二つの群を比べるとき、積の計算を保ったまま片方からもう片方へ写す写像があると便利です。この記事では、そのような写像によって何が捨てられ、何が残るのかを調べます。読み終えると、「割り算」で作った群が実は見慣れた群と同じものだ、と見抜けるようになります。
群準同型 f : G → H f \colon G \to H f : G → H
核 Ker f \operatorname{Ker} f Ker f G G G 正規部分群 、像 Im f \operatorname{Im} f Im f H H H 部分群 です。逆に、任意の正規部分群はある準同型の核として現れます。つまり「正規部分群」と「準同型の核」は同じものの表と裏です。
f f f Ker f = { e G } \operatorname{Ker} f = \{e_G\} Ker f = { e G } f f f 準同型定理 ：G / Ker f ≅ Im f G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f G / Ker f ≅ Im f f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) x Ker f = y Ker f x\operatorname{Ker} f = y\operatorname{Ker} f x Ker f = y Ker f 応用すると G L n ( K ) / S L n ( K ) ≅ K × GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^{\times} G L n ( K ) / S L n ( K ) ≅ K × S n / A n ≅ Z / 2 Z S_n/A_n \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S n / A n ≅ Z /2 Z R / Z \mathbb{R}/\mathbb{Z} R / Z
G G G ∣ G ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ |G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f| ∣ G ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ H H H ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ 共通の 約数になります。
左剰余類 : 部分群 K K K x x x x K xK x K G G G 左剰余類 正規部分群 : どの g g g 正規部分群 商群 : 正規部分群 N N N ( x N ) ( y N ) = x y N (xN)(yN) = xyN ( x N ) ( y N ) = x y N 正規部分群と商群 well-defined（代表元の取り方によらず定まる） : 剰余類 x N xN x N x x x 正規部分群と商群 前章までで、部分群・剰余類・正規部分群 ・商群を作ってきました。商群 G / N G/N G / N N N N そうやって抽象的に作った群は、いったい何者なのか 、という疑問です。Z / 12 Z \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} Z /12 Z G L 2 ( R ) / S L 2 ( R ) GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R}) G L 2 ( R ) / S L 2 ( R )
この章の主定理である準同型定理 は、この問いに一般的な答えを与えます。乱暴に言えばこうです。
商群 G / N G/N G / N N N N 見慣れた群への全射 を 1 本見つけよ。G / N G/N G / N
G L 2 ( R ) / S L 2 ( R ) GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R}) G L 2 ( R ) / S L 2 ( R ) det \det det R × \mathbb{R}^{\times} R × 0 0 0
動機はもう一つあります。二つの群が「同じ」とはどういうことか という問いです。集合としての大きさだけでは足りません。Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z /4 Z Z / 2 Z × Z / 2 Z \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} Z /2 Z × Z /2 Z 4 4 4 4 4 4 1 ˉ \bar{1} 1 ˉ ( 1 ˉ , 0 ˉ ) , ( 0 ˉ , 1 ˉ ) , ( 1 ˉ , 1 ˉ ) (\bar1,\bar0), (\bar0,\bar1), (\bar1,\bar1) ( 1 ˉ , 0 ˉ ) , ( 0 ˉ , 1 ˉ ) , ( 1 ˉ , 1 ˉ ) 2 2 2 積の表 であり、積の表を保つ全単射こそが「同じ」の正しい定義になります。
そして、積を保つ写像は全単射でなくても意味を持ちます。整数を偶奇に潰す、行列を行列式 に潰す、置換を符号に潰す。どれも情報を捨てていますが、捨て方が積と整合しているので、潰した先にもまた群の構造が残ります。捨てられた情報の全体がちょうど核 であり、準同型定理は「捨てたぶんだけ商にとれば、残るのは像そのもの」という一種の保存則になっています。
群・環・加群に共通するこの形の定理群が現在の姿に整理されたのは、E. ネーターの 1920 年代の仕事によるとされ、今日でも「ネーターの同型定理」と呼ばれます。この記事で扱うのはその第一（準同型定理）と第三で、第二は演習に回します。
記号を確認します。群 G G G e G e_G e G e e e K K K G G G K ≤ G K \le G K ≤ G N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G Z \mathbb{Z} Z N = { 1 , 2 , … } \mathbb{N} = \{1,2,\ldots\} N = { 1 , 2 , … }
前章 正規部分群と商群 と 部分群と剰余類（ラグランジュの定理） から、次の事実を断りなく使います。証明の各所で参照するので、ここに並べておきます。
部分群の判定法 （命題 3.3［部分群と剰余類］ ）：K ⊆ G K \subseteq G K ⊆ G a , b ∈ K ⟹ a b − 1 ∈ K a, b \in K \implies ab^{-1} \in K a , b ∈ K ⟹ a b − 1 ∈ K K ≤ G K \le G K ≤ G 左剰余類 （補題 5.2［部分群と剰余類］ ）：x , y ∈ G x, y \in G x , y ∈ G K ≤ G K \le G K ≤ G x K = y K ⟺ x − 1 y ∈ K xK = yK \iff x^{-1}y \in K x K = y K ⟺ x − 1 y ∈ K x ∈ x K x \in xK x ∈ x K G G G k ↦ x k k \mapsto xk k ↦ x k K K K x K xK x K ∣ x K ∣ = ∣ K ∣ |xK| = |K| ∣ x K ∣ = ∣ K ∣ 正規部分群 （定義 4.1［正規部分群と商群］ ）：N ≤ G N \le G N ≤ G N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G g ∈ G g \in G g ∈ G g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N g N = N g gN = Ng g N = N g g g g 商群 （定理 5.1［正規部分群と商群］ ）：N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G G / N = { g N : g ∈ G } G/N = \{gN : g \in G\} G / N = { g N : g ∈ G } ( x N ) ( y N ) = x y N (xN)(yN) = xyN ( x N ) ( y N ) = x y N G / N G/N G / N e N = N eN = N e N = N x N xN x N x − 1 N x^{-1}N x − 1 N 標準全射 ：π : G → G / N \pi \colon G \to G/N π : G → G / N π ( g ) = g N \pi(g) = gN π ( g ) = g N ラグランジュの定理 （定理 6.1［部分群と剰余類］ ）：G G G K ≤ G K \le G K ≤ G ∣ G ∣ = [ G : K ] ∣ K ∣ |G| = [G : K]\,|K| ∣ G ∣ = [ G : K ] ∣ K ∣ N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G ∣ G / N ∣ = ∣ G ∣ / ∣ N ∣ |G/N| = |G|/|N| ∣ G / N ∣ = ∣ G ∣/∣ N ∣
定義 3.1 （群準同型写像 ） ↗
( G , ⋅ ) (G, \cdot) ( G , ⋅ ) ( H , ∗ ) (H, \ast) ( H , ∗ ) f : G → H f \colon G \to H f : G → H
f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) ( ∀ x , y ∈ G ) f(x \cdot y) = f(x) \ast f(y) \qquad (\forall x, y \in G) f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) ( ∀ x , y ∈ G ) を満たすとき、f f f G G G H H H 群準同型写像 （または単に準同型）といいます。以後、両群の演算はどちらも並置で書きます。
条件は 1 本だけです。「G G G H H H 要求していない 点に注意してください。それらは次の命題のとおり自動的に従います（モノイドの準同型では単位元の保存を別に要求します。群では逆元の存在がこの差を埋めてくれます）。
定義 3.2 （同型写像と同型 ） ↗
準同型 f : G → H f \colon G \to H f : G → H f f f 同型写像 といいます。G G G H H H G G G H H H 同型 であるといい、G ≅ H G \cong H G ≅ H G G G G G G 自己同型 といい、その全体を Aut ( G ) \operatorname{Aut}(G) Aut ( G )
同型写像 f f f f − 1 f^{-1} f − 1 u , v ∈ H u, v \in H u , v ∈ H u = f ( x ) u = f(x) u = f ( x ) v = f ( y ) v = f(y) v = f ( y ) f ( x y ) = u v f(xy) = uv f ( x y ) = uv f − 1 ( u v ) = x y = f − 1 ( u ) f − 1 ( v ) f^{-1}(uv) = xy = f^{-1}(u)f^{-1}(v) f − 1 ( uv ) = x y = f − 1 ( u ) f − 1 ( v ) ≅ \cong ≅ G ≅ H G \cong H G ≅ H G G G H H H
命題 3.3 （準同型の基本性質 ） ✓
f : G → H f \colon G \to H f : G → H
f ( e G ) = e H f(e_G) = e_H f ( e G ) = e H すべての x ∈ G x \in G x ∈ G f ( x − 1 ) = f ( x ) − 1 f(x^{-1}) = f(x)^{-1} f ( x − 1 ) = f ( x ) − 1
すべての x ∈ G x \in G x ∈ G n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z f ( x n ) = f ( x ) n f(x^n) = f(x)^n f ( x n ) = f ( x ) n
x ∈ G x \in G x ∈ G n n n f ( x ) f(x) f ( x ) n n n K ≤ G K \le G K ≤ G f ( K ) ≤ H f(K) \le H f ( K ) ≤ H L ≤ H L \le H L ≤ H f − 1 ( L ) ≤ G f^{-1}(L) \le G f − 1 ( L ) ≤ G L ⊴ H L \trianglelefteq H L ⊴ H f − 1 ( L ) ⊴ G f^{-1}(L) \trianglelefteq G f − 1 ( L ) ⊴ G 次の証明のねらいは、「準同型は単位元・逆元・べきを自動的に保ち、部分群の像と逆像も部分群にする」ことを、定義の 1 本の式だけから順に導くことです。(5) の最後に出てくる「包含を g g g g − 1 g^{-1} g − 1
