線形代数学

数学学部無料 11 章有料 0 章

行列の幾何学的な意味（線形変換）を常に意識させる構成にする。

想定読者: 大学生（理系）、データサイエンティスト

前提テーマ:数学基礎

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章ベクトル空間と線形変換無料ベクトル空間の 8 公理を出発点に、部分空間・線形独立・基底・次元を厳密に定義し、取り替え補題から次元の一意性を証明します。線形変換の核と像を調べ、次元定理を証明して、回転・射影・微分・主成分分析で確かめます。
2. 第 2 章行列と連立一次方程式無料行列を線形写像の表現として導入し、積が写像の合成に対応することを示す。基底変換の公式、ガウスの消去法、階数と次元定理を経て、Ax=b の解集合が特殊解と核の和になることを証明する。
3. 第 3 章行列式とその性質無料行列式を置換の符号によるライプニッツの公式と余因子展開の両面から定義し、多重線形性と交代性による特徴づけから det(AB)=det(A)det(B) と正則性の判定を証明し、符号付き体積という幾何的意味まで見通す。
4. 第 4 章固有値と固有ベクトル無料固有値と固有ベクトルを「線形変換が向きを変えない方向」として導入し、特性方程式による求め方、固有空間の和が直和になること、代数的重複度と幾何学的重複度の大小関係を証明する。対角化可能性の判定条件と主成分分析への応用まで扱う。
5. 第 5 章対角化とジョルダン標準形無料行列の対角化を「線形変換が最も簡単に見える基底を選ぶこと」と捉え、可能性の判定を重複度で与える。べき乗計算や実対称行列の直交対角化に応用し、対角化できない行列にはジョルダン標準形の構造と細胞の決め方までを扱う。
6. 第 6 章内積空間とグラム・シュミット直交化無料内積の公理から長さ・角度・直交性を定義し、コーシー・シュワルツの不等式、正規直交基底による展開、グラム・シュミットの直交化、直交補空間と直交射影による最良近似（最小二乗法）までを証明付きで積み上げる。
7. 第 7 章スペクトル定理無料随伴行列の定義からエルミート行列とユニタリ行列の性質を導き、エルミート行列がユニタリ行列で実対角化できること（スペクトル定理）を帰納法で証明する。スペクトル分解、2 次形式の主軸、主成分分析への応用まで計算例つきで扱う。
8. 第 8 章双対空間と商空間無料双対基底・転置写像・零化空間の次元公式から行階数と列階数の一致を導き、商空間と線形版準同型定理、直和分解と射影の対応までを有限次元で証明する。
9. 第 9 章テンソル積と外積代数無料多重線形写像を線形写像に変えるテンソル積を普遍性で定義して構成し、対称テンソル・交代テンソルと外積代数の基底を決定する。行列式を外積の言葉で定義し直し、乗法性も導く。
10. 第 10 章行列の分解と標準形無料ケイリー・ハミルトンの定理と最小多項式、シュール分解、特異値分解と極分解、シルヴェスターの慣性法則、ウィリアムソンの標準形、高木分解、行列の指数関数と対数を、定義から証明する。
11. 第 11 章行列の固有値評価と不等式無料ゲルシュゴリンの円板定理、クーラン・フィッシャーとワイル・交互定理、シュール補行列とウッドベリー公式、アダマールとコーシー・ビネ、ペロン・フロベニウス、リャプノフ方程式、カントロヴィッチの不等式を証明する。