確率論

数学学部無料 3 章有料 3 章

測度論的確率論の基礎（コルモゴロフの公理）を固める。

想定読者: 大学生（理系）、データサイエンティスト

前提テーマ:解析学（実解析）

目次

1. 第 1 章確率空間とコルモゴロフの公理無料古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。
2. 第 2 章確率変数と期待値無料確率変数を可測関数として厳密に定義し、像測度としての分布、単関数近似による期待値の構成、変数変換公式、分散・共分散・相関係数、チェビシェフの不等式までを証明付きで解説する。
3. 第 3 章大数の法則と中心極限定理無料確率収束・概収束・平均収束・分布収束の定義と含意関係を整理し、弱法則と強法則、そして特性関数による中心極限定理の証明を与える。標準誤差 1/√n と信頼区間の根拠まで一気に繋ぐ。
4. 第 4 章条件付き期待値本条件付き期待値をσ-加法族に対する概念として厳密に定義し、ラドン・ニコディムの定理による存在と一意性、タワー・プロパティ、既知量の取り出し、条件付きイェンセン不等式、L^2直交射影としての特徴づけまでを証明付きで解説する。
5. 第 5 章マルチンゲールとブラウン運動本条件付き期待値を土台にマルチンゲールを定義し、任意停止定理をギャンブラーの破産問題に適用する。さらにウィーナー過程を厳密に定義し、二次変分と、ブラウン運動から作られる三つのマルチンゲールを証明する。
6. 第 6 章確率微分方程式（伊藤積分）本ブラウン運動が有界変動でないことを二次変分から示し、古典的な積分が使えない理由を明らかにする。単純過程と伊藤等長性による伊藤積分の構成、確率過程の連鎖律である伊藤の公式、そして幾何ブラウン運動とブラック・ショールズ方程式までを扱う。

「確率論」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。