証明（命題 3.3） (1) e G e G = e G e_G e_G = e_G e G e G = e G f f f 定義 3.1 ）から f ( e G ) f ( e G ) = f ( e G ) f(e_G)f(e_G) = f(e_G) f ( e G ) f ( e G ) = f ( e G ) H H H f ( e G ) f(e_G) f ( e G ) H H H f ( e G ) − 1 f(e_G)^{-1} f ( e G ) − 1 f ( e G ) − 1 f ( e G ) f ( e G ) = e H f ( e G ) = f ( e G ) f(e_G)^{-1}f(e_G)f(e_G) = e_H f(e_G) = f(e_G) f ( e G ) − 1 f ( e G ) f ( e G ) = e H f ( e G ) = f ( e G ) f ( e G ) − 1 f ( e G ) = e H f(e_G)^{-1}f(e_G) = e_H f ( e G ) − 1 f ( e G ) = e H f ( e G ) = e H f(e_G) = e_H f ( e G ) = e H
(2) f ( x ) f ( x − 1 ) = f ( x x − 1 ) = f ( e G ) = e H f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e_G) = e_H f ( x ) f ( x − 1 ) = f ( x x − 1 ) = f ( e G ) = e H f ( x − 1 ) f ( x ) = f ( x − 1 x ) = e H f(x^{-1})f(x) = f(x^{-1}x) = e_H f ( x − 1 ) f ( x ) = f ( x − 1 x ) = e H f ( x − 1 ) f(x^{-1}) f ( x − 1 ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x − 1 ) = f ( x ) − 1 f(x^{-1}) = f(x)^{-1} f ( x − 1 ) = f ( x ) − 1
(3) まず n ≥ 0 n \ge 0 n ≥ 0 n n n n = 0 n = 0 n = 0 x 0 = e G x^0 = e_G x 0 = e G f ( x 0 ) = e H = f ( x ) 0 f(x^0) = e_H = f(x)^0 f ( x 0 ) = e H = f ( x ) 0 f ( x n ) = f ( x ) n f(x^n) = f(x)^n f ( x n ) = f ( x ) n
f ( x n + 1 ) = f ( x n x ) = f ( x n ) f ( x ) = f ( x ) n f ( x ) = f ( x ) n + 1 f(x^{n+1}) = f(x^n x) = f(x^n) f(x) = f(x)^n f(x) = f(x)^{n+1} f ( x n + 1 ) = f ( x n x ) = f ( x n ) f ( x ) = f ( x ) n f ( x ) = f ( x ) n + 1 となり、二つめの等号が準同型性、三つめが帰納法の仮定です。次に n < 0 n < 0 n < 0 m = − n > 0 m = -n > 0 m = − n > 0 x n = ( x m ) − 1 x^n = (x^m)^{-1} x n = ( x m ) − 1 f ( x n ) = f ( ( x m ) − 1 ) = f ( x m ) − 1 = ( f ( x ) m ) − 1 = f ( x ) − m = f ( x ) n f(x^n) = f((x^m)^{-1}) = f(x^m)^{-1} = (f(x)^m)^{-1} = f(x)^{-m} = f(x)^n f ( x n ) = f (( x m ) − 1 ) = f ( x m ) − 1 = ( f ( x ) m ) − 1 = f ( x ) − m = f ( x ) n
(4) x x x n n n x n = e G x^n = e_G x n = e G n n n f ( x ) n = f ( x n ) = f ( e G ) = e H f(x)^n = f(x^n) = f(e_G) = e_H f ( x ) n = f ( x n ) = f ( e G ) = e H f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) d d d n n n d d d n = q d + r n = qd + r n = q d + r 0 ≤ r < d 0 \le r < d 0 ≤ r < d
e H = f ( x ) n = ( f ( x ) d ) q f ( x ) r = f ( x ) r e_H = f(x)^n = (f(x)^d)^q f(x)^r = f(x)^r e H = f ( x ) n = ( f ( x ) d ) q f ( x ) r = f ( x ) r となり、d d d r = 0 r = 0 r = 0 d ∣ n d \mid n d ∣ n
(5) まず f ( K ) f(K) f ( K ) K ≤ G K \le G K ≤ G e G ∈ K e_G \in K e G ∈ K e H = f ( e G ) ∈ f ( K ) e_H = f(e_G) \in f(K) e H = f ( e G ) ∈ f ( K ) u , v ∈ f ( K ) u, v \in f(K) u , v ∈ f ( K ) u = f ( a ) u = f(a) u = f ( a ) v = f ( b ) v = f(b) v = f ( b ) a , b ∈ K a, b \in K a , b ∈ K
u v − 1 = f ( a ) f ( b ) − 1 = f ( a ) f ( b − 1 ) = f ( a b − 1 ) uv^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1}) u v − 1 = f ( a ) f ( b ) − 1 = f ( a ) f ( b − 1 ) = f ( a b − 1 ) であり、K ≤ G K \le G K ≤ G a b − 1 ∈ K ab^{-1} \in K a b − 1 ∈ K u v − 1 ∈ f ( K ) uv^{-1} \in f(K) u v − 1 ∈ f ( K ) f ( K ) ≤ H f(K) \le H f ( K ) ≤ H
次に f − 1 ( L ) f^{-1}(L) f − 1 ( L ) f ( e G ) = e H ∈ L f(e_G) = e_H \in L f ( e G ) = e H ∈ L e G ∈ f − 1 ( L ) e_G \in f^{-1}(L) e G ∈ f − 1 ( L ) a , b ∈ f − 1 ( L ) a, b \in f^{-1}(L) a , b ∈ f − 1 ( L ) f ( a b − 1 ) = f ( a ) f ( b ) − 1 ∈ L f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} \in L f ( a b − 1 ) = f ( a ) f ( b ) − 1 ∈ L L L L a b − 1 ∈ f − 1 ( L ) ab^{-1} \in f^{-1}(L) a b − 1 ∈ f − 1 ( L ) f − 1 ( L ) ≤ G f^{-1}(L) \le G f − 1 ( L ) ≤ G L ⊴ H L \trianglelefteq H L ⊴ H g ∈ G g \in G g ∈ G a ∈ f − 1 ( L ) a \in f^{-1}(L) a ∈ f − 1 ( L )
f ( g a g − 1 ) = f ( g ) f ( a ) f ( g ) − 1 ∈ f ( g ) L f ( g ) − 1 = L f(gag^{-1}) = f(g)f(a)f(g)^{-1} \in f(g)\,L\,f(g)^{-1} = L f ( g a g − 1 ) = f ( g ) f ( a ) f ( g ) − 1 ∈ f ( g ) L f ( g ) − 1 = L となります。ここで最初の等号は準同型性と (2)、最後の等号は L L L g a g − 1 ∈ f − 1 ( L ) gag^{-1} \in f^{-1}(L) g a g − 1 ∈ f − 1 ( L ) g f − 1 ( L ) g − 1 ⊆ f − 1 ( L ) g\,f^{-1}(L)\,g^{-1} \subseteq f^{-1}(L) g f − 1 ( L ) g − 1 ⊆ f − 1 ( L ) g g g g − 1 g^{-1} g − 1 g − 1 f − 1 ( L ) g ⊆ f − 1 ( L ) g^{-1} f^{-1}(L) g \subseteq f^{-1}(L) g − 1 f − 1 ( L ) g ⊆ f − 1 ( L ) g ⋅ ( − ) ⋅ g − 1 g \cdot (-) \cdot g^{-1} g ⋅ ( − ) ⋅ g − 1 f − 1 ( L ) ⊆ g f − 1 ( L ) g − 1 f^{-1}(L) \subseteq g f^{-1}(L) g^{-1} f − 1 ( L ) ⊆ g f − 1 ( L ) g − 1 g f − 1 ( L ) g − 1 = f − 1 ( L ) g f^{-1}(L) g^{-1} = f^{-1}(L) g f − 1 ( L ) g − 1 = f − 1 ( L ) f − 1 ( L ) ⊴ G f^{-1}(L) \trianglelefteq G f − 1 ( L ) ⊴ G
∎ 命題 3.3 の (4) は「位数が保たれる」とは言っていません。約数に落ちるだけです。実際、f : Z / 4 Z → Z / 2 Z f \colon \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} f : Z /4 Z → Z /2 Z 4 4 4 2 2 2 4 Z ⊆ 2 Z 4\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z} 4 Z ⊆ 2 Z f f f 4 4 4 1 ˉ \bar1 1 ˉ f ( 1 ˉ ) = 1 ˉ f(\bar1) = \bar1 f ( 1 ˉ ) = 1 ˉ 2 2 2 2 2 2 4 4 4
K ⊴ G K \trianglelefteq G K ⊴ G f ( K ) ⊴ H f(K) \trianglelefteq H f ( K ) ⊴ H f : S 2 ↪ S 3 f \colon S_2 \hookrightarrow S_3 f : S 2 ↪ S 3 S 2 = { e , ( 1 2 ) } S_2 = \{e, (1\,2)\} S 2 = { e , ( 1 2 )} S 3 S_3 S 3 S 2 S_2 S 2 { e , ( 1 2 ) } \{e, (1\,2)\} { e , ( 1 2 )} S 3 S_3 S 3 ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) − 1 = ( 2 3 ) (1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1} = (2\,3) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) − 1 = ( 2 3 ) { e , ( 1 2 ) } \{e,(1\,2)\} { e , ( 1 2 )} f f f 全射 なら正規性は保たれます。h ∈ H h \in H h ∈ H h = f ( g ) h = f(g) h = f ( g ) h f ( K ) h − 1 = f ( g K g − 1 ) = f ( K ) h f(K) h^{-1} = f(gKg^{-1}) = f(K) h f ( K ) h − 1 = f ( g K g − 1 ) = f ( K )
例 3.4 （準同型の見本帳と、準同型でない写像 ）
以下はすべて群準同型です。括弧内に準同型性の根拠を書きます。
写像 定義域 → 値域 準同型である理由 自明写像 g ↦ e H g \mapsto e_H g ↦ e H G → H G \to H G → H e H = e H e H e_H = e_H e_H e H = e H e H 包含写像 ι ( k ) = k \iota(k) = k ι ( k ) = k K → G K \to G K → G K ≤ G K \le G K ≤ G G G G K K K 標準全射 π ( g ) = g N \pi(g) = gN π ( g ) = g N G → G / N G \to G/N G → G / N N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G 商群の積の定義 ( x N ) ( y N ) = x y N (xN)(yN) = xyN ( x N ) ( y N ) = x y N 行列式 det \det det G L n ( K ) → K × GL_n(K) \to K^{\times} G L n ( K ) → K × det ( A B ) = det A det B \det(AB) = \det A \det B det ( A B ) = det A det B 置換の符号 sgn \operatorname{sgn} sgn S n → { ± 1 } S_n \to \{\pm 1\} S n → { ± 1 } sgn ( σ τ ) = sgn σ ⋅ sgn τ \operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}\sigma \cdot \operatorname{sgn}\tau sgn ( σ τ ) = sgn σ ⋅ sgn τ 指数関数 t ↦ e t t \mapsto e^{t} t ↦ e t ( R , + ) → ( R > 0 , × ) (\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R}_{>0}, \times) ( R , + ) → ( R > 0 , × ) e s + t = e s e t e^{s+t} = e^s e^t e s + t = e s e t z ↦ z n z \mapsto z^n z ↦ z n C × → C × \mathbb{C}^{\times} \to \mathbb{C}^{\times} C × → C × ( z w ) n = z n w n (zw)^n = z^n w^n ( z w ) n = z n w n 共役 c g ( x ) = g x g − 1 c_g(x) = gxg^{-1} c g ( x ) = g x g − 1 G → G G \to G G → G c g ( x y ) = g x y g − 1 = ( g x g − 1 ) ( g y g − 1 ) c_g(xy) = gxyg^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) c g ( x y ) = g x y g − 1 = ( g x g − 1 ) ( g y g − 1 )
