数学基礎

数学学部無料 3 章有料 3 章

数学の「なぜ」を掘り下げる。厳密な思考とは何か、数学の言語（集合と論理）の重要性を強調する。

想定読者: 大学生（理系）、数学を学び直す社会人

目次

1. 第 1 章数学の国語 - 集合と論理無料集合の元・部分集合・べき集合、和集合と共通部分と補集合を定義から厳密に扱い、真理値表による命題論理、全称記号と存在記号の否定規則、必要条件と十分条件までを、ド・モルガンの法則の証明を軸に整理する。
2. 第 2 章数とは何か？ (1=0.999...？)無料自然数から実数への拡張を「解けない方程式」を動機に追い、√2 の無理性と有理数の「隙間」を証明する。実数の連続性公理から 1 = 0.999… を三通りに示し、ゼロ除算が許されない理由も積の逆演算として説明する。
3. 第 3 章証明の技術 - 数学的帰納法と背理法無料数学的帰納法が正しい理由を整列性とペアノの公理から説明し、基底ステップを欠いた誤証明や「すべての馬は同じ色」の穴を解剖する。背理法と対偶証明の違いを整理し、平方根 2 が無理数であることを二通りに証明する。
4. 第 4 章関係と同値関係 - 「同じ」とは何か本二項関係を直積集合の部分集合として定義し、反射律・対称律・推移律から同値類と商集合を構成する。整数の合同や有理数の構成を例に、商集合上の演算が代表元の取り方によらず定まること（well-defined）を証明つきで解説する。
5. 第 5 章濃度と無限 - 無限にも大小がある本集合の大きさを全単射で定義し直し、整数と有理数が可算であること、実数がカントールの対角線論法で非可算であることを証明する。カントールの定理と連続体仮説の独立性まで扱う。
6. 第 6 章数学基礎論への招待 - 不完全性定理本ペアノ算術のような形式体系を定義し、ゲーデル数化と対角化補題を組み立てて第一・第二不完全性定理の主張を正確に述べる。真理と証明可能性のずれ、非標準モデル、リーマン予想の独立性まで踏み込む。

「数学基礎」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。