ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ

0. この記事の要点

• ニュートンの第 1 法則は「力がなければ等速直線運動する」という主張ではなく、そのような座標系（慣性系）が存在するという主張です。第 2 法則はその慣性系でのみ意味を持ちます。
• 運動方程式 $m\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}$ は位置についての 2 階の微分方程式です。だからこそ、初期位置と初期速度の 2 つを与えると以後の運動が一意に決まります。
• 力が具体的に何であるか（重力・ばね・摩擦）を与えて初めて方程式が閉じます。力の形を指定する部分は法則ではなく、実験から得られる構成則です。
• 運動量保存則は第 3 法則（作用反作用）から、力学的エネルギー保存則は力が保存力であることから、それぞれ運動方程式の帰結として導かれます。保存則は追加の公理ではありません。
• 1 次元の保存系では、エネルギー保存則を 1 階の方程式とみなして積分するだけで運動が求まります（求積法）。ポテンシャルのグラフを描けば、運動の定性的な様子が計算前にわかります。

1. 動機：なぜ「力 = 加速度」なのか

アリストテレス以来、力と運動の関係は「力が速度を決める」と考えられていました。荷車を押し続ければ動き、手を離せば止まる。日常の経験はこの見方を支持します。

この見方を壊したのがガリレオです。彼は斜面を転がる球を観察し、下り坂では加速し、上り坂では減速し、水平面では（摩擦を減らすほど）いつまでも同じ速さで動き続けることに気づきました。ここから、等速直線運動を保つのに力は要らないという結論が出ます。手を離した荷車が止まるのは、力が消えたからではなく、摩擦という別の力が働くからです。

この転換の意味を微分の言葉で言い直すと次のようになります。力が決めるのは速度 $\dot{\boldsymbol{r}}$ ではなく加速度 $\ddot{\boldsymbol{r}}$ である、つまり運動方程式は位置についての 2 階の微分方程式である、ということです。この「2 階」という事実が古典力学の性格をほとんど決めてしまいます。2 階の常微分方程式の初期値問題は、初期位置 $\boldsymbol{r}(t_0)$ と初期速度 $\dot{\boldsymbol{r}}(t_0)$ の 2 つを指定すれば解が一つに定まります。逆に言えば、位置だけを知っていても未来はわからず、速度も同時に知らなければならない。ラプラスが「宇宙のすべての粒子の位置と速度を知る知性は未来を計算できる」と述べたときの「位置と速度」の 2 つ組は、方程式が 2 階であることの直接の反映です。

ニュートンが 1687 年の『プリンキピア』で行ったのは、この洞察を公理系として書き下し、さらに万有引力という具体的な力の形と組み合わせて、ケプラーが観測から見出した惑星の運動法則を導いてみせたことでした。天体の運動と地上の落下運動が同じ方程式に従うという主張は、当時としては極端に大胆なものです。惑星運動への応用は 惑星の運動と中心力 で扱います（軌道が円錐曲線になることは ケプラーの第一法則（定理 5.2）［惑星の運動と中心力］）。

この記事では、三法則を精密に述べ直したうえで、保存則が公理ではなく定理であることを確認します。運動量保存則もエネルギー保存則も、運動方程式から証明できます。証明を通して「どの仮定がどの保存則を支えているか」が見えると、仮定が破れる状況（摩擦がある、外力がある）で何が起きるかも予測できるようになります。

2. 準備：質点、時刻、軌道

古典力学の最も単純な対象は質点です。質点とは、大きさを無視して 1 点で代表してよい物体のことで、その状態は位置ベクトルだけで表されます。地球を質点として扱ってよいかどうかは、問題のスケールによります（公転を論じるなら可、自転を論じるなら不可）。

3 次元空間を実ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ と同一視し、質点の位置を時刻 $t$ の関数 $\boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ で表します。ベクトル空間としての性質は ベクトル空間と線形変換（ベクトル空間の定義（定義 3.1）［ベクトル空間と線形変換］）を前提とします。$\boldsymbol{r}$ が 2 回微分可能なとき、

$$\boldsymbol{v}(t) = \dot{\boldsymbol{r}}(t) = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}, \qquad \boldsymbol{a}(t) = \ddot{\boldsymbol{r}}(t) = \frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}$$

をそれぞれ速度・加速度と呼びます。ドットは時間微分を表すニュートン以来の記法です。微分の定義そのもの（定義 3.3［導関数の定義と基本的な微分法］）は 導関数の定義と基本的な微分法 を参照してください。

物体には質量 $m > 0$ という正の実数が割り当てられているとします。質量は物体固有の量で、場所や運動状態によらないと仮定します（古典力学の範囲では。相対論ではこの仮定が修正されます）。

3. 運動の三法則

三法則は互いに独立な主張です。順に見ていきます。

定義 3.1（慣性系）

時刻と空間座標の組 $(t, \boldsymbol{r})$ を与える基準系のうち、他の物体から力を受けていないすべての質点が等速直線運動（加速度 $\boldsymbol{0}$ の運動）をするようなものを、慣性系と呼びます。

公理 3.2（第 1 法則（慣性の法則））

慣性系が少なくとも一つ存在します。

第 1 法則を「力を受けない物体は等速直線運動する」と述べると、第 2 法則で $\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ とした場合にすぎず、独立な主張になりません。第 1 法則の内容は、そうではなく、第 2 法則が成り立つ舞台（慣性系）が存在するという存在主張です。回転する円盤の上に固定した座標系では、力を受けていない質点も曲がって見えます（遠心力・コリオリ力と呼ばれる見かけの力が現れます）。第 1 法則は、そういう系ばかりではないことを保証しています。

公理 3.3（第 2 法則（運動の法則））

慣性系において、質量 $m$ の質点の運動量を $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$ と定めると、質点に働く力 $\boldsymbol{F}$ に対して

$$\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} = \boldsymbol{F}$$

が成り立ちます。とくに $m$ が時間によらないとき、これは $m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}$ と書けます。

