位相空間論

数学学部無料 16 章有料 0 章

「近さ」や「連続性」の概念を、距離に頼らずに一般化する学問であることを導入で強調する。

想定読者: 大学生（理系・数学科）

前提テーマ:数学基礎、解析学（実解析）

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章位相空間の定義と基本概念無料距離空間の開集合が満たす3つの性質だけを抜き出して位相空間を定義し、離散・密着・順序・ザリスキー位相を具体的に構成しながら、近傍・内部・閉包・境界の基本性質を証明します。
2. 第 2 章連続写像と同相写像無料連続性を「開集合の逆像が開集合」と定義し、それが距離空間の ε-δ 連続と同値であることを証明する。同相写像を導入し、R と (0,1) が同相で R と [0,1] が同相でない理由を最後まで計算して示す。
3. 第 3 章コンパクト性無料開被覆から有限個を選び出せるというコンパクト性の定義を有界閉集合の一般化として動機づけ、ハイネ・ボレルの定理、連続像のコンパクト性、最大値の原理を距離に頼らずに証明する。
4. 第 4 章連結性無料位相空間の連結性を、分離の非存在・開かつ閉の集合・2 値連続写像の 3 通りで特徴づけ、R の連結部分集合が区間であることから中間値の定理を導く。弧状連結との違いはトポロジストの正弦曲線で確かめる。
5. 第 5 章分離公理と距離づけ可能性無料位相空間の「分離の度合い」を測る T0〜T4 の階層を定義し、ハウスドルフ性が極限の一意性を保証すること、距離空間が正規であることを証明し、ウリゾーンの補題を経て第二可算な正則空間の距離づけ可能性を示す。
6. 第 6 章積位相・商位相と Tychonoff の定理無料積位相・商位相・直和位相を普遍性で定義し、ネットとフィルター（超フィルター）を導入して Tychonoff の積コンパクト性定理を証明する。可算公理・可分性との関係も整理する。
7. 第 7 章局所コンパクト空間無料局所コンパクトハウスドルフ空間を一点コンパクト化で調べ、Urysohn の補題の台つき版、Tietze の拡張定理、1 の分割、位相群の基本性質を証明する。Riesz–Markov や Haar 測度の前提を整える。
8. 第 8 章ネットとフィルターによる収束無料部分ネットとフィルターの細分を定義し、集積点が部分ネットの極限であること、ネットとフィルターの対応、ハウスドルフ性と極限の一意性、始位相での収束を証明する。補可算位相で点列とネットの違いも示す。
9. 第 9 章可算性・点列・可算コンパクト性無料点列空間と Fréchet–Urysohn 空間、可算コンパクト・点列コンパクト・擬コンパクトの関係、Cantor–Bendixson の定理、連続体濃度個以下の可分空間の積の可分性（Hewitt–Marczewski–Pondiczery）を証明する。
10. 第 10 章普遍ネット・超フィルターとコンパクト性無料普遍ネットと超フィルターの関係、コンパクト性の普遍ネットによる特徴づけ、Tychonoff の定理の別証、Alexander の準基定理、Kelley の定理、完全写像と固有写像、Vietoris 超空間のコンパクト性を証明する。
11. 第 11 章完全正則空間と埋め込み定理無料零集合を使って完全正則性を定義し、Tychonoff 立方体と Alexandroff 立方体への埋め込み定理、Stone–Čech コンパクト化の存在と普遍性、完全正規空間の特徴づけ、正則開集合の性質を証明する。
12. 第 12 章パラコンパクト空間と 1 の分割無料局所有限な開細分で定義されるパラコンパクト性を導入し、ハウスドルフなら正規になること、Michael の定理による同値条件、距離空間の Stone の定理、1 の分割の存在、全体正規空間との同値を証明する。
13. 第 13 章距離化定理無料σ 局所有限な基底による Nagata–Smirnov の距離化定理を、完全正規性と関数族による擬距離の構成で証明し、Bing の定理、Smirnov の定理、パラコンパクトな位相多様体の距離化可能性、Urysohn の距離化定理との関係を示す。
14. 第 14 章一様空間無料距離がなくても「x と y は ε 以内」を一斉に語れる枠組みとして一様空間を定義し、一様化可能性と完全正則性の同値、コンパクト ⇔ 完備かつ全有界、完備化の存在と一意性、位相群の一様構造を証明する。
15. 第 15 章次元論の入口無料被覆次元と帰納的次元を定義し、0 次元空間・超距離・Cantor 集合を調べる。R^N のコンパクト集合の dim ≤ N と Brouwer の不動点定理による dim I^n = n、Menger–Nöbeling の埋め込みを証明する。
16. 第 16 章反例の空間無料正規性や点列コンパクト性が積や逆向きの含意で成り立たないことを、Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い半直線・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪の性質を命題として証明しながら確かめ、含意の一覧を作る。