## 2. 準備：記号と約束
前章 [環と体の基礎](/mathematics/algebra/rings-and-fields) の内容を、記号を固定する形で確認します。
- 本記事で**環**といえば、乗法の単位元 $1$ をもつ環を指します。可換性は仮定しませんが、§6 以降は可換環に限ります。$1 = 0$ である環（**零環**）も環として認めます。零環は 1 元集合 $\{0\}$ です。
- **部分環**とは、加法・乗法について閉じており、$1_R$ を含む部分集合のことです。
- 環準同型 $f \colon R \to S$ とは、すべての $a, b \in R$ に対して $f(a+b) = f(a) + f(b)$、$f(ab) = f(a)f(b)$ を満たし、さらに $f(1_R) = 1_S$ を満たす写像です（
）。全単射な環準同型を**同型**といい、$R \cong S$ と書きます。
- 可換環 $R$ が**整域**であるとは、$1 \ne 0$ であり、$ab = 0$ ならば $a = 0$ または $b = 0$ が成り立つことです。
- 可換環 $K$ が**体**であるとは、$1 \ne 0$ であり、すべての $a \ne 0$ が乗法逆元をもつことです。環 $R$ の元 $u$ が**単元**（可逆元）であるとは、$uv = vu = 1$ となる $v \in R$ が存在することをいいます。
- $K$ を可換環とするとき $K[x]$ は $K$ 係数 1 変数多項式環、$M_n(K)$ は $n$ 次正方行列環を表します。$\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）と書きます。
環準同型では $f(0) = 0$ と $f(-a) = -f(a)$ が自動的に従います。前者は $f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0)$ の両辺から $f(0)$ を引けばよく、後者は $f(a) + f(-a) = f(a + (-a)) = f(0) = 0$ からわかります。この 2 つは以下で断りなく使います。
## 3. イデアル：環を潰せる部分集合
§1 の失敗を分析すると、必要な条件が自動的に出てきます。$I$ を環 $R$ の加法部分群とし、$a + I = a' + I$、$b + I = b' + I$、すなわち $i := a - a' \in I$、$j := b - b' \in I$ とします。積が代表元によらないためには $ab - a'b' \in I$ が必要です。ここで
$$
ab - a'b' = ab - a'b + a'b - a'b' = (a - a')b + a'(b - b') = ib + a'j
$$
と分解できます。$i, j \in I$ は任意に動かせ、$b, a'$ も $R$ 全体を動きます。したがって「$I$ の元に $R$ の元を右から掛けたもの」と「左から掛けたもの」がどちらも $I$ に入っていれば十分です。この観察を定義に採用します。
$R$ を環、$I$ を $R$ の部分集合とする。
1. $I$ が $R$ の**左イデアル**であるとは、$I$ が $R$ の加法についての部分群であり、さらに任意の $r \in R$ と $a \in I$ に対して $ra \in I$ が成り立つことをいう。
2. $I$ が $R$ の**右イデアル**であるとは、$I$ が $R$ の加法についての部分群であり、さらに任意の $r \in R$ と $a \in I$ に対して $ar \in I$ が成り立つことをいう。
3. 左イデアルかつ右イデアルであるとき、$I$ を $R$ の**両側イデアル**、あるいは単に**イデアル**といい、$I \trianglelefteq R$ と書く。
$R$ が可換環のときは 1、2、3 は同じ条件になる。
$\{0\}$ と $R$ 自身はつねにイデアルです（**自明なイデアル**）。$I \ne R$ であるイデアルを**真のイデアル**といいます。以下、断らない限り「イデアル」は両側イデアルを指します。
実際にイデアルであることを確かめるときは、加法部分群の条件をいちいち全部確認するより、次の形が便利です。
$R$ を環、$I$ を $R$ の部分集合とする。$I$ が $R$ の両側イデアルであるための必要十分条件は、次の 3 条件が成り立つことである。
1. $I \ne \emptyset$。
2. 任意の $a, b \in I$ に対して $a - b \in I$。
3. 任意の $r \in R$ と $a \in I$ に対して $ra \in I$ かつ $ar \in I$。
必要性を示します。$I$ が両側イデアルなら、$I$ は加法部分群なので $0 \in I$ であり 1 が成り立ちます。加法部分群は差について閉じているので 2 が成り立ちます。3 は
イデアルは部分環とは別物です。実際、$1$ を含むイデアルは環全体になってしまいます。
