位相空間論

数学修士無料 2 章有料 3 章

「近さ」や「連続性」の概念を、距離に頼らずに一般化する学問であることを導入で強調する。

想定読者: 大学生（理系・数学科）

前提テーマ:数学基礎、解析学（実解析）

目次

1. 第 1 章位相空間の定義と基本概念無料距離空間の開集合が満たす3つの性質だけを抜き出して位相空間を定義し、離散・密着・順序・ザリスキー位相を具体的に構成しながら、近傍・内部・閉包・境界の基本性質を証明します。
2. 第 2 章連続写像と同相写像無料連続性を「開集合の逆像が開集合」と定義し、それが距離空間の ε-δ 連続と同値であることを証明する。同相写像を導入し、R と (0,1) が同相で R と [0,1] が同相でない理由を最後まで計算して示す。
3. 第 3 章コンパクト性本開被覆から有限個を選び出せるというコンパクト性の定義を有界閉集合の一般化として動機づけ、ハイネ・ボレルの定理、連続像のコンパクト性、最大値の原理を距離に頼らずに証明する。
4. 第 4 章連結性本位相空間の連結性を、分離の非存在・開かつ閉の集合・2 値連続写像の 3 通りで特徴づけ、R の連結部分集合が区間であることから中間値の定理を導く。弧状連結との違いはトポロジストの正弦曲線で確かめる。
5. 第 5 章分離公理と距離づけ可能性本位相空間の「分離の度合い」を測る T0〜T4 の階層を定義し、ハウスドルフ性が極限の一意性を保証すること、距離空間が正規であることを証明し、ウリゾーンの補題を経て第二可算な正則空間の距離づけ可能性を示す。

「位相空間論」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。