \ne 0$）は完全形式（閉形式と完全形式（定義 6.4）［ベクトル場と微分形式］）ではなく、$n$ 次ド・ラーム・コホモロジーは $H^n_{\mathrm{dR}}(M) \ne 0$ を満たす。

証明（系 6.2）

$M$ がコンパクトなので $\alpha$ の台は自動的にコンパクトであり、$\partial M = \varnothing$ に 定理 6.1 を適用して $\int_M d\alpha = 0$ を得ます。

後半。$\mu$ を向きの形式とし、$M$ の向きを $\mu$ が正となるように取ります。$M$ を正のチャートで覆い 1 の分割 $\{\rho_\alpha\}$ を取ると、各 $\int_M \rho_\alpha\mu$ は正の被積分関数の積分なので $\ge 0$ で、少なくとも一つは正です。よって $\int_M\mu > 0$。もし $\mu = d\alpha$ なら前半に矛盾します。$d\mu = 0$（$n+1$ 形式は $0$）なので $\mu$ は閉形式であり、非完全な閉 $n$ 形式が存在することから $H^n_{\mathrm{dR}}(M)\ne 0$ です。

∎

7. 古典的な積分定理はすべて特別な場合

一般化ストークスの定理と古典的定理の関係

7.1. 微分積分学の基本定理

$M = [a,b]$ は $1$ 次元境界付き多様体で、標準の向き（$dx$ が正）を入れます。$\partial M = \{a,b\}$ で、$b$ における外向きベクトルは $+\partial_x$ 方向なので $\varepsilon(b) = +1$、$a$ における外向きベクトルは $-\partial_x$ 方向なので $\varepsilon(a) = -1$ です。$\omega = f$（$0$ 形式）とすると $d\omega = f'\,dx$ であり、定理 6.1 は

$$\int_a^b f'(x)\,dx = \varepsilon(b)f(b) + \varepsilon(a)f(a) = f(b) - f(a)$$

を与えます。左辺は 定義 5.1 により通常のリーマン積分そのものです。詳しくは 積分の基本定理と定積分、とくに 微分積分学の基本定理（第二部）（定理 5.4）［積分の基本定理と定積分］ を参照してください。

7.2. グリーンの定理

$D \subset \mathbb{R}^2$ を $C^\infty$ 級境界を持つコンパクト領域、$\mathbb{R}^2$ の標準の向き $dx\wedge dy$ を入れます。$\partial D$ の誘導された向きは、定理 6.1 の証明第 3 段の計算で $n = 2$ とすると $(-1)^2 = +1$、すなわち $\mathbb{H}^2$ の場合に $x$ 軸を $+x$ 方向に進む向きです。一般の点では「外向きベクトル $\nu$ を先に置いて $(\nu, t)$ が正」となる接方向 $t$、つまり**領域を左手に見て進む向き（反時計回り）**です。

$\omega = P\,dx + Q\,dy$ とすると

$$d\omega = \frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx + \frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy$$

なので、定理 6.1 はそのままグリーンの定理です。

7.3. ガウスの発散定理

内部積 $\iota_{\boldsymbol{X}}\mathrm{vol}$ は、ベクトル場を体積形式の最初の引数に代入して、次数を 1 つ下げた形式を作る操作です。たとえば $\boldsymbol{X}=e_1$ のとき、2 つのベクトル $v, w$ に対して $\mathrm{vol}(e_1,v,w)=\det(e_1,v,w)=v_2w_3-v_3w_2$ で、これは $(dy\wedge dz)(v,w)$ に等しくなります。同様に $e_2$ なら $dz\wedge dx$、$e_3$ なら $dx\wedge dy$ となり、$\boldsymbol{X}=Pe_1+Qe_2+Re_3$ について線形に足したものが、次の式の $P\,dy\wedge dz + Q\,dz\wedge dx + R\,dx\wedge dy$ です。

$\Omega \subset \mathbb{R}^3$ を $C^\infty$ 級境界を持つコンパクト領域、$\boldsymbol{X} = (P,Q,R)$ を $\Omega$ の近傍上の $C^\infty$ 級ベクトル場とします。体積形式 $\mathrm{vol} = dx\wedge dy\wedge dz$ に対して

$$\omega := \iota_{\boldsymbol{X}}\,\mathrm{vol} = P\,dy\wedge dz + Q\,dz\wedge dx + R\,dx\wedge dy$$

