解析学（実解析）

数学学部無料 2 章有料 4 章

微分積分学との違い（厳密性の追求）を明確にする。実数の完備性がいかに重要であるかを繰り返し説く。

想定読者: 大学生（理系・数学科）

前提テーマ:微分積分学、数学基礎

目次

1. 第 1 章実数の完備性とコーシー列無料実数の完備性を「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理から出発し、アルキメデスの原理、上限の存在、有理数・無理数の稠密性、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、コーシー列の収束までを省略なしに証明する。
2. 第 2 章連続関数と一様連続性無料有界閉区間上の連続関数が有界性・最大値・中間値をもつことをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と区間縮小法から証明し、さらに δ が点に依存しない一様連続性を定義してハイネ・カントールの定理を示す。
3. 第 3 章関数列と一様収束本関数列の各点収束と一様収束を量化子の順序で区別し、x^n や背の高い三角形などの反例を計算しながら、一様収束が連続性と積分を保つこと、微分の交換には導関数列の一様収束が必要であることを証明する。
4. 第 4 章可測集合とルベーグ測度本リーマン積分が扱えないディリクレ関数を出発点に、区間の長さから作るルベーグ外測度、カラテオドリの条件による可測集合、σ-加法族と完全加法性、測度零集合と「ほとんど至るところ」までを、証明を省かずに積み上げます。
5. 第 5 章ルベーグ積分の定義と収束定理本可測関数を定義し、単関数・非負可測関数・可積分関数の順にルベーグ積分を構成します。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、リーマン積分可能な関数では両者の値が一致することを示します。
6. 第 6 章L^p空間と関数解析への導入本p 乗可積分関数のなす L^p 空間を測度空間上で定義し、ヤングの不等式からヘルダー・ミンコフスキーの不等式を導く。さらにリース–フィッシャーの定理で完備性を証明し、L^2 がヒルベルト空間になることと関数解析への接続を述べる。

「解析学（実解析）」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。