力学（古典力学・解析力学）

物理学学部無料 9 章有料 0 章

ニュートン力学からラグランジュ形式、ハミルトン形式への移行（最小作用の原理）を丁寧に説明する。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:微分積分学、線形代数学

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章ニュートン力学の基礎無料運動の三法則を「慣性系の存在」「力と加速度の関係」「作用反作用」として整理し、1 次元の運動方程式を解いたうえで、運動量保存則と力学的エネルギー保存則を運動方程式から導出する。
2. 第 2 章惑星の運動と中心力無料二体問題を換算質量で一体問題に帰着させ、角運動量保存から面積速度一定則を、ビネ方程式から楕円軌道と調和の法則を導く。有効ポテンシャル・離心率とエネルギーの関係・ルンゲ–レンツベクトルまで扱う。
3. 第 3 章ラグランジュ形式の力学無料ハミルトンの原理から変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を導き、L = T - U がニュートンの運動方程式を再現すること、方程式が一般化座標の取り替えで形を変えないことを証明する。極座標・拘束系・回転系で計算を最後まで実行する。
4. 第 4 章対称性と保存則（ネーターの定理）無料ラグランジアンの連続対称性が保存量を生む仕組みを、生成子と境界項を含む形で定式化し証明する。時間並進とエネルギー、空間並進と運動量、回転と角運動量、ガリレイ変換と重心運動を計算しきる。
5. 第 5 章ハミルトン形式の力学無料一般化運動量とルジャンドル変換からハミルトニアンを導き、正準方程式・位相空間・リウヴィルの定理・ポアソン括弧を証明つきで積み上げ、統計力学と量子力学への橋渡しまでを示す。
6. 第 6 章正準変換とポアソン括弧無料ハミルトン方程式の形を保つ座標変換（正準変換）を母関数とシンプレクティック条件の両面から定義し、ポアソン括弧によって物理量の時間発展を表す公式を導く。さらにこの括弧が量子力学の交換関係へ対応づく仕組みまでを扱う。
7. 第 7 章非慣性系と剛体の運動無料回転座標系の時間微分則からコリオリ力と遠心力を導き、剛体の角運動量とエネルギーを慣性テンソルで表す。オイラーの運動方程式で自由剛体の安定性を調べ、対称コマの運動を求積に帰着する。
8. 第 8 章振動と波動無料減衰振動の 3 つの型と強制振動の共鳴曲線を導き、連成振動を基準モードに分解する。連続極限として弦の波動方程式を得て、分散関係から位相速度と群速度の違いを証明する。
9. 第 9 章Hamilton–Jacobi 理論と可積分系無料ハミルトン・ヤコビ方程式の完全解から運動が求積されることを示し、作用・角変数とリウヴィル・アーノルドの定理を証明する。断熱不変量の評価を示し、摂動の小分母から KAM 理論とカオスの入口までを述べる。