ストークスの定理：微分と境界の双対性

0. この記事の要点

• $n$ 次元多様体の上で $n$ 形式を積分するには向きが必要です。向き付け可能性は「至るところ消えない $n$ 形式が存在すること」と「座標変換のヤコビ行列式がつねに正となるアトラスが取れること」の二つの言い換えを持ちます。
• 境界付き多様体 $M$ の境界 $\partial M$ は $(n-1)$ 次元多様体であり、$M$ の向きから「外向きベクトルを先頭に置く」という規約で $\partial M$ の向きが一意に決まります。
• 積分は「1 つのチャートに台を持つ形式の積分」を定義し、1 の分割で貼り合わせて作ります。座標変換のヤコビ行列式が正であることが、この貼り合わせが矛盾しない理由です。
• 一般化されたストークスの定理は、$M$ を向き付けられた $n$ 次元境界付き多様体、$\omega$ をコンパクトな台を持つ $C^\infty$ 級 $(n-1)$ 形式とするとき $\int_M d\omega = \int_{\partial M} j^{*}\omega$（$j$ は包含写像）と述べます。外微分 $d$ と境界作用素 $\partial$ が積分を仲立ちとして双対であることを言っています。
• 微分積分学の基本定理、グリーンの定理、ガウスの発散定理、古典的ストークスの回転定理は、$n = 1, 2, 3$ と形式の取り方を指定した特別な場合です。
• 系として「円板から球面への $C^\infty$ 級レトラクションは存在しない」が出ます。積分定理が位相的な結論を導く典型例です。

1. 動機

微分積分学を一通り学ぶと、よく似た形の定理が三つ四つ並ぶことに気づきます。

$$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a),$$ $$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy),$$ $$\iiint_\Omega \operatorname{div} \boldsymbol{X}\,dV = \iint_{\partial \Omega} \langle \boldsymbol{X}, \boldsymbol{\nu}\rangle\,dA .$$

どれも「領域の内部での微分の積分」が「境界での値の積分」に等しい、と言っています。左辺には微分が現れ、右辺には境界が現れる。次元も、積分の種類も、微分の種類（$f'$、回転、発散）も違うのに、形だけが執拗に一致します。

19 世紀にはこれらは別々の定理として発見されました。グリーンは 1828 年にポテンシャル論の論文で二次元の公式を、オストログラツキーとガウスは発散定理を、ケルヴィンはストークスに宛てた 1850 年の手紙で回転定理を書いています（後者はケンブリッジの試験問題として出題されたため「ストークスの定理」と呼ばれるようになりました）。統一が完成したのはエリー・カルタンが微分形式と外微分を整備した後、20 世紀に入ってからです。

統一の鍵は、次の三つを認めることです。

1. 積分される対象は「関数」ではなく $k$ 形式である。$\int_a^b f\,dx$ の $dx$ は記号ではなく 1 形式そのものです。
2. 三種類の微分（勾配・回転・発散）は、次数を 1 つ上げる唯一の作用素 $d$ の、$n = 3$ における三つの化身にすぎない。
3. 「境界を取る」操作 $\partial$ と「外微分を取る」操作 $d$ は、積分という双一次形式に関して互いに随伴である。

三つ目が本記事の主題です。記号で書けば

$$\langle d\omega, M\rangle = \langle \omega, \partial M\rangle, \qquad \langle \alpha, N\rangle := \int_N \alpha .$$

この式が意味を持つためには、多様体の上で形式を積分する方法を定義しなければなりません。ところが $\int f\,dx$ と $\int f\,dy$ を座標変換で結ぶには重積分の変数変換公式が要り、そこにはヤコビ行列式の絶対値が現れます。絶対値を外して符号を統一する仕組み、それが向き付けです。したがって話は順に、向き付け、境界付き多様体、積分の構成、そして定理本体、という順序になります。

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