## 2. 準備：情報の流れをどう書くか
この章では、時間とともに増えていく情報を $\sigma$-加法族の増大列で表します。以下 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ は確率空間とします（[確率空間とコルモゴロフの公理](/mathematics/probability/probability-spaces) の
を参照）。
添字集合を $T = \{0, 1, 2, \ldots\}$（離散時間）または $T = [0, \infty)$（連続時間）とする。
1. $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$-加法族の族 $(\mathcal{F}_t)_{t \in T}$ が、$s \le t$ ならば $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t$ を満たすとき、$(\mathcal{F}_t)_{t\in T}$ を**フィルトレーション**という。
2. 確率過程 $(X_t)_{t \in T}$ が、すべての $t \in T$ について $X_t$ が $\mathcal{F}_t$-可測であるとき、$(X_t)$ は $(\mathcal{F}_t)$ に**適合している**という。
3. 特に $\mathcal{F}_t^X := \sigma(X_s : s \le t, \ s\in T)$ を $(X_t)$ の**自然なフィルトレーション**という。
$\mathcal{F}_t$ は「時刻 $t$ までに観測できた出来事の全体」を表します。適合性は「$X_t$ の値は時刻 $t$ には確定している」ことを意味し、未来を先読みしないという要請です。
証明で繰り返し使う条件付き期待値の性質を挙げておきます。$Z, W$ を可積分な確率変数、$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ を部分 $\sigma$-加法族とします（詳細は [条件付き期待値](/mathematics/probability/conditional-expectation) の
以降を参照）。
| 名称 | 主張 |
|---|---|
| 線形性 | $E[aZ + bW \mid \mathcal{G}] = aE[Z\mid\mathcal{G}] + bE[W\mid\mathcal{G}]$ a.s. |
| タワー性 | $\mathcal{H} \subset \mathcal{G}$ なら $E\bigl[E[Z\mid\mathcal{G}]\bigm\vert \mathcal{H}\bigr] = E[Z\mid\mathcal{H}]$ a.s. |
| 既知量の取り出し | $Y$ が $\mathcal{G}$-可測で $YZ$ が可積分なら $E[YZ\mid\mathcal{G}] = Y\,E[Z\mid\mathcal{G}]$ a.s. |
| 独立性 | $Z$ が $\mathcal{G}$ と独立なら $E[Z\mid\mathcal{G}] = E[Z]$ a.s. |
| イェンセンの不等式 | $\varphi$ が凸で $\varphi(Z)$ が可積分なら $\varphi(E[Z\mid\mathcal{G}]) \le E[\varphi(Z)\mid\mathcal{G}]$ a.s. |
以下、条件付き期待値に関する等式・不等式はすべて「ほとんど確実に」の意味で述べます。毎回 a.s. と書くのは煩雑なので、断りのないかぎり省略します。
## 3. マルチンゲール
### 3.1. 定義と最初の帰結
$(\mathcal{F}_n)_{n \ge 0}$ をフィルトレーション、$(X_n)_{n\ge0}$ を実数値確率過程とする。次の三条件が成り立つとき、$(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に関する**マルチンゲール**であるという。
1. $(X_n)$ は $(\mathcal{F}_n)$ に適合している。
2. すべての $n \ge 0$ について $E[|X_n|] < \infty$。
3. すべての $n \ge 0$ について $E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n$。
条件 3 を $E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \ge X_n$ で置き換えたものを**劣マルチンゲール**、$E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] \le X_n$ で置き換えたものを**優マルチンゲール**という。連続時間 $T = [0,\infty)$ の場合は、条件 3 を「$0 \le s \le t$ に対し $E[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$」に読み替える。