と置きます（内部積の定義に $\mathrm{vol}$ の交代性を使えば直接得られます）。外微分は

$$d\omega = \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz = (\operatorname{div}\boldsymbol{X})\,\mathrm{vol}$$

です。実際 $d(P\,dy\wedge dz) = P_x\,dx\wedge dy\wedge dz$（他の項は重複で消える）、同様に他の二項も同じ形になります。

境界側を書き直します。$p \in \partial\Omega$ で単位外向き法ベクトルを $\boldsymbol{\nu}$、$\partial\Omega$ の（誘導された向きに関する）面積形式を $dA$ とします。$\boldsymbol{X}$ を法成分と接成分に分けて $\boldsymbol{X} = \langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{\nu}\rangle\boldsymbol{\nu} + \boldsymbol{X}^{\top}$ と書くと、$T_p\partial\Omega$ のベクトル $v_1,v_2$ に対し

$$(\iota_{\boldsymbol{X}^{\top}}\mathrm{vol})(v_1,v_2) = \mathrm{vol}(\boldsymbol{X}^{\top},v_1,v_2) = 0$$

です。$\boldsymbol{X}^{\top}, v_1, v_2$ が 2 次元空間 $T_p\partial\Omega$ の 3 本のベクトルで一次従属だからです。残る成分については、$(v_1,v_2)$ を $T_p\partial\Omega$ の正の正規直交基底とすると $(\boldsymbol{\nu},v_1,v_2)$ は $\mathbb{R}^3$ の正の正規直交基底なので $\mathrm{vol}(\boldsymbol{\nu},v_1,v_2) = 1 = dA(v_1,v_2)$。したがって

$$j^{*}\omega = \langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{\nu}\rangle\,dA$$

であり、定理 6.1 は発散定理

$$\iiint_\Omega \operatorname{div}\boldsymbol{X}\,dV = \iint_{\partial\Omega}\langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{\nu}\rangle\,dA$$

になります。ここで「$(\boldsymbol{\nu},v_1,v_2)$ が正」となるのは 定義 4.5 の外向きベクトル先頭の規約そのものです。

7.4. 古典的ストークスの定理（回転定理）

$S \subset \mathbb{R}^3$ を境界付きのコンパクトな向き付けられた曲面、単位法ベクトル場を $\boldsymbol{n}$（向きを定めるもの）とします。ベクトル場 $\boldsymbol{X} = (P,Q,R)$ に双対な 1 形式 $\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ を取ると

$$d\omega = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\wedge dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\wedge dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy = \iota_{\operatorname{rot}\boldsymbol{X}}\,\mathrm{vol}$$

です。7.3 と同じ計算（$\boldsymbol{n}$ を法ベクトルの役として使う）により $j_S^{*}(\iota_{\operatorname{rot}\boldsymbol{X}}\mathrm{vol}) = \langle\operatorname{rot}\boldsymbol{X},\boldsymbol{n}\rangle\,dA$ です。また $\partial S$ 上では $j^{*}\omega = \langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{t}\rangle\,ds$（$\boldsymbol{t}$ は誘導された向きの単位接ベクトル、$ds$ は弧長要素）です。よって

$$\iint_S \langle\operatorname{rot}\boldsymbol{X},\boldsymbol{n}\rangle\,dA = \oint_{\partial S}\langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{t}\rangle\,ds .$$