最後の行の計算を確認しておきます。c g ( x ) c g ( y ) = g x g − 1 g y g − 1 = g x e y g − 1 = g ( x y ) g − 1 = c g ( x y ) c_g(x)c_g(y) = gxg^{-1}gyg^{-1} = gx e y g^{-1} = g(xy)g^{-1} = c_g(xy) c g ( x ) c g ( y ) = g x g − 1 g y g − 1 = g x ey g − 1 = g ( x y ) g − 1 = c g ( x y ) c g ∘ c g − 1 = c g − 1 ∘ c g = id G c_g \circ c_{g^{-1}} = c_{g^{-1}} \circ c_g = \operatorname{id}_G c g ∘ c g − 1 = c g − 1 ∘ c g = id G c g c_g c g
一方、次は準同型ではありません 。
f : Z → Z f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} f : Z → Z f ( n ) = n + 1 f(n) = n + 1 f ( n ) = n + 1 f ( 0 ) = 1 ≠ 0 f(0) = 1 \ne 0 f ( 0 ) = 1 = 0 命題 3.3 の (1) に反します。f : G → G f \colon G \to G f : G → G f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 G G G f ( x y ) = x y x y f(xy) = xyxy f ( x y ) = x y x y f ( x ) f ( y ) = x x y y f(x)f(y) = xxyy f ( x ) f ( y ) = xx y y x y = y x xy = yx x y = y x G = S 3 G = S_3 G = S 3 x = ( 1 2 ) x = (1\,2) x = ( 1 2 ) y = ( 1 3 ) y = (1\,3) y = ( 1 3 ) x y xy x y 1 ↦ 3 1 \mapsto 3 1 ↦ 3 3 ↦ 2 3 \mapsto 2 3 ↦ 2 2 ↦ 1 2 \mapsto 1 2 ↦ 1 x y = ( 1 3 2 ) xy = (1\,3\,2) x y = ( 1 3 2 ) f ( x y ) = ( 1 3 2 ) 2 = ( 1 2 3 ) f(xy) = (1\,3\,2)^2 = (1\,2\,3) f ( x y ) = ( 1 3 2 ) 2 = ( 1 2 3 ) x 2 = y 2 = e x^2 = y^2 = e x 2 = y 2 = e f ( x ) f ( y ) = e ⋅ e = e f(x)f(y) = e \cdot e = e f ( x ) f ( y ) = e ⋅ e = e f : Z / 2 Z → Z / 3 Z f \colon \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} f : Z /2 Z → Z /3 Z f ( 1 ˉ ) = 1 ˉ f(\bar1) = \bar1 f ( 1 ˉ ) = 1 ˉ 1 ˉ + 1 ˉ = 0 ˉ \bar1 + \bar1 = \bar0 1 ˉ + 1 ˉ = 0 ˉ f ( 0 ˉ ) = 1 ˉ + 1 ˉ = 2 ˉ ≠ 0 ˉ f(\bar0) = \bar1 + \bar1 = \bar2 \ne \bar0 f ( 0 ˉ ) = 1 ˉ + 1 ˉ = 2 ˉ = 0 ˉ 定義 4.1 （核と像 ） ↗
f : G → H f \colon G \to H f : G → H
Ker f = { x ∈ G : f ( x ) = e H } = f − 1 ( { e H } ) , Im f = f ( G ) = { f ( x ) : x ∈ G } \operatorname{Ker} f = \{x \in G : f(x) = e_H\} = f^{-1}(\{e_H\}), \qquad
\operatorname{Im} f = f(G) = \{f(x) : x \in G\} Ker f = { x ∈ G : f ( x ) = e H } = f − 1 ({ e H }) , Im f = f ( G ) = { f ( x ) : x ∈ G } をそれぞれ f f f 核 （kernel）、像 （image）といいます。
核は「f f f f f f G G G H H H
命題 4.2 （核と像の基本性質 ） ✓
f : G → H f \colon G \to H f : G → H
Im f ≤ H \operatorname{Im} f \le H Im f ≤ H Ker f ⊴ G \operatorname{Ker} f \trianglelefteq G Ker f ⊴ G 逆に、N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G π : G → G / N \pi \colon G \to G/N π : G → G / N Ker π = N \operatorname{Ker} \pi = N Ker π = N
したがって、G G G N N N N N N N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
証明（命題 4.2） (1) 命題 3.3 の (5) で K = G K = G K = G Im f = f ( G ) ≤ H \operatorname{Im} f = f(G) \le H Im f = f ( G ) ≤ H
(2) 直接確かめます。まず部分群であること。命題 3.3 の (1) から f ( e G ) = e H f(e_G) = e_H f ( e G ) = e H e G ∈ Ker f e_G \in \operatorname{Ker} f e G ∈ Ker f x , y ∈ Ker f x, y \in \operatorname{Ker} f x , y ∈ Ker f 命題 3.3 の (2) と準同型性から
f ( x y − 1 ) = f ( x ) f ( y ) − 1 = e H e H − 1 = e H f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e_H e_H^{-1} = e_H f ( x y − 1 ) = f ( x ) f ( y ) − 1 = e H e H − 1 = e H なので x y − 1 ∈ Ker f xy^{-1} \in \operatorname{Ker} f x y − 1 ∈ Ker f Ker f ≤ G \operatorname{Ker} f \le G Ker f ≤ G g ∈ G g \in G g ∈ G x ∈ Ker f x \in \operatorname{Ker} f x ∈ Ker f
f ( g x g − 1 ) = f ( g ) f ( x ) f ( g ) − 1 = f ( g ) e H f ( g ) − 1 = f ( g ) f ( g ) − 1 = e H f(gxg^{-1}) = f(g)f(x)f(g)^{-1} = f(g)\,e_H\,f(g)^{-1} = f(g)f(g)^{-1} = e_H f ( g x g − 1 ) = f ( g ) f ( x ) f ( g ) − 1 = f ( g ) e H f ( g ) − 1 = f ( g ) f ( g ) − 1 = e H なので g x g − 1 ∈ Ker f gxg^{-1} \in \operatorname{Ker} f g x g − 1 ∈ Ker f g ( Ker f ) g − 1 ⊆ Ker f g(\operatorname{Ker} f)g^{-1} \subseteq \operatorname{Ker} f g ( Ker f ) g − 1 ⊆ Ker f g ∈ G g \in G g ∈ G g g g g − 1 g^{-1} g − 1 g − 1 ( Ker f ) g ⊆ Ker f g^{-1}(\operatorname{Ker} f)g \subseteq \operatorname{Ker} f g − 1 ( Ker f ) g ⊆ Ker f g g g g − 1 g^{-1} g − 1 Ker f ⊆ g ( Ker f ) g − 1 \operatorname{Ker} f \subseteq g(\operatorname{Ker} f)g^{-1} Ker f ⊆ g ( Ker f ) g − 1 g ( Ker f ) g − 1 = Ker f g(\operatorname{Ker} f)g^{-1} = \operatorname{Ker} f g ( Ker f ) g − 1 = Ker f Ker f ⊴ G \operatorname{Ker} f \trianglelefteq G Ker f ⊴ G 命題 3.3 の (5) で L = { e H } ⊴ H L = \{e_H\} \trianglelefteq H L = { e H } ⊴ H
(3) 準同型性は商群の積の定義そのものです。π ( x y ) = x y N = ( x N ) ( y N ) = π ( x ) π ( y ) \pi(xy) = xyN = (xN)(yN) = \pi(x)\pi(y) π ( x y ) = x y N = ( x N ) ( y N ) = π ( x ) π ( y ) G / N G/N G / N g N gN g N g ∈ G g \in G g ∈ G π ( g ) \pi(g) π ( g ) G / N G/N G / N e N = N eN = N e N = N
x ∈ Ker π ⟺ x N = N ⟺ x − 1 e ∈ N ⟺ x ∈ N x \in \operatorname{Ker}\pi \iff xN = N \iff x^{-1}e \in N \iff x \in N x ∈ Ker π ⟺ x N = N ⟺ x − 1 e ∈ N ⟺ x ∈ N です（二つめの同値は準備 2 節の左剰余類の性質 x N = y N ⟺ x − 1 y ∈ N xN = yN \iff x^{-1}y \in N x N = y N ⟺ x − 1 y ∈ N y = e y = e y = e Ker π = N \operatorname{Ker}\pi = N Ker π = N
最後の主張は、(2) が「核ならば正規」を、(3) が「正規ならば（π \pi π
∎ (3) は見かけよりも重要です。正規部分群は、商群を作るために便宜的に導入された条件のように見えますが、実際には「準同型の核になれる部分群」という内在的な特徴づけを持っていた、ということだからです。この視点は環のイデアル（イデアルと剰余環 ）やベクトル空間の部分空間でもそのまま繰り返されます。
準同型定理の証明は、次の補題にほとんど尽きています。これは「f f f
補題 4.3 （ファイバーは核の左剰余類 ） ✓
f : G → H f \colon G \to H f : G → H N = Ker f N = \operatorname{Ker} f N = Ker f x , y ∈ G x, y \in G x , y ∈ G
f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) x − 1 y ∈ N x^{-1}y \in N x − 1 y ∈ N x N = y N xN = yN x N = y N さらに h ∈ Im f h \in \operatorname{Im} f h ∈ Im f f ( x ) = h f(x) = h f ( x ) = h x x x f − 1 ( { h } ) = x N f^{-1}(\{h\}) = xN f − 1 ({ h }) = x N