$R$ を環、$I$ を $R$ の左イデアルとする。$I$ が $R$ の単元 $u$ を含むならば $I = R$ である。とくに $1 \in I$ ならば $I = R$ であり、体 $K$ のイデアルは $\{0\}$ と $K$ のみである。
$u \in I$ が単元であるとし、$u^{-1} \in R$ をその逆元とします。任意の $r \in R$ に対して $r = r \cdot 1 = (r u^{-1}) u$ と書けます。$u \in I$ で $ru^{-1} \in R$ ですから、左イデアルの吸収条件より $(ru^{-1})u \in I$、すなわち $r \in I$ です。$r$ は任意だったので $R \subseteq I$、$I \subseteq R$ と合わせて $I = R$ を得ます。
$1$ は単元（$1 \cdot 1 = 1$）なので、$1 \in I$ からも $I = R$ が従います。
最後に $K$ が体で $I \trianglelefteq K$、$I \ne \{0\}$ とします。$a \in I$、$a \ne 0$ が取れ、体の定義より $a$ は単元です。よっていま示したことから $I = K$ です。
次に、与えられた元からイデアルを作る方法を用意します。以下この項では $R$ を可換環とします。
$R$ を可換環、$S$ を $R$ の部分集合とする。$S$ を含む $R$ のイデアル全体の共通部分を $(S)$ と書き、$S$ が**生成するイデアル**という。$S = \{a_1, \ldots, a_n\}$ が有限集合のときは $(a_1, \ldots, a_n)$ と書く。とくに 1 元 $a$ が生成するイデアル
$$
(a) = aR = \{ ra : r \in R \}
$$
を $a$ が生成する**単項イデアル**という。
共通部分がイデアルであることは
で確かめられます。イデアルの族 $\{I_\lambda\}$ の共通部分は $0$ を含むので空でなく、$a, b$ が全部の $I_\lambda$ に入れば $a - b$ も全部に入り、$ra$ と $ar$ も全部に入るからです。したがって $(S)$ は「$S$ を含む最小のイデアル」です。
$(S)$ の具体形も書けます。可換環 $R$ に対して
$$
J := \Big\{ \textstyle\sum_{k=1}^{n} r_k s_k \ \Big|\ n \ge 0,\ r_k \in R,\ s_k \in S \Big\}
$$
とおきます（$n = 0$ のときは空和 $0$ と約束します）。$J$ はイデアルです。実際 $0 \in J$、2 つの有限和の差はやはり有限和の形 $\sum r_k s_k + \sum (-r'_l) s'_l$ に書け、$r \sum r_k s_k = \sum (r r_k) s_k \in J$ だからです。また各 $s \in S$ は $1 \cdot s \in J$ なので $S \subseteq J$ です。逆に $S$ を含む任意のイデアル $I$ は、各 $r_k s_k$ を吸収条件により含み、和について閉じているので $J \subseteq I$ です。よって $J$ は $S$ を含む最小のイデアル、すなわち $J = (S)$ です。$S = \{a\}$ のとき、$\sum_k r_k a = \big(\sum_k r_k\big) a$ なのでこれは $\{ ra : r \in R \} = aR$ に一致します。
1. **$n\mathbb{Z}$。** $n \in \mathbb{Z}$ に対し $n\mathbb{Z} = (n)$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルです。$na - nb = n(a-b)$ で差について閉じ、$r \cdot na = n(ra)$ で吸収条件も満たします。
2. **部分環だがイデアルでない例。** $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分環です（$0, 1$ を含み、和・差・積で閉じる）。しかしイデアルではありません。$\tfrac12 \in \mathbb{Q}$、$1 \in \mathbb{Z}$ に対して $\tfrac12 \cdot 1 = \tfrac12 \notin \mathbb{Z}$ だからです。§1 の失敗はこれが原因でした。
3. **消える条件で定まるイデアル。** $I = \{ f \in \mathbb{R}[x] : f(0) = 0 \}$ はイデアルです。$f(0) = g(0) = 0$ なら $(f-g)(0) = 0$、$h \in \mathbb{R}[x]$ に対し $(hf)(0) = h(0) f(0) = 0$ だからです。さらに $I = (x)$ が成り立ちます。$f \in (x)$ なら $f = xg$ より $f(0) = 0$ です。逆に $f = \sum_{k=0}^{n} c_k x^k$ が $f(0) = c_0 = 0$ を満たすなら $f = x\sum_{k=1}^{n} c_k x^{k-1} \in (x)$ です。