誘導された向きは「$\boldsymbol{n}$ の側から見て曲面を左手に見ながら進む」向き、いわゆる右ねじの規則になります。

例 7.1（上半球面での検証）

$S = \{(x,y,z)\in S^2 : z \ge 0\}$ に 命題 3.3 の外向き法線の向きを入れ、$\omega = x\,dy$ とします。

左辺。 $d\omega = dx\wedge dy$。射影 $(x,y,z)\mapsto(x,y)$ は $S$ の内部から単位開円板 $D$ への微分同相で、対応する接ベクトルは $\partial_x \mapsto (1,0,z_x)$、$\partial_y\mapsto(0,1,z_y)$（$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$）です。北極 $(0,0,1)$ でこれは $(e_1,e_2)$ であり、法線 $e_3$ を先頭に置いた $(e_3,e_1,e_2)$ は $\mathbb{R}^3$ の正の基底なので、このチャートは正のチャートです。よって

$$\int_S dx\wedge dy = \iint_D 1\,dx\,dy = \pi .$$

右辺。 $\partial S$ は単位円 $\{(\cos t,\sin t,0)\}$ です。点 $(1,0,0)$ で $S$ から外へ出る接ベクトルは $-e_3$ 方向で、$T_pS^2$ の向きは「$(e_1, \cdot,\cdot)$ が正」で定まるので、$v = e_2$ が正であるかは $\det(e_1,-e_3,e_2) = -\det(e_1,e_3,e_2) = 1 > 0$ で判定でき、正です。したがって誘導された向きは $t$ の増加方向（上から見て反時計回り）です。

$$\oint_{\partial S} x\,dy = \int_0^{2\pi}\cos t\cdot \cos t\,dt = \int_0^{2\pi}\frac{1+\cos 2t}{2}dt = \pi .$$

両辺が一致しました。

例 7.2（単位球での発散定理）

$\Omega = \{|p| \le 1\}\subset\mathbb{R}^3$、$\boldsymbol{X}(p) = p = (x,y,z)$ とします。$\operatorname{div}\boldsymbol{X} = 1+1+1 = 3$ なので

$$\iiint_\Omega \operatorname{div}\boldsymbol{X}\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3 = 4\pi .$$

一方 $\partial\Omega = S^2$ 上で外向き単位法ベクトルは $\boldsymbol{\nu}(p) = p$ なので $\langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{\nu}\rangle = |p|^2 = 1$、したがって

$$\iint_{S^2}\langle\boldsymbol{X},\boldsymbol{\nu}\rangle\,dA = \operatorname{Area}(S^2) = 4\pi .$$

一致します。ついでに、この式は「$n$ 次元単位球の体積 $V_n$ と単位球面の面積 $A_{n-1}$ の関係 $A_{n-1} = n V_n$」を与えます（$\boldsymbol{X} = p$、$\operatorname{div} = n$ とすればよい）。

注意 7.3

グリーンの定理を正方形 $[0,1]^2$ で使う場合、角があるので 定義 4.1 の意味の境界付き多様体ではありません。しかし角の集合は $(n-1)$ 次元測度 $0$ なので、角を丸めた近似列を取るか、「角付き多様体 (manifold with corners)」の枠組みに一般化することで 定理 6.1 がそのまま成り立ちます。区分的 $C^1$ 境界を持つ領域まで含めた形は古典的な教科書に整備されています。

8. 応用：レトラクションの非存在

積分定理が純粋に位相的な結論を与える例を一つ挙げます。$D^n = \{x\in\mathbb{R}^n : |x|\le 1\}$、$S^{n-1} = \partial D^n$ とします。

定理 8.1（滑らかなレトラクションの非存在）✓

$n \ge 1$ とする。$C^\infty$ 級写像 $r : D^n \to S^{n-1}$ で $r|_{S^{n-1}} = \mathrm{id}_{S^{n-1}}$ となるものは存在しない。

証明（定理 8.1）

$n = 1$ のときは $D^1 = [-1,1]$ が連結、$S^0 = \{-1,1\}$ が非連結で、連結集合の連続像は連結（連結集合の連続像（定理 5.1）［連結性］）なので $r$ の像は一点、$r|_{S^0}=\mathrm{id}$ に反します。以下 $n \ge 2$ とします。

$S^{n-1}$ はコンパクトで向き付け可能（命題 3.3）なので、向きの形式 $\mu \in \Omega^{n-1}(S^{n-1})$ を取り、系 6.2 の証明より $c := \int_{S^{n-1}}\mu > 0$、特に $c \ne 0$ です。