証明（補題 4.3） (1) ⇒ \Rightarrow ⇒ ：f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) 命題 3.3 の (2) と準同型性から f ( x − 1 y ) = f ( x ) − 1 f ( y ) = f ( x ) − 1 f ( x ) = e H f(x^{-1}y) = f(x)^{-1}f(y) = f(x)^{-1}f(x) = e_H f ( x − 1 y ) = f ( x ) − 1 f ( y ) = f ( x ) − 1 f ( x ) = e H x − 1 y ∈ Ker f = N x^{-1}y \in \operatorname{Ker} f = N x − 1 y ∈ Ker f = N
(2) ⇒ \Rightarrow ⇒ ：x − 1 y ∈ N x^{-1}y \in N x − 1 y ∈ N e H = f ( x − 1 y ) = f ( x ) − 1 f ( y ) e_H = f(x^{-1}y) = f(x)^{-1}f(y) e H = f ( x − 1 y ) = f ( x ) − 1 f ( y ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y )
(2) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ：これは準備 2 節に挙げた左剰余類の性質 x N = y N ⟺ x − 1 y ∈ N xN = yN \iff x^{-1}y \in N x N = y N ⟺ x − 1 y ∈ N x − 1 y = n ∈ N x^{-1}y = n \in N x − 1 y = n ∈ N y = x n y = xn y = x n N N N n N = N nN = N n N = N y N = x n N = x N yN = xnN = xN y N = x n N = x N x N = y N xN = yN x N = y N y = y e ∈ y N = x N y = ye \in yN = xN y = y e ∈ y N = x N y = x n y = xn y = x n n ∈ N n \in N n ∈ N x − 1 y = n ∈ N x^{-1}y = n \in N x − 1 y = n ∈ N
最後の主張 ：f ( x ) = h f(x) = h f ( x ) = h y ∈ G y \in G y ∈ G
y ∈ f − 1 ( { h } ) ⟺ f ( y ) = h = f ( x ) ⟺ x N = y N y \in f^{-1}(\{h\}) \iff f(y) = h = f(x) \iff xN = yN y ∈ f − 1 ({ h }) ⟺ f ( y ) = h = f ( x ) ⟺ x N = y N であり（二つめは (1) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ x N = y N xN = yN x N = y N y ∈ y N y \in yN y ∈ y N y ∈ x N y \in xN y ∈ x N y ∈ x N y \in xN y ∈ x N y = x n y = xn y = x n y N = x n N = x N yN = xnN = xN y N = x n N = x N f − 1 ( { h } ) = x N f^{-1}(\{h\}) = xN f − 1 ({ h }) = x N
∎ この補題を絵にすると次のようになります。G G G Im f \operatorname{Im} f Im f 補題 4.3 の (1) ⇔ \Leftrightarrow ⇔
G Ker f x₁ Ker f x₂ Ker f x₃ Ker f f H Im f f(e) f(x₁) f(x₂) f(x₃) 核の左剰余類による G の分割と、像の点との一対一対応。各帯（剰余類）はちょうど 1 点に潰れ、異なる帯は異なる点に行く。帯の大きさはどれも |Ker f| に等しい。 命題 4.4 （単射性の判定 ） ✓
群準同型 f : G → H f \colon G \to H f : G → H f f f Ker f = { e G } \operatorname{Ker} f = \{e_G\} Ker f = { e G }
証明（命題 4.4） (⇒ \Rightarrow ⇒ f f f x ∈ Ker f x \in \operatorname{Ker} f x ∈ Ker f f ( x ) = e H = f ( e G ) f(x) = e_H = f(e_G) f ( x ) = e H = f ( e G ) 命題 3.3 の (1)）なので、単射性から x = e G x = e_G x = e G e G ∈ Ker f e_G \in \operatorname{Ker} f e G ∈ Ker f Ker f = { e G } \operatorname{Ker} f = \{e_G\} Ker f = { e G }
(⇐ \Leftarrow ⇐ Ker f = { e G } \operatorname{Ker} f = \{e_G\} Ker f = { e G } f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) 補題 4.3 の (1) ⇒ \Rightarrow ⇒ x − 1 y ∈ Ker f = { e G } x^{-1}y \in \operatorname{Ker} f = \{e_G\} x − 1 y ∈ Ker f = { e G } x − 1 y = e G x^{-1}y = e_G x − 1 y = e G y = x y = x y = x f f f
∎ 線形代数で「線形写像が単射であることと核が { 0 } \{\boldsymbol{0}\} { 0 } ベクトル空間と線形変換 の 命題 7.2［ベクトル空間と線形変換］ ）は、この命題を加法群に適用したものです。一般の写像では単射性は「すべての点対」を調べる条件ですが、群準同型では単位元の 1 点だけを調べれば済む 、というのがここでの利得です。
準備は整いました。補題 4.3 は「Im f \operatorname{Im} f Im f Ker f \operatorname{Ker} f Ker f 命題 4.2 の (2)）おかげで、それ自身が群 G / Ker f G/\operatorname{Ker} f G / Ker f 群の同型 になっているはずです。それが準同型定理です。
定理 5.1 （準同型定理（第一同型定理） ） ✓
G G G H H H f : G → H f \colon G \to H f : G → H N = Ker f N = \operatorname{Ker} f N = Ker f N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G G / N G/N G / N
f ˉ : G / N ⟶ Im f , f ˉ ( x N ) = f ( x ) \bar{f} \colon G/N \longrightarrow \operatorname{Im} f, \qquad \bar{f}(xN) = f(x) f ˉ : G / N ⟶ Im f , f ˉ ( x N ) = f ( x ) は代表元の取り方によらずに定まり、群同型写像となります。すなわち
G / Ker f ≅ Im f . G/\operatorname{Ker} f \;\cong\; \operatorname{Im} f . G / Ker f ≅ Im f . さらに π : G → G / N \pi \colon G \to G/N π : G → G / N ι : Im f ↪ H \iota \colon \operatorname{Im} f \hookrightarrow H ι : Im f ↪ H f = ι ∘ f ˉ ∘ π f = \iota \circ \bar{f} \circ \pi f = ι ∘ f ˉ ∘ π f f f G / Ker f ≅ H G/\operatorname{Ker} f \cong H G / Ker f ≅ H
証明の流れは、f ˉ \bar{f} f ˉ 命題 4.4 により「核が単位元だけ」を示せば足りますが、商群 G / N G/N G / N N N N { N } \{N\} { N }
証明（定理 5.1） Step 0（対象が定義されること） ：N = Ker f ⊴ G N = \operatorname{Ker} f \trianglelefteq G N = Ker f ⊴ G 命題 4.2 の (2) です。よって商群 G / N G/N G / N Im f ≤ H \operatorname{Im} f \le H Im f ≤ H Im f \operatorname{Im} f Im f H H H f ˉ \bar{f} f ˉ H H H Im f \operatorname{Im} f Im f
Step 1（well-defined であること） ：G / N G/N G / N c c c c = x N c = xN c = x N f ˉ \bar{f} f ˉ x N = y N xN = yN x N = y N f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) 補題 4.3 の (3) ⇒ \Rightarrow ⇒ f ˉ ( c ) \bar{f}(c) f ˉ ( c ) f ( x ) ∈ Im f f(x) \in \operatorname{Im} f f ( x ) ∈ Im f
Step 2（準同型であること） ：x N , y N ∈ G / N xN, yN \in G/N x N , y N ∈ G / N
f ˉ ( ( x N ) ( y N ) ) = f ˉ ( x y N ) = f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) = f ˉ ( x N ) f ˉ ( y N ) \bar{f}\bigl((xN)(yN)\bigr) = \bar{f}(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xN)\,\bar{f}(yN) f ˉ ( ( x N ) ( y N ) ) = f ˉ ( x y N ) = f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) = f ˉ ( x N ) f ˉ ( y N ) です。最初の等号は商群の積の定義（準備 2 節の 4）、二つめと四つめは f ˉ \bar{f} f ˉ f f f 定義 3.1 ）です。
Step 3（全射であること） ：Im f \operatorname{Im} f Im f f ( x ) f(x) f ( x ) x ∈ G x \in G x ∈ G f ( x ) = f ˉ ( x N ) f(x) = \bar{f}(xN) f ( x ) = f ˉ ( x N ) x N ∈ G / N xN \in G/N x N ∈ G / N
Step 4（単射であること） ：Step 2 より f ˉ \bar{f} f ˉ 命題 4.4 を使えば Ker f ˉ \operatorname{Ker}\bar{f} Ker f ˉ G / N G/N G / N N = e N N = eN N = e N x N ∈ Ker f ˉ xN \in \operatorname{Ker}\bar{f} x N ∈ Ker f ˉ f ( x ) = f ˉ ( x N ) = e H f(x) = \bar{f}(xN) = e_H f ( x ) = f ˉ ( x N ) = e H x ∈ Ker f = N x \in \operatorname{Ker} f = N x ∈ Ker f = N x N = N xN = N x N = N x N xN x N N = e N N = eN N = e N f ˉ ( e N ) = f ( e ) = e H \bar{f}(eN) = f(e) = e_H f ˉ ( e N ) = f ( e ) = e H 命題 3.3 の (1)）より核に属します。よって Ker f ˉ = { N } \operatorname{Ker}\bar{f} = \{N\} Ker f ˉ = { N } f ˉ \bar{f} f ˉ
Step 5（分解） ：x ∈ G x \in G x ∈ G ( ι ∘ f ˉ ∘ π ) ( x ) = ι ( f ˉ ( x N ) ) = ι ( f ( x ) ) = f ( x ) (\iota \circ \bar{f} \circ \pi)(x) = \iota\bigl(\bar{f}(xN)\bigr) = \iota\bigl(f(x)\bigr) = f(x) ( ι ∘ f ˉ ∘ π ) ( x ) = ι ( f ˉ ( x N ) ) = ι ( f ( x ) ) = f ( x ) f = ι ∘ f ˉ ∘ π f = \iota \circ \bar{f} \circ \pi f = ι ∘ f ˉ ∘ π
Step 1 から Step 4 により f ˉ \bar{f} f ˉ 定義 3.2 ）であり、G / Ker f ≅ Im f G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f G / Ker f ≅ Im f f f f Im f = H \operatorname{Im} f = H Im f = H G / Ker f ≅ H G/\operatorname{Ker} f \cong H G / Ker f ≅ H