質量が変化する場合（ロケットのように燃料を放出する場合）には $d\boldsymbol{p}/dt = \boldsymbol{F}$ の形が本質的で、$m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}$ をそのまま使うと誤ります。この記事では以後 $m$ は定数とします。

公理 3.4（第 3 法則（作用反作用の法則））

質点 $i$ が質点 $j$ に及ぼす力を $\boldsymbol{F}_{ji}$ と書くとき、

$$\boldsymbol{F}_{ji} = -\boldsymbol{F}_{ij}$$

が成り立ちます（弱い形）。さらに $\boldsymbol{F}_{ji}$ が 2 質点を結ぶ直線 $\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i$ に平行であるとき、強い形が成り立つと言います。

弱い形は運動量保存則を導くのに十分ですが、角運動量保存則には強い形が必要です。重力やクーロン力は強い形を満たします。一方、運動する電荷どうしに働く磁気的な力は第 3 法則を満たしません（失われた運動量は電磁場が持ち去ります）。第 3 法則は普遍的な真理ではなく、力の種類に依存する仮定である、と理解しておくのが安全です。保存則をより深い原理（時空の対称性）から捉え直す視点は 対称性と保存則（ネーターの定理） で扱います（ネーターの定理（定理 4.1）［対称性と保存則］）。

注意 3.5（力と質量の定義は循環していないか）

「力とは何か」と問うと「質量かける加速度」と答え、「質量とは何か」と問うと「同じ力に対する加速度のしにくさ」と答える。これでは循環です。マッハはこの点を批判し、第 3 法則を使って質量比を先に定義する道を示しました。孤立した 2 質点が相互作用するとき、$m_1\boldsymbol{a}_1 = -m_2\boldsymbol{a}_2$ が成り立つので、加速度の比の測定から質量比 $m_2/m_1 = |\boldsymbol{a}_1|/|\boldsymbol{a}_2|$ が力を知らずに決まります。基準となる 1 kg を決めれば、あとはすべての質量が測定できます。質量が決まれば、第 2 法則が力を定義し、さらに「重力は距離の $-2$ 乗に比例する」といった具体的な力の法則が独立の内容を持つことになります。

4. 力の構成則

三法則だけでは運動は決まりません。$\boldsymbol{F}$ が位置・速度・時刻のどんな関数なのかを指定して初めて、運動方程式は解くべき微分方程式になります。この指定は実験から得られるもので、構成則と呼ばれます。代表的なものを挙げます。

万有引力。質量 $M$, $m$ の質点が距離 $r$ だけ離れているとき、互いに引き合う力の大きさは $GMm/r^2$ です（$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$）。地表付近では $r \approx R_\oplus$（地球半径）とみなせるので、力の大きさは $mg$、$g = GM_\oplus/R_\oplus^2 \approx 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とほぼ一定になります。

ばねの力（フックの法則）。自然長からの伸び $x$ に対して $F = -kx$（$k > 0$ はばね定数）。この線形性は基本法則ではなく近似です。実際、一般のポテンシャル $U(x)$ が $x = x_0$ で極小値をとるなら、テイラーの定理（定理 5.3［平均値の定理とテイラーの定理］、平均値の定理とテイラーの定理）より

$$U(x) = U(x_0) + \tfrac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2 + O\!\left((x-x_0)^3\right)$$

（1 次の項は $U'(x_0)=0$ より消えます）。したがって力は $F = -U'(x) \approx -U''(x_0)(x-x_0)$ となり、$k = U''(x_0)$ とおけばフックの法則が得られます。極小点の近傍では、どんな系も近似的にばねである。これが単振動があらゆる分野に現れる理由です。

摩擦力。固体どうしの滑り摩擦は、速さによらず大きさ $\mu N$（$N$ は垂直抗力、$\mu$ は動摩擦係数）で運動と逆向きに働く、というクーロンの近似がよく使われます。流体中の抵抗は速さが小さいとき $\boldsymbol{F} = -\gamma\boldsymbol{v}$（粘性抵抗）、速さが大きいとき大きさが $v^2$ に比例します。

拘束力。糸の張力や床からの垂直抗力は、あらかじめ大きさが与えられておらず、「糸が伸びない」「面にめり込まない」という条件を満たすように値が定まります。拘束力を消去して扱う技法が ラグランジュ形式の力学 の主要な動機の一つです。

命題 4.1（初期値問題の解の一意性）

$m > 0$ とし、$\boldsymbol{F} : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $(t, \boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}) \mapsto \boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r},\boldsymbol{v})$ が連続で、さらに $(\boldsymbol{r},\boldsymbol{v})$ について一様にリプシッツ連続、すなわちある $L > 0$ が存在してすべての $t$ と $(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{v}_1), (\boldsymbol{r}_2,\boldsymbol{v}_2)$ に対して

$$|\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{v}_1) - \boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r}_2,\boldsymbol{v}_2)| \le L\left(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2| + |\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2|\right)$$

が成り立つとします。このとき、区間 $J \ni t_0$ 上の $C^2$ 級の解で

$$m\ddot{\boldsymbol{r}}(t) = \boldsymbol{F}(t, \boldsymbol{r}(t), \dot{\boldsymbol{r}}(t)), \qquad \boldsymbol{r}(t_0) = \boldsymbol{r}_0,\quad \dot{\boldsymbol{r}}(t_0) = \boldsymbol{v}_0$$

を満たすものは、$J$ 上でたかだか一つです。

注意 4.2（一意性が破れるとき）

証明は Appendix に置きました。リプシッツ性を落とすと一意性は本当に壊れます。ノートンは、$m\ddot{s} = \sqrt{s}$（$s \ge 0$）という形の方程式が $s(0)=\dot{s}(0)=0$ という初期条件に対して $s \equiv 0$ 以外の解 $s(t) = t^4/144$（$m=1$ のとき）を持つことを指摘し、これを「ドーム」の形に成形した力学系として提示しました。右辺 $\sqrt{s}$ は $s=0$ でリプシッツでないため 命題 4.1 の仮定を満たしません。古典力学の決定論は法則そのものからではなく、力の滑らかさという追加の仮定から出ている、ということです。