4. **左イデアルだが右イデアルでない例。** $R = M_2(\mathbb{R})$ とし、$L$ を第 2 列が零ベクトルである行列全体とします。$P = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s\end{pmatrix} \in R$ と $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0\end{pmatrix} \in L$ に対し
$$
PA = \begin{pmatrix} pa + qb & 0 \\ ra + sb & 0\end{pmatrix} \in L
$$
なので、$L$ は左イデアルです（差について閉じることは成分ごとの引き算からわかります）。しかし右イデアルではありません。$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \in L$ に $E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ を右から掛けると
$$
E_{11}E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \notin L
$$
となるからです。非可換環では左右の区別が実際に効きます。
## 4. 剰余環 $R/I$ の構成
イデアルが手に入ったので、§1 で試した構成をきちんと実行します。まず商集合を用意します。
$R$ を環、$I$ を $R$ の両側イデアルとする。$a, b \in R$ に対し
$$
a \equiv b \pmod{I} \iff a - b \in I
$$
と定める。これは $R$ 上の同値関係であり、$a$ を含む同値類は $a + I = \{ a + i : i \in I \}$ に等しい。この同値類を $a$ の**剰余類**といい、商集合を $R/I$ と書く。
同値関係であることを確かめます。$a - a = 0 \in I$ なので反射律が成り立ちます。$a - b \in I$ なら $b - a = -(a-b) \in I$（加法部分群は逆元で閉じる）なので対称律、$a - b \in I$ かつ $b - c \in I$ なら $a - c = (a-b) + (b-c) \in I$ なので推移律が成り立ちます（同値関係と商集合の一般論は [関係と同値関係](/mathematics/foundations/equivalence-relations) の
を参照してください）。同値類が $a+I$ になることは、$b \sim a \iff b - a \in I \iff b \in a + I$ からわかります。
$R$ を環、$I$ を $R$ の両側イデアルとする。商集合 $R/I$ 上の二項演算を
$$
(a + I) + (b + I) := (a+b) + I, \qquad (a+I)(b+I) := ab + I
$$
によって定めると、これらは代表元の取り方によらずに定まる。さらに $R/I$ はこれらの演算で環になり、零元は $0 + I = I$、単位元は $1 + I$、$a+I$ の加法逆元は $(-a) + I$ である。写像 $\pi \colon R \to R/I$、$\pi(a) = a + I$ は全射環準同型であり $\ker \pi = I$ を満たす。$R$ が可換ならば $R/I$ も可換である。この $R/I$ を $R$ の $I$ による**剰余環**（商環）といい、$\pi$ を**自然な全射**という。
$a + I = a' + I$ かつ $b + I = b' + I$ とします。
$I = R$ のときは $R/R$ は 1 元集合で、そこでは $1 + R = 0 + R$ です。つまり零環になります。$I = \{0\}$ のときは $\pi$ が同型で $R/\{0\} \cong R$ です。この 2 つの極端な場合の間に、意味のある剰余環が並びます。
$I = 6\mathbb{Z} = (6)$ とすると、
## 5. 準同型定理
§4 で「イデアルを与えると全射準同型 $\pi \colon R \to R/I$ ができる」ことを見ました。逆に「全射準同型が与えられるとイデアルができる」ことを示し、この 2 つの操作が互いに逆であることを述べるのが準同型定理です。
$f \colon R \to S$ を環準同型とし、$K := \ker f = \{ a \in R : f(a) = 0 \}$、$\operatorname{Im} f := f(R)$ とおく。このとき次が成り立つ。
1. $K$ は $R$ の両側イデアルである。
2. $\operatorname{Im} f$ は $S$ の部分環である。
3. 写像 $\bar f \colon R/K \to \operatorname{Im} f$、$\bar f(a + K) := f(a)$ は代表元の取り方によらずに定まり、環同型である。とくに $R/\ker f \cong \operatorname{Im} f$。