そのような $r$ があると仮定します。$r^{*}\mu \in \Omega^{n-1}(D^n)$ を考えると、$D^n$ はコンパクトなので台はコンパクトです。引き戻しと外微分の可換性から

$$d(r^{*}\mu) = r^{*}(d\mu) = 0 .$$

$d\mu$ は $(n-1)$ 次元多様体 $S^{n-1}$ 上の $n$ 形式なので $0$ だからです。定理 6.1 を $M = D^n$、$\omega = r^{*}\mu$ に適用すると

$$0 = \int_{D^n} d(r^{*}\mu) = \int_{S^{n-1}} j^{*}(r^{*}\mu) = \int_{S^{n-1}} (r\circ j)^{*}\mu .$$

仮定 $r|_{S^{n-1}} = \mathrm{id}$ は $r\circ j = \mathrm{id}_{S^{n-1}}$ を意味するので、右辺は $\int_{S^{n-1}}\mu = c \ne 0$。矛盾です。

∎

注意 8.2

この定理から、連続写像に対する近似（ストーン・ワイエルシュトラスの定理などで $C^\infty$ 近似を作る）を経由して、連続なレトラクションも存在しないことが従い、さらにブラウワーの不動点定理（$D^n$ の任意の連続自己写像は不動点を持つ）が導かれます。不動点を持たない $f$ があれば、$x$ から $f(x)$ を通らずに $x$ 側へ伸ばした半直線と $S^{n-1}$ の交点を対応させることでレトラクションが作れるからです。詳細は Milnor の Topology from the Differentiable Viewpoint を参照してください。

ヒント

一般相対論では、時空 $(M,g)$ がキリングベクトル場 $\xi$ を持つとき、エネルギー・運動量テンソルから作った流れ $J^\mu = T^{\mu\nu}\xi_\nu$ が $\nabla_\mu J^\mu = 0$ を満たし、対応する 3 形式に 定理 6.1 を適用すると保存量が得られます（キリングベクトル場が無い一般の時空では、$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ だけから大域的な保存量は出ません）。電磁気学のマクスウェル方程式は 2 形式 $F$ を用いて $dF = 0$、$d\star F = \star J$ と書け、$\int_{\partial\Omega} F = 0$ が磁束の保存を、$\int_{\partial\Omega}\star F$ の計算がガウスの法則を与えます。曲がった時空でも成立する形で法則を書けるのが、微分形式を使う実用的な利点です。

9. 演習

演習 9.1易

$M = [0,1]\times[0,1] \subset \mathbb{R}^2$ に標準の向きを入れ、$\omega = xy\,dx + x^2\,dy$ とする。$\int_M d\omega$ と $\oint_{\partial M}\omega$ をそれぞれ直接計算し、一致することを確かめよ（角の扱いは 注意 7.3 による）。

解答

まず $d\omega = d(xy)\wedge dx + d(x^2)\wedge dy = (y\,dx + x\,dy)\wedge dx + 2x\,dx\wedge dy = -x\,dx\wedge dy + 2x\,dx\wedge dy = x\,dx\wedge dy$。よって

$$\int_M d\omega = \int_0^1\!\!\int_0^1 x\,dx\,dy = \frac{1}{2}.$$

境界は反時計回り（7.2 節）です。4 辺を順に計算します。

• 下辺 $y=0$、$x: 0\to 1$。$dy = 0$ なので $\int_0^1 x\cdot 0\,dx = 0$。
• 右辺 $x=1$、$y: 0\to 1$。$dx = 0$ なので $\int_0^1 1^2\,dy = 1$。
• 上辺 $y=1$、$x: 1\to 0$。$dy=0$ なので $\int_1^0 x\cdot 1\,dx = -\frac{1}{2}$。
• 左辺 $x=0$、$y: 1\to 0$。$dx=0$、$x^2 = 0$ なので $0$。

合計 $0 + 1 - \frac12 + 0 = \frac12$ で、$\int_M d\omega$ と一致します。

演習 9.2標準

$D\subset\mathbb{R}^2$ を $C^\infty$ 級境界を持つコンパクト領域とする。定理 6.1 を使って

$$\operatorname{Area}(D) = \frac{1}{2}\oint_{\partial D}\big(x\,dy - y\,dx\big)$$