条件 2 を落とすと条件付き期待値そのものが定義できないので、可積分性は飾りではありません。名前の直感は次のとおりです。$X_n$ を「時刻 $n$ での持ち金」と読むと、マルチンゲールは公平な賭け、劣マルチンゲールは自分に有利な賭け、優マルチンゲールは不利な賭けに対応します。日本語の「劣」「優」と有利・不利が逆に見えるのは、劣マルチンゲールが優調和関数ではなく劣調和関数に対応するという解析学側の命名に合わせているためです。
$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールとする。このとき、$0 \le n \le m$ を満たす任意の整数 $n, m$ について
$$
E[X_m \mid \mathcal{F}_n] = X_n, \qquad E[X_m] = E[X_0]
$$
が成り立つ。
$n$ を固定し、$m$ に関する帰納法で第一式を示します。$m = n$ のときは $X_n$ が $\mathcal{F}_n$-可測（ は「公平なゲームを何回続けても、平均持ち金は初期値のまま」という主張です。ここで重要なのは、$m$ が**定数**であることです。$m$ を確率変数（たとえば「勝ち越したところでやめる」）に置き換えると結論は一般には壊れます。どこまでなら壊れないかが
の内容です。
### 3.2. 例
$\xi_1, \xi_2, \ldots$ を独立同分布な確率変数列で、$E[\xi_1] = 0$、$\sigma^2 := E[\xi_1^2] < \infty$ を満たすものとします。$S_0 = x$（定数）、$S_n = x + \xi_1 + \cdots + \xi_n$ とおき、$\mathcal{F}_n = \sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$（$\mathcal{F}_0$ は自明な $\sigma$-加法族）とします。
まず $(S_n)$ はマルチンゲールです。適合性と可積分性（$E|S_n| \le |x| + nE|\xi_1| < \infty$）は明らかなので、条件 3 を確かめます。$\xi_{n+1}$ は $\mathcal{F}_n$ と独立なので
$$
E[S_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = E[S_n \mid \mathcal{F}_n] + E[\xi_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = S_n + E[\xi_{n+1}] = S_n + 0 = S_n .
$$
既知量の取り出し（$S_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測）と独立性の性質を使いました。
次に $M_n := S_n^2 - n\sigma^2$ もマルチンゲールです。$S_{n+1} = S_n + \xi_{n+1}$ を展開すると
$$
E[S_{n+1}^2 \mid \mathcal{F}_n] = E[S_n^2 + 2S_n\xi_{n+1} + \xi_{n+1}^2 \mid \mathcal{F}_n] = S_n^2 + 2S_n E[\xi_{n+1}] + E[\xi_{n+1}^2] = S_n^2 + \sigma^2
$$
となります。ここでも $S_n$ と $S_n^2$ が $\mathcal{F}_n$-可測であることと、$\xi_{n+1}$ が $\mathcal{F}_n$ と独立であることを使いました。両辺から $(n+1)\sigma^2$ を引けば $E[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = M_n$ です。可積分性は $E[S_n^2] = x^2 + n\sigma^2 < \infty$ から従います。
$Z$ を $E|Z| < \infty$ なる確率変数、$(\mathcal{F}_n)$ を任意のフィルトレーションとし、$X_n := E[Z \mid \mathcal{F}_n]$ とおきます。条件付き期待値の定義から $X_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測、また $E|X_n| \le E\bigl[E[|Z| \mid \mathcal{F}_n]\bigr] = E|Z| < \infty$（イェンセンの不等式を $\varphi(u)=|u|$ に適用）なので可積分です。タワー性から
$$