∎ 準同型定理の可換図式。任意の群準同型 f は「核で潰す（全射 π）」「同型で読み替える」「像を H に埋め込む（単射 ι）」の 3 段に分解される。真ん中の段が同型であることが定理の内容。 この図式の読み方を一言で書いておきます。あらゆる群準同型は、全射と同型と単射の合成に一意に分解される 、というのが準同型定理の内容です。全射の部分（潰す操作）は核だけで決まり、単射の部分（埋め込む操作）は像だけで決まります。その間に挟まっているものは、同型を除いて何もありません。準同型という一般の写像を調べる問題が、「核」と「像」という二つの部分群を調べる問題に還元される、と言い換えてもよいでしょう。
系 5.2 （位数の分解 ） ✓
G G G f : G → H f \colon G \to H f : G → H
∣ G ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ |G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f| ∣ G ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ が成り立ちます。特に ∣ Im f ∣ |\operatorname{Im} f| ∣ Im f ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ H H H ∣ Im f ∣ |\operatorname{Im} f| ∣ Im f ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣
証明（系 5.2） N = Ker f N = \operatorname{Ker} f N = Ker f 定理 5.1 より G / N ≅ Im f G/N \cong \operatorname{Im} f G / N ≅ Im f ∣ G / N ∣ = ∣ Im f ∣ |G/N| = |\operatorname{Im} f| ∣ G / N ∣ = ∣ Im f ∣ N ≤ G N \le G N ≤ G ∣ G / N ∣ = ∣ G ∣ / ∣ N ∣ |G/N| = |G|/|N| ∣ G / N ∣ = ∣ G ∣/∣ N ∣
∣ G ∣ = ∣ N ∣ ⋅ ∣ G / N ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ |G| = |N| \cdot |G/N| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f| ∣ G ∣ = ∣ N ∣ ⋅ ∣ G / N ∣ = ∣ Ker f ∣ ⋅ ∣ Im f ∣ です。この等式から ∣ Im f ∣ |\operatorname{Im} f| ∣ Im f ∣ ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ Im f ≤ H \operatorname{Im} f \le H Im f ≤ H 命題 4.2 の (1)）なので、H H H ∣ Im f ∣ |\operatorname{Im} f| ∣ Im f ∣ ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣
∎ 例 6.1 （巡回群の分類 ）
G = ⟨ a ⟩ G = \langle a \rangle G = ⟨ a ⟩ a a a f : Z → G f \colon \mathbb{Z} \to G f : Z → G f ( n ) = a n f(n) = a^n f ( n ) = a n a m + n = a m a n a^{m+n} = a^m a^n a m + n = a m a n f f f Z \mathbb{Z} Z G G G G G G a n a^n a n f f f Im f = G \operatorname{Im} f = G Im f = G
核 Ker f \operatorname{Ker} f Ker f Z \mathbb{Z} Z 命題 4.2 の (2)）。Z \mathbb{Z} Z M M M m Z m\mathbb{Z} m Z M = { 0 } M = \{0\} M = { 0 } m = 0 m = 0 m = 0 M ≠ { 0 } M \ne \{0\} M = { 0 } M M M x ∈ M x \in M x ∈ M x ≠ 0 x \ne 0 x = 0 − x ∈ M -x \in M − x ∈ M m m m n ∈ M n \in M n ∈ M n = q m + r n = qm + r n = q m + r 0 ≤ r < m 0 \le r < m 0 ≤ r < m r = n − q m ∈ M r = n - qm \in M r = n − q m ∈ M m m m r = 0 r = 0 r = 0 n ∈ m Z n \in m\mathbb{Z} n ∈ m Z m Z ⊆ M m\mathbb{Z} \subseteq M m Z ⊆ M m ∈ M m \in M m ∈ M M M M q ∈ Z q \in \mathbb{Z} q ∈ Z q m ∈ M qm \in M q m ∈ M M = m Z M = m\mathbb{Z} M = m Z
そこで Ker f = m Z \operatorname{Ker} f = m\mathbb{Z} Ker f = m Z m ≥ 0 m \ge 0 m ≥ 0 定理 5.1 より
G ≅ Z / m Z G \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} G ≅ Z / m Z です。m = 0 m = 0 m = 0 Z / 0 Z = Z \mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z} Z /0 Z = Z G ≅ Z G \cong \mathbb{Z} G ≅ Z m ≥ 1 m \ge 1 m ≥ 1 ∣ G ∣ = m |G| = m ∣ G ∣ = m 巡回群は Z \mathbb{Z} Z Z / m Z \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} Z / m Z であり、特に位数 n n n
例 6.2 （一般線形群を特殊線形群で割ると何になるか ）
K K K n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1 G L n ( K ) GL_n(K) G L n ( K ) K K K n n n K × = K ∖ { 0 } K^{\times} = K \setminus \{0\} K × = K ∖ { 0 } K K K
det : G L n ( K ) → K × , det ( A B ) = det A ⋅ det B \det \colon GL_n(K) \to K^{\times}, \qquad \det(AB) = \det A \cdot \det B det : G L n ( K ) → K × , det ( A B ) = det A ⋅ det B は群準同型です（行列式とその性質 の 定理 6.1［行列式とその性質］ ）。
核 ：Ker ( det ) = { A ∈ G L n ( K ) : det A = 1 } = S L n ( K ) \operatorname{Ker}(\det) = \{A \in GL_n(K) : \det A = 1\} = SL_n(K) Ker ( det ) = { A ∈ G L n ( K ) : det A = 1 } = S L n ( K ) 命題 4.2 の (2) から S L n ( K ) ⊴ G L n ( K ) SL_n(K) \trianglelefteq GL_n(K) S L n ( K ) ⊴ G L n ( K ) 像 ：任意の a ∈ K × a \in K^{\times} a ∈ K × D a = diag ( a , 1 , … , 1 ) D_a = \operatorname{diag}(a, 1, \ldots, 1) D a = diag ( a , 1 , … , 1 ) det D a = a \det D_a = a det D a = a det \det det Im ( det ) = K × \operatorname{Im}(\det) = K^{\times} Im ( det ) = K × 定理 5.1 より
G L n ( K ) / S L n ( K ) ≅ K × . GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^{\times}. G L n ( K ) / S L n ( K ) ≅ K × . K = R K = \mathbb{R} K = R R × \mathbb{R}^{\times} R ×
数値でも確かめておきます。K = F 3 K = \mathbb{F}_3 K = F 3 3 3 3 n = 2 n = 2 n = 2
∣ G L 2 ( F 3 ) ∣ = ( 3 2 − 1 ) ( 3 2 − 3 ) = 8 ⋅ 6 = 48 |GL_2(\mathbb{F}_3)| = (3^2 - 1)(3^2 - 3) = 8 \cdot 6 = 48 ∣ G L 2 ( F 3 ) ∣ = ( 3 2 − 1 ) ( 3 2 − 3 ) = 8 ⋅ 6 = 48 （第 1 列は零ベクトル以外の 8 8 8 1 1 1 3 3 3 9 − 3 = 6 9 - 3 = 6 9 − 3 = 6 ∣ F 3 × ∣ = 2 |\mathbb{F}_3^{\times}| = 2 ∣ F 3 × ∣ = 2 系 5.2 から
∣ S L 2 ( F 3 ) ∣ = ∣ G L 2 ( F 3 ) ∣ ∣ F 3 × ∣ = 48 2 = 24 |SL_2(\mathbb{F}_3)| = \frac{|GL_2(\mathbb{F}_3)|}{|\mathbb{F}_3^{\times}|} = \frac{48}{2} = 24 ∣ S L 2 ( F 3 ) ∣ = ∣ F 3 × ∣ ∣ G L 2 ( F 3 ) ∣ = 2 48 = 24 です。24 24 24
例 6.3 （交代群の指数は 2 である ）
n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2 S n S_n S n n n n sgn : S n → { ± 1 } \operatorname{sgn} \colon S_n \to \{\pm 1\} sgn : S n → { ± 1 } { ± 1 } \{\pm 1\} { ± 1 } 2 2 2 sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) \operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau) sgn ( σ τ ) = sgn ( σ ) sgn ( τ ) sgn \operatorname{sgn} sgn
核 ：定義により Ker ( sgn ) = A n \operatorname{Ker}(\operatorname{sgn}) = A_n Ker ( sgn ) = A n A n ⊴ S n A_n \trianglelefteq S_n A n ⊴ S n 像 ：n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2 ( 1 2 ) ∈ S n (1\,2) \in S_n ( 1 2 ) ∈ S n sgn ( ( 1 2 ) ) = − 1 \operatorname{sgn}((1\,2)) = -1 sgn (( 1 2 )) = − 1 sgn ( e ) = 1 \operatorname{sgn}(e) = 1 sgn ( e ) = 1 Im ( sgn ) = { ± 1 } \operatorname{Im}(\operatorname{sgn}) = \{\pm 1\} Im ( sgn ) = { ± 1 } 定理 5.1 より S n / A n ≅ { ± 1 } ≅ Z / 2 Z S_n/A_n \cong \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S n / A n ≅ { ± 1 } ≅ Z /2 Z 系 5.2 から
∣ A n ∣ = ∣ S n ∣ ∣ { ± 1 } ∣ = n ! 2 |A_n| = \frac{|S_n|}{|\{\pm 1\}|} = \frac{n!}{2} ∣ A n ∣ = ∣ { ± 1 } ∣ ∣ S n ∣ = 2 n ! です。たとえば n = 4 n = 4 n = 4 ∣ A 4 ∣ = 24 / 2 = 12 |A_4| = 24/2 = 12 ∣ A 4 ∣ = 24/2 = 12
例 6.4 （実数直線を整数で割ると円になる ）
U = { z ∈ C : ∣ z ∣ = 1 } U = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\} U = { z ∈ C : ∣ z ∣ = 1 } U U U
f : ( R , + ) → ( C × , × ) , f ( t ) = e 2 π i t f \colon (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^{\times}, \times), \qquad f(t) = e^{2\pi i t} f : ( R , + ) → ( C × , × ) , f ( t ) = e 2 π i t を考えます。指数法則 e 2 π i ( s + t ) = e 2 π i s e 2 π i t e^{2\pi i (s+t)} = e^{2\pi i s} e^{2\pi i t} e 2 π i ( s + t ) = e 2 π i s e 2 π i t f f f
