確率論

数学学部無料 15 章有料 0 章

測度論的確率論の基礎（コルモゴロフの公理）を固める。

想定読者: 大学生（理系）、データサイエンティスト

前提テーマ:解析学（実解析）

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章確率空間とコルモゴロフの公理無料古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。
2. 第 2 章確率変数と期待値無料確率変数を可測関数として厳密に定義し、像測度としての分布、単関数近似による期待値の構成、変数変換公式、分散・共分散・相関係数、チェビシェフの不等式までを証明付きで解説する。
3. 第 3 章大数の法則と中心極限定理無料確率収束・概収束・平均収束・分布収束の定義と含意関係を整理し、弱法則と強法則、そして特性関数による中心極限定理の証明を与える。標準誤差 1/√n と信頼区間の根拠まで一気に繋ぐ。
4. 第 4 章条件付き期待値無料条件付き期待値をσ-加法族に対する概念として厳密に定義し、ラドン・ニコディムの定理による存在と一意性、タワー・プロパティ、既知量の取り出し、条件付きイェンセン不等式、L^2直交射影としての特徴づけまでを証明付きで解説する。
5. 第 5 章マルチンゲールとブラウン運動無料条件付き期待値を土台にマルチンゲールを定義し、任意停止定理をギャンブラーの破産問題に適用する。さらにウィーナー過程を厳密に定義し、二次変分と、ブラウン運動から作られる三つのマルチンゲールを証明する。
6. 第 6 章確率微分方程式（伊藤積分）無料ブラウン運動が有界変動でないことを二次変分から示し、古典的な積分が使えない理由を明らかにする。単純過程と伊藤等長性による伊藤積分の構成、確率過程の連鎖律である伊藤の公式、そして幾何ブラウン運動とブラック・ショールズ方程式までを扱う。
7. 第 7 章特性関数と Gauss ベクトル無料特性関数の反転公式と一意性を Gauss 平滑化で証明し、Lévy の連続性定理を証明する。続いて Gauss ベクトルの構造、Wick（Isserlis）の公式、Mills 比の評価を示す。
8. 第 8 章Kolmogorov の拡張定理と連続性定理無料Polish 空間の内部正則性（Ulam の定理）から Kolmogorov の拡張定理を証明し、正定値核の Kolmogorov 分解と Gauss 過程の存在を示す。連続性定理で連続な修正を作り、Wiener 測度の存在を証明する。
9. 第 9 章確率測度の弱収束無料距離空間上の確率測度の弱収束を Portmanteau の定理で特徴づけ、緊密性とコンパクト性が同値であるという Prokhorov の定理、Skorokhod の表現定理、多次元の Lévy の連続性定理と Krylov–Bogoliubov の定理を証明する。
10. 第 10 章Markov 連鎖と Poisson 過程無料離散時間 Markov 連鎖の Doeblin のエルゴード定理を縮小写像で証明し、Poisson 過程と跳び過程、一様化による連続時間 Markov 連鎖を構成する。Dirichlet 形式と正準経路でスペクトルギャップを比較する。
11. 第 11 章Feller 過程と Feynman–Kac無料Brown 運動の Markov 性から Feller 半群と生成子を導き、有界ポテンシャルと Kato クラスのポテンシャルの Feynman–Kac 半群を Khasminskii の補題で構成する。Doob の h 変換と基底状態変換、Stratonovich 積分と伊藤積分の関係を証明する。
12. 第 12 章エルゴード定理無料測度保存系とエルゴード性・混合を定義し、無理数回転・2 倍写像・Bernoulli シフトで確かめる。von Neumann の平均エルゴード定理、最大エルゴード補題と Birkhoff の各点エルゴード定理を証明し、大数の強法則を導く。
13. 第 13 章劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数無料Kingman の劣加法エルゴード定理を Steele の被覆の議論で証明し、行列積のノルムの成長率に関する Furstenberg–Kesten の定理を導く。SL(2,R) コサイクルでは指数が正なら減衰方向がちょうど 1 つあること（Oseledets）を示す。
14. 第 14 章多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け無料d 次元 Brown 運動に関する伊藤積分の共分散等長性から伊藤過程の共変分を定め、2 次変分の収束、多次元伊藤公式、積の公式を証明する。さらに連続マルチンゲールが Brown 運動になるための Lévy の判定条件を、伊藤積分を使わない離散展開で証明する。
15. 第 15 章Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理無料確率指数が有界ドリフトと Novikov 条件のもとでマルチンゲールになることを示し、測度変換でドリフトを消す Girsanov の定理、Cameron–Martin の定理、Brown フィルトレーションの L² 汎関数を確率積分で書く伊藤の表現定理を証明する。