5. 1 次元の運動を解く

以下、直線上の運動 $x(t)$ を考えます。運動方程式は $m\ddot{x} = F$ です。

5.1. 等加速度運動

$F$ が定数 $F_0$ のとき、$a = F_0/m$ も定数です。$\dot{v} = a$ を $t_0=0$ から積分し（微積分学の基本定理 定理 5.4［積分の基本定理と定積分］、積分の基本定理と定積分）、

$$v(t) = v_0 + at, \qquad x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2 .$$

第 1 式から $t = (v - v_0)/a$（$a \ne 0$）を第 2 式に代入すると、

$$x - x_0 = v_0\cdot\frac{v-v_0}{a} + \frac{a}{2}\cdot\frac{(v-v_0)^2}{a^2} = \frac{2v_0(v-v_0) + (v-v_0)^2}{2a} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$$

となり、時刻を含まない関係式 $v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)$ が得られます。これは後に述べるエネルギー保存則（定理 7.5）の特別な場合です。実際、両辺に $m/2$ を掛ければ $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = F_0 (x - x_0)$ となり、運動エネルギーの変化が仕事に等しいという式そのものです。

例 5.1（粘性抵抗を受ける落下）

鉛直下向きを正にとり、質量 $m$ の物体が重力 $mg$ と粘性抵抗 $-\gamma v$（$\gamma > 0$）を受けて $v(0)=0$ から落下するとします。運動方程式は

$$m\dot{v} = mg - \gamma v .$$

$\tau = m/\gamma$、$v_\infty = mg/\gamma$ とおくと $\dot{v} = -(v - v_\infty)/\tau$ です。$w = v - v_\infty$ とおけば $\dot{w} = -w/\tau$ なので、$\frac{d}{dt}\left(w e^{t/\tau}\right) = e^{t/\tau}(\dot{w} + w/\tau) = 0$。よって $w(t) = w(0)e^{-t/\tau} = -v_\infty e^{-t/\tau}$ となり、

$$v(t) = v_\infty\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad x(t) = v_\infty\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$$

（$x(0)=0$ として $v$ を積分しました）。$t \to \infty$ で $v \to v_\infty$、これが終端速度です。

抵抗が無視できる極限で自由落下に戻ることを確かめます。$t/\tau$ が小さいとき $e^{-t/\tau} = 1 - \frac{t}{\tau} + \frac{t^2}{2\tau^2} - \cdots$ なので

$$v(t) = v_\infty\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} + \cdots\right) = gt\left(1 - \frac{t}{2\tau} + \cdots\right)$$

（$v_\infty/\tau = g$ を使いました）。第 1 項は $gt$、すなわち自由落下の速度です。補正項の相対的な大きさは $t/(2\tau)$ なので、$t \ll \tau$ の間は抵抗を無視してよい、と定量的に言えます。

5.2. 単振動

定理 5.2（調和振動子の一般解）

$m > 0$, $k > 0$ とし、$\omega = \sqrt{k/m}$ とおきます。$x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が $C^2$ 級で

$$m\ddot{x}(t) = -k\,x(t) \qquad (t \in \mathbb{R})$$

を満たすならば、

$$x(t) = x(0)\cos\omega t + \frac{\dot{x}(0)}{\omega}\sin\omega t$$

がすべての $t$ で成り立ちます。逆に、任意の実数 $A, B$ に対し $x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t$ はこの方程式の解です。

証明（定理 5.2）

まず逆向きを確かめます。$x(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t$ とすると $\dot{x}(t) = -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t$、 $\ddot{x}(t) = -A\omega^2\cos\omega t - B\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 x(t)$ なので、$m\ddot{x} = -m\omega^2 x = -kx$ となり方程式を満たします。

次に一意性を示します。$x$ を方程式の解とし、$A = x(0)$, $B = \dot{x}(0)/\omega$ とおいて

$$u(t) = x(t) - \left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right)$$

と定めます。$x$ も括弧内も方程式の解であり、方程式は $u$ について線形なので、$u$ も $\ddot{u} = -\omega^2 u$ を満たします。また $u(0) = x(0) - A = 0$、$\dot{u}(0) = \dot{x}(0) - B\omega = 0$ です。

ここで

$$E(t) = \tfrac{1}{2}\dot{u}(t)^2 + \tfrac{1}{2}\omega^2 u(t)^2$$

とおきます。$u$ は $C^2$ 級なので $E$ は微分可能で、積の微分法から

$$\dot{E} = \dot{u}\ddot{u} + \omega^2 u\dot{u} = \dot{u}\left(-\omega^2 u\right) + \omega^2 u \dot{u} = 0 .$$

よって $E$ は定数であり、$E(0) = \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{2}\omega^2\cdot 0 = 0$ だから $E \equiv 0$ です。$E$ は非負の 2 項の和なので、両方が $0$、とくに $\frac{1}{2}\omega^2 u(t)^2 = 0$。$\omega > 0$ より $u(t) = 0$ がすべての $t$ で成り立ちます。

∎

この証明は、後で導くエネルギー保存則（定理 7.5）を一意性の道具として先取りしたものです。線形代数の言葉で言えば、解空間が 2 次元ベクトル空間で $\{\cos\omega t, \sin\omega t\}$ がその基底であることを示したことになります。

$A\cos\omega t + B\sin\omega t = C\cos(\omega t - \varphi)$（$C = \sqrt{A^2+B^2}$, $\tan\varphi = B/A$）と書き直せば、$C$ が振幅、$\omega$ が角振動数、$\varphi$ が位相です。周期は $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$ で、振幅によらないことに注意してください（等時性）。

