数論

数学学部無料 9 章有料 0 章

素数の魅力から始まり、リーマン予想、フェルマーの最終定理など、数論の大きなトピックを、歴史的背景と共にドラマチックに解説する。

想定読者: 大学生（理系）、数学愛好家

前提テーマ:数学基礎、代数学（群・環・体）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章素数の魅力 - 素数定理無料素数を整除の言葉で定義し、ユークリッドの無限性証明と算術の基本定理を厳密に示したうえで、二項係数によるチェビシェフ型評価を経て素数定理に至る道筋をたどり、双子素数予想やゴールドバッハ予想の現在地までを扱う。
2. 第 2 章整除と素因数分解無料ユークリッドの互除法の正しさと計算量（ラメの定理）、素因数分解の一意性と p 進付値、中国剰余定理の一般形、オイラー関数の乗法性と約数和の公式を、定義から証明つきで整理する。
3. 第 3 章合同式とフェルマーの小定理無料整数の合同式を同値関係として定義し、剰余環 Z/nZ とその単元群の構造を調べ、フェルマーの小定理とオイラーの定理を証明する。中国剰余定理を経由して RSA 暗号の正当性まで到達する。
4. 第 4 章原始根と平方剰余の相互法則無料素数を法とする原始根の存在を位数の数え上げで示し、ルジャンドル記号、オイラーの規準、ガウスの補題を経て、格子点の数え上げによる平方剰余の相互法則の証明まで一続きに与える。
5. 第 5 章リーマン予想とは何か無料リーマン・ゼータ関数を級数とオイラー積という二つの顔から定義し、解析接続で複素平面全体へ延ばしたうえで、非自明零点の実部がすべて 1/2 だという主張を述べ、それが素数計数関数の誤差項の大きさと同値であることを示す。
6. 第 6 章楕円曲線・モジュラー形式と現代数論無料楕円曲線の群構造とハッセの定理、モジュラー形式の位数公式から谷山・志村予想を述べ、フライ曲線とリベットのレベル下げによるフェルマーの最終定理の証明、根基で述べる ABC 予想とその帰結、多項式版の Mason–Stothers の定理までを扱う。
7. 第 7 章代数体の整数環と Dedekind 整域無料代数体の整数環が階数 n の自由 Z 加群で Dedekind 整域であることを示し、イデアルの素イデアル分解の一意性、Σe_i f_i = n、分岐と判別式、Kummer–Dedekind の判定法を証明して二次体に適用する。
8. 第 8 章イデアル類群の有限性と Minkowski 限界無料Minkowski の格子点定理を証明し、整数環とイデアルを格子として見て Minkowski 限界を導く。類数の有限性、n ≥ 2 での |d_K| > 1、Dirichlet の単数定理を証明し、Q(√−5) の類数が 2 であることを計算する。
9. 第 9 章S 単数と Kummer 理論無料S 単数群が有限生成で階数 r1+r2+|S_f|-1 を持つことを単数定理と類数の有限性から示し、Hilbert の定理 90 と Kummer 理論を証明して、S の外で不分岐な指数 n のアーベル拡大が有限個であることを導く。