像 ：∣ f ( t ) ∣ = 1 |f(t)| = 1 ∣ f ( t ) ∣ = 1 Im f ⊆ U \operatorname{Im} f \subseteq U Im f ⊆ U z ∈ U z \in U z ∈ U z = cos θ + i sin θ = e i θ z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta} z = cos θ + i sin θ = e i θ 0 ≤ θ < 2 π 0 \le \theta < 2\pi 0 ≤ θ < 2 π t = θ / ( 2 π ) t = \theta/(2\pi) t = θ / ( 2 π ) f ( t ) = z f(t) = z f ( t ) = z Im f = U \operatorname{Im} f = U Im f = U 核 ：e 2 π i t = 1 e^{2\pi i t} = 1 e 2 π i t = 1 cos 2 π t = 1 \cos 2\pi t = 1 cos 2 π t = 1 sin 2 π t = 0 \sin 2\pi t = 0 sin 2 π t = 0 2 π t ∈ 2 π Z 2\pi t \in 2\pi\mathbb{Z} 2 π t ∈ 2 π Z t ∈ Z t \in \mathbb{Z} t ∈ Z Ker f = Z \operatorname{Ker} f = \mathbb{Z} Ker f = Z 定理 5.1 より
R / Z ≅ U . \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong U . R / Z ≅ U . 「実数から整数部分を忘れた世界」は円である、という直観がこれで正当化されます。R / Z \mathbb{R}/\mathbb{Z} R / Z t + Z t + \mathbb{Z} t + Z f ( t ) = e i t f(t) = e^{it} f ( t ) = e i t R / 2 π Z ≅ U \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong U R /2 π Z ≅ U 2 π 2\pi 2 π
定理 5.1 の f ˉ \bar{f} f ˉ f f f G / N G/N G / N N N N N N N 含まれてさえいれば 実行できます。これが商群の普遍性です。
定理 7.1 （準同型の分解定理（商群の普遍性） ） ✓
G G G H H H f : G → H f \colon G \to H f : G → H N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G π : G → G / N \pi \colon G \to G/N π : G → G / N
N ⊆ Ker f N \subseteq \operatorname{Ker} f N ⊆ Ker f f = f ˉ ∘ π f = \bar{f} \circ \pi f = f ˉ ∘ π f ˉ : G / N → H \bar{f} \colon G/N \to H f ˉ : G / N → H さらにこのとき f ˉ \bar{f} f ˉ f ˉ ( x N ) = f ( x ) \bar{f}(xN) = f(x) f ˉ ( x N ) = f ( x )
Im f ˉ = Im f , Ker f ˉ = ( Ker f ) / N \operatorname{Im}\bar{f} = \operatorname{Im} f, \qquad \operatorname{Ker}\bar{f} = (\operatorname{Ker} f)/N Im f ˉ = Im f , Ker f ˉ = ( Ker f ) / N が成り立ちます。ここで ( Ker f ) / N (\operatorname{Ker} f)/N ( Ker f ) / N N ⊴ Ker f N \trianglelefteq \operatorname{Ker} f N ⊴ Ker f G / N G/N G / N
証明（定理 7.1） (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ ：f = f ˉ ∘ π f = \bar{f} \circ \pi f = f ˉ ∘ π n ∈ N n \in N n ∈ N π ( n ) = n N = N \pi(n) = nN = N π ( n ) = n N = N G / N G/N G / N 命題 3.3 の (1) を f ˉ \bar{f} f ˉ f ( n ) = f ˉ ( π ( n ) ) = f ˉ ( N ) = e H f(n) = \bar{f}(\pi(n)) = \bar{f}(N) = e_H f ( n ) = f ˉ ( π ( n )) = f ˉ ( N ) = e H n ∈ Ker f n \in \operatorname{Ker} f n ∈ Ker f N ⊆ Ker f N \subseteq \operatorname{Ker} f N ⊆ Ker f
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ ：N ⊆ Ker f N \subseteq \operatorname{Ker} f N ⊆ Ker f f ˉ ( x N ) = f ( x ) \bar{f}(xN) = f(x) f ˉ ( x N ) = f ( x ) x N = y N xN = yN x N = y N x − 1 y ∈ N ⊆ Ker f x^{-1}y \in N \subseteq \operatorname{Ker} f x − 1 y ∈ N ⊆ Ker f 補題 4.3 の (2) ⇒ \Rightarrow ⇒ f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) 定理 5.1 の Step 2 とまったく同じ計算で
f ˉ ( ( x N ) ( y N ) ) = f ˉ ( x y N ) = f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) = f ˉ ( x N ) f ˉ ( y N ) \bar{f}((xN)(yN)) = \bar{f}(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xN)\bar{f}(yN) f ˉ (( x N ) ( y N )) = f ˉ ( x y N ) = f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) = f ˉ ( x N ) f ˉ ( y N ) f = f ˉ ∘ π f = \bar{f}\circ\pi f = f ˉ ∘ π f ˉ ( π ( x ) ) = f ˉ ( x N ) = f ( x ) \bar{f}(\pi(x)) = \bar{f}(xN) = f(x) f ˉ ( π ( x )) = f ˉ ( x N ) = f ( x )
一意性 ：g : G / N → H g \colon G/N \to H g : G / N → H f = g ∘ π f = g \circ \pi f = g ∘ π G / N G/N G / N π \pi π 命題 4.2 の (3)）から π ( x ) = x N \pi(x) = xN π ( x ) = x N g ( x N ) = g ( π ( x ) ) = f ( x ) = f ˉ ( x N ) g(xN) = g(\pi(x)) = f(x) = \bar{f}(xN) g ( x N ) = g ( π ( x )) = f ( x ) = f ˉ ( x N ) g = f ˉ g = \bar{f} g = f ˉ
像 ：Im f ˉ = { f ˉ ( x N ) : x ∈ G } = { f ( x ) : x ∈ G } = Im f \operatorname{Im}\bar{f} = \{\bar{f}(xN) : x \in G\} = \{f(x) : x \in G\} = \operatorname{Im} f Im f ˉ = { f ˉ ( x N ) : x ∈ G } = { f ( x ) : x ∈ G } = Im f
核 ：N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G N ⊆ Ker f ≤ G N \subseteq \operatorname{Ker} f \le G N ⊆ Ker f ≤ G N N N Ker f \operatorname{Ker} f Ker f g ∈ Ker f ⊆ G g \in \operatorname{Ker} f \subseteq G g ∈ Ker f ⊆ G g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N ( Ker f ) / N (\operatorname{Ker} f)/N ( Ker f ) / N x ∈ Ker f x \in \operatorname{Ker} f x ∈ Ker f x N xN x N G / N G/N G / N
x N ∈ Ker f ˉ ⟺ f ( x ) = e H ⟺ x ∈ Ker f ⟺ x N ∈ ( Ker f ) / N xN \in \operatorname{Ker}\bar{f} \iff f(x) = e_H \iff x \in \operatorname{Ker} f \iff xN \in (\operatorname{Ker} f)/N x N ∈ Ker f ˉ ⟺ f ( x ) = e H ⟺ x ∈ Ker f ⟺ x N ∈ ( Ker f ) / N です。最後の同値の右向きは定義そのものです。左向きは、x N = y N xN = yN x N = y N y ∈ Ker f y \in \operatorname{Ker} f y ∈ Ker f x − 1 y ∈ N x^{-1}y \in N x − 1 y ∈ N y − 1 x = ( x − 1 y ) − 1 ∈ N ⊆ Ker f y^{-1}x = (x^{-1}y)^{-1} \in N \subseteq \operatorname{Ker} f y − 1 x = ( x − 1 y ) − 1 ∈ N ⊆ Ker f x = y ( y − 1 x ) x = y(y^{-1}x) x = y ( y − 1 x ) Ker f \operatorname{Ker} f Ker f x ∈ Ker f x \in \operatorname{Ker} f x ∈ Ker f
∎ 系 7.2 （第三同型定理 ） ✓
G G G N N N K K K G G G N ⊆ K N \subseteq K N ⊆ K K / N K/N K / N G / N G/N G / N
( G / N ) / ( K / N ) ≅ G / K (G/N)\big/(K/N) \;\cong\; G/K ( G / N ) / ( K / N ) ≅ G / K が成り立ちます。
ここに出てくる K / N K/N K / N K K K k N kN k N G / N G/N G / N G → G / K G \to G/K G → G / K G / N G/N G / N K / N K/N K / N
証明（系 7.2） π K : G → G / K \pi_K \colon G \to G/K π K : G → G / K 命題 4.2 の (3) より π K \pi_K π K Ker π K = K \operatorname{Ker}\pi_K = K Ker π K = K N ⊆ K = Ker π K N \subseteq K = \operatorname{Ker}\pi_K N ⊆ K = Ker π K N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G 定理 7.1 が適用でき、群準同型
π K ‾ : G / N → G / K , π K ‾ ( x N ) = x K \overline{\pi_K} \colon G/N \to G/K, \qquad \overline{\pi_K}(xN) = xK π K : G / N → G / K , π K ( x N ) = x K が得られます。同定理の後半から
Im π K ‾ = Im π K = G / K , Ker π K ‾ = ( Ker π K ) / N = K / N \operatorname{Im}\overline{\pi_K} = \operatorname{Im}\pi_K = G/K, \qquad
\operatorname{Ker}\overline{\pi_K} = (\operatorname{Ker}\pi_K)/N = K/N Im π K = Im π K = G / K , Ker π K = ( Ker π K ) / N = K / N です。特に K / N K/N K / N π K ‾ \overline{\pi_K} π K 命題 4.2 の (2) より K / N ⊴ G / N K/N \trianglelefteq G/N K / N ⊴ G / N 定理 5.1 を π K ‾ \overline{\pi_K} π K