を示し、これを楕円 $x^2/a^2 + y^2/b^2 \le 1$（$a,b>0$）に適用して面積を求めよ。

解答

$\omega = \frac12(x\,dy - y\,dx)$ と置くと

$$d\omega = \tfrac12\big(dx\wedge dy - dy\wedge dx\big) = \tfrac12\big(dx\wedge dy + dx\wedge dy\big) = dx\wedge dy .$$

$D$ はコンパクトなので $\omega$ の台もコンパクトで、定理 6.1 より $\iint_D dx\,dy = \oint_{\partial D}\omega$。左辺は標準の向きでの面積です。

楕円の境界を $x = a\cos t$、$y = b\sin t$（$t: 0\to 2\pi$、反時計回りで誘導された向きに一致）と径数付けると $dx = -a\sin t\,dt$、$dy = b\cos t\,dt$ なので

$$x\,dy - y\,dx = \big(ab\cos^2 t + ab\sin^2 t\big)dt = ab\,dt .$$

よって面積は $\frac12\int_0^{2\pi} ab\,dt = \pi ab$ です。

演習 9.3標準

$M$ をコンパクトで境界を持たない向き付けられた $n$ 次元多様体、$\alpha\in\Omega^{p}(M)$、$\beta\in\Omega^{n-p-1}(M)$ とする。このとき

$$\int_M d\alpha\wedge\beta = (-1)^{p+1}\int_M \alpha\wedge d\beta$$

が成り立つことを示せ（多様体上の部分積分）。

解答

$\alpha\wedge\beta$ は $(n-1)$ 形式で、外微分のライプニッツ則（第 2 節、$\alpha$ の次数が $p$）より

$$d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta + (-1)^{p}\,\alpha\wedge d\beta .$$

$M$ はコンパクトなので $\alpha\wedge\beta$ の台はコンパクトであり、$\partial M = \varnothing$ に 系 6.2 を適用すると $\int_M d(\alpha\wedge\beta) = 0$。積分の線形性から

$$0 = \int_M d\alpha\wedge\beta + (-1)^{p}\int_M \alpha\wedge d\beta ,$$

すなわち $\int_M d\alpha\wedge\beta = -(-1)^{p}\int_M\alpha\wedge d\beta = (-1)^{p+1}\int_M\alpha\wedge d\beta$ です。

演習 9.4難

$U\subset\mathbb{R}^2$ を開集合、$\omega$ を $U$ 上の閉 1 形式（$d\omega = 0$）とする。$C^\infty$ 級写像 $F : S^1\times[0,1] \to U$ が与えられ、$\gamma_0(\theta) = F(\theta,0)$、$\gamma_1(\theta) = F(\theta,1)$ とする。このとき

$$\oint_{\gamma_0}\omega = \oint_{\gamma_1}\omega$$

を示せ。（ヒント：円柱 $C = S^1\times[0,1]$ は境界付き 2 次元多様体で、$\partial C$ は二つの円からなる。）

解答

$C = S^1\times[0,1]$ に、$S^1$ の標準の向き（$d\theta$ が正）と $[0,1]$ の標準の向きから積の向き $d\theta\wedge dt$ を入れます。$C$ はコンパクトな 2 次元境界付き多様体で、$\partial C = (S^1\times\{0\})\cup(S^1\times\{1\})$ です。

誘導された向きを求めます。$t = 1$ の側では外向きベクトルは $+\partial_t$ です。$(\partial_t, v)$ が正、すなわち $(d\theta\wedge dt)(\partial_t, v) > 0$ となる $v = c\,\partial_\theta$ を探すと、$(d\theta\wedge dt)(\partial_t,\partial_\theta) = -1$ なので $c < 0$。よって $S^1\times\{1\}$ の誘導された向きは $\theta$ の減少方向です。$t = 0$ の側では外向きベクトルは $-\partial_t$ なので符号が逆転し、$\theta$ の増加方向になります。

$\eta := F^{*}\omega \in \Omega^1(C)$ と置くと、引き戻しと外微分の可換性から $d\eta = F^{*}(d\omega) = 0$。$C$ はコンパクトなので $\eta$ の台はコンパクトです。定理 6.1 より

$$0 = \int_C d\eta = \int_{\partial C} j^{*}\eta = \int_{S^1\times\{0\}} j^{*}\eta + \int_{S^1\times\{1\}} j^{*}\eta .$$

