解析学（実解析）

数学学部無料 15 章有料 0 章

微分積分学との違い（厳密性の追求）を明確にする。実数の完備性がいかに重要であるかを繰り返し説く。

想定読者: 大学生（理系・数学科）

前提テーマ:微分積分学、数学基礎

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章実数の完備性とコーシー列無料実数の完備性を「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理から出発し、アルキメデスの原理、上限の存在、有理数・無理数の稠密性、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、コーシー列の収束までを省略なしに証明する。
2. 第 2 章連続関数と一様連続性無料有界閉区間上の連続関数が有界性・最大値・中間値をもつことをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と区間縮小法から証明し、さらに δ が点に依存しない一様連続性を定義してハイネ・カントールの定理を示す。
3. 第 3 章関数列と一様収束無料関数列の各点収束と一様収束を量化子の順序で区別し、x^n や背の高い三角形などの反例を計算しながら、一様収束が連続性と積分を保つこと、微分の交換には導関数列の一様収束が必要であることを証明する。
4. 第 4 章距離空間無料実数の完備性を距離空間に持ち上げ、完備化の存在と一意性、コンパクト性の同値条件（完備かつ全有界）、Baire のカテゴリー定理、Banach の不動点定理を証明し、常微分方程式の解の存在まで応用する。
5. 第 5 章Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass無料コンパクト距離空間上の連続関数の族が相対コンパクトになる条件（Arzelà–Ascoli）と、部分環が連続関数全体で稠密になる条件（Stone–Weierstrass、実・複素）を証明し、Weierstrass の多項式近似定理を導く。
6. 第 6 章可測集合とルベーグ測度無料リーマン積分が扱えないディリクレ関数を出発点に、区間の長さから作るルベーグ外測度、カラテオドリの条件による可測集合、σ-加法族と完全加法性、測度零集合と「ほとんど至るところ」までを、証明を省かずに積み上げます。
7. 第 7 章ルベーグ積分の定義と収束定理無料可測関数を定義し、単関数・非負可測関数・可積分関数の順にルベーグ積分を構成します。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、リーマン積分可能な関数では両者の値が一致することを示します。
8. 第 8 章L^p空間と関数解析への導入無料p 乗可積分関数のなす L^p 空間を測度空間上で定義し、ヤングの不等式からヘルダー・ミンコフスキーの不等式を導く。さらにリース–フィッシャーの定理で完備性を証明し、L^2 がヒルベルト空間になることと関数解析への接続を述べる。
9. 第 9 章測度空間と Carathéodory の拡張定理無料σ-加法族と測度の一般論から出発し、外測度による Carathéodory の構成、代数上の前測度の拡張定理、Dynkin の π-λ 定理による一意性、Lebesgue–Stieltjes 測度の構成までを、証明を省かずに積み上げる。
10. 第 10 章直積測度と Fubini–Tonelli の定理無料σ-有限測度の直積測度の存在と一意性、Tonelli と Fubini の定理を証明し、反例で仮定の役割を確かめる。畳み込みと近似単位元、可算個の確率測度の無限直積の構成までを扱う。
11. 第 11 章符号付き測度と Radon–Nikodym の定理無料Hahn・Jordan 分解と Lebesgue 分解を示し、von Neumann の証明で Radon–Nikodym の定理を導く。Vitali の被覆補題から Lebesgue の微分定理を示し、有界変動・絶対連続関数と微積分学の基本定理を測度の言葉で証明する。
12. 第 12 章Radon 測度と Riesz–Markov の表現定理無料局所コンパクト Hausdorff 空間上で、台がコンパクトな連続関数への正の線形汎関数が Radon 測度の積分として一意に表されることを証明し、正則性の自動成立、C₀(X) の双対の決定、測度の弱 * 収束と Helly の選出定理まで進む。
13. 第 13 章凸解析無料有限次元の凸関数が内部で局所リプシッツであることを示し、劣微分の存在と Jensen の不等式、Legendre–Fenchel 変換と Fenchel–Moreau の双対定理を証明する。最後に、各点収束する凸関数列の勾配が一様収束することを示す。
14. 第 14 章ℝ^d の変数変換公式と極座標無料ルベーグ測度が線形写像で |det A| 倍されることを並進不変測度の一意性から示し、C¹ 微分同相に対する変数変換公式をルベーグ積分の枠で証明する。球面測度を定義して d 次元の極座標分解を導き、球の体積と球面の面積を求める。
15. 第 15 章古典的な不等式と関数方程式無料Cauchy の関数方程式が連続・可測・区間で有界のどれかで線形になることを Steinhaus の定理から示し、Hamel 基底による病的解、Pexider・Jensen・指数・対数型、内積空間での Ptolemy と Hlawka の不等式を証明する。