群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み

0. この記事の要点

• 群準同型 $f \colon G \to H$ とは積を積に写す写像です。単位元・逆元・整数べきが保たれることは要求せずとも定義から従います。
• 核 $\operatorname{Ker} f$ は $G$ の正規部分群、像 $\operatorname{Im} f$ は $H$ の部分群です。逆に、任意の正規部分群はある準同型の核として現れます。つまり「正規部分群」と「準同型の核」は同じものの表と裏です。
• $f$ が単射であることと $\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$ は同値です。核は「$f$ がどれだけ情報を潰したか」を測る量です。
• 準同型定理：$G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$。証明の要は「$f(x) = f(y)$ と $x\operatorname{Ker} f = y\operatorname{Ker} f$ が同値」という一点だけです。
• 応用すると $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^{\times}$ や $S_n/A_n \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が、また $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が複素平面の単位円と同型であることが、いずれも数行で出ます。商群の正体を「見慣れた群」として同定する道具です。
• $G$ が有限群なら $|G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f|$ が成り立ち、$H$ も有限群なら像の位数は $|G|$ と $|H|$ の共通の約数になります。

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1. 動機 — 群を「比べる」ための写像、「潰す」ための写像

前章までで、部分群・剰余類・正規部分群・商群を作ってきました。商群 $G/N$ は「$N$ の元をすべて単位元とみなして得られる群」として構成しましたが、素朴な疑問が残っているはずです。そうやって抽象的に作った群は、いったい何者なのか、という疑問です。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ なら時計の文字盤だと納得できます。しかし $GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R})$ と言われて、その正体がすぐ見える人はいないでしょう。剰余類の集合という定義に戻っても、行列の集合の集合が並ぶだけで、手応えがありません。

この章の主定理である準同型定理は、この問いに一般的な答えを与えます。乱暴に言えばこうです。

商群 $G/N$ の正体を知りたければ、$N$ をちょうど潰すような見慣れた群への全射を 1 本見つけよ。$G/N$ はその行き先と同型である。

$GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R})$ なら行列式 $\det$ がその 1 本で、答えは $\mathbb{R}^{\times}$（$0$ でない実数の乗法群）です。剰余類をいちいち書き下す必要はありません。

動機はもう一つあります。二つの群が「同じ」とはどういうことかという問いです。集合としての大きさだけでは足りません。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ はどちらも位数 $4$ ですが、前者には位数 $4$ の元 $\bar{1}$ があるのに対し、後者では単位元以外のすべての元 $(\bar1,\bar0), (\bar0,\bar1), (\bar1,\bar1)$ が位数 $2$ です。だから両者は「同じ群」とは言えません。比べるべきは元の個数ではなく積の表であり、積の表を保つ全単射こそが「同じ」の正しい定義になります。

そして、積を保つ写像は全単射でなくても意味を持ちます。整数を偶奇に潰す、行列を行列式に潰す、置換を符号に潰す。どれも情報を捨てていますが、捨て方が積と整合しているので、潰した先にもまた群の構造が残ります。捨てられた情報の全体がちょうど核であり、準同型定理は「捨てたぶんだけ商にとれば、残るのは像そのもの」という一種の保存則になっています。

群・環・加群に共通するこの形の定理群が現在の姿に整理されたのは、E. ネーターの 1920 年代の仕事によるとされ、今日でも「ネーターの同型定理」と呼ばれます。この記事で扱うのはその第一（準同型定理）と第三で、第二は演習に回します。

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