例 5.3（ばね振り子の具体的な数値）

$m = 0.50\ \mathrm{kg}$, $k = 200\ \mathrm{N/m}$ のばねに付けた物体を、つり合いの位置から $0.030\ \mathrm{m}$ だけ引いて静かに手を離します。

角振動数は $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0.50} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$、周期は $T = 2\pi/20 \approx 0.314\ \mathrm{s}$、振動数は $1/T \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$ です。

初期条件は $x(0) = 0.030\ \mathrm{m}$, $\dot{x}(0) = 0$ なので、定理 5.2 より $x(t) = 0.030\cos(20t)\ \mathrm{m}$。したがって最大の速さは $\omega C = 20 \times 0.030 = 0.60\ \mathrm{m/s}$、最大の加速度の大きさは $\omega^2 C = 400 \times 0.030 = 12\ \mathrm{m/s^2}$ です。

全エネルギーは $\frac{1}{2}kC^2 = \frac{1}{2}\times 200 \times (0.030)^2 = 0.090\ \mathrm{J}$。これが中心を通過する瞬間にすべて運動エネルギーになるはずで、実際 $\frac{1}{2}m v_{\max}^2 = \frac{1}{2}\times 0.50 \times (0.60)^2 = 0.090\ \mathrm{J}$ と一致します。

6. 運動量保存則

ここからは $N$ 個の質点からなる系を考えます。質点 $i$（質量 $m_i$、位置 $\boldsymbol{r}_i$）に働く力を、系の外から働く外力 $\boldsymbol{F}_i^{\mathrm{ext}}$ と、系内の質点 $j$ から働く内力 $\boldsymbol{F}_{ij}$ に分けます。第 2 法則（公理 3.3）は

$$m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i = \boldsymbol{F}_i^{\mathrm{ext}} + \sum_{j \ne i} \boldsymbol{F}_{ij} \qquad (i = 1,\dots,N)$$

です。

定理 6.1（運動量保存則）

上の設定で、内力が第 3 法則の弱い形（公理 3.4）$\boldsymbol{F}_{ij} = -\boldsymbol{F}_{ji}$ を満たすとします。系の全運動量を $\boldsymbol{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i$ と定めると、

$$\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} = \sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{F}_i^{\mathrm{ext}}$$

が成り立ちます。とくに外力の総和が恒等的に $\boldsymbol{0}$ ならば、$\boldsymbol{P}$ は時間によらず一定です。

証明（定理 6.1）

運動方程式を $i$ について総和します。

$$\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} = \sum_{i} m_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i = \sum_i \boldsymbol{F}_i^{\mathrm{ext}} + \sum_{i}\sum_{j \ne i}\boldsymbol{F}_{ij} .$$

二重和は、順序対 $(i,j)$（$i \ne j$）すべてにわたる和です。これを非順序対 $\{i,j\}$ ごとにまとめると、各非順序対からちょうど 2 項 $\boldsymbol{F}_{ij}$ と $\boldsymbol{F}_{ji}$ が現れます。第 3 法則の弱い形よりこの 2 項の和は $\boldsymbol{F}_{ij} + \boldsymbol{F}_{ji} = \boldsymbol{0}$ です。したがって二重和全体が $\boldsymbol{0}$ となり、第 1 式が従います。

外力の総和が $\boldsymbol{0}$ なら $d\boldsymbol{P}/dt = \boldsymbol{0}$ であり、各成分が定数関数となるので $\boldsymbol{P}$ は一定です。

∎

系 6.2（重心の運動）

全質量を $M = \sum_i m_i$、重心を $\boldsymbol{R} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i$ とすると、定理 6.1 の仮定の下で

$$M\ddot{\boldsymbol{R}} = \sum_{i}\boldsymbol{F}_i^{\mathrm{ext}}$$

が成り立ちます。すなわち重心は、全質量が集まった 1 個の質点が外力の合計を受けるのと同じ運動をします。

証明（系 6.2）

$M\boldsymbol{R} = \sum_i m_i\boldsymbol{r}_i$ を $t$ で 1 回微分すると $M\dot{\boldsymbol{R}} = \sum_i m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i = \boldsymbol{P}$ です（$m_i$ も $M$ も定数なので微分の線形性がそのまま使えます）。もう 1 回微分して $M\ddot{\boldsymbol{R}} = d\boldsymbol{P}/dt$ となり、定理 6.1 を適用すれば結論を得ます。

∎

この系のおかげで、花火が破裂しても破片全体の重心は元の放物線を描き続ける、といったことがただちに言えます。破裂の内力がどれほど複雑でも、重心の運動には一切影響しません。

例 6.3（完全非弾性衝突）

なめらかな水平面上を $m_1 = 2.0\ \mathrm{kg}$ の台車が $v_1 = 3.0\ \mathrm{m/s}$ で走り、静止している $m_2 = 4.0\ \mathrm{kg}$ の台車に衝突して一体になりました。水平方向には外力が働かないので、定理 6.1 より衝突前後で運動量が保存します。

$$m_1 v_1 + m_2\cdot 0 = (m_1+m_2)v' \implies v' = \frac{2.0\times 3.0}{6.0} = 1.0\ \mathrm{m/s}.$$

運動エネルギーはどうなるでしょうか。衝突前は $\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2 = 9.0\ \mathrm{J}$、衝突後は $\frac{1}{2}\times 6.0 \times 1.0^2 = 3.0\ \mathrm{J}$ で、$6.0\ \mathrm{J}$ が失われています。失われた分は変形と発熱に使われました。

運動量は保存するが運動エネルギーは保存しない。この非対称性は重要です。運動量保存は第 3 法則だけから出るので内力の詳細によらないのに対し、力学的エネルギー保存には次節で見るように「力が保存力である」という追加の条件が要ります。

7. 仕事とエネルギー

定義 7.1（仕事と運動エネルギー）

質点が力 $\boldsymbol{F}$ を受けながら $C^1$ 級の道 $\boldsymbol{r}:[t_1,t_2] \to \mathbb{R}^3$ に沿って動くとき、この間に力がした仕事を

$$W = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}(t)\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t)\,dt$$