$S^1\times\{0\}$ 上では $j\circ(\theta\mapsto(\theta,0))$ を通じて $j^{*}\eta$ は $\gamma_0^{*}\omega$ に一致し、向きは $\theta$ の増加方向なので第 1 項は $\oint_{\gamma_0}\omega$。第 2 項は向きが $\theta$ の減少方向なので $-\oint_{\gamma_1}\omega$。したがって $\oint_{\gamma_0}\omega - \oint_{\gamma_1}\omega = 0$ です。

これは「閉 1 形式の線積分は滑らかにホモトピックな閉曲線に対して等しい」というポアンカレの補題（定理 3.4［de Rham コホモロジー］）の大域版であり、複素解析のコーシーの積分定理の幾何的な内容にあたります。

参考文献

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013 — 第 15 章（向き付け）、第 16 章（積分とストークスの定理）。本記事の構成はこの本の流れにおおむね沿っています。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965 — 第 4 章・第 5 章。ユークリッド空間内の連鎖と多様体の双方でストークスの定理を扱う古典的な小著。
• John W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, 1965（改訂版は Princeton University Press, 1997）— レトラクションの非存在とブラウワーの不動点定理の微分位相幾何的な扱い。
• Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982 — 第 1 章。積分とド・ラーム・コホモロジーの双対性（ド・ラームの定理、ポアンカレ双対性）への接続。
• 松本幸夫『多様体の基礎』東京大学出版会、1988 — 多様体・接空間・向き付けの導入部分を日本語で丁寧に追える。
• 森田茂之『微分形式の幾何学』岩波書店、2005 — 微分形式、積分、ド・ラーム理論の日本語による標準的な教科書。

Appendix: 1 の分割の存在について

本文で繰り返し使った 1 の分割の存在を、証明の骨組みだけ示します。

バンプ関数。 $f(s) = e^{-1/s}$（$s>0$）、$f(s)=0$（$s\le 0$）は $\mathbb{R}$ 上 $C^\infty$ です。これを使って $h(s) = f(s)/\big(f(s)+f(1-s)\big)$ と置くと $h$ は $C^\infty$ で、$s\le 0$ で $0$、$s\ge 1$ で $1$、その間で $[0,1]$ に値を取ります。さらに $H(x) = h\big(2-|x|^2\big)$ は $\mathbb{R}^n$ 上 $C^\infty$ で、$|x|\le 1$ で $1$、$|x|\ge\sqrt{2}$ で $0$ です。これが「与えられた閉球上で $1$、少し大きい球の外で $0$」というバンプ関数です。

枯渇列と局所有限な細分。 $M$ は局所コンパクト・ハウスドルフ・第二可算なので、コンパクト集合の列 $K_1\subset \operatorname{Int}K_2 \subset K_2 \subset\cdots$ で $\bigcup_i K_i = M$ となるもの（枯渇列）が取れます。各差集合 $K_{i+1}\setminus\operatorname{Int}K_i$ はコンパクトなので、与えられた開被覆 $\{U_\alpha\}$ に細分される有限個の座標球でこれを覆い、対応するバンプ関数を集めることで、局所有限な非負 $C^\infty$ 関数族 $\{\psi_k\}$ で各点の近傍では有限個しか $0$ でなく、$\Psi := \sum_k \psi_k$ が至るところ正となるものが得られます。

正規化。 $\tilde\rho_k := \psi_k/\Psi$ と置けば $\sum_k\tilde\rho_k \equiv 1$ です。最後に、各 $k$ に対して $\operatorname{supp}\psi_k \subset U_{\alpha(k)}$ となる添字 $\alpha(k)$ を選び、$\rho_\alpha := \sum_{\alpha(k)=\alpha}\tilde\rho_k$ とまとめれば、被覆 $\{U_\alpha\}$ に従属する 1 の分割になります。境界付き多様体でも、モデル空間を $\mathbb{H}^n$ に取り替えるだけで同じ議論が通ります。詳細は Lee の Introduction to Smooth Manifolds 第 2 章にあります。