イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群

0. この記事の要点

• 環 $R$ を「潰す」ために使える部分集合は、部分環ではなくイデアルです。剰余類の積を $(a+I)(b+I) = ab+I$ と定めたときに代表元の取り方によらないための条件が、そのままイデアルの定義になります。
• イデアルは群論の正規部分群にあたります。「外側の環の元を掛けても中に留まる」という吸収条件が、$gNg^{-1} = N$ の役割を果たします。
• 環の準同型定理 $R/\ker f \cong \operatorname{Im} f$ が成り立ちます。核はイデアルであり、逆にすべてのイデアルは自然な全射 $\pi \colon R \to R/I$ の核として現れます。イデアルと「潰し方」は同じものの二つの見方です。
• 可換環では、$P$ が素イデアルであることと $R/P$ が整域であることが同値、$M$ が極大イデアルであることと $R/M$ が体であることが同値です。イデアルの性質と剰余環の性質は完全に翻訳し合います。
• すべてのイデアルが 1 元で生成される整域を単項イデアル整域（PID）といい、$\mathbb{Z}$ と体上の 1 変数多項式環 $K[x]$ が代表例です。$K[x]/(f)$ は $f$ が既約なときちょうど体になり、これが有限体や代数拡大を作る標準的な方法になります。

1. 動機：合同式を「環」として読み直す

「$12$ で割った余り」で計算する習慣は、少なくともガウス『整数論研究』(1801) の合同式にまで遡ります。$17 \equiv 5 \pmod{12}$ のように「$12$ で割った余りが等しい」を等号のように扱ってよいのは、次の事実があるからです。$a \equiv a' \pmod{12}$ かつ $b \equiv b' \pmod{12}$ ならば、

$$a + b \equiv a' + b' \pmod{12}, \qquad ab \equiv a'b' \pmod{12}.$$

つまり合同関係は足し算と掛け算に「耐えます」。時計の文字盤の上で足し算どころか掛け算までできるのは、この耐性のおかげです。

現代の言葉でいえば、これは「$\mathbb{Z}$ を $12\mathbb{Z}$ で潰した集合 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ が環になる」という主張です。では $\mathbb{Z}$ の代わりに一般の環 $R$ を、$12\mathbb{Z}$ の代わりに一般の部分集合 $I$ を取ったとき、同じことはいつできるのでしょうか。

群論では、この形の問いにすでに答えが出ています。部分群 $N$ について商集合 $G/N$ に群の構造が入るのは $N$ が正規部分群のとき、そしてそのときに限りました（正規部分群と商群 の定理 3.2［正規部分群と商群］）。環でも同じ形の答えがあるはずです。

素朴な予想は「部分環で割ればよい」でしょう。しかしこれは誤りです。$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分環ですが、加法群としての商 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に乗法を $(a+\mathbb{Z})(b+\mathbb{Z}) := ab + \mathbb{Z}$ で入れようとすると壊れます。実際、$\tfrac12 + \mathbb{Z} = \tfrac32 + \mathbb{Z}$ であるのに、

$$\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14, \qquad \tfrac32 \cdot \tfrac12 = \tfrac34, \qquad \tfrac34 - \tfrac14 = \tfrac12 \notin \mathbb{Z}$$

なので、$\tfrac14 + \mathbb{Z} \ne \tfrac34 + \mathbb{Z}$ です。同じ剰余類の代表元を取り替えただけで積の答えが変わってしまいました。

何が足りなかったのでしょうか。$12\mathbb{Z}$ にあって $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ にない性質は、外側の環の元を掛けても中に留まることです。任意の $r \in \mathbb{Z}$ と $a \in 12\mathbb{Z}$ に対して $ra \in 12\mathbb{Z}$ が成り立つ一方、$\tfrac12 \in \mathbb{Q}$ と $1 \in \mathbb{Z}$ に対しては $\tfrac12 \cdot 1 = \tfrac12 \notin \mathbb{Z}$ です。この吸収条件がイデアルの定義であり、環における正規部分群の役を務めます。

この章では、まずイデアルを定義してその判定法と例を押さえ、剰余環 $R/I$ を構成してその演算が矛盾なく定まることを証明します。次に環の準同型定理を証明し、最後に素イデアル・極大イデアルと単項イデアル整域を通じて「体を作る」ところまで進みます。

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