と定めます。また質点の運動エネルギーを $K = \frac{1}{2}m|\boldsymbol{v}|^2$ と定めます。

定理 7.2（仕事・運動エネルギー定理）

質量 $m$（定数）の質点が慣性系で運動方程式 $m\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}$ を満たし、$\boldsymbol{r}$ が $[t_1,t_2]$ 上で $C^2$ 級、$\boldsymbol{F}$ が連続であるとします。このとき

$$K(t_2) - K(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\,dt$$

が成り立ちます。すなわち運動エネルギーの変化量は、その間に力がした仕事に等しくなります。

証明（定理 7.2）

$K(t) = \frac{1}{2}m\,\boldsymbol{v}(t)\cdot\boldsymbol{v}(t)$ を微分します。内積は各成分の積の和なので、積の微分法を成分ごとに適用して

$$\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}m\left(\dot{\boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\cdot\dot{\boldsymbol{v}}\right) = m\,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v}$$

（内積の対称性を使いました）。ここで運動方程式 $m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}$（公理 3.3）を代入すると $\dfrac{dK}{dt} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{v}$ です。

$\boldsymbol{r}$ が $C^2$ 級、$\boldsymbol{F}$ が連続なので右辺は $[t_1,t_2]$ 上連続であり、$K$ は $C^1$ 級です。微積分学の基本定理により

$$K(t_2)-K(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}\frac{dK}{dt}\,dt = \int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\,dt .$$∎

定義 7.3（保存力とポテンシャル）

領域 $D \subset \mathbb{R}^3$ 上で定義された力の場 $\boldsymbol{F}: D \to \mathbb{R}^3$ が保存力であるとは、$C^1$ 級の関数 $U : D \to \mathbb{R}$ が存在して

$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\nabla U(\boldsymbol{r}) \qquad (\boldsymbol{r} \in D)$$

となることをいいます。この $U$ をポテンシャルエネルギーと呼びます。$U$ は定数の差を除いて一意です（$D$ が連結のとき）。

保存力の力は位置だけで決まり、速度や時刻を含みません。摩擦力は運動の向きに依存する（速度の関数である）ため、この定義から外れます。多変数の微分と勾配 $\nabla$ については 全微分可能性の定義（定義 4.1）［多変数関数の微分と偏微分］（多変数関数の微分と偏微分）を参照してください。

命題 7.4（1 次元の連続な力は必ず保存力）

$I \subset \mathbb{R}$ を区間、$F : I \to \mathbb{R}$ を連続関数とし、$x_0 \in I$ を固定して

$$U(x) = -\int_{x_0}^{x} F(\xi)\,d\xi$$

とおきます。このとき $U$ は $C^1$ 級で $U'(x) = -F(x)$、すなわち $F$ は保存力です。

証明（命題 7.4）

$F$ は $I$ 上連続なので、微積分学の基本定理より $x \mapsto \int_{x_0}^{x}F(\xi)d\xi$ は微分可能で導関数が $F(x)$ に等しく、$F$ が連続だからこの導関数も連続です。両辺に $-1$ を掛けて $U'(x) = -F(x)$、かつ $U'$ は連続、すなわち $U$ は $C^1$ 級です。

∎

1 次元では位置の連続関数である力はすべて保存力になります。エネルギー保存が破れるのは、力が速度に依存する（摩擦・抵抗）か、時刻に陽に依存する（外から揺すられている）場合だけです。3 次元では話が変わり、位置だけの関数でも保存力とは限りません（$\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ が必要です）。

定理 7.5（力学的エネルギー保存則）

$m > 0$ を定数、$U$ を領域 $D$ 上の $C^1$ 級関数とし、質点が $D$ 内で $C^2$ 級の軌道を描き、運動方程式

$$m\ddot{\boldsymbol{r}}(t) = -\nabla U(\boldsymbol{r}(t))$$

を満たすとします。このとき力学的エネルギー

$$E(t) = \tfrac{1}{2}m|\dot{\boldsymbol{r}}(t)|^2 + U(\boldsymbol{r}(t))$$

は時間によらず一定です。

証明（定理 7.5）

定理 7.2 の証明中で示したように $\dfrac{dK}{dt} = \boldsymbol{F}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}$ です。一方、合成関数の微分法（連鎖律、定理 6.1［多変数関数の微分と偏微分］）より

$$\frac{d}{dt}U(\boldsymbol{r}(t)) = \nabla U(\boldsymbol{r}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t).$$

仮定 $\boldsymbol{F} = -\nabla U$ を使うと、

$$\frac{dE}{dt} = \frac{dK}{dt} + \frac{d}{dt}U(\boldsymbol{r}(t)) = \left(-\nabla U\right)\cdot\dot{\boldsymbol{r}} + \nabla U\cdot\dot{\boldsymbol{r}} = 0 .$$

$E$ は区間上で微分可能かつ導関数が恒等的に $0$ なので、平均値の定理より定数関数です。

∎

系 7.6（1 次元保存系の求積）

1 次元で $m\ddot{x} = -U'(x)$（$U$ は $C^1$ 級）に従う運動を考え、$E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + U(x)$ とおきます。ある区間で $E - U(x) > 0$ かつ $\dot{x} > 0$ であれば、その区間で

$$\dot{x} = \sqrt{\frac{2\left(E - U(x)\right)}{m}}, \qquad t - t_1 = \int_{x(t_1)}^{x(t)}\sqrt{\frac{m}{2\left(E-U(\xi)\right)}}\,d\xi$$

が成り立ちます。すなわち運動は 1 回の積分（求積）で決まります。

証明（系 7.6）

定理 7.5 より $\frac{1}{2}m\dot{x}^2 = E - U(x)$ です。両辺を $m/2$ で割って平方根をとり、$\dot{x} > 0$ という仮定から符号を正に選ぶと第 1 式を得ます。次に第 1 式を $\dfrac{dx}{\sqrt{2(E-U(x))/m}} = dt$ と変数分離し、$t_1$ から $t$ まで積分します。左辺は $x$ についての置換積分になり、$E - U > 0$ より被積分関数は連続なので、第 2 式が従います。