( G / N ) / ( K / N ) = ( G / N ) / Ker π K ‾ ≅ Im π K ‾ = G / K (G/N)\big/(K/N) = (G/N)\big/\operatorname{Ker}\overline{\pi_K} \cong \operatorname{Im}\overline{\pi_K} = G/K ( G / N ) / ( K / N ) = ( G / N ) / Ker π K ≅ Im π K = G / K となり、主張が示されました。
∎ 演習 8.1 易
G G G H H H ∣ G ∣ = m |G| = m ∣ G ∣ = m ∣ H ∣ = n |H| = n ∣ H ∣ = n gcd ( m , n ) = 1 \gcd(m, n) = 1 g cd( m , n ) = 1 f : G → H f \colon G \to H f : G → H g g g e H e_H e H S 3 S_3 S 3 Z / 5 Z \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} Z /5 Z
解答 f : G → H f \colon G \to H f : G → H d = ∣ Im f ∣ d = |\operatorname{Im} f| d = ∣ Im f ∣ 系 5.2 より d d d ∣ G ∣ = m |G| = m ∣ G ∣ = m Im f ≤ H \operatorname{Im} f \le H Im f ≤ H 命題 4.2 の (1)）なので、ラグランジュの定理から d d d ∣ H ∣ = n |H| = n ∣ H ∣ = n d d d m m m n n n d ∣ gcd ( m , n ) = 1 d \mid \gcd(m,n) = 1 d ∣ g cd( m , n ) = 1 d = 1 d = 1 d = 1 1 1 1 Im f = { e H } \operatorname{Im} f = \{e_H\} Im f = { e H } g ∈ G g \in G g ∈ G f ( g ) = e H f(g) = e_H f ( g ) = e H
G = S 3 G = S_3 G = S 3 H = Z / 5 Z H = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} H = Z /5 Z ∣ S 3 ∣ = 6 |S_3| = 6 ∣ S 3 ∣ = 6 ∣ Z / 5 Z ∣ = 5 |\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}| = 5 ∣ Z /5 Z ∣ = 5 gcd ( 6 , 5 ) = 1 \gcd(6,5) = 1 g cd( 6 , 5 ) = 1 f ( σ ) = 0 ˉ f(\sigma) = \bar0 f ( σ ) = 0 ˉ
演習 8.2 標準
m , n m, n m , n f : Z / m Z → Z / n Z f \colon \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} f : Z / m Z → Z / n Z gcd ( m , n ) \gcd(m,n) g cd( m , n ) m = 4 m = 4 m = 4 n = 6 n = 6 n = 6
解答 Z / m Z \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} Z / m Z 1 ˉ \bar1 1 ˉ f f f f ( 1 ˉ ) f(\bar1) f ( 1 ˉ ) 命題 3.3 の (3)（加法群なので f ( k 1 ˉ ) = k f ( 1 ˉ ) f(k\bar1) = k f(\bar1) f ( k 1 ˉ ) = k f ( 1 ˉ ) f ( k ˉ ) = k f ( 1 ˉ ) f(\bar k) = k\,f(\bar1) f ( k ˉ ) = k f ( 1 ˉ ) f ( 1 ˉ ) = a ˉ ∈ Z / n Z f(\bar1) = \bar a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} f ( 1 ˉ ) = a ˉ ∈ Z / n Z
逆に a a a f ( k ˉ ) = k a ‾ f(\bar k) = \overline{ka} f ( k ˉ ) = k a k ˉ = k ′ ˉ \bar k = \bar{k'} k ˉ = k ′ ˉ Z / m Z \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} Z / m Z m ∣ k − k ′ m \mid k - k' m ∣ k − k ′ k a ‾ = k ′ a ‾ \overline{ka} = \overline{k'a} k a = k ′ a m ∣ k − k ′ ⟹ n ∣ ( k − k ′ ) a m \mid k-k' \implies n \mid (k-k')a m ∣ k − k ′ ⟹ n ∣ ( k − k ′ ) a n ∣ m a n \mid ma n ∣ ma k − k ′ = m k - k' = m k − k ′ = m k − k ′ = q m k-k' = qm k − k ′ = q m ( k − k ′ ) a = q ( m a ) (k-k')a = q(ma) ( k − k ′ ) a = q ( ma ) n n n 定理 7.1 を Z → Z / n Z \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z → Z / n Z k ↦ k a ‾ k \mapsto \overline{ka} k ↦ k a N = m Z N = m\mathbb{Z} N = m Z m Z ⊆ Ker m\mathbb{Z} \subseteq \operatorname{Ker} m Z ⊆ Ker
d = gcd ( m , n ) d = \gcd(m,n) d = g cd( m , n ) m = d m ′ m = d m' m = d m ′ n = d n ′ n = d n' n = d n ′ gcd ( m ′ , n ′ ) = 1 \gcd(m',n') = 1 g cd( m ′ , n ′ ) = 1
n ∣ m a ⟺ d n ′ ∣ d m ′ a ⟺ n ′ ∣ m ′ a ⟺ n ′ ∣ a n \mid ma \iff d n' \mid d m' a \iff n' \mid m'a \iff n' \mid a n ∣ ma ⟺ d n ′ ∣ d m ′ a ⟺ n ′ ∣ m ′ a ⟺ n ′ ∣ a です。最後の同値は gcd ( m ′ , n ′ ) = 1 \gcd(m', n') = 1 g cd( m ′ , n ′ ) = 1 0 ≤ a < n = d n ′ 0 \le a < n = dn' 0 ≤ a < n = d n ′ n ′ n' n ′ a = 0 , n ′ , 2 n ′ , … , ( d − 1 ) n ′ a = 0, n', 2n', \ldots, (d-1)n' a = 0 , n ′ , 2 n ′ , … , ( d − 1 ) n ′ d d d gcd ( m , n ) \gcd(m,n) g cd( m , n )
m = 4 m = 4 m = 4 n = 6 n = 6 n = 6 d = gcd ( 4 , 6 ) = 2 d = \gcd(4,6) = 2 d = g cd( 4 , 6 ) = 2 n ′ = 6 / 2 = 3 n' = 6/2 = 3 n ′ = 6/2 = 3 a ∈ { 0 , 3 } a \in \{0, 3\} a ∈ { 0 , 3 } 2 2 2
f 0 ( k ˉ ) = 0 ˉ f_0(\bar k) = \bar0 f 0 ( k ˉ ) = 0 ˉ f 1 ( k ˉ ) = 3 k ‾ f_1(\bar k) = \overline{3k} f 1 ( k ˉ ) = 3 k 0 ˉ ↦ 0 ˉ \bar0 \mapsto \bar0 0 ˉ ↦ 0 ˉ 1 ˉ ↦ 3 ˉ \bar1 \mapsto \bar3 1 ˉ ↦ 3 ˉ 2 ˉ ↦ 0 ˉ \bar2 \mapsto \bar0 2 ˉ ↦ 0 ˉ 3 ˉ ↦ 3 ˉ \bar3 \mapsto \bar3 3 ˉ ↦ 3 ˉ の 2 つです。検算として f 1 f_1 f 1 Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z /4 Z 4 ˉ = 0 ˉ \bar4 = \bar0 4 ˉ = 0 ˉ 3 ⋅ 4 ‾ = 12 ‾ = 0 ˉ \overline{3 \cdot 4} = \overline{12} = \bar0 3 ⋅ 4 = 12 = 0 ˉ Z / 6 Z \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} Z /6 Z Ker f 1 = { 0 ˉ , 2 ˉ } \operatorname{Ker} f_1 = \{\bar0, \bar2\} Ker f 1 = { 0 ˉ , 2 ˉ } Im f 1 = { 0 ˉ , 3 ˉ } \operatorname{Im} f_1 = \{\bar0,\bar3\} Im f 1 = { 0 ˉ , 3 ˉ } 系 5.2 の 4 = 2 ⋅ 2 4 = 2 \cdot 2 4 = 2 ⋅ 2
演習 8.3 標準
群 G G G g ∈ G g \in G g ∈ G c g ( x ) = g x g − 1 c_g(x) = gxg^{-1} c g ( x ) = g x g − 1 Z ( G ) = { g ∈ G : ∀ x ∈ G , g x = x g } Z(G) = \{g \in G : \forall x \in G,\ gx = xg\} Z ( G ) = { g ∈ G : ∀ x ∈ G , g x = xg } G G G Inn ( G ) = { c g : g ∈ G } \operatorname{Inn}(G) = \{c_g : g \in G\} Inn ( G ) = { c g : g ∈ G }
Φ : G → Aut ( G ) \Phi \colon G \to \operatorname{Aut}(G) Φ : G → Aut ( G ) Φ ( g ) = c g \Phi(g) = c_g Φ ( g ) = c g Ker Φ = Z ( G ) \operatorname{Ker}\Phi = Z(G) Ker Φ = Z ( G ) G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G) G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) G / Z ( G ) G/Z(G) G / Z ( G ) G G G 解答 (1) 各 c g c_g c g 例 3.4 で確かめました。Aut ( G ) \operatorname{Aut}(G) Aut ( G ) x ∈ G x \in G x ∈ G
c g h ( x ) = ( g h ) x ( g h ) − 1 = g ( h x h − 1 ) g − 1 = c g ( c h ( x ) ) = ( c g ∘ c h ) ( x ) c_{gh}(x) = (gh)x(gh)^{-1} = g\,(hxh^{-1})\,g^{-1} = c_g\bigl(c_h(x)\bigr) = (c_g \circ c_h)(x) c g h ( x ) = ( g h ) x ( g h ) − 1 = g ( h x h − 1 ) g − 1 = c g ( c h ( x ) ) = ( c g ∘ c h ) ( x ) なので Φ ( g h ) = c g h = c g ∘ c h = Φ ( g ) Φ ( h ) \Phi(gh) = c_{gh} = c_g \circ c_h = \Phi(g)\Phi(h) Φ ( g h ) = c g h = c g ∘ c h = Φ ( g ) Φ ( h ) Φ \Phi Φ ( g h ) − 1 = h − 1 g − 1 (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} ( g h ) − 1 = h − 1 g − 1
(2) Aut ( G ) \operatorname{Aut}(G) Aut ( G ) id G \operatorname{id}_G id G
g ∈ Ker Φ ⟺ c g = id G ⟺ ∀ x ∈ G , g x g − 1 = x ⟺ ∀ x ∈ G , g x = x g ⟺ g ∈ Z ( G ) g \in \operatorname{Ker}\Phi \iff c_g = \operatorname{id}_G \iff \forall x \in G,\ gxg^{-1} = x \iff \forall x \in G,\ gx = xg \iff g \in Z(G) g ∈ Ker Φ ⟺ c g = id G ⟺ ∀ x ∈ G , g x g − 1 = x ⟺ ∀ x ∈ G , g x = xg ⟺ g ∈ Z ( G ) （三つめの同値は両辺に右から g g g Ker Φ = Z ( G ) \operatorname{Ker}\Phi = Z(G) Ker Φ = Z ( G ) Im Φ = { c g : g ∈ G } = Inn ( G ) \operatorname{Im}\Phi = \{c_g : g \in G\} = \operatorname{Inn}(G) Im Φ = { c g : g ∈ G } = Inn ( G ) 定理 5.1 から
