分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理

0. この記事の要点

• 位相空間の公理だけでは、相異なる 2 点を開集合で「引き離す」ことすらできません。どこまで引き離せるかを段階的に測る条件が分離公理であり、弱い順に T0・T1・T2（ハウスドルフ）・T3（正則）・T4（正規）と並びます。
• $X$ が T1 であることは、すべての 1 点集合が閉であることと同値です（命題 3.2）。この一見些細な条件が、以後のすべての議論で「点を閉集合として扱う」ことを可能にします。
• ハウスドルフ性は極限の一意性と直結します（定理 3.5）。ただし点列だけではハウスドルフ性を検出できません（例 3.6）。
• 距離空間は必ず正規です（定理 5.2）。したがって正規でない空間は距離づけ可能ではありません（系 5.4）。分離公理は距離化の「障害」を与えます。
• 逆向きの十分条件を与えるのがウリゾーンの距離化定理です（定理 7.2）。その心臓部は、正規性という集合の言葉だけの仮定から連続な実数値関数を作り出すウリゾーンの補題（補題 6.1）です。

1. 動機：距離を捨てると何が失われるか

このテーマではここまで、位相空間の定義から出発して、連続写像・コンパクト性・連結性を扱ってきました。いずれの場面でも、「近さ」を距離 $d(x,y)$ ではなく開集合の族だけで語れることが利点でした。$\varepsilon$ や $\delta$ を書かずに連続性を定義でき、そのぶん適用範囲が広がったわけです。

しかしこの一般化には代償があります。距離空間 $(X,d)$ では、相異なる 2 点 $x \ne y$ に対して $r = d(x,y)/2 > 0$ とおけば開球 $B(x,r)$ と $B(y,r)$ は交わりません。点は必ず「引き離せる」のです。ところが位相の公理（空集合と全体集合が開、有限個の共通部分が開、任意個の合併が開）には、この種の要求は含まれていません。極端な例として、開集合を $\emptyset$ と $X$ しか持たない密着位相を入れると、$x \ne y$ を含む開集合は $X$ しかなく、2 点はどうやっても区別できません。この空間では任意の点列が任意の点に収束し、「極限」という語は意味を失います。

つまり位相の公理は「近さ」の翻訳としては弱すぎるのです。そこで、距離空間が自動的に持っていた分離の能力を、必要な分だけ公理として追加していく――これが分離公理の発想です。歴史的には、ハウスドルフが 1914 年の『集合論綱要』で近傍系による位相の公理を立てたとき、彼はすでに「相異なる 2 点は交わらない近傍を持つ」という条件を公理に数えていました。今日ハウスドルフ空間と呼ぶものが、当時の「位相空間」だったわけです。その後アレクサンドロフ、ティーツェ、ウリゾーンらによって条件の階層が整理され、ドイツ語の Trennungsaxiom（分離公理）の頭文字を取って $T_0, T_1, T_2, \ldots$ という記号が定着しました。

この章にはもう一つ、より大きな問いが控えています。距離空間から距離を忘れれば位相空間が得られますが、逆にどの位相空間が距離から来るのか。1920 年代の一般位相空間論の中心課題だった距離化問題です。分離公理はこの問いに二方向から関わります。距離空間が満たす分離公理は距離づけ可能性の必要条件を与え（第 5 節）、逆に十分な分離公理と可算性を仮定すれば距離が構成できます（第 7 節）。

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