∎

7.1. ポテンシャルの図から運動を読む

$E - U(x) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 \ge 0$ なので、質点は $U(x) \le E$ を満たす範囲にしか入れません。等号が成り立つ点では速度が $0$ になり、そこで折り返します。これを転回点と呼びます。ポテンシャルのグラフに水平線 $U = E$ を引くだけで、運動が有界か非有界か、どこで折り返すかがわかります。

ポテンシャル曲線とエネルギー準位。両者の差の高さが運動エネルギーで、両者が一致する点が転回点。

図の $E$ では、質点は $x_1$ と $x_2$ の間を往復します（有界運動）。$E$ を上げて破線が $U \to 0$ の水平漸近線を超えると、右側の転回点が消えて質点は無限遠まで飛んでいきます（非有界運動）。この境界のエネルギーが「束縛が解ける」条件で、天体の場合はこれが脱出速度を与えます。

例 7.7（地球からの脱出速度）

地球（質量 $M$、半径 $R$）の中心から距離 $r$ にある質量 $m$ の物体のポテンシャルは $U(r) = -GMm/r$ です（無限遠を基準にとりました）。地表から鉛直上向きに速さ $v$ で打ち出すとき、空気抵抗と地球の自転を無視すれば 定理 7.5 より

$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$$

が保存します。無限遠に到達する（$r \to \infty$ で $U \to 0$、$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 \ge 0$）ためには $E \ge 0$ が必要十分で、

$$v \ge \sqrt{\frac{2GM}{R}} .$$

数値を入れます。$GM = 3.986\times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$, $R = 6.371\times 10^{6}\ \mathrm{m}$ なので

$$\frac{2GM}{R} = \frac{2 \times 3.986\times 10^{14}}{6.371\times 10^{6}} = 1.251\times 10^{8}\ \mathrm{m^2/s^2}, \qquad v \ge 1.119\times 10^{4}\ \mathrm{m/s} \approx 11.2\ \mathrm{km/s}.$$

質量 $m$ が消えることに注意してください。ボールでもロケットでも必要な速さは同じです。

例 7.8（摩擦がある場合：エネルギーは保存しない）

水平面上で $m = 2.0\ \mathrm{kg}$ の物体を $v_0 = 6.0\ \mathrm{m/s}$ で滑らせます。動摩擦係数を $\mu = 0.30$、$g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とすると、垂直抗力は $N = mg$、摩擦力の大きさは $\mu mg$ で運動と逆向きです。運動方程式は $m\dot{v} = -\mu mg$、つまり加速度は $-\mu g = -2.94\ \mathrm{m/s^2}$ の一定値です。

等加速度運動の関係式 $v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)$ に $v = 0$ を代入して、停止距離は

$$d = \frac{v_0^2}{2\mu g} = \frac{36}{2 \times 0.30 \times 9.8} = \frac{36}{5.88} \approx 6.1\ \mathrm{m}.$$

エネルギーの帳尻を見ます。初めの運動エネルギーは $\frac{1}{2}\times 2.0 \times 6.0^2 = 36\ \mathrm{J}$、摩擦力がした仕事は $-\mu mg\,d = -0.30\times 2.0\times 9.8\times 6.1 \approx -36\ \mathrm{J}$ で、定理 7.2 のとおり両者は釣り合います。しかし摩擦力は速度の向きに依存するので保存力ではなく、$36\ \mathrm{J}$ を蓄えるポテンシャルは存在しません。力学的エネルギーは熱に変わって力学の枠から出ていきます。

flowchart TD
A["第2法則: m a = F"] --> B["1質点の運動方程式"]
C["第3法則: 作用反作用（弱い形）"] --> D["内力の相殺"]
B --> D
D --> E["運動量保存則（外力の和が0）"]
B --> F["仕事・運動エネルギー定理"]
G["力が保存力: F = -grad U"] --> H["力学的エネルギー保存則"]
F --> H
H --> I["1次元では求積法で解ける"]

三法則から保存則が導かれる筋道

保存則が「運動方程式の帰結」であることは、この図から読み取れます。しかし逆に、保存則の側をより基本的な原理から導く道もあります。空間の一様性が運動量保存を、時間の一様性がエネルギー保存を導く、というのがネーターの定理です（対称性と保存則（ネーターの定理））。その定式化には ラグランジュ形式の力学 が必要になります。

8. 演習

演習 8.1易

地上から鉛直上向きに初速 $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ でボールを投げ上げます。空気抵抗を無視し $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とするとき、最高点の高さ $h$ と、そこに達するまでの時間 $t_1$ を求めてください。さらに、同じ $h$ をエネルギー保存則からも求めてください。

解答

鉛直上向きを正にとると、力は重力だけなので $m\ddot{y} = -mg$、加速度は $a = -g$ の一定値です。等加速度運動の公式より $v(t) = v_0 - gt$。最高点では $v = 0$ なので

$$t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{9.8} \approx 2.04\ \mathrm{s}.$$

高さは $y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ に代入して

$$h = \frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2}\cdot\frac{v_0^2}{g} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4\ \mathrm{m}.$$

エネルギーからも同じ結果が出ます。重力 $-mg$ は位置だけの関数なので 命題 7.4 より保存力で、$U(y) = mgy$（$U'(y) = mg = -(-mg)$）。定理 7.5 より

$$\tfrac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \tfrac{1}{2}m\cdot 0^2 + mgh \implies h = \frac{v_0^2}{2g},$$

質量によらず $20.4\ \mathrm{m}$ です。

演習 8.2標準

$m\ddot{x} = -kx$ に従う運動が初期条件 $x(0) = x_0$, $\dot{x}(0) = v_0$ から始まるとき、振幅 $C$（$x(t)$ がとる最大値）を $x_0, v_0, \omega = \sqrt{k/m}$ で表してください。またその結果がエネルギー保存則と整合することを確かめてください。