さらに $\pi \colon R \to R/K$ を自然な全射、$\iota \colon \operatorname{Im} f \to S$ を包含写像とすると $f = \iota \circ \bar f \circ \pi$ が成り立つ。
**(1)**
この定理の使い方は決まっています。**$R/I$ が何であるかを知りたければ、$I$ を核にもつ都合のよい全射準同型 $f$ を作ればよい**のです。剰余類を直接いじる代わりに、既知の環への写像を 1 つ用意すれば済みます。
$\varphi \colon \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$ を $\varphi(f) = f(i)$（$i$ を代入する）で定めます。多項式への代入は環準同型です（$(f+g)(i) = f(i)+g(i)$、$(fg)(i) = f(i)g(i)$、定数多項式 $1$ は $1$ に移る。
## 6. 素イデアルと極大イデアル
で、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は整域ですらないのに $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ は体になることを見ました。この違いはイデアル $(6)$ と $(5)$ の性質の違いから説明できます。以下、この節では $R$ は $1 \ne 0$ を満たす**可換**環とします。
$R$ を $1 \ne 0$ の可換環とする。
1. 真のイデアル $P$（すなわち $P \ne R$）が**素イデアル**であるとは、任意の $a, b \in R$ に対し $ab \in P$ ならば $a \in P$ または $b \in P$ が成り立つことをいう。
2. 真のイデアル $M$ が**極大イデアル**であるとは、$M \subseteq J \subseteq R$ を満たす $R$ のイデアル $J$ が $J = M$ または $J = R$ に限ることをいう。
素イデアルの条件は、$R = \mathbb{Z}$、$P = (p)$ のとき「$p \mid ab$ ならば $p \mid a$ または $p \mid b$」というユークリッドの補題そのものです。極大イデアルの条件は「これ以上大きくできない真のイデアル」という意味です。この 2 つがそれぞれ剰余環の言葉に翻訳されます。
$R$ を $1 \ne 0$ の可換環、$P$ を $R$ のイデアルとする。$P$ が素イデアルであることと、剰余環 $R/P$ が整域であることは同値である。
準備として、$P \ne R$ と「$R/P$ で $1 + P \ne 0 + P$」が同値であることを確かめます。$1 + P = 0 + P$ は $1 \in P$ を意味し、
## 7. 単項イデアル整域と体の作り方
$\mathbb{Z}$ のイデアルはすべて $n\mathbb{Z}$ の形でした。この性質をもつ整域には名前が付いています。
整域 $R$ のすべてのイデアルが単項イデアルであるとき、$R$ を**単項イデアル整域**（principal ideal domain, PID）という。
1. $\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域であり、そのイデアルは $n \ge 0$ に対する $(n) = n\mathbb{Z}$ に限る。
2. $K$ を体とすると、多項式環 $K[x]$ は単項イデアル整域である。より詳しく、$\{0\}$ でないイデアル $I$ は、$I$ に属する $0$ でない元のうち次数が最小のもの $g$ によって $I = (g)$ と表される。
**(1)** $\mathbb{Z}$ が整域であることは既知とします。$I \trianglelefteq \mathbb{Z}$ とします。$I = \{0\}$ なら $I = (0)$ です。$I \ne \{0\}$ とすると $a \in I$、$a \ne 0$ が取れ、$-a \in I$ でもあるので $I$ は正の整数を含みます。自然数の整列性より $n := \min\{ m \in I : m > 0 \}$ が存在します。$n \in I$ と吸収条件から $(n) = n\mathbb{Z} \subseteq I$ です。
逆の包含を示します。$a \in I$ を取り、除法定理より $a = qn + r$、$0 \le r < n$ と書きます。$qn \in I$ なので $r = a - qn \in I$ です（差について閉じる）。もし $r > 0$ なら $r \in I$ かつ $0 < r < n$ となって $n$ の最小性に反します。よって $r = 0$、$a = qn \in (n)$ です。したがって $I = (n)$ で、$\mathbb{Z}$ は PID です。