E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n] = E\bigl[E[Z\mid\mathcal{F}_{n+1}]\bigm|\mathcal{F}_n\bigr] = E[Z\mid\mathcal{F}_n] = X_n
$$
となり、マルチンゲールです。これは「固定された量 $Z$ についての知識が、情報が増えるにつれて更新されていく」過程であり、ベイズ推定や機械学習の逐次学習の枠組みと同じ形をしています。
### 3.3. 賭け方を変えても勝てない
「どんな賭け方をしても公平なゲームは公平なまま」を定式化します。鍵は、時刻 $n$ の賭け金は時刻 $n-1$ までの情報だけで決まる、という制約です。
確率過程 $(H_n)_{n\ge1}$ が、すべての $n \ge 1$ について $H_n$ が $\mathcal{F}_{n-1}$-可測であるとき、$(H_n)$ は**可予測**であるという。$(X_n)_{n\ge0}$ に対し
$$
(H\cdot X)_0 := 0, \qquad (H\cdot X)_n := \sum_{k=1}^{n} H_k\,(X_k - X_{k-1}) \quad (n \ge 1)
$$
で定まる過程 $(H\cdot X)_n$ を、$H$ による $X$ の**マルチンゲール変換**という。
$H_k$ は「$k$ 回目の勝負に賭ける単位数」、$X_k - X_{k-1}$ は「1 単位あたりの損益」、$(H\cdot X)_n$ は「$n$ 回目までの累積損益」です。倍賭け戦略も、直前までの勝敗を見て賭け金を決めるので可予測です。
$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$(H_n)_{n\ge1}$ を可予測かつ各 $n$ について有界（$|H_n| \le C_n$ なる定数 $C_n$ が存在する）な過程とする。このとき $\bigl((H\cdot X)_n\bigr)_{n\ge0}$ も $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲールであり、特に $E[(H\cdot X)_n] = 0$ がすべての $n$ で成り立つ。
適合性を確かめます。$H_k$ は $\mathcal{F}_{k-1} \subset \mathcal{F}_n$-可測（$k \le n$）、$X_k, X_{k-1}$ は $\mathcal{F}_n$-可測なので、有限和である $(H\cdot X)_n$ は $\mathcal{F}_n$-可測です。
可積分性を確かめます。三角不等式から
$$
E\bigl[|(H\cdot X)_n|\bigr] \le \sum_{k=1}^{n} C_k\bigl(E|X_k| + E|X_{k-1}|\bigr) < \infty
$$
であり、右辺の有限性は
## 4. 停止時刻と任意停止定理
### 4.1. 停止時刻
写像 $\tau : \Omega \to \{0,1,2,\ldots\} \cup \{+\infty\}$ が、すべての $n \ge 0$ について
$$
\{\tau \le n\} \in \mathcal{F}_n
$$
を満たすとき、$\tau$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関する**停止時刻**という。連続時間の場合は、すべての $t \ge 0$ について $\{\tau \le t\} \in \mathcal{F}_t$ を要請する。
離散時間では $\{\tau \le n\} \in \mathcal{F}_n$ と $\{\tau = n\}\in\mathcal{F}_n$ は同値です。実際、$\{\tau = n\} = \{\tau\le n\}\setminus\{\tau\le n-1\}$ で、$\{\tau\le n-1\}\in\mathcal{F}_{n-1}\subset\mathcal{F}_n$ ですから前者から後者が出ます。逆は $\{\tau\le n\} = \bigcup_{k\le n}\{\tau = k\}$ です。
定義の意味は「時刻 $n$ の時点で、もう止まったかどうかが判定できる」ことです。「株価が最高値を付けた日に売る」は最高値がいつだったか将来にならないと分からないので停止時刻ではありません。「株価が初めて 1000 円を超えた日に売る」は停止時刻です。
$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\tau$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関する停止時刻とする。$X^\tau_n := X_{n\wedge\tau}$（$n\wedge\tau = \min(n,\tau)$）とおくと、$(X^\tau_n)_{n\ge0}$ もマルチンゲールであり、特に $E[X_{n\wedge\tau}] = E[X_0]$ がすべての $n$ で成り立つ。