解答

定理 5.2 より $x(t) = x_0\cos\omega t + \dfrac{v_0}{\omega}\sin\omega t$ です。$A = x_0$, $B = v_0/\omega$ とおき、$C = \sqrt{A^2+B^2}$、$\cos\varphi = A/C$, $\sin\varphi = B/C$ となる $\varphi$ をとると（$C > 0$ のとき $(A/C, B/C)$ は単位円上の点なのでそのような $\varphi$ が存在します）、加法定理から

$$x(t) = C\left(\cos\varphi\cos\omega t + \sin\varphi\sin\omega t\right) = C\cos(\omega t - \varphi).$$

$\cos$ の値域は $[-1,1]$ で、$\omega t - \varphi = 0$ となる $t$ が存在するので最大値はちょうど $C$。したがって

$$C = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} .$$

エネルギーとの整合を見ます。定理 7.5 より $E = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$ が一定です。一方、$x = \pm C$ の瞬間には $\dot{x} = 0$ なので $E = \frac{1}{2}kC^2$。両者を等置して

$$\tfrac{1}{2}kC^2 = \tfrac{1}{2}mv_0^2 + \tfrac{1}{2}kx_0^2 \implies C^2 = x_0^2 + \frac{m}{k}v_0^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2},$$

先の結果と一致します。

演習 8.3標準

なめらかな直線上を質量 $m_1, m_2$ の質点が速度 $v_1, v_2$ で運動し、衝突して一体になりました。外力は働かないとします。衝突後の速度 $v'$ を求め、失われた運動エネルギーが

$$\Delta K = -\frac{1}{2}\mu\left(v_1 - v_2\right)^2, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$

であることを示してください（$\mu$ を換算質量といいます）。

解答

外力の総和が $0$ なので 定理 6.1 より運動量が保存し、

$$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v' \implies v' = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.$$

$M = m_1+m_2$ とおきます。運動エネルギーの変化は

$$\Delta K = \tfrac{1}{2}Mv'^2 - \tfrac{1}{2}m_1v_1^2 - \tfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{(m_1v_1+m_2v_2)^2}{2M} - \frac{m_1v_1^2 + m_2v_2^2}{2}.$$

右辺を通分して分子を計算します。

$$\begin{aligned} (m_1v_1+m_2v_2)^2 - M\left(m_1v_1^2+m_2v_2^2\right) &= m_1^2v_1^2 + 2m_1m_2v_1v_2 + m_2^2v_2^2 \\ &\quad - \left(m_1^2v_1^2 + m_1m_2v_2^2 + m_1m_2v_1^2 + m_2^2v_2^2\right) \\ &= 2m_1m_2v_1v_2 - m_1m_2v_1^2 - m_1m_2v_2^2 \\ &= -m_1m_2\left(v_1-v_2\right)^2 . \end{aligned}$$

よって

$$\Delta K = \frac{-m_1m_2(v_1-v_2)^2}{2M} = -\frac{1}{2}\mu(v_1-v_2)^2 \le 0 .$$

失われる量は相対速度 $v_1 - v_2$ だけで決まり、相対速度が $0$（同じ速度で並走）のときだけ損失がありません。例 6.3 の数値では $\mu = 8.0/6.0 \approx 1.33\ \mathrm{kg}$、$\Delta K = -\frac{1}{2}\times 1.33 \times 3.0^2 = -6.0\ \mathrm{J}$ となり、直接計算した値と一致します。

演習 8.4難

系 7.6 の求積公式を使い、$U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ の中でエネルギー $E > 0$ で運動する質量 $m$ の質点の周期を計算し、$T = 2\pi\sqrt{m/k}$ となること（すなわち周期が $E$ によらないこと）を確かめてください。

解答

転回点は $U(x) = E$ を解いて $x = \pm A$、$A = \sqrt{2E/k}$ です。運動は $-A$ と $A$ の間の往復で、対称性から、$0$ から $A$ まで動くのに要する時間の 4 倍が周期になります。実際、$U$ は偶関数なので $x \mapsto -x$ で方程式が不変であり、また時間反転 $t \mapsto -t$ でも不変なので、$0 \to A$、$A \to 0$、$0 \to -A$、$-A \to 0$ の 4 区間の所要時間はすべて等しくなります。

系 7.6 より、$x$ が $0$ から $A$ へ動く間（そこでは $\dot{x} > 0$、かつ $x < A$ で $E - U > 0$）

$$\frac{T}{4} = \int_{0}^{A}\sqrt{\frac{m}{2\left(E - \frac{1}{2}k\xi^2\right)}}\,d\xi = \int_{0}^{A}\sqrt{\frac{m}{k}}\cdot\frac{d\xi}{\sqrt{\frac{2E}{k} - \xi^2}} = \sqrt{\frac{m}{k}}\int_{0}^{A}\frac{d\xi}{\sqrt{A^2-\xi^2}} .$$

（$2(E - \frac{1}{2}k\xi^2) = k\left(\frac{2E}{k} - \xi^2\right) = k(A^2-\xi^2)$ を使いました。）$\xi = A\sin\theta$ と置換すると $d\xi = A\cos\theta\,d\theta$、$\sqrt{A^2-\xi^2} = A\cos\theta$（$0 \le \theta \le \pi/2$ で $\cos\theta \ge 0$）なので

$$\int_{0}^{A}\frac{d\xi}{\sqrt{A^2-\xi^2}} = \int_{0}^{\pi/2}d\theta = \frac{\pi}{2}$$

（$\xi \to A$ で被積分関数は発散しますが、置換後の積分は有限で、広義積分として収束しています）。したがって

$$\frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} .$$

振幅 $A$ が約分で消えたため、周期はエネルギーに依存しません。これが調和振動子の等時性です。$U$ が $x^2$ 以外（たとえば $x^4$）に比例する場合には $A$ が残り、周期は振幅に依存するようになります。