**(2)** まず $K[x]$ が整域であることを示します。$f, g \in K[x]$ をともに $0$ でない多項式とし、最高次の係数をそれぞれ $a_m \ne 0$、$b_n \ne 0$（$m = \deg f$、$n = \deg g$）とします。$fg$ の $x^{m+n}$ の係数は $a_m b_n$ で、$K$ は体（したがって零因子をもたない）なので $a_m b_n \ne 0$ です。よって $fg \ne 0$ となり、$K[x]$ は整域です。ついでに $\deg(fg) = \deg f + \deg g$ もわかりました。
次に $K[x]$ での除法定理を確認します。$g \ne 0$、$m := \deg g$、最高次係数を $b_m$ とします。$K$ は体なので $b_m^{-1}$ が存在します。$f$ の次数に関する帰納法で、$f = qg + r$（$r = 0$ または $\deg r < m$）となる $q, r$ の存在を示します。$f = 0$ または $\deg f < m$ なら $q = 0$、$r = f$ とすればよいので、$n := \deg f \ge m$ とし、$n$ 未満の次数では主張が成り立つと仮定します。$f$ の最高次係数を $a_n$ として
$$
f_1 := f - a_n b_m^{-1} x^{\,n-m} g
$$
とおくと、$x^n$ の係数が $a_n - a_n b_m^{-1} b_m = 0$ となって消えるので $f_1 = 0$ または $\deg f_1 < n$ です。帰納法の仮定より $f_1 = q_1 g + r$（$r = 0$ または $\deg r < m$）と書け、$f = (a_n b_m^{-1} x^{\,n-m} + q_1) g + r$ を得ます。
さて $I \trianglelefteq K[x]$、$I \ne \{0\}$ とします。$I$ に属する $0$ でない元の次数の集合は空でない自然数の集合なので、最小値を与える元 $g \in I$ が取れます。$g \in I$ と吸収条件から $(g) \subseteq I$ です。逆に $f \in I$ を取り、いま示した除法定理で $f = qg + r$ と書きます。$qg \in I$ なので $r = f - qg \in I$ です。$r \ne 0$ なら $\deg r < \deg g$ となって $g$ の次数の最小性に反するので、$r = 0$、$f = qg \in (g)$ です。よって $I = (g)$ となり、$K[x]$ は PID です。
PID では、極大イデアルの判定が「割り切れなさ」の判定に還元されます。整域 $R$ の元 $p$ が**既約元**であるとは、$p \ne 0$、$p$ は単元でなく、$p = ab$ と分解したら $a$ か $b$ のどちらかが単元になることをいいます。
**主張。** $R$ を PID、$p \in R$、$p \ne 0$ とすると、$(p)$ が極大イデアルであることと $p$ が既約元であることは同値です。
まず補助的な事実を確認します。
より、$(p) = R$ となるのは $1 \in (p)$ のとき、すなわち $1 = rp$ となる $r$ が存在するとき、つまり $p$ が単元のときです。
$(\Leftarrow)$ $p$ を既約元とします。$p$ は単元でないのでいまの注意から $(p) \ne R$ です。$(p) \subseteq J \subseteq R$ をイデアルとすると、$R$ は PID なので $J = (d)$ と書けます。$p \in (d)$ より $p = dc$ となる $c \in R$ があり、$p$ の既約性から $d$ か $c$ が単元です。$d$ が単元なら $J = (d) = R$ です。$c$ が単元なら $d = pc^{-1} \in (p)$ なので $J = (d) \subseteq (p)$、逆の包含と合わせて $J = (p)$ です。よって $(p)$ は極大です。
$(\Rightarrow)$ $(p)$ を極大イデアルとします。$(p) \ne R$ なので $p$ は単元ではありません。$p = ab$ と分解したとします。$p \in (a)$ なので $(p) \subseteq (a) \subseteq R$ であり、極大性から $(a) = R$ か $(a) = (p)$ です。前者なら $a$ は単元です。後者なら $a \in (p)$ より $a = pt$ となる $t$ があり、$p = ab = ptb$、すなわち $p(1 - tb) = 0$ です。$R$ は整域で $p \ne 0$ なので $1 = tb$、つまり $b$ は単元です。よって $p$ は既約元です。
この主張と
を組み合わせると、**PID では既約元による剰余環がちょうど体になります**。$\mathbb{Z}$ の既約元は $\pm p$（$p$ は素数）なので $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p$ が体であることが再び出ますし、$K[x]$ では既約多項式で割ることで新しい体が作れます。