$H_k := \mathbf{1}_{\{\tau \ge k\}}$ とおきます。$\{\tau \ge k\} = \{\tau \le k-1\}^{c}$ であり、
### 4.2. 任意停止定理
は $E[X_{n\wedge\tau}] = E[X_0]$ を与えます。欲しいのは $E[X_\tau] = E[X_0]$ ですから、$n \to \infty$ の極限を取る必要があります。極限と期待値の交換に条件が要る、というのがこの定理の全体像です。
$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\tau$ を停止時刻とする。次のいずれかが成り立つならば、$X_\tau$ は可積分で $E[X_\tau] = E[X_0]$ である。
(a) ある定数 $K$ が存在して $\tau \le K$ が確率 1 で成り立つ。
(b) $P(\tau < \infty) = 1$ であり、かつ可積分な確率変数 $Y$（$E[Y] < \infty$、$Y \ge 0$）が存在して、すべての $n$ について $|X_{n\wedge\tau}| \le Y$ が確率 1 で成り立つ。
(a) の場合。$n = K$ とすると $K \wedge \tau = \tau$ なので、
実際に使いやすいのは次の形です。
$(X_n)$ をマルチンゲール、$\tau$ を停止時刻とする。$E[\tau] < \infty$ であり、さらにある定数 $C$ が存在してすべての $n \ge 1$ で $|X_n - X_{n-1}| \le C$ が確率 1 で成り立つならば、$E[X_\tau] = E[X_0]$ である。
$E[\tau]<\infty$ より $P(\tau<\infty) = 1$ です。また
$$
|X_{n\wedge\tau} - X_0| = \Bigl|\sum_{k=1}^{n\wedge\tau}(X_k - X_{k-1})\Bigr| \le \sum_{k=1}^{n\wedge\tau} |X_k - X_{k-1}| \le C\,(n\wedge\tau) \le C\tau
$$
なので、$Y := |X_0| + C\tau$ とおけば $|X_{n\wedge\tau}| \le Y$ がすべての $n$ で成り立ちます。$E[Y] \le E|X_0| + CE[\tau] < \infty$ ですから、
### 4.3. ギャンブラーの破産問題
$\xi_1,\xi_2,\ldots$ を $P(\xi_i = 1) = P(\xi_i = -1) = 1/2$ の独立同分布列とし、整数 $N \ge 2$ と $0 < x < N$ を固定して $S_n = x + \xi_1+\cdots+\xi_n$ とします。$\mathcal{F}_n = \sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ とし、
$$
\tau := \inf\{n \ge 0 : S_n = 0 \ \text{または}\ S_n = N\}
$$
とおきます（そのような $n$ がなければ $\tau = +\infty$）。$\{\tau \le n\}$ は $S_0,\ldots,S_n$ だけで決まるので $\tau$ は停止時刻です。
**第一段：$E[\tau] < \infty$ を示す。** $N$ 回連続で $+1$ が出れば、出発点が $(0,N)$ のどこであっても値は $N$ 以上に到達するはずですが、歩幅が 1 なので途中で必ず $N$ に一致します。つまりその区間内で吸収されます。各長さ $N$ のブロックで $+1$ が $N$ 回連続する確率は $2^{-N}$ で、ブロックごとに独立ですから
$$
P(\tau > (m+1)N) \le \bigl(1 - 2^{-N}\bigr)P(\tau > mN),
$$
したがって $P(\tau > mN) \le (1-2^{-N})^m$ です。$q := 1-2^{-N} < 1$ とおくと
$$
E[\tau] = \sum_{k \ge 0} P(\tau > k) \le \sum_{m\ge0} N\,P(\tau > mN) \le N\sum_{m\ge0}q^m = \frac{N}{1-q} = N\,2^{N} < \infty
$$
となり、特に $P(\tau<\infty)=1$ です。
**第二段：破産確率。** $(S_n)$ は
## 5. ブラウン運動
### 5.1. 定義
ランダムウォーク $S_n$ の分散は $n$ に比例します。時間を $1/n$ 倍に縮めると同時に空間を $1/\sqrt{n}$ 倍に縮めると分散が保存されるので、$S_{\lfloor nt\rfloor}/\sqrt{n}$ という縮尺のもとで極限を取るのが自然です。