参考文献

• I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687 — 冒頭の「公理、あるいは運動の法則」。邦訳は中野猿人訳『プリンシピア 自然哲学の数学的原理』講談社。
• 原島鮮『力学』裳華房 — 第 1 章〜第 3 章。日本語の標準的な教科書で、三法則の意味と 1 次元の解法が丁寧です。
• L. D. ランダウ、E. M. リフシッツ『力学（増訂第 3 版）』東京図書 — 第 1 章・第 2 章。最小作用の原理から出発し、保存則を対称性から導く構成です。
• D. Kleppner and R. Kolenkow, An Introduction to Mechanics, 2nd ed., Cambridge University Press, 2014 — Chapters 2–5（ニュートンの法則、運動量、エネルギー）。
• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 — Chapter 1。ガリレイ変換と決定性原理を数学的に定式化しています。
• J. D. Norton, “The Dome: An Unexpectedly Simple Failure of Determinism”, Philosophy of Science 75 (2008) — リプシッツ性が破れると古典力学の決定論が壊れる例。

Appendix: 解の一意性の証明

方針。 命題 4.1 を証明します。2 階の方程式を 1 階の連立系に書き換え、2 つの解の差にグロンウォールの不等式を適用します。

$\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}) \in \mathbb{R}^{2n}$ とおき、

$$\boldsymbol{G}(t, \boldsymbol{y}) = \left(\boldsymbol{v},\ \frac{1}{m}\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r},\boldsymbol{v})\right)$$

と定めると、もとの方程式は $\dot{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{G}(t,\boldsymbol{y})$、$\boldsymbol{y}(t_0) = (\boldsymbol{r}_0,\boldsymbol{v}_0)$ と同値です。実際、$\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{r},\boldsymbol{v})$ がこの系を満たすことは、$\dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{v}$ かつ $\dot{\boldsymbol{v}} = \boldsymbol{F}/m$、すなわち $m\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}$ と同じことです。

$\boldsymbol{G}$ のリプシッツ性。 $\boldsymbol{y}_i = (\boldsymbol{r}_i,\boldsymbol{v}_i)$（$i = 1,2$）に対して、ノルムを成分ごとの和で評価すると

$$\left|\boldsymbol{G}(t,\boldsymbol{y}_1) - \boldsymbol{G}(t,\boldsymbol{y}_2)\right| \le |\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2| + \frac{1}{m}\left|\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{v}_1)-\boldsymbol{F}(t,\boldsymbol{r}_2,\boldsymbol{v}_2)\right| \le \left(1 + \frac{L}{m}\right)\left(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2| + |\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2|\right)$$

となります（仮定のリプシッツ条件を使いました）。右辺の係数を改めて $\Lambda = 1 + L/m$ と書き、$|\boldsymbol{y}_1 - \boldsymbol{y}_2|$ を成分和ノルム $|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2| + |\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2|$ で測ることにすれば、$|\boldsymbol{G}(t,\boldsymbol{y}_1)-\boldsymbol{G}(t,\boldsymbol{y}_2)| \le \Lambda|\boldsymbol{y}_1-\boldsymbol{y}_2|$ です。

積分形への書き換え。 $\boldsymbol{y}_1, \boldsymbol{y}_2$ を同じ初期値を持つ $J$ 上の解とします。どちらも $C^1$ 級なので、微積分学の基本定理より $t \ge t_0$ に対して

$$\boldsymbol{y}_i(t) = \boldsymbol{y}_i(t_0) + \int_{t_0}^{t}\boldsymbol{G}(s,\boldsymbol{y}_i(s))\,ds .$$

初期値が等しいので差をとると

$$\varphi(t) := \left|\boldsymbol{y}_1(t)-\boldsymbol{y}_2(t)\right| \le \int_{t_0}^{t}\left|\boldsymbol{G}(s,\boldsymbol{y}_1(s))-\boldsymbol{G}(s,\boldsymbol{y}_2(s))\right|ds \le \Lambda\int_{t_0}^{t}\varphi(s)\,ds$$

（積分の三角不等式とリプシッツ評価を順に使いました）。

グロンウォールの不等式。 $\psi(t) = \int_{t_0}^{t}\varphi(s)\,ds$ とおきます。$\varphi$ は連続なので $\psi$ は $C^1$ 級で $\psi' = \varphi$、上の不等式は $\psi'(t) \le \Lambda\psi(t)$、$\psi(t_0)=0$ と書けます。そこで

$$\frac{d}{dt}\left(e^{-\Lambda t}\psi(t)\right) = e^{-\Lambda t}\left(\psi'(t) - \Lambda\psi(t)\right) \le 0$$

なので $e^{-\Lambda t}\psi(t)$ は $t \ge t_0$ で単調非増加、よって $e^{-\Lambda t}\psi(t) \le e^{-\Lambda t_0}\psi(t_0) = 0$、すなわち $\psi(t) \le 0$ です。一方 $\varphi \ge 0$ より $\psi \ge 0$ なので $\psi \equiv 0$、ふたたび $\varphi \le \Lambda\psi = 0$ と $\varphi \ge 0$ から $\varphi \equiv 0$ を得ます。したがって $t \ge t_0$ で $\boldsymbol{y}_1 = \boldsymbol{y}_2$ です。

過去向き。 $t \le t_0$ については $\tilde{\boldsymbol{y}}(t) = \boldsymbol{y}(2t_0 - t)$ と時間を反転させると、$\tilde{\boldsymbol{y}}$ は $\dot{\tilde{\boldsymbol{y}}}(t) = -\boldsymbol{G}(2t_0-t, \tilde{\boldsymbol{y}}(t))$ を満たし、右辺も同じ定数 $\Lambda$ でリプシッツです。上と同じ議論を適用して $t \ge t_0$ の側で一致が言え、元の変数に戻せば $t \le t_0$ での一致が従います。以上で $J$ 全体での一意性が示されました。