$K = \mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$、$f = x^2 + x + 1 \in \mathbb{F}_2[x]$ とします。$f$ は既約です。実際、$f$ は 2 次なので、可約なら 1 次式の積に分解し $\mathbb{F}_2$ に根をもつはずですが、
$$
f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 \ne 0, \qquad f(1) = 1 + 1 + 1 = 1 \ne 0
$$
（$\mathbb{F}_2$ では $1 + 1 = 0$）なので根をもちません。よって $f$ は既約元であり、上の主張から $(f)$ は $\mathbb{F}_2[x]$ の極大イデアル、
## 8. 演習
$R$ を可換環、$I, J$ を $R$ のイデアルとする。
1. $I + J := \{ a + b : a \in I,\ b \in J \}$、$I \cap J$、$IJ := \{ \sum_{k=1}^{n} a_k b_k : n \ge 0,\ a_k \in I,\ b_k \in J \}$ がいずれも $R$ のイデアルであることを示せ。
2. $R = \mathbb{Z}$、$I = (m)$、$J = (n)$（$m, n \ge 1$）のとき、$I+J$、$I \cap J$、$IJ$ をそれぞれ単項イデアルとして表せ。
**1.**
## 参考文献
- 松坂和夫『代数系入門』岩波書店、1976 — 環・イデアル・剰余環を扱う章。定義の積み上げが丁寧で、群の商との対応を確認しながら読めます。
- 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010 — 環論の基礎を扱う章。素イデアル・極大イデアルから可換環論への接続がよく整理されています。
- D. S. Dummit, R. M. Foote, *Abstract Algebra*, 3rd ed., Wiley, 2004 — Chapter 7 (Introduction to Rings), Chapter 8 (Euclidean Domains, Principal Ideal Domains, and Unique Factorization Domains)。演習の量が圧倒的です。
- M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, *Introduction to Commutative Algebra*, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 1 (Rings and Ideals)。対応定理・素イデアル・極大イデアルが最短距離でまとまっています。
- S. Lang, *Algebra*, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics 211, Springer, 2002 — Chapter II (Rings)。可換とは限らない環の両側イデアルの扱いを含みます。
## Appendix: 極大イデアルはいつでも存在するか
**主張（クルルの定理）。** $R$ を $1 \ne 0$ の可換環とすると、$R$ には極大イデアルが少なくとも 1 つ存在します。さらに、$R$ の任意の真のイデアル $I$ に対し、$I$ を含む極大イデアルが存在します。
**証明の筋。** $\Sigma$ を「$I$ を含む $R$ の真のイデアル全体」とし、包含関係で順序を入れます。$I \in \Sigma$ なので $\Sigma$ は空でありません。$\{J_\lambda\}$ を $\Sigma$ の全順序部分集合（鎖）とし、$J := \bigcup_\lambda J_\lambda$ とおきます。鎖であることから $J$ はイデアルになります。実際、$a \in J_{\lambda_1}$、$b \in J_{\lambda_2}$ なら一方が他方を含むので $a, b$ は同じ $J_\lambda$ に属し $a - b \in J_\lambda \subseteq J$ となり、吸収条件は各 $J_\lambda$ で成り立つからです。各 $J_\lambda$ は真のイデアルなので
より $1 \notin J_\lambda$、したがって $1 \notin J$ となり $J$ も真のイデアルで、$J \in \Sigma$ は鎖の上界です。ツォルンの補題より $\Sigma$ は極大元 $M$ をもち、これが $I$ を含む極大イデアルです。
**注意。** この証明はツォルンの補題、すなわち選択公理に依存します。$\mathbb{Z}$ や $K[x]$ のような具体的な環では、
のように生成元を明示して極大イデアルを直接作れるので選択公理は要りません。抽象的な環に対して「存在は言えるが構成はできない」という状況になるのが、この定理の特徴です。系として、可換環 $R$ の元 $a$ が単元でなければ $(a)$ は真のイデアルなので、$a$ を含む極大イデアルが存在することもわかります。