から、固定した $t$ でこの量は $N(0,t)$ に分布収束します。その極限を「過程として」定義したものが次です。
確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の実数値確率過程 $(B_t)_{t\ge0}$ が次の四条件を満たすとき、$(B_t)$ を**標準ブラウン運動**（ウィーナー過程）という。
1. $P(B_0 = 0) = 1$。
2. （独立増分）任意の $0 \le t_0 < t_1 < \cdots < t_k$ に対し、増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\ B_{t_2}-B_{t_1},\ \ldots,\ B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立である。
3. （正規増分）任意の $0 \le s < t$ に対し、$B_t - B_s$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布 $N(0,t-s)$ に従う。
4. （連続性）確率 1 で、写像 $t \mapsto B_t(\omega)$ は $[0,\infty)$ 上連続である。
条件 3 で分散が $t-s$ であること、すなわち $s$ と $t$ の**差だけ**で決まることが、増分の定常性を含んでいます。条件 4 は他の三条件から導かれるものではありません。同じ有限次元分布を持ちながら道が至るところ不連続になるような過程も作れてしまうので、連続性は独立に要請する必要があります。
### 5.2. ガウス過程としての特徴づけ
確率過程 $(X_t)_{t\ge0}$ が、任意の有限個の時刻 $t_1,\ldots,t_k \ge 0$ と任意の実数 $a_1,\ldots,a_k$ に対し $\sum_{i=1}^{k} a_i X_{t_i}$ が正規分布（分散 $0$ の退化した場合も含む）に従うとき、$(X_t)$ を**ガウス過程**という。さらにすべての $t$ で $E[X_t]=0$ のとき**中心化ガウス過程**という。関数 $(s,t)\mapsto E[X_sX_t]$ をその**共分散関数**という。
連続な見本道を持ち $P(X_0=0)=1$ を満たす確率過程 $(X_t)_{t\ge0}$ について、次は同値である。
(i) $(X_t)$ は標準ブラウン運動である。
(ii) $(X_t)$ は中心化ガウス過程であり、共分散関数が $E[X_sX_t] = \min(s,t)$ である。
**(i) ならば (ii)。** 時刻 $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_k$ を取り、増分ベクトルを $\boldsymbol{\Delta} = (X_{t_1}-X_{t_0}, \ldots, X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^{\mathsf{T}}$ とします。 の利点は、共分散関数さえ計算すればブラウン運動かどうかが判定できることです。実際に使ってみます。
$(B_t)_{t\ge0}$ を標準ブラウン運動とする。次の各過程もまた標準ブラウン運動である。
(a) （対称性）$X_t := -B_t$。
(b) （スケーリング）$c > 0$ を定数として $X_t := c^{-1/2}B_{ct}$。
(c) （マルコフ性・平行移動）$s \ge 0$ を定数として $X_t := B_{t+s}-B_s$。
(d) （時間反転）$X_0 := 0$、$t > 0$ に対して $X_t := t\,B_{1/t}$。
いずれも
### 5.3. 二次変分と道の粗さ
ブラウン運動の道がどれほど粗いかを、二次変分が定量的に教えてくれます。
$(B_t)$ を標準ブラウン運動、$t > 0$ を固定する。二進分割 $t^n_k := kt/2^n$（$k = 0,1,\ldots,2^n$）に沿う二次変分を
$$
Q_n := \sum_{k=1}^{2^n}\bigl(B_{t^n_k} - B_{t^n_{k-1}}\bigr)^2
$$
と定める。このとき $E[Q_n] = t$ かつ $\operatorname{Var}(Q_n) = 2t^2/2^n$ であり、$Q_n \to t$ が $L^2$ の意味でも確率 1 でも成り立つ。
$h := t/2^n$、$\Delta_k := B_{t^n_k}-B_{t^n_{k-1}}$ とおきます。