G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G) G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) です。ついでに 命題 4.2 の (2) から Z ( G ) ⊴ G Z(G) \trianglelefteq G Z ( G ) ⊴ G Inn ( G ) ≤ Aut ( G ) \operatorname{Inn}(G) \le \operatorname{Aut}(G) Inn ( G ) ≤ Aut ( G )
(3) Z = Z ( G ) Z = Z(G) Z = Z ( G ) G / Z = ⟨ g Z ⟩ G/Z = \langle gZ \rangle G / Z = ⟨ g Z ⟩ x ∈ G x \in G x ∈ G x Z ∈ G / Z xZ \in G/Z x Z ∈ G / Z i i i x Z = ( g Z ) i = g i Z xZ = (gZ)^i = g^i Z x Z = ( g Z ) i = g i Z x = g i z x = g^i z x = g i z z ∈ Z z \in Z z ∈ Z y ∈ G y \in G y ∈ G y = g j w y = g^j w y = g j w w ∈ Z w \in Z w ∈ Z z , w z, w z , w G G G g g g
x y = g i z g j w = g i g j z w = g i + j z w , y x = g j w g i z = g j g i w z = g i + j z w xy = g^i z\, g^j w = g^i g^j z w = g^{i+j} zw, \qquad
yx = g^j w\, g^i z = g^j g^i w z = g^{i+j} zw x y = g i z g j w = g i g j z w = g i + j z w , y x = g j w g i z = g j g i w z = g i + j z w となり x y = y x xy = yx x y = y x x , y x, y x , y G G G
（この結果の対偶として、G G G G / Z ( G ) G/Z(G) G / Z ( G ) ∣ G ∣ = p 2 |G| = p^2 ∣ G ∣ = p 2 p p p
演習 8.4 難
G G G H ≤ G H \le G H ≤ G N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G H N = { h n : h ∈ H , n ∈ N } HN = \{hn : h \in H,\ n \in N\} H N = { hn : h ∈ H , n ∈ N } 第二同型定理 ）。
H N ≤ G HN \le G H N ≤ G N ⊴ H N N \trianglelefteq HN N ⊴ H N H ∩ N ⊴ H H \cap N \trianglelefteq H H ∩ N ⊴ H H N / N ≅ H / ( H ∩ N ) HN/N \cong H/(H \cap N) H N / N ≅ H / ( H ∩ N ) 解答 (1) e = e e ∈ H N e = ee \in HN e = ee ∈ H N h 1 n 1 , h 2 n 2 ∈ H N h_1n_1, h_2n_2 \in HN h 1 n 1 , h 2 n 2 ∈ H N n 3 = n 1 n 2 − 1 ∈ N n_3 = n_1 n_2^{-1} \in N n 3 = n 1 n 2 − 1 ∈ N N ≤ G N \le G N ≤ G
( h 1 n 1 ) ( h 2 n 2 ) − 1 = h 1 n 1 n 2 − 1 h 2 − 1 = h 1 n 3 h 2 − 1 = ( h 1 h 2 − 1 ) ( h 2 n 3 h 2 − 1 ) (h_1n_1)(h_2n_2)^{-1} = h_1 n_1 n_2^{-1} h_2^{-1} = h_1 n_3 h_2^{-1} = (h_1 h_2^{-1})\,\bigl(h_2 n_3 h_2^{-1}\bigr) ( h 1 n 1 ) ( h 2 n 2 ) − 1 = h 1 n 1 n 2 − 1 h 2 − 1 = h 1 n 3 h 2 − 1 = ( h 1 h 2 − 1 ) ( h 2 n 3 h 2 − 1 ) です。最後の変形は h 1 n 3 h 2 − 1 = h 1 h 2 − 1 h 2 n 3 h 2 − 1 h_1 n_3 h_2^{-1} = h_1 h_2^{-1} h_2 n_3 h_2^{-1} h 1 n 3 h 2 − 1 = h 1 h 2 − 1 h 2 n 3 h 2 − 1 h 2 − 1 h 2 = e h_2^{-1}h_2 = e h 2 − 1 h 2 = e h 1 h 2 − 1 ∈ H h_1h_2^{-1} \in H h 1 h 2 − 1 ∈ H N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G h 2 n 3 h 2 − 1 ∈ N h_2 n_3 h_2^{-1} \in N h 2 n 3 h 2 − 1 ∈ N H N HN H N H N ≤ G HN \le G H N ≤ G N ⊆ H N N \subseteq HN N ⊆ H N n = e n n = en n = e n N ≤ H N N \le HN N ≤ H N N N N G G G H N HN H N N ⊴ H N N \trianglelefteq HN N ⊴ H N
(2)(3) 一度に示します。包含写像 H ↪ G H \hookrightarrow G H ↪ G π : G → G / N \pi \colon G \to G/N π : G → G / N
φ : H → G / N , φ ( h ) = h N \varphi \colon H \to G/N, \qquad \varphi(h) = hN φ : H → G / N , φ ( h ) = h N を考えます。準同型の合成は準同型なので φ \varphi φ φ ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = ( h 1 N ) ( h 2 N ) = φ ( h 1 ) φ ( h 2 ) \varphi(h_1h_2) = h_1h_2N = (h_1N)(h_2N) = \varphi(h_1)\varphi(h_2) φ ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = ( h 1 N ) ( h 2 N ) = φ ( h 1 ) φ ( h 2 )
像 ：Im φ = { h N : h ∈ H } \operatorname{Im}\varphi = \{hN : h \in H\} Im φ = { h N : h ∈ H } H N / N HN/N H N / N H N HN H N N N N h n N hnN hn N h ∈ H h \in H h ∈ H n ∈ N n \in N n ∈ N n N = N nN = N n N = N h n N = h N hnN = hN hn N = h N Im φ = H N / N \operatorname{Im}\varphi = HN/N Im φ = H N / N G / N G/N G / N
核 ：G / N G/N G / N N N N
Ker φ = { h ∈ H : h N = N } = { h ∈ H : h ∈ N } = H ∩ N \operatorname{Ker}\varphi = \{h \in H : hN = N\} = \{h \in H : h \in N\} = H \cap N Ker φ = { h ∈ H : h N = N } = { h ∈ H : h ∈ N } = H ∩ N です（二つめの等号は準備 2 節の h N = N ⟺ h ∈ N hN = N \iff h \in N h N = N ⟺ h ∈ N
命題 4.2 の (2) から Ker φ = H ∩ N ⊴ H \operatorname{Ker}\varphi = H \cap N \trianglelefteq H Ker φ = H ∩ N ⊴ H 定理 5.1 を φ \varphi φ
H / ( H ∩ N ) = H / Ker φ ≅ Im φ = H N / N H/(H \cap N) = H/\operatorname{Ker}\varphi \cong \operatorname{Im}\varphi = HN/N H / ( H ∩ N ) = H / Ker φ ≅ Im φ = H N / N となり (3) が示されました。
有限群の場合は位数を取ると ∣ H N ∣ ⋅ ∣ H ∩ N ∣ = ∣ H ∣ ⋅ ∣ N ∣ |HN| \cdot |H \cap N| = |H| \cdot |N| ∣ H N ∣ ⋅ ∣ H ∩ N ∣ = ∣ H ∣ ⋅ ∣ N ∣ 系 5.2 と (3) から ∣ H ∣ / ∣ H ∩ N ∣ = ∣ H N ∣ / ∣ N ∣ |H|/|H\cap N| = |HN|/|N| ∣ H ∣/∣ H ∩ N ∣ = ∣ H N ∣/∣ N ∣
松坂和夫『代数系入門』岩波書店、1976 — 第 2 章「群」。準同型・核・像と同型定理を、日本語の入門書として最も丁寧に扱っています。
雪江明彦『代数学 1 群論入門』日本評論社、2010 — 群の準同型と同型定理の章。豊富な具体例が付いています。
D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra , 3rd ed., Wiley, 2004 — Chapter 3 “Quotient Groups and Homomorphisms”。第一〜第四同型定理がまとめて扱われています。
S. Lang, Algebra , revised 3rd ed., Springer GTM 211, 2002 — Chapter I “Groups”。普遍性（定理 7.1 の形）を前面に出した記述です。
E. Noether, “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern”, Mathematische Annalen 96 (1927) — 同型定理群が抽象的な形で整理された原典のひとつです。
線形代数での姿。 V V V W W W K K K ベクトル空間 、T : V → W T \colon V \to W T : V → W 線形写像 とします。T T T Ker T \operatorname{Ker} T Ker T V V V Im T \operatorname{Im} T Im T W W W 商空間 V / Ker T V/\operatorname{Ker} T V / Ker T
V / Ker T ≅ Im T V/\operatorname{Ker} T \cong \operatorname{Im} T V / Ker T ≅ Im T が線形同型として成り立ちます。V V V dim ( V / Ker T ) = dim V − dim Ker T \dim(V/\operatorname{Ker} T) = \dim V - \dim \operatorname{Ker} T dim ( V / Ker T ) = dim V − dim Ker T
dim V = dim Ker T + dim Im T \dim V = \dim \operatorname{Ker} T + \dim \operatorname{Im} T dim V = dim Ker T + dim Im T すなわち階数・退化次数定理が出ます。線形代数で最初に習うこの定理は、準同型定理に「次元」という不変量を当てはめたものだったわけです。詳しくは ベクトル空間と線形変換 の 定理 7.3［ベクトル空間と線形変換］ を参照してください。
環での姿。 R R R S S S φ : R → S \varphi \colon R \to S φ : R → S 環準同型 とすると、Ker φ \operatorname{Ker}\varphi Ker φ R R R イデアル になり、Im φ \operatorname{Im}\varphi Im φ S S S
R / Ker φ ≅ Im φ R/\operatorname{Ker}\varphi \cong \operatorname{Im}\varphi R / Ker φ ≅ Im φ が成り立ちます（環の準同型定理（定理 5.1）［イデアルと剰余環］ ）。ここで正規部分群の役を果たすのがイデアルです。これは偶然ではなく、どちらも「商を作れる部分対象」＝「準同型の核になれる部分対象」という同じ役割を担っているからです（命題 4.2 の (3) が群でのその主張でした）。次章以降の 環と体の基礎 と イデアルと剰余環 で、この対応がそのまま繰り返されるのを確認してください。
共通の骨格。 群・環・加群・ベクトル空間・位相群のいずれでも、話の骨格は次の 3 点に集約されます。第一に、構造を保つ写像（準同型）を定める。第二に、「核になれる部分対象」を特徴づける（正規部分群／イデアル／部分空間）。第三に、核で割った商が像と同型であることを示す。この記事で 補題 4.3 から 定理 5.1 へ進んだ道筋は、どの代数系でもほとんど文字を置き換えるだけで再現できます。抽象代数を学ぶ利得のひとつは、この「一度証明すれば何度でも使える」構造にあります。