滑らかな関数なら二次変分は $0$ になります。実際 $f$ が $[0,t]$ でリプシッツ連続（定数 $L$）なら $\sum(f(t^n_k)-f(t^n_{k-1}))^2 \le 2^n L^2h^2 = L^2t^2/2^n \to 0$ です。ブラウン運動の二次変分が $0$ でない正の値 $t$ に収束するというのは、道が微分可能な関数とは質的に違うことを示しています。その最も重要な帰結が次です。
$t>0$ を固定する。確率 1 で、見本道 $s\mapsto B_s(\omega)$ は $[0,t]$ 上で有界変動ではない。すなわち
$$
\sup\Bigl\{\sum_{k=1}^{m}|B_{s_k}-B_{s_{k-1}}| \ :\ m\in\mathbb{N},\ 0 = s_0 < s_1 < \cdots < s_m = t\Bigr\} = +\infty
$$
が確率 1 で成り立つ。
$\Omega_0$ を「道が連続であり、かつ
## 6. ブラウン運動が生む三つのマルチンゲール
以下 $(\mathcal{F}_t)_{t\ge0}$ は $\mathcal{F}_t = \sigma(B_s : 0\le s\le t)$、すなわちブラウン運動の自然なフィルトレーションとします。
の条件 2 から、$t > s$ のとき増分 $B_t - B_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立です。これは、$\mathcal{F}_s$ が $B_{u}$（$u\le s$）で生成され、それらが増分 $B_{u_i}-B_{u_{i-1}}$（$u_i \le s$）の線形結合として書けることによります。
$(B_t)_{t\ge0}$ を標準ブラウン運動、$(\mathcal{F}_t)$ をその自然なフィルトレーションとする。次の三つはいずれも $(\mathcal{F}_t)$ に関するマルチンゲールである。
(a) $B_t$ 自身。
(b) $B_t^2 - t$。
(c) 任意に固定した実数 $\lambda$ に対し、$Z^\lambda_t := \exp\bigl(\lambda B_t - \tfrac{1}{2}\lambda^2 t\bigr)$（**指数マルチンゲール**）。
$0 \le s < t$ とし、$\Delta := B_t - B_s$ とおきます。
任意停止定理は連続時間でもほぼ同じ形で成り立ちます。証明は離散時間の結果を二進時刻に制限して適用し、道の右連続性で極限を取る、という筋です。
$(M_t)_{t\ge0}$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関するマルチンゲールで、確率 1 で道が連続であるものとする。$\tau$ を $(\mathcal{F}_t)$ に関する停止時刻とする。このとき、
(a) 任意の定数 $T \ge 0$ について $E[M_{T\wedge\tau}] = E[M_0]$ が成り立つ。
(b) さらに $P(\tau<\infty)=1$ であり、可積分な確率変数 $Y \ge 0$ が存在してすべての $T \ge 0$ で $|M_{T\wedge\tau}| \le Y$ となるならば、$E[M_\tau] = E[M_0]$ である。
(a) は「止めた過程はマルチンゲール」という
## 7. 演習
$(X_n)_{n\ge0}$ を $(\mathcal{F}_n)$ に関するマルチンゲール、$\varphi : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を凸関数とし、すべての $n$ について $E[|\varphi(X_n)|] < \infty$ が成り立つとする。このとき $(\varphi(X_n))_{n\ge0}$ は劣マルチンゲールであることを示せ。さらにこれを使って、$|X_n|$ と $X_n^2$（後者は $E[X_n^2]<\infty$ のとき）が劣マルチンゲールであることを示せ。
適合性は、$\varphi$ が凸ゆえ連続、したがってボレル可測であることから従います。$X_n$ が $\mathcal{F}_n$-可測なら $\varphi(X_n)$ も $\mathcal{F}_n$-可測です。可積分性は仮定です。
条件付き期待値に対するイェンセンの不等式を $\mathcal{G}=\mathcal{F}_n$ に適用すると
$$
\varphi\bigl(E[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]\bigr) \le E\bigl[\varphi(X_{n+1})\bigm|\mathcal{F}_n\bigr]
$$
です。左辺は
## 参考文献
- D. Williams, *Probability with Martingales*, Cambridge University Press, 1991 — 第 10〜14 章。離散時間マルチンゲールの標準的な入門書で、任意停止定理と収束定理の扱いが丁寧です。
- R. Durrett, *Probability: Theory and Examples*, 5th ed., Cambridge University Press, 2019 — 第 4 章（マルチンゲール）、第 7 章（ブラウン運動）。
- I. Karatzas and S. E. Shreve, *Brownian Motion and Stochastic Calculus*, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 1 章（連続時間マルチンゲール）、第 2 章（ブラウン運動の構成）、第 3 章（レヴィの特徴づけ）。
- P. Mörters and Y. Peres, *Brownian Motion*, Cambridge University Press, 2010 — 第 1 章（構成と道の性質）、第 2 章（強マルコフ性）。
- 舟木直久『確率論』朝倉書店、2004 — 測度論的確率論からマルチンゲール、ブラウン運動までを日本語で通した標準的な教科書です。
- N. Wiener, "Differential-Space", *Journal of Mathematics and Physics* 2 (1923), 131–174 — ブラウン運動の測度論的構成を与えた原論文。
## Appendix: ブラウン運動の構成の骨子
**方針。**
の証明として標準的なレヴィ–チースィエルスキの構成を、$[0,1]$ 上に限って概観します。考え方は「独立な正規確率変数の列を係数とする関数級数を作り、それが一様収束することを示す」というものです。一様収束極限は連続関数なので、
の条件 4 が構成から自動的に出る点が要点です。
**ハール関数とシャウダー関数。** $H_{0,0}(t) := 1$ とし、$n \ge 0$ と $1 \le k \le 2^{n+1}$ が奇数のときに、区間 $[(k-1)2^{-n-1}, k2^{-n-1})$ で $2^{n/2}$、次の同じ長さの区間で $-2^{n/2}$、他で $0$ を取る関数を並べると、これらは $L^2([0,1])$ の完全正規直交系をなします（ハール系）。その原始関数 $S_{n,k}(t) := \int_0^t H_{n,k}(u)\,du$ をシャウダー関数といい、$S_{n,k}$ は台が長さ $2^{-n}$ の区間に含まれる三角形状の関数で、その最大値は $2^{-n/2-1}$ です。
**級数の定義。** $(Z_{n,k})$ を独立な標準正規確率変数の族とし、
$$
B_t := \sum_{n,k} Z_{n,k}\,S_{n,k}(t)
$$
と定めます。この級数が確率 1 で $[0,1]$ 上一様収束することが証明の山場です。同じ $n$ に属する $S_{n,k}$ たちは台が交わらないので、第 $n$ 段の寄与の一様ノルムは $\bigl(\max_{k}|Z_{n,k}|\bigr)\cdot 2^{-n/2-1}$ で抑えられます。標準正規分布の裾の評価 $P(|Z| > u) \le e^{-u^2/2}$（$u \ge 1$）と、第 $n$ 段の項数が $2^{n}$ 程度であることから、$u_n := c\sqrt{n}$ を十分大きな $c$ で取れば
$$
P\Bigl(\max_{k}|Z_{n,k}| > c\sqrt{n}\Bigr) \le 2^{n}e^{-c^2n/2}
$$
が総和可能になります。ボレル–カンテリの補題より、確率 1 で有限個の $n$ を除いて第 $n$ 段の寄与は $c\sqrt{n}\,2^{-n/2-1}$ 以下であり、この列は総和可能です。したがって
により級数は確率 1 で一様収束し（[関数列と一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence) を参照）、極限 $B_t$ は連続関数になります。
**性質の確認。** 残りは
を使うのが早道です。$B_t$ は独立な正規確率変数の（$L^2$ 収束する）線形結合なのでガウス過程であり、平均は $0$ です。共分散はハール系の完全性（パーセバルの等式）から
$$
E[B_sB_t] = \sum_{n,k}S_{n,k}(s)S_{n,k}(t) = \int_0^1 \mathbf{1}_{[0,s]}(u)\,\mathbf{1}_{[0,t]}(u)\,du = \min(s,t)
$$
と計算されます。ここで $S_{n,k}(s) = \langle \mathbf{1}_{[0,s]}, H_{n,k}\rangle$ であることを使いました。よって
より $(B_t)_{t\in[0,1]}$ は標準ブラウン運動です。$[0,\infty)$ 上のブラウン運動は、独立なコピーを $[0,1]$、$[1,2]$、… と端点をつないで並べれば得られます。